5 distribusi peluang kontinyu

8/20/2019 5 Distribusi Peluang Kontinyu

1/8

13/11/20

STATISTIK INDUSTRI 1

Agustina Eunike, ST., MT., MBA

Distribusi Peluang Kontinyu


• Rata-rata dan Variansi

– Rumus Umum:

UNIFORM

Distribusi Peluang Diskrit dan Kontinyu

Distribusi Diskrit Uniform

Distribution Random Variable

X

Possible

Values of X

Distribution Function

Fx a) = P X =a)

Mean

E(X)

Uniform Realization of, , … , , , … , 1/

Distribusi Diskrit Uniform

• Contoh:

– Suatu bacth produk terdiri dari nomor serial, dengannomor urut pertama terdiri dari 0 sampai dengan 9.Jika salah satu produk diambil secara acak, maka Xadalah munculnya nomor serial dengan angkapertama tersebut masing-masing nomor(R={0,1,2,...,9) memiliki peluang 0,1.

= 110 =0, 1 = ()


2/8

13/11/20

Distribusi Kontinyu Uniform Distribusi Kontinyu Uniform

• Contoh:

– Variabel acak kontinyu menotasikan pengukuran arus pada

kawat tembaga dalam miliamper. Jika diketahui bahwaf(x)=0,05 untuk 0 ≤ x ≤ 20. Berapakah peluang pengukuranarus berada antara 5 dan 10 mA.

– 5 10 = = 5 0,05 = 0,25 – Rata-rata dan Variansi distribusi uniform arus kawat

tembaga: a=0, b=20

• = = (+) =10 • = = (−) =33,33 • = 5,77

NORMAL


Distribusi Normal

• Gaussian distribution (Karl Friedrich Gauss, 1777-1855)

• Bell-shaped curve

• Probability density function:

– ; , = −

(−) , – ∞ ∞ – =3,14159… – =2,71828…

Distribusi Normal Distribusi Normal• Area dalam Kurva Normal


3/8

13/11/20

Distribusi Normal• Area dalam Kurva Normal

Distribusi Normal

• Standard Distribusi Normal:

– Kurva normal yang telah di-standarisasi dan

menggambarkan nilai standar deviasi dari nilai

rata-rata.

– = 0, = 1. (0,1). – : = 0, = 1

= = =

Distribusi Normal Distribusi Normal• Menggunakan Tabel

Distribusi Normal

Standar

Distribusi Normal• Contoh Soal

– Suatu perusahaan generator menghitung berat salah satu

komponennya. Berat komponen tersebut berdistribusi normal denganrata-rata 35 gram, dan standard deviasi 9 gram.

1. Hitung probabilitas bahwa satu komponen yang diambil secara acak akanmemiliki berat antara 35 dan 40 gram?

2. Berapa peluang pengambilan acak satu komponen dengan berat palingringan 50 gram?

• JAWAB:

1. ≤ ≤ : – = 40 , = =

4 0 3 59 = 0 ,56 , ≤ 0, 56 = 0,7 12 3

– = 35 , = =

3 5 3 59 = 0, ≤ 0 = 0,5

– 35 ≤ ≤ 40 = 0 ≤ ≤ 0,56 = 0 ,7123 0 ,5 = 0,2123

Distribusi Normal• Contoh Soal


4/8

13/11/20

Distribusi Normal

• Latihan Soal:

– Nilai ujian fisika di sebuah kelas terdistribusi

secara normal dengan rata-rata 60 dan standar

deviasi 10. Berapa persen siswa yang memperoleh

nilai antara 60 dan 70?

Distribusi Normal• Menghitung nilai

=

, =

• Contoh:

– Diketahui suatu distribusi normal dengan = 4 0 dan = 6. Carilah nilai , yang memiliki:

a. 45% area dari sisi kiri

b. 14% area dari sisi kanan

Jawab:

a. ≤ = 0.45, = 0,13 = 6 0,13 40 = 39,22

Distribusi Normal

• Latihan Soal:

– Diketahui rata-rata hasil ujian adalah 74 dengan

simpangan baku 7. Jika nilai-nilai peserta ujian

berdistribusi normal dan 12% peserta nilai

tertinggi mendapat nilai A, berapa batas nilai A

yang terendah ?

Distribusi Normal

• Central Limit Theory

• Menyelesaikan permasalahan binomial

dengan distribusi normal

GAMMA


• Diaplikasikan pada masalah antrian dan masalah

keandalan (reliabilitas).

• Time / space occuring until a specified number of

Poisson events occur

• Fungsi gamma:

• Properti fungsi gamma:

Distribusi Gamma


5/8

13/11/20

• Fungsi distribusi gamma:

– : – : / – λ: / (λ = 1 / ) – : (lama waktu atau luasan area hingga kejadian berikutnya)

Distribusi Gamma

: ;:

Distribusi Gamma• Rata-rata dan Variansi:

• Jika dan adalah variabel acak yangindependen, dan ~ (, ); ~ (, ), maka ~ ( , )

• Sehingga, jika ~ , , =1 , … ,

, maka

( ⋯ )~ ( ⋯ , ) EKSPONENSIAL


Distribusi Eksponensial• Bentuk khusus dari distribusi peluang gamma ( = 1)• Time to arrival or time to first poisson event problems

• Diaplikasikan pada permasalahan waktu antar

kedatangan pada fasilitas jasa, life time / waktu

kegagalan komponen, survival time, dan waktu respon

komputer

Distribusi Eksponensial

• Eksponensial menganut proses Poisson (λ : laju kedatangan)• ~ λ : ≥ = λ

=

= 1λ ; =1 /λ – λ = 1 /

• Karakter penting: memoryless property

– Pada permasalahan life time (hingga terjadi break down / failure /kerusakan), misal life time dari lampu, TV, kulkas

• Kerusakan yang diakibatkan oleh pemakaian berkala (misalpemakaian mesin), tidak berlaku distirbusi eksponensial. Lebihtepat menggunakan distribusi GAMMA atau distribusi WEIBULL


6/8

13/11/20

Contoh: Gamma Contoh: Gamma

Contoh: Gamma• Dari Tabel:

Contoh: Eksponensial• Jumlah telpon masuk pada nomor darurat 119 pada suatu kota diketahui

berdistribusi Poisson dengan rata-rata 10 telpon per jam. Jika saat ini

dilakukan pengamatan, berapakah peluang telpon masuk terjadi paling

cepat 5 menit dari sekarang?

– = 10 = 10/60 – = 1/λ = 6 menit per telpon – ≥ = – ≥ 5 = ()() =2,71828, =0,4347

X = menit antar telp ke 119

Rangkuman

Distributions with

Parameters

Possible Values of X Density Function Normal (, ) ∞ ∞

− (−)

Exponential (λ ) 0 λ Gamma (, ) 0 1

Γ() / Note:

()= CHI-SQUAREDDistribusi Peluang Kontinyu


7/8

13/11/20

Distribusi Chi-Squared

• Distribusi gamma dengan α = ν / 2 dan = 2 • ν: degrees of freedom (derajat kebebasan), positive integer

• Density Function:

; ν = /(/)(/)/ , > 00,

• Mean dan Variansi:

= ν dan = 2ν

Distribusi Chi-Squared

• Di suatu kota, pemakaian tenaga listrik harian dalam jutaankilowatt-jam, variabel acak berdistribusi gamma dengan = 6 dan = 12.a. Cari ni lai dan b. Cari peluang suatu hari tertentu pemakaian harian tenaga listrik

akan melebihi 12 juta kilowatt-jam

• Jawab:

a. α = ν / 2, ν = μ = 6, α = = 3, = 2 b. P X > 12 = 1 −

P X > 12 = 1 −

P X > 12 = 1 F 6; 3 = 1 0 .9380 = 0.0620

BETA


Distribusi Beta• Pengembangan dari distribusi uniform

• Distribusi kontiyu yang fleksibel tetapi terbatas pada suatu rangetertentu. Misal: proporsi radiasi matahari yang diserap oleh suatumaterial, waktu maksimal untuk menyelesaikan suatu proyek

• Fungsi Beta:

, = ( 1 ) = Γ()Γ()Γ ( ) , , > 0

Dengan parameter: > 0 , > 0 • Density Function:

; ν = (,) ( 1 ) , 0 1

0,

– Catatan: distribusi uniform (0,1) adalah distribusi beta denganparameter = 1 , = 1

• = , distribusi beta akan berbentuk simetris

Distribusi Beta Distribusi Beta• Mean dan Variansi:

=

dan

=

– Modus:

= 1 2

– Distribusi uniform (0,1), mean dan variansi:

= = dan = ()() =


8/8

13/11/20

Distribusi Beta

• Jika diketahui waktu maksimum penyelesaian suatuproyek berdistribusi beta dengan = 3, dan = 1.a. Berapakah peluang waktu penyelesaian melebihi 0.7?b. Berapa rata-rata dan variansi distribusi tersebut?

• Jawab:

a. P X > 0.7 = (β)()(β) x( 1 x )β. P X > 0.7 = Γ(4)Γ(3)Γ(1) x( 1 x )

.

P X > 0.7 = 10.7 =4∗0.219=0.876 b. Ratarata=0.75; Variansi=0.0375

Referensi

• Montgomery, D.C., Runger, G.C., Applied Statistic and

Probability for Engineers, 5th ed, John Wiley & Sons, Inc., NJ,

2011• Walpole, Ronald B., Myers, Raymond H., Myers, Sharon L., Ye,

Keying, Probability & Statistics for Engineers and Scientist ,

9th ed, Prentice Hall Int., New Jersey, 2012.

• Weiers, R.M., 2011, Introduction to Business Statistics ,

Cengage Learning, OH, 2008.

5 distribusi peluang kontinyu

Documents