.{PLIIL{SI DERIT T-{I\ Hf\rc-{ P.{D.{

DISTRIBLSI PELI-"{.\G DISKRET }'A\G KHLSLS')

Kismiantini dan Himmarvati P.L.

Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA LINY

AbstrakTulisan ini membahas penggunaan deret tak hingga pada distribusi peluang

diskret yang khusus. Deret tak hingga digunakan dalam menunjukkan suatu fungsimerupakan fungsi peluang. Di samping itu juga digunakan untuk mencari mean,variansi, dan fungsi pembangkit momen dari distribusi peluang diskret yangkhusus yang mempunyai nilai x sampai takhingga.

Kata kunci : deret tak hingga, distribusi peluang diskret

PEI{DAHULUAN

Tulisan ini akan membahas tentang penerapan deret tak hingga pada bidang statistika,

i aitu pada distribusi peluang diskret yang khusus. Pada buku-buku Statistika Matematis yang

:itumpai, pembuktian pada fungsi peluang, mean,variansi, dan fungsi pembangkit momen pada

suaru distribusi peluang diskret yang khusus sering tidak ditunjukkan. Pada distribusi peluang

:iskret yang khusus dengan nilai "r mendekati tak hingga, deret tak hingga dapat digunakan untuk

:nenunjukkan suatu fungsi merupakan fungsi peluang, serta untuk mencari mean, variansi dan

lungsi pembangkit momennya. Tulisan ini akan menjelaskan hal tersebut.

Sebelum membahas penggunaan deret tak hingga pada distribusi peluang diskret yang

khusus, terlebih dahulu akan disajikan pengertian deret tak hingga dan peluang serta beberapa

konsep dasarnya.

Definisi I (Stewart, 1987)

Suatu deret tak hingga adalahjumlahan sebanyak tak hingga bilangan-bilangan

ar+ a2 + a3 + aq *...

Jumlahan dari n suku pertama suatu deret tak hingga disebut jumlahanparsial ke-n dan

dinotasikan S,, yaitu

Sn = ar + a2 + at * ...+ a* =fa,i=1

\{akalah ini diseminarkan dalam Seminar Nasional Hasil Penelitian MIPA dan Pendidikan MIPA pada tanggal28Juni 2003 di Hotel Sahid Yogyakarta oleh FMIPA tJ}rry

Etff-ts&hragEndm

E il frQlr fitar&a * -lt

huga yang ahn diguaakan

h--.L llahi

Ilapbabcd o+u+d +o'+aro +-..

IH iri tmqgen jfta dar hanya jika l"l . f dengan Limit .ol*rIbo: I .ltn s*rsutmya berupa variabel, makaderetnya dapatditulis sebagai berikut :

If(x):=i-: l+-r+ x' + x' + xa +...- l--r

Jile euflr)= + diturunkan maka diperoleh deret baru, yaitu :I--r

- f - =l+2x+3x2 +4x3 +...(r-#fite flx)=l- at*o*an lagi maka diperoleh deret' \ ' l-x

=1+3x+6x2 +10x3 +...(r-rfL Deret Taylor fungsifir) di sekitar titik a

* f(k)(a\f(,):Z;(*-a)o

k=A

Deret Taylor di x:0 untuk f (x) = e' akafimenjadi deret Maclaurin, yaitu :

e'=l*!**L*, +!*, +...1! 21 3!

Jilru f(x)=(t+r)r maka ekspansi deret Taylor tungsi ini adalah

(r +r), =t+ L x * #; * P(P *tk - z),r. +...

Jikax diganti -x danp diganti *pmakadidapatkan deret

,l . =1a!-**(p*l)p *z *(p+zY,p+l)p *3 *...

Pada deret di atas jikap

2t 3l

: r+2 maka deretnya menjadi

= 1*? +2) * *(' +3\' + 2) *, *

Q*.Y

(r- *)'*' 2l

"', &{frFl*fagiry+66k6tfu ffi ffi htk pg bcrtdm dcnrn rra

IEfl -rri-pgh

ff Hqera hitrmya dengan adanyaII mot - kofu fi Eh troecs mk mernbanglritkan data. Hasil dari suatup&a fi* dalu berry hlilgm, cmtohrr5na ndetah :

l- Pde pdamhmgm mda uang logam setimbang sebanyak 3 kali,jika yang diamati adalah

tm5atnSa sisi B yang muncul.

L ltda sranr percobaan untuk mengetahui jenis golongan daruhpada manusia.

tht mempermuaan dahm menganalisis hasil percobaan tersebut maka perlu dilakukanptcri:m nilai real pada hasil percobaan tersebut. Pemberian nilaireallskor inilah yang disebut*t'i mendefinisikan peubah acak.

E sampel (S) adalah himpunan seluruh hasil yang mungkin dari suatu percobaan.

J*a X adalah suatu peubah acak dt manaX: S-+ n {X suatu fungs i dan,S ke fr), maka

XIS) : {renl X$) : x, xcS}, adalah himpunan seluruh hasil yang mungkin daf, X,sedangkan xqmtan nrlai vaiabel X.

fite x(s):

IDUBAE ACAK DISKRET

MsalXsuatu peubah acak diskret.

Ifcfinisi 2 (Bain& Engelhardt, l99Z)

Fungsi/: fr -+ [0,1J denganflx) : P(X: -r) disebut sebagai fungsi peluang dari peubah

uk diskret X jikamemenuhi :

1) 0< f(*)<12) Zf @) =t

Dcfinisi 3 (Bain &Engelhardt,1992)

lika X merupakan peubah acak diskret dengan fungsi peluangflx) maka nilai harapan untuk Xadalah

s(x):Z*fk)

Definisi 4 (Bain & Engelhardt, T992)

Variansi dari suatu peubah acakX adalah Yar(x)= ut@ - z(xD')

Teorema I

JikaXsuatu peubah acak maka rtar(x)= s(x')-(u(*)YBukti :

var(x)= u(8 - s!1f)= E(x' -2x E(x)-(E(x))')

= r(x') - z r(x)a(x) * {z(x)Y= r(x') * z(r(x))' + (z(x))'

= E(x')-(u(r))'

Definisi 5 (Bain & Engelhardt, 1992)

JikaXsuatu peubah acak maka nilai harapan untukX adalah M-k) : 4r* )

MrQ) disebut sebagai fungsi pembangkit momen dariX jlkanilai harapanadauntuk setiap nilai

t dengan*h <t< h, h> 0.

Distribusi peluang yang khusus pada peubah acak diskret adalah:

a) Seragam

b) Bernoulli

c) Binomial

d) Poisson

e) Geometrik

0 Binomial Negatif

g) Hipergeometrik

Pada makalah ini akan dibahas penggunaan deret tak hingga pada distribusi peluang diskret

khusus dengan nilai x yang diamati adalah nilai x yang mendekati tak hingga, yaitu yang

terdapat pada distribusi Poisson, Geometrik dan Binomial Negatif.

Percobaan Bernoulli

Percobaan Bemoulli adalah suatu percobaan yang dianggap hanya mempunyai dua hasil

1-ang mungkin yaitu "sukses" dan "gagal". Peluang "sukses" dinyatakan dengan notasi p dan

peluang "gagal" dinotasikan sebagai I -p.

DISTRIBUSI PIDISS'ON

Jika percobaan Bernoulli diulang sebanyak n kali dengan peluang sukses untuk setiap

percobaan itu tetap. Xpeubah acakyangmerryatakan banyaknya sukses pada percobaan tersebut

dimanap mendekati nol dan n mendekati tak hingga (besar) dengan .2, = np, maka

-) tt

X - PO4X)o fG)-9-!-,x= 0,1, 2,3,...r\ / xl

Fmgsifl;r) disebut fungsi peluang dari peubah acakXdiskret jika memenuhi kedua syarat fungsi

peluang.

a) Untuk syarat yang pertama jelas bahwa A < f @) slb) Akan diselidiki apakah Zf @) = t

zx*>:i/(,)r x=A

-* ,-^ 1.'L/r=o xl

-) e-^ ), e- ^ ,l' e-^ A'-"'"* tt * Zt * g *...

-,(- ). x' t )=e'"1 l+-+-+-+... I

[1!2t 3! )= e-) -el

-le-^ ff

lrdi f(x)=:----::- ,x:0,l,2,...adalahsuatufungsipeluangpadapeubahacakXdiskret.Xt

Sclanjutny a akandicari g(x), a(x'\vor(x), M rk)f(x): Ir/(r)

a -.), cx

=l*' nl-) --ls0 n:

=0+l.u '4 *2.u-^t *3.u-^t *4.u-^tr^ *...11 2t 3! 4t

: e-t.L*Z.n-^ fr

*V.u-^ fr * 4.r-^1' * -..v.tt 7.2) 4.31

- ) ^ e-^ tr' e-^ .tr) e-^ 1o=€ "/t" +-+-+.,.r! 2t 3l

/^),2).3):r-^All+L+-+-+ |

I r! 2! 3! )-la ).:g 1.e

_7-/L

4nFar(rqlpE(rlElx(x -r)=I'6-t)rE)

:i,G -i"-';{-7 a2 -7 c3

21 3l

:2e-1fr *6.n-^t *12.r,^1o +2a.2.1t 3.2.11 4.3.21

-i ^1 e-'1' e-^,Lo e-' trt:€ "tL' |

-+-+-+.,.l! 21 3l

tl ^ ^) ^1 \

=e-tX2ll*L+'L- *L* |

Ir!2t3!)-^ )? .e^

@ -)tn x5: 61 e l\"

IDLt vlx=O

-_ e-x * ,, ,-L?" * uz, tf * "r,

,-^f * ...1! 2t 3t

=u_rlr*(,,^)*W.Ad. 1

[,,2t3!)-7t ettt

=g e

x(r'-.r)=e \ )

l* e(x) : 5", r(x') = ).' * ).,Var(X) = x, M *Q) : "t"("'

-)

e-^ 1o

-+)4l

e-^.Lt

-+...s.4.31

e-^ .Lt_+...s!

:g

-t

rrrt) -- r\r'')

4x')= t +.1

rcz{x): s(x')-(u{*)y =.1? + ).* t = )..

:Z"o f(*)

frr*fl d 1;-Ir lqEr pU Mli dqru pelumg

&p4i*ilfl*13F-,*x - Cfrflpl a flrl: p{t- pY, r : t+2,3-..

Ed;f,r) ilfoch fugsi pdumg dad pflrbah acak Xdisket jika memenuhi kedua syarat fungsi

*,e) thrk qarat yangpertamajelas bahwa 0 < /(x) < 1

b) Ah diselidiki ayakah Z f b) : t

I/k)= Iaar:l

= ir(t - pY-1

= p+ p(r- p)+ p0- d' + p0- p)' +...(: p [ +(r- p)+0- d' +(r-p)' +. .]

1

= p.t4:AI

- p.-p

-l.5 flr)= p0- p)'-' , x =l,2,3,...adalahsuatu fungsi peluang pada peubah acakXdiskret.

gnrnva akan dicari r(x), a{x'\ttar(x), M rQ)

4xl=1'rG)

:L*oQ-p)"'r-l

: p *zdt- p)#p\- pY * qp$- p)' * ...

: p**2Q- p\+t!- p)' +4(1-p)'*...)1

(t - p)'1=P. ,p-

_1p

culr-l)=T{r-tY1rl

=i{.- rlplr- pfut=i

=o+2Ar- pl+3.Lp{t- pY +43.p(t- pf +s.a dr- pY *...

=2plr-r[+3(r- d*4r- pY *ro(r- oY *...1

=7At-p+-r\- ''(l-(t-p)I

=2pU - pl\p'

_ :0 -_p)p

gtr': l= r(x(x-r)* E(x)-z( -p)*1= 2-2p-+ p =2-

p'/ \/ p' P p' p'

;''r.r l= e(x')-(r(r)' =2-uP-[+l' =2* p.-t

=!:-L-\ p' \P) p' p'

l/, (r )= E("- ):1'" f(')

=i"" p(t- p).-'-l

- "'

p + e'' p(l- p)* "t'p(l-

p)' * uo' p0- p)' *...

=pe'[*r'(r -p)*G'0-p)Y *Q'1-of . ]:pe,C*e_ pu'- t-(t - pk'

J.d E(x) - t , u(*')='--: ,var(x)-t-l ,M.,(r)- ,Pn' .p r- , p, r '*.\- p- l_(_ py,

IXSTRIBUSI BINOMIAL N-EGATIF

Jika percobaan Bemoulli dengan peluang sukses untuk setiap percobaan adalah p. X

Fubah acakyangmenyatakan banyaknya percobaan sampai diperoleh r sukses, maka

x - nr(r,p)o f(*)=['-]lr't, - p)*-', x=r,r+t,r+2,...' [, - 1,1-

dengan r:1,2,3,...

_-t

tt)

--tfl

dfejfr di bela syud fingsi

fhtq-;rEibEno</(r)<trblfli.rEf.f$l:t

z,fulFJ

:ff-l)"o-pY-'

:r' *(l-,)r'o -^-(::iy'Q- p)' .(::?)r'o- p)' *

=p'*ffip'{t-d*ffi9*!ro'6- pY *!Ao'Q- p)' *:t(, - t)

rt_

: o'.[,.ffi0 - d*q## (r- p)'. t'.zx'.rlt','lt'-'r . }

: r' {r.;(r - u).ff1- p)' .!.+-!(t-r)' . }

_-7 I-u --' (t -(t- p))'

rl=P' rp

-l

Ai=(:-i)r'O -p)'-', *=/,r+t,r+Z,...adalah suatu tungsi peluang pada peubah

Xdiskret.

hrrrya akan dicari s(x), g(x'\r*(x), *r rQ)

l-

e(x):Z.fG)

-,p' +(r +,{; _,)r't, - p)*r,. rti:'r)n (r- p)' *

)d4r'0- p)*(, *r)#*t(t- p)' *

.,),,+ o - p) * t, . rtt#fo - p)'

-rp'+(r+

: r'{, *g

: ,'{, *U *t)i(t- p)*(,.rl*Q- ,)' * }(r +2\r +t) (r- p)'

p'Q- p)*-'

x

= s,[, -,a lr-1-f=/ \

{,"+$-p)*1

: (r + r),p'(r- ,{, *k:2 o'1- d*

=(r+ 1)rp'Q-r)G#f.

.)

: p'r

= p'r

rp

.)2l

(t-(1 - p)Y*'rr

P r r+l

ef,r(x-r)= lr(x -r)f{.)

= i,(, -,{:_i)r'fr- pY-'

= 0+(r.,{l -r)o'0*

r)+(r+ ,yr(;:i)r'|- pY+(r+ ,4;:?)r'(r-pI *

= b l)ffir, { - p) * (, . ryr#+ p, $ - py. (,. rFffi p, 0 * p,f *

= (r + r),p'Q- p)*(,.r9{. p'(- pf +(r +3)(r +2\r +1

2l

p'Q- pY(r +t\r +z)r

- pl *...Lo,Q

.)2l

=(r +t)rp'Q- r)V,

p'= (r+tlr(t-p)

flxlx -')) = u(*')- ,r(r\10

d.r2 1_1r-tl7t-d+rL=p'P

,'ulx)=r{*')-tut lY t:;Y-(;)' =

1r- +r-r'p-rp+r'p1

tlur

)r- +r-rpp'

='(l- p)

p'r-rpp'

,.t .lrl= E{u* ):1'" f(')

* /-_t\= I'"[; -

')o' tu - P).-'

- "' p' * r'*'-'(', -r)o'

0 - p)* "'('o(;l fr'tt - p)' * . .

= u',"{r*,'ffi1- p)*r'' *i+.0-r)'. }= o'""1r*"'ffi(r-p)n ,"k7*k:!fr- d' . \= r,'""{t*ib,o- o))*r';:, (,,rt- o)y . }= p'eo

t-t, - pY'\'

( pr' )'=I.I:;trJ

It r(r') = i. u(*')Lf-, rar(x) = ry, M,0) : (:-r'

sfu?t LAN

Fungsi peluang dari peubah acak diskret mempunyai kaitan dengan deret tak hingga.

ket tak hingga dapat digunakan untuk menunjukkan apakah suatu fungsi merupakan fungsi

Fllang atau bukan. Deret tak hingga juga memegang peran dalam mencari mean, variansi, dan

E pembangkit momen suatu distribusi peluang diskret yang khusus, yaitu distribusi peluang

r&E memiliki nilai x sampai tak hingga. Distribusi peluang yang dimaksud adalah distribusi

Fusson, Geometrik, dan Binomial Negatif.

ARPUSTAKA

L-J- & Engelhardt, M. (1992). Introduction to probability and mathematiccl statistics.Beknont DuxburryPress.

RV. & Tanis, E.A. (2001). Probabitity and statistical inference. Upper Saddle River, NJ:Prentice Hall.

in, L. J. (1996). Calculus and its applications. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall.

J. (1987). Calculus. Belmont: Brooks/Cole Pubtishing Company.

T2

-----'I

lt*(0{f)

o)t-(t)

flI.Eru

TLfi,

cf)c)oC!.E)-@$t(Et-

st'\l\lB(s'\!sst\

.S

trs=S

$;S Eq% E:Es toPGEE _

=gf{, fl *s:

;gsssgglg& ro s qE$*PEEsz *EN, **EE N HFzs gFP €.= r! (uF.S o-6E(,)E\

;Egc{U(,lc()E

SE$%

=5z

J -J

EEf;

itr-Ei=nu4rt!=trfurClE?frfr#==o-a

f,J3YIL

*.I

(a

I\t(f)o(a

z3TL

=IL

3-l-tEoo)o

3r,il. j

os-HYr