TEORI PROBABILITAS/PELUANGTEORI PELUANG: antara lain membahas tentang ukuran atau derajat ketidakpastian sesuatu peristiwa

EKSPERIMEN YANG DAPAT DIULANGI:Mengundi dengan uang logam/daduMembaca temperatur udara tiap hariMencatat kendaraan yang melalui tikungan setiap jamMenghitung barang yang rusak yang diproduksi tiap hari

PERISTIWA: Segala bagian yang mungkin didapat dari hasil eksperimen

Contoh: eksperimen mencatat banyaknya mobil yang melalui sebuah tikungan setiap jam. Hasilnya bisa terdapat 0, 1, 2, 3. kendaraanmelalui tikungan itu.Beberapa peristiwa yang didapat misalnya: tidak ada mobil yang melalui tikungan dalam sejam, lebih dari 3 mobil per jam, 6 mobil per jam dst.

TEORI PELUANGDUA PERISTIWA ATAU LEBIH SALING EKSKLUSIFJika terjadinya peristiwa yang satu mencegah terjadinya yang lain contoh: uji coba melempar dengan uang logam bila gambar garuda terjadi, berarti gambar angka tidak terjadiJika E memnyatakan suatu peristiwa terjadi, maka E kita pakai menyatakan peristiwa itu tidak terjadi. Dua peristiwa tersebut jelas saling eksklusif.Contoh: E berarti barang dihasilkan rusak, dan E berarti barang yang dihasilkan tidak rusak. Dua peristiwa itu saling eksklusif

DEFINISI PELUANGDEFINISI PELUANG KLASIK:Misalkan sebuah peristiwa E dapat terjadi sebanyak n kali diantara N peristiwa yang saling eksklusif dan masing-masing terjadi dengan kesempatan yang sama. Maka Peluang peristiwa E terjadi adalah Peluang peristiwa E = n/N dan disingkat: P(E) = n/N

DEFINISI PELUANGKetika melakukan undian dengan sebuah mata uang logam bermuka 2 menghasilkan 2 peristiwa,Berarti seluruh peristiwa N = 2, yaitu muka Garuda (G) diatas dan muka huruf (H) diatasJika E = muka Garuda diatas, maka n = 1Maka P(E) = P (muka G diatas) = P(G) = Jelas P(G) = P(H) = Undian dadu yang bermuka 6 menghasilkan 6 peristiwa, jadi N = 6Juika E = muka bermata 4 diatas, maka n = 1, maka peluang muka bermata 4 diatas = P(E) = P(mata 4) = 1/6 Jika E = muka bermata 1 diatas, maka n = 1, maka peluang muka bermata satu P(E) = P(mata 1) = 1/6 dst.Sebuah kotak berisi 20 kelereng yang identik kecuali warnanya. Terdapat 5 berwarna merah, 12 berwarna kuning dan sisanya berwarna hijau. Maka peluang mengambil kelereng berwarna merah = 5/20 = 0,25; peluang mengambil kelereng warna kuning = 12/20 = 0,6 peluang hijau = 3/20 = 0,15

BEBERAPA ATURAN PELUANGP(E) n / N n = peristiwa yang diharapkan dpt terjadi N = total peristiwaPeluang peristiwa E P(E) = 0 peristiwa E pasti tidak terjadi P(E) = 1 peristiwa pasti terjadi

P(E) = 1 - P(E) peristiwa E dan E saling berkomplemen

Dalam undian dengan sebuah dadu, misalnya E = mendapat muka 6 disebelah atas, maka P(E) = 1/6. Jelas bahwa E = bukan mata 6 yang diatas (1, 2, 3 atau lainnya), P(E) nya = 5/6Kalau peluang mendapatkan hadiah = 0,51, maka peluang tidak mendapat hadiah = 0.390 < P(E) < 1P(E )+ P(E) = 1)

BEBERAPA ATURAN PELUANGJika k buah peristiwa yang saling eksklusif E1, E2, Ek saling eksklusif, maka peluang terjadinya E1, E2, . atau Ek sama dengan jumlah peluang tiap peristiwa. Rumus:

Undian uang logam, P(G) = dan P(H) = , maka total P(E) + P(H) = 1Mata dadu, P(mata-1) = P(mata-2) = P(mata-3) = P(mata-4) = P(mata-5) = P(mata-6-) = 1/6 total P(mata-1) atau P(mata-2) atau P(mata-3) atau P(mata-4) atau P(mata-5) atau P(mata-6) = 1P(E1 atau E2 atau .. Ek) = P(E1) +P(E2) + . + P(Ek)

BEBERAPA ATURAN PELUANGSebuah kotak berisi 10 kelereng merah, 18 hijau dan 22 kuning.Peluang mengambil kelereng merah = 10/(10+18+22) = 10/50= 0,2Peluang mengambil kelereng hijau = 18/50 = 0,36Peluang mengambil kelereng kuning = 22/50 = 0,44Peluang mengambil kelereng merah atau kuning = 0,2 + 0,44 = 0,64Ada 200 lembar undian berhadiah dimana terdapat sebuah hadiah pertama, 5 hadiah kedua, 10 hadiah ketiga dan sisanya tidak tak berhadiah. Seseorang membelinya selembar. Berapa peluang orang itu akan memenangkan hadiah pertama atau hadiah kedua?Disini ada ada 4 peristiwa yang saling eksklusif yaitu A = hadiah ke-1 , B = hadiah ke-2, C = hadiah ke-3 dan D = tidak dapat hadiah.P(A) = 1/200 = 0,005, P(B) = 5/200 = 0,025, P(C) = 10/2000 = 0,05 , dan P(D) = 184/200 = 0,92P(A atau B) = P(A) + P(B) = 0,005 + 0,025 = 0,03

BEBERAPA ATURAN PELUANGHUBUNGAN BERSYARAT: jika peristiwa yang satu menjadi syarat terjadinya peristiwa yang lain A|B : peristiwa A terjadi harus didahului peristiwa B. Peluangnya ditulis P (A|B)PERISTIWA BEBAS (INDEPENDEN): jika terjadi atau tidak terjadinya suatu peristiwa tidak mempengaruhi terjadinya peristiwa yang lain

Jika A dan B Independen

Ditulis A dan B untuk menyatakan peristiwa-peristiwa A dan B kedua-duanya terjadi. Maka berlaku: akibatnya:P (A|B) = P (A)P (A dan B) = P (B) . P (A|B)P (A dan B) = P (A) . P (B)

BEBERAPA ATURAN PELUANGJika hanya peristiwa peristiwa A terjadi, atau peristiwa B terjadi, dimana tidak mungkin keduanya terjadi eksklusif contoh: A = hari hujan , B = hari panas

Jika peristiwa A terjadi, atau peristiwa B terjadi, atau kedua2nya terjadi, maka atau kedua2nya terjadi, inklusif A = hujan, B = salju atau (A dan B) = hujan + salju

Jika diketahui P(A) = 0,70; P(B) = 0,35 ; P(A dan B) = 0,15P(A atau B) = 0,70 + 0,35 0,15 = 0,90P(A atau B) = P(A) + P(B) P(A atau B) = P(A) + P(B) P(A dan B)

LATIHANJika peluang mendapatkan kartu raja = 1/13, dan peluang mendapatkan kartu satu = 1/13, maka berapa peluang mendapatkan kartu raja atau satu?P(A atau B) = 1/13 + 1/13 = 2/13Tentukan peluang untuk mendapatkan kartu skop hitam atau kartu ratu merah pada permainan 52 kartu. Karena ada 13 kartu skop hitam, maka peluang mendapatkan kartu skop hitam = 13/52Karena ada 2 kartu ratu merah, maka peluang mendapatkan kartu ratu merah = 2/52Peluang mendapatkan kartu raty merah dan skop hitam = 13/52 + 2/52 = 15/52

LATIHANPeluang seorang pengunjung untuk pesan sate pada restoran = 0,40, peluang pesan es teler = 0,25. Apabila kedua peristiwa itu independen, berapa peluang seorang pengunjung memesan sate dan es teler?P(A dan B) = 0,40 x 0,25 = 0,1

Untuk menggambarkan k peristiwa independen, maka :

Ada 3 mata uang logam yang dilempar dalam permainan, maka ada 3 peristiwa independen.Peluang untuk mendapatkan gambar garuda = (1/2) (1/2) (1/2) = 1/8Permainan 4 buah dadu, berarti ada 4 peristiwa independen, maka peluang mendapatkan mata 6, (1/6) (1/6) (1/6) (1/6) = 1/1296P(A1 dan A2 dan .. Ak) = P(1) . P(A2) ..P(Ak)

PEMBUATAN KEPUTUSANMelibatkan Teori EkspektasiContoh: peluang mendapatkan jumlah A adalah P(A), maka ekspektasi = A . P (A)Jika peluang untuk mendapatkan jml. A1, A2, .dan Ak adalah P(A1) , P(A2) dan P(AK), maka:Ekspektasi = A1 . P (A1) + A2 . P (A2) + . + Ak . P (Ak) Contoh: permainan dadu:Kita mendapat 2,00 USD bila mendapat mata-6Kita mendapat 0,5 USD bila mendapat mata-5Kita kehilangan 0,25 USD bila mendapat mata-4Kita kehilangan 1,00 USD bila mendapat mata-3, 2 atau 1 A1 = 2,00 A2 = 0,50 A3 = -0,25 A4 = -1,00 P(A1) = 1/6 P(A1) = 1/6 P(A1) = 1/6 P(A1) = 1/6Ekspektasi = (2,00)(1/6) + (0,50)(1/6) (0,25)(1/6) (1,00)(1/6) = - 0,125. Hal ini berarti rata-rata pada permainan ini kita akan kehilangan 12,5 sen

VARIABEL ACAKAdalah suatu fungsi bernilai real yang harganya ditentukan oleh tiap anggota dalam ruang sampel.Suatu variabel acak akan mempunyai harga tertentu dari suatu percobaanSuatu Variabel acak ditentukandalam huruf besar, misalnya X.Harganya dinyatakan dalam huruf kecil, misalnya : x Contoh: Didalam suatu kardus terdapat dua anak ayam (A) dan dua anak itik (I). Secara acak diambil dua ekor satu demi satu tanpa pengembalian.Bila variabel acak P menyatakan jumlah anak ayam yang diambil, maka nilai p yang mungkin dari variabel acak P adalah:Tabel 1 Kejadian yang mungkin

Kejadian sederhanaPAA2AI1IA1II0

VARIABEL ACAKRuang sampel diskret : ruang sampel yang mengandung titik sampel yang berhingga banyaknya.Variabel acak diskret: variabel acak yang didefinisikan pada ruang sampel diskretRuang sampel kontinu: ruang sampel yang mengandung titik sampel yang tidak berhingga banyaknya.Variabel acak kontinyu: variabel acak yang didefinisikan pada ruang sampel kontinyu.Pada persoalan praktis:Variabel acak diskret menyatakan data yang dihitung: jumlah anak ayam yang diambil; banyak barang yang cacat dalam sampel berukuran k; bayak korban meninggal disuatu jalan per tahunVariabel acak kontinyu: data yang diukur: tinggi, berat, suhu, umur, jarak, dll.

TEORI DISTRIBUSI PELUANGUndian dengan 2 buah mata uang, maka distribusi peluangnya:disebut: distribusi peluangdimana:x = 0 peluang tidak keluar gambar garudax = 1 peluang salah satu mata uang keluar gambar garudax = 2 peluang ke-2 mata uang keluar gambar garuda

Undian dengan 3 buah mata uang, maka distribusi peluangnya:

n p (xi) = 1 i=1 Ekspektasi E(x) = xi . p (xi)

xP(x)01/411/221/41

xP(x)01/813/823/831/81

TEORI DISTRIBUSI PELUANGContoh: Jumlah mobil yang lewat suatu tikungan setiap menit mengikuti distribusi peluang sbb.

Dalam satu menit paling sedikit ada 3 mobil lewat tikungan itu, maka peluangnya = 1 (0,01 + 0,05 + 0,10) = 0,84Rata2 mobil yang lewat tikungan itu tiap menitnya = (0) (0,01) + (1) (0,05) + (2) (0,10) + (3) (0,28) + (4) (0,22) + (5) (0,18) + (6) (0,08) + (7) (0,05) + (8) (0,03) = 3,94.Atau terdapat 394 mobil yang lewat tikungan tiap 100 menitDistribusi peluang di atas adalah distribusi diskret, tidak kontinyu.

Jumlah mobil01234567Peluang0,010,050,100,280,220,180,080,05

80,03

Berdasarkan pengelompokan ruang sampel dan variabel bebas, distribusi peluang juga dibedakan : Distribusi Peluang Diskret Distribusi seragamDistribusi binomialDistribusi multinomialDistribusi hipergeometrikDistribusi possonDistribusi binomial negatifDistribusi geometrikDistribusi Peluang KontinyuDistribusi normal (Distribusi Gauss)Distribusi gammaDistribusi eksponensialDistribusi chi-kuadratDistribusi weilbull

a) Normal b) Triangular c) Uniform d) Binomial e) Log Normal f) Pareto BEBERAPA BENTUK KURVADISTRIBUSI FREKUENSI

DISTRIBUSI NORMAL/ KURVA NORMAL/DISTRIBUSI GAUSS Distribusi kontinyu

Terpenting dalam bidang statistika, paling banyak dipakai di Teknik PerminyakanGrafik atau kurvanya berupa garis lengkung berbentuk genta / lonceng (bell shape) dengan kedua ujung kurva semakin mendekati sumbu x akan tetapi tidak pernah memotongnya.Menggambarkan berbagai kumpulan data yang ada di alam.Datanya bisa diukurJumlah data yang nilainya ekstrim (sangat besar atau sangat kecil) tidak terlalu banyakData yang mempunyai atau mendekati nilai rata-rata, jumlah/ frekuensinya terbanyak. Setengah dari data mempunyai nilai lebih kecil atau sama dengan nilai rata-rata dan setengahnya lagi mempunyai nilai lebih besar atau sama dengan nilai rata-ratanya.Bentuknya simetris thd X = (rata2) nilai mean = median = modusLuas dibawah kurva = 1 atau 100%

Persamaan matematik Distribusi Peluang Normal (De Movre, 1733)Y = ordinat kurva normal untuk setiap harga x = rata-rata = simpangan baku = konstanta = 3,142e = konstanta = 2,718~ = tak terhinggaJarak antara nilai x terhadap rata2 () disebut simpangan baku dalam kurva normal:Prob.(-1

Contoh: ada 200 sampel data pendapatan per bulan dari jumlah keseluruhan 5000 karyawan suatu perusahaan mempunyai nilai rata-rata = Rp.10juta dan simpangan baku = Rp.2jt, maka: Prob.(10-1x2

Bentuk kurva normal akan bergantung pada nilai dan , sehingga bentuknya bisa bermacam-macam.Untuk memudahkan melihat berapa besarnya probabilitas dari variabel X yang besarnya diukur dengan besarnya simpangan baku dan nilai rata-ratanya, digunaka KURVA NORMAL BAKU KURVA Z.KURVA Z adalah kurva normal yang sudah diubah menjadi DISTRIBUSI Z yang rata-rata = = 0 dan simpangan baku = = 1. ..\Tabel Kurva Normal.doc

Kesimpulan:Suatu kelompok data dikatakan mempunyai distribusi normal atau hampir normal , jika: kurang lebih 68% dari anggota data mempunyai nilai X dalam interval (-1 ) dan ( +1 );kurang lebih 95% dari anggota data mempunyai nilai X dalam interval (-2 ) dan ( +2 );kurang lebih 99% dari anggota data mempunyai nilai X dalam interval (-3 ) dan ( +3 )Dalam kenyataan sangat sulit dijumpai kejadian yg benar2 mempunyai distribusi normalDalam statistik: jika jumlah data melebihi 30 sudah dapat dianggap mempunyai distribusi normal.Sangat penting dan sering digunakan dalam statistik

Berdasarkan tabel Z ..\Tabel kurva Normal.doc didapat luasnya = 0,4772 atau 47,72%

Berdasarkan tabel Z ..\Tabel kurva Normal.doc didapatLuas kurva normal 550 600 = 0,4928 0,3944 = 0,0984 = 9,84%

3. Dari hasil survei terhadap 200 petak tanah milik 200 petani di kabupaten tangerang, ternyata hasil panen padi rata-rata = 4000kg per hektar dan dengan deviasi standar/simpangan baku = 800 kg. Jika hasil panen dari 200 sampel tersebut diatas datanya ternyata mendekati distribusi normal, hitunglah :Berapa kg hasil panen darri para petani yang ada.Berdasarkan tabel Z ..\Tabel kurva Normal.docJadi 10% petani yang hasil panennya termasuk paling rendah, maksimal 2976 kg dan 10% yang panennya termasuk kelompok paling tinggi minimal 5024 kg

Berapa banyak (%) petani yang hasil panennya 2000 kg atau kurang (maksimum 2000 kg?Jumlah petani yang hasil panennya maksimum 2000 kg = 0,50 0,4938 = 0,0062% atau 1 orang

Berapa petani yang hasil panennya antara 4000 5000 kg?

Jumlah petani yang hasil panennya antara 4000 5000 = 0,3944 atau 39,44% atau 79 petani

Berapa hasil panen tertinggi dari 10% petani yang hasil panennya termasuk kelompok yang paling rendah?

Hasil panen teringgi dari 10% petani yang panennya termasuk kelompok yang paling rendah adalah 2976 kg.

DISTRIBUSI BINOMIALDisebut juga DISTRIBUSI BERNOULIAdalah suatu distribusi teoritis yang menggunakan variabel acak diskrit yang terdiri dari dua kejadian yang berkomplemen, seperti sukses-gagal, kepala-ekor, ya-tidak, rusak-tidak rusak

CIRI-CIRI DISTRIBUSI BINOMIALSetiap percobaannya hanya memiliki dua hasil, Probabilitas suatu peristiwanya adalah tetap untuk setiap percobaanPercobaannya bersifat saling bebasJumlah percobaan yang merupakan komponen percobaan binomial harus tertentu.

RUMUS DISTRIBUSI BINOMIAL RUMUS : P(X = x) = Cxn . Px . Qn-x dimana:x = banyaknya peristiwa suksesn = banyaknya percobaanP = probabilitas peristiwa suksesQ = probabilitas peristiwa gagal

n!Cxn = ---------- n! = 1 x 2 x3 x 4 x 5 x . n x! (n x)! 0! = 1,0

CONTOH SOAL 1 DISTRIBUSI BINOMIAL Sebuah mesin memproduksi semacam alat, ternyata hasil produksinya terdapat 5% rusak. Jika secara acak diambil 10 buah dari alat tersebut untuk diperiksa, berapa probabilitas akan didapat a) 2 rusak dan b) tidak ada yang rusak?n = 10 P = 5% = 0,05 Q = 95% = 0,95RUMUS : P(X=x) = Cxn . Px . Qn-x P(X=2) = C210 . (0,05)2 . (0,95)8 = 45 (0.0025) (0,66) = 0,07425P(X=0) = C010 . (0,05)0 . (0,95)10 = 1 (1) (0,60) = 0,60

CONTOH SOAL 2 DISTRIBUSI BINOMIAL Suppose we are drilling five wildcats in a new basin where the chance of discovery (wildcat success ratio) is 0,15 on each well. Assuming each well is a Bernouli trials, what is the probability of only one discovery in the five wells?n = 5 P = 0,15 Q = 0,85 x = 1RUMUS : P(X=x) = Cxn . Px . Qn-x P(X=1) = C15 . (0,15)1 . (0,85)5-1 = 5(0,15)1 . (0,85)4 = 0,3915