“variabel acak dan fungsi distribusi peluang diskrit” · pdf filefungsi distribusi...

Adam Hendra Brata

Probabilitas dan

Statistika“Variabel Acak dan

Fungsi Distribusi Peluang Diskrit”

Variabel Acak

Variabel Acak

Variabel acak adalah sebuah fungsi yang

memetakan hasil kejadian yang ada di alam

(seperti : buka dan tutup; terang, redup dan

gelap; merah, kuning dan hijau; hidup dsb.)

menjadi bilangan numerik. Semua kejadian

yang mungkin muncul dalam suatu percobaan

kita sebut sebagai anggota Ruang Sample yang

dinotasikan dengan S.

Sebuah fungsi yg mengaitkan sebuah bilangan

real dengan setiap elemen di ruang sampel

Notasi

Variabel

Acak

Variabel

Acak Diskrit

Distribusi

Probabilitas

Diskrit

Distribusi

Probabilitas

Diskrit

Kumulatif

Variabel Acak

Variabel Acak

Variabel Acak Diskrit

Variabel X adalah variabel acak diskrit jika X

banyak nilainya dapat dihiitung (berkorelasi 1 –

1 dengan bilangan bulat positif)

Untuk variabel acak diskrit :

Variabel Acak Kontinu

Variabel X adalah variabel acak kontinu jika

banyaknya nilai xi tak dapat dihitung

Variabel

Acak

Variabel

Acak Diskrit

Distribusi

Probabilitas

Diskrit

Distribusi

Probabilitas

Diskrit

Kumulatif

Variabel Acak

Syarat Variabel Acak

1. Fungsi yang dapat dinyatakan sebagai

variabel acak adalah fungsi yang bukan

bernilai ganda (Multivalued)

2. Fungsi variabel acak hanya memiliki satu

harga dari suatu elemen sampel eksperimen

Variabel

Acak

Variabel

Acak Diskrit

Distribusi

Probabilitas

Diskrit

Distribusi

Probabilitas

Diskrit

Kumulatif

Variabel Acak

Contoh Variabel Acak

Kemungkinan besok akan turun hujan.

Kemungkinan jawaban:

Y = { Hujan, Tidak Hujan }

atau

Y = { 1 = Hujan, 0 = Tidak Hujan }

atau

Y = { 21 = Hujan, 200 = Tidak Hujan }

Variabel

Acak

Variabel

Acak Diskrit

Distribusi

Probabilitas

Diskrit

Distribusi

Probabilitas

Diskrit

Kumulatif

Variabel Acak


Dalam pemeriksaan lampu, ada dua kejadian yg

mungkin: Baik (B) dan Mati (M). Pemeriksaan

dilakukan dengan mengambil secara acak 3

buah lampu hasil produksi. Maka ruang

sampelnya adalah ?

Variabel

Acak

Variabel

Acak Diskrit

Distribusi

Probabilitas

Diskrit

Distribusi

Probabilitas

Diskrit

Kumulatif

Variabel Acak


S = { BBB, BBM, BMB, BMM, MBB, MBM, MMB,

MMM }

Langkah pertama, mendefinisikan X; adalah

banyaknya lampu yg rusak dalam pengambilan

tsb, maka X bisa mengambil nilai : 0,1,2,3 yang

menyatakan lampu yang mati.

X adalah contoh Variabel random:

S = { BBB, BBM, BMB, BMM, MBB, MBM,

MMB, MMM }

X = { 0 , 1 , 1 , 2 , 1 , 2 , 2 , 3 }

Terlihat X = 2 untuk kejadian E = { MMB, MBM,

BMM }, Jadi tiap nilai X berkenaan dengan

sebuah himpunan bagian dari S.

Variabel

Acak

Variabel

Acak Diskrit

Distribusi

Probabilitas

Diskrit

Distribusi

Probabilitas

Diskrit

Kumulatif

Variabel Acak

Latihan Variabel Acak

2 bola diambil berturut-urut tanpa dikembalikan

dari kotak yg berisi 4 bola merah (M) dan 3 bola

biru (B). Buatlah semua kemungkinan nilai

variabel random Y yang menggambarkan

jumlah bola merah yang terambil.

Ruang sampel y

MM 2

MB 1

BM 1

BB 0

Variabel

Acak

Variabel

Acak Diskrit

Distribusi

Probabilitas

Diskrit

Distribusi

Probabilitas

Diskrit

Kumulatif



Variabel acak diskrit adalah variabel acak yang

tidak mengambil seluruh nilai yang ada dalam

sebuah interval atau variabel yang hanya

memiliki nilai tertentu.

Nilainya merupakan bilangan bulat dan asli,

tidak berbentuk pecahan.

Variabel acak diskrit jika digambarkan pada

sebuah garis interval, akan berupa sederetan

titik-titik yang terpisah.

Untuk sebuah variabel acak diskrit X kita

tentukan Fungsi Masa Probabilitas (Probability

Mass Function) p(x) dengan :

Variabel

Acak

Variabel

Acak Diskrit

Distribusi

Probabilitas

Diskrit

Distribusi

Probabilitas

Diskrit

Kumulatif

Variabel Acak Diskrit - Ruang

SampelRuang Sampel

Ruang Sampel adalah kumpulan semua even

(kejadian) atau himpunan dari semua outcome

yang mungkin dari suatu eksperimen random

dinyatakan dengan S

Suatu elemen/unsur/anggota pada Ruang

sampel (S ) disebut titik sampel (sample point)

Menurut banyaknya hasil dalam ruang sampel

dibedakan menjadi ruang sampel diskrit dan

ruang sampel kontinu

Variabel

Acak

Variabel

Acak Diskrit

Distribusi

Probabilitas

Diskrit

Distribusi

Probabilitas

Diskrit

Kumulatif

Variabel Acak Diskrit - Ruang

SampelContoh Ruang Sampel

Eksperimen melempar sebuah mata koin dua

kali (dua buah koin yang dilempar sekali), maka

ruang sampelnya :

S = { GG , GA , AG , AA}

Eksperimen pelemparan sepasang dadu merah

dan hijau, maka ruang sampelnya :

S = {(x,y) | x = 1 , 2 , … , 6 ; y = 1 , 2 , … ,6 }

Eksperimen mengukur berat badan seseorang

yang beratnya antara 45,5 dan 50,5 , maka

ruang sampelnya :

S = { x | 45,5 < x < 50,5 }

Variabel

Acak

Variabel

Acak Diskrit

Distribusi

Probabilitas

Diskrit

Distribusi

Probabilitas

Diskrit

Kumulatif

Distribusi Probabilitas Diskrit


Himpunan pasangan tersusun (x,f(x)) adalah

sebuah fungsi peluang, fungsi massa peluang

atau sebaran peluang dari variabel acak diskrit

X bila untuk setiap keluaran x yang mungkin

adalah:

; total probabilitas

seluruh kejadian = 1

Variabel

Acak

Variabel

Acak Diskrit

Distribusi

Probabilitas

Diskrit

Distribusi

Probabilitas

Diskrit

Kumulatif



Tiap nilai sebuah variabel acak memiliki

probabilitas tertentu untuk muncul.

Contoh:

Melempar 3 mata uang (tiap kali Gambar,

Angka). Misal didefinisikan variabel randomnya

X : banyak G dalam pelemparan tsb. Maka

ruang sampelnya :

S = {GGG,GGA,GAG,GAA, GG,AGA,AAG,AAA}

x = 0 → {AAA} → P(X=0) = 1/8

x = 1 → {GAA,AGA,AAG} → P(X=1) = 3/8

x = 2 → {GGA,GAG,AGG} → P(X=2) = 3/8

x = 3 → {GGG} → P(X=3) = 1/8

Variabel

Acak

Variabel

Acak Diskrit

Distribusi

Probabilitas

Diskrit

Distribusi

Probabilitas

Diskrit

Kumulatif


Variabel

Acak

Variabel

Acak Diskrit

Distribusi

Probabilitas

Diskrit

Distribusi

Probabilitas

Diskrit

Kumulatif

Latihan Distribusi Probabilitas

Diskrit• Diketahui ruang sampel dari sebuah percobaan :

• Tentukan distribusi probabilitas diskritnya !

Percobaan 1 2 3 Jumlah mata angka

1 A A A 3

2 A A G 2

3 A G G 1

4 G G G 0

5 G A A 2

6 G G A 1

7 G A G 1

8 A G A 2


KumulatifFungsi Distribusi Kumulatif

Sebaran kumulatif atau Fungsi distribusi

kumulatif (CDF) dari X

F(x) adalah adalah suatu peubah acak X

dengan sebaran peluang f(x) dinyatakan oleh :

Variabel

Acak

Variabel

Acak Diskrit

Distribusi

Probabilitas

Diskrit

Distribusi

Probabilitas

Diskrit

Kumulatif


KumulatifContoh Fungsi Distribusi Kumulatif

Mobil yg dijual sebuah dealer 50% dilengkapi

dengan air-bag.

- Tentukanlah distribusi probabilitas dari 4

buah mobil yang akan terjual berikutnya !

- Kemudian carilah fungsi distribusi

kumulatifnya !

Variabel

Acak

Variabel

Acak Diskrit

Distribusi

Probabilitas

Diskrit

Distribusi

Probabilitas

Diskrit

Kumulatif



Distribusi probabilitas :

Probabilitas menjual sebuah mobil dg air-bag

adalah ½ maka untuk 4 penjualan berikutnya

ada 24 = 16 susunan yg mungkin.

Secara umum banyaknya cara untuk menjual x

mobil dengan air-bag dari 4 penjualan 4 mobil

adalah : 4Cx.

Maka probabilitas menjual x mobil dengan air

bag dalam 4 penjualan adalah :

Variabel

Acak

Variabel

Acak Diskrit

Distribusi

Probabilitas

Diskrit

Distribusi

Probabilitas

Diskrit

Kumulatif



Fungsi Distribusi Kumulatif :

Peluang distribusi :

f(0) = 4C0/16 = 1/16

f(1) = 4C1/16 = 4/16

f(2) = 4C2/16 = 6/16

f(3) = 4C3/16 = 4/16

f(4) = 4C4/16 = 1/16

Variabel

Acak

Variabel

Acak Diskrit

Distribusi

Probabilitas

Diskrit

Distribusi

Probabilitas

Diskrit

Kumulatif


Kumulatif• Grafik Fungsi Distribusi Probabilitas (F(x))



Distribusi probabilitas kumulatif F(x) dari sebuah

variabel random X dengan fungsi probabilitas f(x)

adalah jumlahan dari f(x) dari nilai x = - ∞

hingga x :

Variabel

Acak

Variabel

Acak Diskrit

Distribusi

Probabilitas

Diskrit

Distribusi

Probabilitas

Diskrit

Kumulatif

F(x) = P(X<x) = ∑t<x f(t) untuk -∞< x < ∞

Sehingga fungsi distribusi kumulatifnya:

F(0) = f(0) = 1/16, 0 ≤ x < 1

F(1) = f(0)+f(1) = 5/16, 1 ≤ x < 2

F(2) = f(0)+f(1)+f(2) = 11/16, 2 ≤ x < 3

F(3) = f(0)+f(1)+f(2)+f(3) = 15/16, 3 ≤ x < 4

F(4) = f(0)+f(1)+f(2)+f(3) = 1, x ≤ 4


Kumulatif• Grafik Distribusi Probabilitas Kumulatif


Sifat – Sifat Fungsi Distribusi Peluang Diskrit

0 ≤ F (x) ≤ 1

F (x), fungsi yang tidak turun, sebagai kumulatif

setiap x naik

F (y) = 0, untuk setiap titik y yang lebih kecil dari

nilai x terkecil (di ruang contoh)

F (z) = 1, untuk setiap titik z yang lebih besar

dari nilai x terbesar di ruang contoh

F (x), merupakan fungsi tangga dengan tinggi

f(x) = P(X = x)

Variabel

Acak

Variabel

Acak Diskrit

Distribusi

Probabilitas

Diskrit

Distribusi

Probabilitas

Diskrit

Kumulatif

Latihan Distribusi Probabilitas

Diskrit Kumulatif• Diketahui ruang sampel dari sebuah percobaan :

• Tentukan distribusi probabilitas kumulatifnya !

Percobaan 1 2 3 Jumlah mata angka

1 A A A 3

2 A A G 2

3 A G G 1

4 G G G 0

5 G A A 2

6 G G A 1

7 G A G 1

8 A G A 2

Terimakasih dan Semoga

Bermanfaat v^^

“variabel acak dan fungsi distribusi peluang diskrit” · pdf filefungsi distribusi...

Documents