PROBABILITAS DAN

STATISTIKABAB 2

PEUBAH ACAK DAN

DISTRIBUSI PELUANG

PEMBAHASAN Peubah Acak Distribusi Peluang Diskret Distribusi Peluang Kontinyu Distribusi Empiris Distribusi Peluang Gabungan Bebas Statistik

PEUBAH ACAK Peubah acak ialah suatu fungsi yang

mengaitkan suatu bilangan real pada setiap unsur dalam ruang sampel.

Peubah acak akan dinyatakan dengan huruf besar, misalnya X , sedangkan nilainya dinyatakan dengan huruf kecil padanannya, misalnya x.

GAMBARAN Peubah acak, X, banyaknya barang

yang cacat bila tiga suku cadang elektronik diuji. Jadi, peubah acak X mendapat nilai 2 untuk semua unsur pada himpunan bagianE = {CCB, CBC, BCC}

Jadi, tiap kemungkinan nilai x menggambarkan suatu kejadian yang merupakan ruang bagian dari ruang sampel percobaan tersebut.

CONTOH SOAL 1 Dua buah bola diambil satu demi satu

tanpa dikembalikan dari suatu kantung berisi 4 bola merah dan 3 bola hitam. Bila Y menyatakan jumlah bola merah yang diambil maka nilai y yang mungkin dari peubah acak Y adalah?

ruang sampel y

MMMHHMHH

2110

RUANG SAMPEL DISKRET & RUANG SAMPEL KONTINU Ruang sampel diskret

Jika suatu ruang sampel mengandung titik yang berhingga banyaknya atau sederetan anggota yang banyaknya sebanyak bilangan bulat, maka ruang sampel itu disebut ruang sampel diskret

Ruang sampel kontinuBila ruang sampel mengandung titik sampel yang tak berhingga banyaknya dan banyaknya sebanyak titik pada sepotong garis, maka ruang sampel itu disebut ruang sampel kontinu

DISTRIBUSI PELUANG DISKRET Himpunan pasangan terurut (x, f(x)) merupakan suatu fungsi peluang, atau distribusi peluang peubah acak diskret X bila, untuk setiap kemungkinan hasil x

1. F(x) >= 0

2. = 1

3. P’(X = x) = f(x)

x

xf )(

CONTOH SOAL 2 Suatu pengiriman 8 komputer pc yang

sama ke suatu toko mengandung 3 yang cacat. Bila suatu sekolah membeli 2 komputer ini secara acak, cari distribusi peluang banyaknya yang cacat

JAWABANMisalkan X peubah acak dengan nilai x kemungkinan banyaknya komputer yang cacat yang dibeli oleh sekolah tersebut. Maka x dapat memperoleh setiap nilai 0, 1, dan 2. Sekarang,

F(0) = P (X = 0) = = 10/28

F(1) = P(X = 1) = = 15/28continue..

0

3

2

5

2

8

1

3

1

5

2

8

f(1) = P(X = 2) = = 2/28

Jadi distribusi peluang X

x 0 1 2 f(x) 10/28 15/28 3/28

2

3

0

5

2

8

DISTRIBUSI KUMULATIF

Distribusi kumulatif F(x) suatu peubah acak diskret X dengan distribusi peluang f(x) dinyatakan oleh

F(x) = P(X x) = untuk - < x <

xt

tf )(

CONTOH SOAL 3Hitunglah distribusi kumulatif peubah acak X dalam contoh soal 2. Dengan menggunakan F(x), perlihatkan bahwa f(2) = 3/8Jawab:

Dengan menghitung langsung distribusi peluang pada contoh soal 2, diperoleh f(0) = 1/16, f(1) = 1/14, f(2) = 3/8, f(3) = ¼, dan f(4) = 1/16. Jadi,

F(0) = f(0) = 1/16

F(1) = f(0) + f(1) = 5/16

F(2) = f(0) + f(1) + f(2) = 11/16

F(3) = f(0) + f(1) + f(2) + f(3) = 15/16

F(4) = f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + f(4) = 1

Jadi,

f(2) = F(2) – F(1) = 11/ 16 – 5/16 = 3/8

DISTRIBUSI PELUANG KONTINUFungsi f(x) adalah fungsi padat peluang peubah acak kontinu Xt yang disefinisikan di atas himpunan semua bilangan real Rt bila

1. f(x) ≥ 0 untuk semua x R

2 = 1

3. P(a < X <b) =

dxxf

)(

b

a

dxxf )(

CONTOH SOAL 4Misalkan bahwa galat suhu reaksi, dalam ºC, pada percobaan laboratorium yang dikontrol merupakan peubah acak X yang mempunyai fungsi padat peluang

f(x) = x2/3, untuk –1 < x < 2

0, untuk x lainnya

a.Tunjukkan bahwa syarat terpenuhi.

b.Hitung P(0 < x 1).

Jawab:

= x2/3 dx = x3/9 = 8/9 + 1/9 = 1.

P(0 < x 1) = x2/3 dx = x3/9 = 1/9

1)(

dxxf

2

11

2

1

00

1

dxxf )(

DISTRIBUSI KUMULATIF (TUMPUKAN)Distribusi kumulatif (tumpukan) F(x) suatu peubah acak kontinu X dengan fungsi padat f(x) diberikan oleh

F(x) = P(x x) = untuk - < x <

x

dttf )(

CONTOH SOAL 5

Carilah F(x) dari fungsi pada contoh soal 4 dan kemudian hitunglah P(0 < X 1)

Jawab:

Untuk -1< x < 2,

F(x) = = t2/3 dt = t3/9 = x3+1

9

Jadi,

0 x -1

F(x) = x3 + 1 -1 x < 2

9

1 x 2

Jadi,

P(0 < X 1) = F(1) – F(0) = 2/9 – 1/9

x

dttf )(

x

11x

DISTRIBUSI EMPIRISData statistik, yang dikumpulkan dalam jumlah amat banyak, akan sangat membantu dalam menelaah bentuk distribusi bila disajikan dalam bentuk gabungan tabel dan grafik yang dinamakan diagram batang-daun.

Contoh : 25 data

2,2 4,1 3,5 4,5 3,2

3,7 3,0 1,1 1,2 2,3

3,3 4,2 3,1 3,9 2,2

2,4 3,4 1,5 2,4 3,3

2,7 1,1 4,3 3,2 2,5

Batang Daun Frekuensi

1 1251 4

2 2232447 7

3 5270319432

11

4 152 3

DISTRIBUSI EMPIRISDistribusi frekuensi yang datanya dikelompokkan dalam kelas atau selang yang berbeda dapat dibuat dengan mudah dengan menghitung banyaknya daun pada setiap batang dan perhatikan bahwa setiap batang menentukan selang kelas.

Contoh Selang Kelas

Titik Tengah Kelas

Frekuensif

Frekuensi nisbi

1.5 – 1.9 1.7 2 0.050

2.0 – 2.4 2.2 1 0.025

2.5 - 2.9 2.7 4 0.100

3.0 – 3.4 3.2 15 0.375

3.5 – 3.9 3.7 10 0.250

4.0 – 4.4 4.2 5 0.125

4.5 – 4.9 4.7 3 0.075

DISTRIBUSI EMPIRISHistogram frekuensi nisbi dibentuk dengan menggunakan titik tengah tiap selang dan frekuensi nisbi padanannya.

Suatu distribusi dikatakan simetris atau setangkup bila dapat dilipat sepanjang sumbu tegak tertentu sehingga kedua bagian saling menutupi. Distribusi yang tidak setangkup terhadap suatu sumbu tegak dikatakan taksetangkup atau mencong

1.7 2.2 2.7 3.2 3.7 4.2 4.70

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

DISTRIBUSI PELUANG GABUNGANFungsi f(x, y) adalah distribusi peluang gabungan atau fungsi massa peluang peubah acak diskret X dan Y bila

1. F(x,y) 0 untuk semua (x,y).2. F(x,y) = 1.3. P(X = x, Y = y) = f(x,y).

Untuk tiap daerah A di bidang xy, P[(X, Y) A]=

x y

A

yxf ).,(

CONTOH SOAL 6Contoh soal 7:Dua isi ballpoint dipilih secara acak dari sebuah kotak yang berisi 3 isi warna biru, 2 merah, dan 3 hijau. Bila X menyatakan banyaknya yang berwarna biru dan Y warna merah yang terpilih, hitunglaha.Fungsi peluang gabungan f(x,y), dan b. P [(X,Y) A], bila A daerah { (x,y) [x+y 1}

Jawab:Pasangan nilai (x,y) yang mungkin adalah (0,0), (0,1), (1,0), (1,1), (0, 2), dan (2,0). Sekarang f(0,1), misalnya menyatakan peluang bahwa isi berwarna merah dan hijau yang terpilih. Banyaknya cara yang berkemungkinan sama memilih dua isi dari delapan adalah = 28. Banyaknya cara memilih 1 merah dari 2 isi berwarna merah dan hijau dari 3 isi berwarna hijau adalah = 6, jadi f(0,1) = 6/28 = ¾. Dengan jalan yang sama dihitung peluang untuk kasus lainnya, yang disajikan pada tabel halaman berikut

2

8

1

3

1

2

x = 0, 1, 2;F(x,y) = y = 0, 1, 2;

0 x+y 2

b. P [(X, Y) A] = P (X + Y 1)

= f(0,0) + f(0,1) + f(1,0)

= 3/28 + 3/14 + 9/28

= 9/14

F(x,y) x Jumlah baris

0 1 2

y012

3/28 9/28 3/283/14 3/141/28

15/283/71/28

jum. lajur

5/14 15/28 3/28 1

yxyx 2

323

2

8

FUNGSI PADAT GABUNGANFungsi f(x,y) adalah fungsi padat gabungan peubah acak kontinu X dan Y bila

1. F(x,y) 0 untuk semua (x,y)2. = 13. P [(X, Y) A] =

Untuk tiap daerah A di bidang xy

dydxyxf ),(

A

dydxyxf ),(

CONTOH SOAL 7Contoh soal 8:

Suatu perusahaan coklat mengirim berkotak-kotak coklat dengan campuran krem, tofe, da kacang berlapis coklat cerah dan pekat. Bila kotak dipilih secara acak , serta X dan Y menyatakan amsing – masing proporsi yang krem berlapis coklat cerah dan pekat dan misalkan bahwa fungsi padat gabungannya ialah:

f(x, y) = 0 x 1, 0 y 1

untuk x, y lainnya

a.Tunjukkan bahwa syarat = 1 dipenuhi

b.Cari P [(X, Y) A], bila A daerah {(x,y)| 0 x ½,

¼ y ½}

0

)32(5/2 yx

dydxyxf ),(

Jawab :

a. =

= 2x2 + 6xy dy

5 5

= 2 + 6y dy = 2y + 3y2

5 5 5 5

= 2 + 3 = 1

5 5

dydxyxf ),( 1

0

1

0

)32(5/2 dydxyx

1

00

1

x

x

1

00

1

b. P[(X, Y) A = P(0 < X < ½, ¼ < Y < ½)

=

= 2x2 + 6xy dy

5 5

= 1 + 3y dy = y + 3y2

10 5 10 10

= 1 1 + 3 1 + 3 = 13

10 2 4 4 16 160

2/1

4/1

3/1

0

)32(5/2 dydxyx

2/1

4/10

2/1

x

x

2/1

4/14/1

2/1

DISTRIBUSI MARGINAL (PIAS)Distribusi marginal (pias) dari X sendiri dan Y sendiri didefinisikan sebagai

g(x) = dan h(y) = Untuk hal diskret, dan

g(x) = dan h(y) =

untuk hal kontinu

y

yxf ),( x

yxf ),(

dyyxf ),(

dxyxf ),(

CONTOH SOAL 8Tunjukkan bahwa jumlah lajur dan baris tabel berikut memberikan distribusi pias dari X sendiri dan Y sendiri

F(x,y) x Jumlah baris 0 1 2

y012

3/28 9/28 3/283/14 3/141/28

15/283/71/28

jum. lajur 5/14 15/28 3/28 1

Untuk peubah acak X,P(X = 0) = g(x) = = f(0,0) +

f(0,1) + f(0,2)= 3/28 + 3/14 +

1/28 = 5/14

P(X = 1) = g(1) = = f(1,0) + f(1,1) + f(1,2)

= 9/28 + 3/14 + 0= 15/28

DanP(X = 2) = g(2) = = f(2,0) +

f(2,1) + f(2,2)= 3/28 + 0 + 0= 3/28

Yang merupakan jumlah lajur pada tabel tersebut. Dengan jalan yang sama dapat ditunjukkan bahwa nilai h(y) merupakan jumlah barisnya.

2

0

),0(y

yf

2

0

),1(y

yf

2

0

),2(y

yf

DISTRIBUSI BERSYARATMisalkan X dan Y dua peubah acak, diskret maupun kontinu. Distribusi bersyarat peubah acak Y, bila diketahui X = x, dinyatakan olehf(y|x) = f(x,y), g(x) >0

g(x)

Begitupula, distribusi bersyarat peubah acak X, bila diketahui Y = y, dinyatakan olehf(x|y) = f(x,y), h(y) >0

h(y)

BEBAS STATISTIKMisalkan X dan Y dua peubah acak, diskret maupun kontinu, dengan fungsi peluang gabungan f(x,y) dan distribusi pias masing – masing g(x) dan h(y). Peubah X dan Y dinyatakan bebas statistik jika dan hanya jika

f(x,y) = g(x) h(y)

Untuk semua (x,y) dalam daerah definisinya

Misalkan X1, X2, X3, …, Xn n peubah acak, diskret maupun kontinu, dengan distribusi peluang gabungan f(X1, X2, X3, …, Xn) dan distribusi pias masing – masing f1(x1), f2(x2), …, fn(xn). Peubah acak X1, X2, X3, …, Xn dikatakan saling bebas statistik jika dan hanya jika

f(x1, x2, …, xn) = f1(x1) f2(x2), …, fn(xn).

Untuk semua (x1, x2, …, xn) dalam daerah definisinya

CONTOH SOAL 8Misalkan lamanya tahan, dalam tahun, sejenis makanan kemasan dalam kotak sebelum rusak merupakan peubah acak yang fungsi padat peluangnya berbentuk

f(x) = e-x , x >0

0, untuk x lainnya.

Misalkan X1, X2, dan X3 menyatakan lamanya tahan tiga kotak dari makanan kemasan ini yang dipilih secara acak, hitunglah P (X1<2, 1<X2<3, X3>2).

Jawab:

Karena kotak dipilih secara acak (bebas), maka dapat dianggap bahwa peubah acak X1, X2, dan X3 bebas statistik dengan peluang padat gabungan

f(x1, x2, x3) = f(x1)f(x2)f(x3)

= e-x 1 e-x 2 e-x 3

= e-x 1-x2-x3 , x1>0, x2 >0, x3 >0

Dan f(x1, x2, x3) = 0 untuk nilai yang lainnya.

Jadi

P(X1<2, 1< X2<3, X3>2) = e-x 1-x2-x3 dx1 dx2 dx3

= (1 – e-2)(e-1 - e-3) e-2

= 0,0376

2

3

1

2

0