peluang dan distribusi peluang

PELUANG DAN DISTRIBUSI PELUANG

Smno.statistika.agroekotek.fpub.2013

MK. STATISTIKA

Diunduh dari: http://ilerning.com/index.php?option=com_content&view=article&id=543:distribusi-peluang-teoritis&catid=38:distribusi-normal&Itemid=70 …… 27/9/2012

DISTRIBUSI PELUANGDistibusi peluang teoritis atau Peluang teoritis adalah suatu

daftar yang disusun berdasarkan Peluang dari peristiwa- peristiwa bersangkutan.

Macam- macam Distribusi Peluang Teoritis

a. Peubah Acak Diskrit1. Distribusi Binominal2. Distribusi Multinominal3. Distribusi Poisson4. Distribusi Hipergeometris

b. Peubah Acak Kontinyu5. Distribusi Normal6. Distribusi Student7. Distribusi Chi Square8. Distribusi Fischer


DISTRIBUSI PELUANGMacam- macam Distribusi Peluang Teoritis

C. Diskrit Binominal: Ciri- ciri umum:1. Setiap peristiwa tunggal mempunyai dua hasil kejadian2. Peristiwa independent3. Banyaknya percobaan tertentu (n)

Ciri – ciri praktis4. n biasanya ≤ 305. p tidak mendekati 0 (nol)

D. Diskrit Multinominal: Ciri- cirri:

6. Peristiwa bersifat independent (“bebas”)7. Setiap percobaan tunggalnya menghasilkan lebih dari

dua outcomes yang semuanya disebut “sukses”8. Banyaknya percoban tertentu (n)


DISTRIBUSI PELUANGMacam- macam Distribusi Peluang Teoritis

E. Diskrit Poisson: Ciri- ciri:1. n sangat besar2. p sangat kecil mendekati nol3. dapat dipecahkan atau diselesaikan

dengan rumus distribusi binominal bila n.p dan n.q mempunyai nilai ≤ 5

F. Diskrit Hipergeometris: Ciri- ciri4. Peristiwa dependent5. Tiap percobaan tunggal menghasilkan 2

outcomes atau lebih6. Banyaknya percobaan tertentu

Diunduh dari: http: …… 20/9/2012

PELUANG

Peubah Acak Kontinyu Distribusi Peluang Uniform Distribusi Peluang Eksponensial Distribusi Peluang Normal Distribusi Porbabilitas Gamma Distribusi Peluang Weibull

DISTRIBUSI PELUANG KONTINYU

Diunduh dari: http: dhimaskasep.files.wordpress.com/.../ti2131-05-distribusi-kontinyu.pp... …… 27/9/2012

6.56.05.55.04.54.03.53.02.52.01.51.0

0.15

0.10

0.05

0.00

Minutes

P( x)

Minutes to Complete Task: By Half-Minutes

0.0. 0 1 2 3 4 5 6 7Minutes

P(x)

Minutes to Complete Task: Fourths of a Minute

Minutes

P( x)

Minutes to Complete Task: Eighths of a Minute

0 1 2 3 4 5 6 7

Interval waktu dapat dibagi menjadi:

Interval 0.5 menit Interval 0.25 menit Interval 0.125 menit

Interval kecil tak terbatasJika sebuah peubah acak diskrit

dibagi menjadi interval kecil yang tidak terbatas, maka perhitungan

Peluangnya ditentukan oleh sebuah rentang nilai dan nilai peluangnya adalah luas area di bawah kurva

dalam rentang tersebut. Untuk contoh di samping, dinyatakan

dengan P(2<X<3).

Jika sebuah peubah acak diskrit dibagi menjadi interval kecil yang tidak terbatas, maka perhitungan

Peluangnya ditentukan oleh sebuah rentang nilai dan nilai peluangnya adalah luas area di bawah kurva

dalam rentang tersebut. Untuk contoh di samping, dinyatakan

dengan P(2<X<3).

76543210

Minutes

f(z)

Peubah Diskrit Menjadi Peubah Kontinyu


Peubah Acak Kontinyu

Peubah Acak Kontinyu adalah sebuah peubah acak yang dapat berupa sembarang nilai pada suatu interval yang diamati.

Peluang dari peubah acak kontinyu X ditentukan oleh sebuah fungsi kerapatan (densitas), dinotasikan dengan f(x), dan memiliki beberapa sifat berikut:

f(x) > 0 untuk setiap nilai x. Peluang bahwa X berada di antara dua nilai

a dan b adalah sama dengan luas area di bawah f(x) yang dibatasi oleh a dan b.

Total luas area di bawah kurva f(x) adalah 1.00.


Fungsi Kerapatan dan Kumulatif

F(x)

f(x)x

x0

0

ba

F(b)

F(a)

1

ba

}

P(a < X < b) = Area di bawah f(x) yang dibatasi oleh a dan

b = F(b) - F(a)

P(a £ X £ b)=F(b) - F(a)

Fungsi kumulatif

Fungsi Kerapatan


Densitas uniform [0,5] : 1/5 for 0 < X < 5 f(x)= 0 lainnya E(X) = 2.5

{

6543210-1

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0.

x

f(x)

Total luas area f(x) = 1/5 * 5 = 1.00

Luas area di bawah f(x) Interval 1 sampai 3 =

P(1<X<3) = 2.(1/5) = 2/5

Distribusi Uniform


DISTRIBUSI UNIFORM KONTINYU

Definisi:Jika peubah acak X memiliki nilai (kontinyu) dengan kemungkinan

kemunculan yang sama maka dikatakan bahwa peubah acak (kontinyu) x mengikuti distribusi uniform dengan fungsi densitas Peluang:

1/( - ), untuk <x<f(x)=

0 untuk x lainnya.

Ekspektasi dan variansi: E(X)=(+)/2 dan V(X)= ( - )2/12

{



Contoh:

Dalam program komputer simulai terdapat subrutin pembangkit bilangan random uniform dalam interval [0,10]. Sebuah proses simulasi akan akan berhenti (terminate) bila terjadi kemunculan sebuah bilangan random [3/2 , 7/2]. Jika dilakukan replikasi pembangkitan bilangan random, berapa kemungkinan proses tersebut akan berhenti (terminate)?

Persoalan tersebut mengikuti distribusi uniform kontinyu dengan fungsi f(x)=1/10 untuk [1,10], dengan demikian Peluang bahwa proses simulasi akan berhenti adalah P(3/2<x<7/2)=0,2.



Distribusi eksponensial memiliki kaitan erat dengan distribusi Poisson (dari proses

poisson) jika persoalan didekati dari variabel interval antar kedatangan.

D a r i u r a i a n t e n t a n g d i s t r i b u s i p o i s s o n d i p e r o l e hk e m u n g k i n a n t i d a k a d a k e d a t a n g a n s e b a g a i tep )0( .K e m u n g k i n a n i n i d a p a t d i i n t e r p r e t a s i k a n s e b a g a ik e m u n g k i n a n b a h w a t i d a k a d a k e j a d i a n k e d a t a n g a n p a d ar e n t a n g w a k t u s a m p a i t e r j a d i n y a k e d a t a n g a n p e r t a m a l e b i hb e s a r d a r i t a t a u 0 ,)()0( tetTPp t .

U n t u k v a r i a b e l r a n d o m w a k t u k e d a t a n g a n T , m a k a d a p a td i p e r o l e h b e s a r n y a k e m u n g k i n a n m e l a l u i

0 ,1)()( tetTPtF t . D e n g a n d e m i k i a n d i p e r o l e h.0 ,)(')( tetFtf t


DISTRIBUSI EKSPONENSIAL

Definisi: Sebuah variabel random (kontinyu) X menyatakan interval waktu antar kedatangan dimana kejadian kedatangan tersebut mengikuti proses Poisson, dikatakan mengikuti distribusi eksponensial dengan fungsi distribusi:

lainnya. x 0

0 )(

xexf x

Parameter pemusatan dan penyebaran adalah sebagai berikut :

0

x- e)( dxxXE /1 dan 20

2 /1 )(

dxexXV x 2/1



Sebuah peralatan dilengkapi dengan komponen pengaman untuk melindungi peralatan dari kegagalan. Berdasarkan data dan pengamatan yang panjang, komponen pengaman tersebut memiliki daya tahan yang dinyatakan oleh peubah acak satuan waktu (minggu) T yang berdistribusi eksponensial dengan parameter =1/5. Saat ini perusahaan memiliki 5 set peralatan terpisah (independent) dimana masing-masing dilengkapi dengan komponen pengaman yang diasumsikan identik. Dari perhitungan pesanan masuk yang harus dipenuhi, perusahaan menginginkan peralatan tersebut tidak mengalami kegagalan total untuk memenuhi pesanan yang direncanakan akan dipenuhi dalam 8 minggu.

Jika diinginkan paling sedikit dua peralatan dapat beroperasi untuk memenuhi pesanan tersebut, berapa besar kemungkinan tersebut terjadi?



Dalam kasus tersebut, perusahaan harus dapat memperkirakanketersediaan (availability) bahwa sebuah peralatan masih dapatbekerja selama paling sedikit 8 minggu. Kemungkinan bahwasuatu komponen pengaman masih akan berfungsi setelah 8

minggu adalah

8

5/

5

1)8( dteTP t = e-8/5~ 0,2.

Selanjutnya, misalkan X sebagai variabel random yangmenyatakan banyaknya komponen pengaman yang masihberfungsi setelah 8 minggu dengan kemungkinan p=0.2, denganmenggunakan fungsi distribusi kemungkinan binomial, dapatdiperoleh kemungkinan paling sedikit dua peralatan dapatberoperasi sebagai berikut

5

2

)2.0,5;()2(x

xbXP =1-

1

0

)2.0,5;(x

xb = 0,68.



Untuk p0,5 dan dengan meningkatnya n, distribusi binomial menjadi …

n = 6 n = 14n = 10

6543210

0.3

0.2

0.1

0.0

x

P(x)

Binomial Distribution: n=6, p=.5

109876543210

0.3

0.2

0.1

0.0

x

P(x)


14131211109876543210

0.3

0.2

0.1

0.0

x

P(x)


50-5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

x

f(x)

Normal Distribution: = 0, = 1

Distribusi yang berbentuk kurva seperti

lonceng (bell)


DISTRIBUSI PELUANG NORMAL

Distribusi PELUANG peubah acak kontinyu dalam statistika adalah Distribusi Normal, peubah acak berasal dari proses random dengan satu titik pemusatan dan menyebar di sekitar titik pemusatan tersebut secara simetris.

DiSTRIBUSI Normal juga dikenal sebagai Distribusi Gauss, sebagai orang pertama yang mempublikasikannya pada tahun 1809 dan selanjutnya dipromosikan sebagai sebuah Dalil Peluang untuk setiap peubah acak kontinyu.



Fungsi kerapatan Peluang normal:

50-5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

x

f(x)


xxfx

e2

1)(

221 /-

Definisi Sebuah variabel random (kontinyu) x ( x ) dikatakan mengikuti distribusi normal dengan parameter lokasi pemusatan dan parameter penyebaran (variansi) 02 jika mengikuti fungsi distribusi kemungkinan berikut :

xxf

x e

2

1)(

221 /-

dimana ...14159,3 dan e = 2,71828…(bilangan natural).



Kurva normal membentuk:

Kurva lonceng dan berdistribusi simetris, sehingga setengah (.50 or 50%) bagian akan berada di salah satu sisi dari rata-rata.

Setiap kurva dicirikan oleh pasangan rata-rata, , dan variansi, , dan dintayakan dengan: [X~N()].

Setiap kurva bersifat asymptotik. Luas area di bawah kurva fungsi densitas Peluang

normal dalam rantang k dari adalah sama untuk setiap distribusi, berapapun besarnya nilai rata-rata dan variansi.



Distribusi ini digunakan sangat luas dan seringkalidinotasikan dengan 2

~ , NX . Jika dan diketahui maka lokasi dan bentuk kurva

normal dapat diketahui. Nilai parameter (parameter lokasi) yang semakin

besar akan menggeser kurva ke kanan, dan nilaiparameter (parameter bentuk) yang semakinmembesar akan menyebabkan kurva normal semakinlandai (memperbesar jarak dari pemusatan ke posisititik-titik belok kurva).



B e b e ra p a s ifa t p e n tin g fu n g s i d e n sita s p ro b a b ilita s n o rm a l:

i. L u as d aerah d i b aw ah ku rva

1 )( dxxf .

D en g an m e laku kan tran sfo rm as i lin ie r /)( xy , akand ip e ro leh fu n g s i d is tr ib u s i kem u n g k in an n o rm a l s tan d ar

221

2

1)(

yeyf

. K em u d ian d efi n is ikan b en tu k satu an b e riku t

dyeIy

221

2

1

,

d an p ertim b an g kan seb u ah b en tu k sa tu an d a ri va riab e l ran d o mZ yan g ju g a m en g iku ti fu n g s i d is tr ib u s i ke m u n g k in a n n o rm a l s ta n d a r

dzeIz

221

2

1

.



Distribusi Peluang Normal (7)

Selan ju tnya defin isikan perkalian kedua ben tuk satuantersebu t sebagai beriku t

dzdyedzedyeIzyzy

2

1=

2

1

2

1 )(222

212

212

21

.

G unakan transfo rm asi beriku t cosdan ,sin rzry , m akadapat d ipero leh

.1 2

1

0

2

00

22

212

21

drerdrderIrr

K arena 12 I , m aka 12

1 221

dyeI

y

.

ii. U ntuk setiap n ila i variabe l random X , n ila i 0)( xf .



iii. Kurva fungsi distribusi kemungkinan normal bersifatassymptotic pada kedua sisinya (tail), atau 0)(lim

x

xf dan

0)(limx

xf .

iv. Kurva fungsi distribusi kemungkinan normal simetris di kiridan kanan lokasi pemusatan , atau xfxf .

v. Nilai maksimum (modus) dari kurva fungsi distribusikemungkinan normal )(xf berada pada lokasi pemusatan

x .vi. Titik belok (point of onflections) dari kurva fungsi distribusikemungkinan normal )(xf berada pada titik-titik x .Kurva memiliki bentuk cekung dari bawah untuk

-<x<+, dan cekung dari atas untuk harga x lainnya.



Kedua parameter fungsi normal dan 2 adalah rata-rata (ekspektasi )( XE ) dan variansi ( 2)( XV )distribusi probabilitas normal.Bukti :

e

2

1)(

-

/- 221

dxxXEx

.

Gunakan transformasi /)( xz , dan diperoleh :

.)0()1(

e2

e2

1

e2

)()(

-

-

-

-

-

-

2212

21

221

dzz

dz

dzz

XE

zz

z



Selanjutnya hitung variansi sebagai berikut:

.10

2

1

2

2

2

)(

])[()(

22

2

22

)(2

2

2112

11

211

211

dzeez

dzez

dxex

XEXV

zz

z

X



B e s a r n y a n i l a i p r o b a b i l i t a s v a r i a b e l r a n d o m n o r m a ld i t e n t u k a n d e n g a n f o r m u l a s i b e r i k u t :

dxexXPxFux 2

21 )(

2

1)()(

.

N i l a i p r o b a b i l i t a s t e r s e b u t t i d a k d a p a t d i h i t u n g s e c a r aa n a l i t i s m a t e m a t i s m e l a l u i p e r s a m a a n i n t e g r a l d i a t a s , u n t u ki t u d i g u n a k a n t a b e l d i s t r i b u s i n o r m a l y a n g d i p e r o l e h m e l a l u ip e n d e k a t a n n u m e r i k .



B e b e r a p a p e n d e k a t a n n u m e r i k y a n g d a p a t d i g u n a k a n u n t u km e n e n t u k a n b e s a r n y a n i l a i p r o b a b i l i t a s a d a l a h :i . P e n d e k a t a n H o y t ( 1 9 6 8 ) m e n g g u n a k a n f u n g s i

31untuk )3(

1untuk )3(2

161

281

xx

xx

p e n d e k a t a n i n i m e m b e r i k a n k e s a l a h a n k u r a n g d a r i 0 . 0 1 .i i . P e n d e k a t a n P o l y a ( 1 9 4 5 ) m e n g g u n a k a n f u n g s i

2/1221 )}/2exp(1{1)( xxF .

P e n d e k a t a n i n i m e m b e r i k a n k e s a l a h a n m a k s i m u ms e b e s a r 0 . 0 0 3 p a d a x = 1 . 6 .


Distribusi Peluang Normal

i i i . P e n d e k a t a n B u r r ( 1 9 6 7 ) m e n g g u n a k a n f u n g s i

kcxxG

)(11)( d i m a n a = 0 . 6 4 4 6 9 3 , = 0 . 1 6 1 9 8 4 , c = 4 . 8 7 4 , d a n k = -6 . 1 5 8 . P e n d e k a t a n y a n g l e b i h b a i k d e n g a n f u n g s i G ( x )a d a l a h )](1)([)( 2

1 xGxGxH . D e n g a n p e n d e k a t a n i n im e m b e r i k a n k e s a l a h a n m a k s i m u m a d a l a h 0 . 0 0 0 4 6 p a d ax = 0 . 6 d a n x = - 0 . 6 .

P e n d e k a t a n l a i n n y a d a p a t d i l i h a t p a d a :J o h n s o n , N . L . & K o t z , S . , ( 1 9 7 0 ) , C o n t i n u o u s U n i v a r i a t eD i s t r i b u t i o n , J W S .


Semua kurva di bawah ini mengikuti distribusi normal dengan nilai rata-rata dan variansi yang berbeda

50-5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

z

f(z)

Normal Distribution: =0, =1

454035

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

w

f(w)


6050403020100

0.2

0.1

0.0

x

f(x)


65554535

0.2

0.1

0.0

y

f(y)


50

Perhatikan bahwa:

P(39 W 41)P(25 X 35)P(47 Y 53)P(-1 Z 1)

Nilai Peluang dari setiap interval adalah luas area di bawah kurva fungsi densitas Peluang normal.



543210-1-2-3-4-5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

Z

f(z)

Standard Normal Distribution

• Peluang bahwa peubah acak normal berada dalam rentang satu deviasi Baku dari rata-rata adalah 0.6826, atau sekitar 0.68.

• Peluang bahwa peubah acak normal berada dalam rentang dua deviasi Baku dari rata-rata adalah 0.9544, atau sekitar 0.95.

• Peluang bahwa peubah acak normal berada dalam rentang tiga deviasi Baku dari rata-rata adalah 0.9974.



Peubah acak normal Baku, Z, adalah peubah acak normal dengan rata-rata = 0 dan deviasi Baku = 1: Z~N(0,12).

543210-1-2-3-4-5

0 .4

0 .3

0 .2

0 .1

0 .0

f(z )

Distribusi Normal Baku

=0

=1{


DISTRIBUSI NORMAL BAKU

543210-1-2-3-4-5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

Z

f( z)

Sta dard Normal Distribution

1.56{

z .00 .01 .02 .03 .04 .05.06 .07 .08 .09

0.0 0.0000 0.0040 0.0080 0.0120 0.01600.0199 0.0239 0.0279 0.0319 0.03590.1 0.0398 0.0438 0.0478 0.0517 0.05570.0596 0.0636 0.0675 0.0714 0.07530.2 0.0793 0.0832 0.0871 0.0910 0.09480.0987 0.1026 0.1064 0.1103 0.11410.3 0.1179 0.1217 0.1255 0.1293 0.13310.1368 0.1406 0.1443 0.1480 0.15170.4 0.1554 0.1591 0.1628 0.1664 0.17000.1736 0.1772 0.1808 0.1844 0.18790.5 0.1915 0.1950 0.1985 0.2019 0.20540.2088 0.2123 0.2157 0.2190 0.22240.6 0.2257 0.2291 0.2324 0.2357 0.23890.2422 0.2454 0.2486 0.2517 0.25490.7 0.2580 0.2611 0.2642 0.2673 0.27040.2734 0.2764 0.2794 0.2823 0.28520.8 0.2881 0.2910 0.2939 0.2967 0.29950.3023 0.3051 0.3078 0.3106 0.31330.9 0.3159 0.3186 0.3212 0.3238 0.32640.3289 0.3315 0.3340 0.3365 0.33891.0 0.3413 0.3438 0.3461 0.3485 0.35080.3531 0.3554 0.3577 0.3599 0.36211.1 0.3643 0.3665 0.3686 0.3708 0.37290.3749 0.3770 0.3790 0.3810 0.38301.2 0.3849 0.3869 0.3888 0.3907 0.39250.3944 0.3962 0.3980 0.3997 0.40151.3 0.4032 0.4049 0.4066 0.4082 0.40990.4115 0.4131 0.4147 0.4162 0.41771.4 0.4192 0.4207 0.4222 0.4236 0.42510.4265 0.4279 0.4292 0.4306 0.43191.5 0.4332 0.4345 0.4357 0.4370 0.43820.4394 0.4406 0.4418 0.4429 0.44411.6 0.4452 0.4463 0.4474 0.4484 0.44950.4505 0.4515 0.4525 0.4535 0.45451.7 0.4554 0.4564 0.4573 0.4582 0.45910.4599 0.4608 0.4616 0.4625 0.46331.8 0.4641 0.4649 0.4656 0.4664 0.46710.4678 0.4686 0.4693 0.4699 0.47061.9 0.4713 0.4719 0.4726 0.4732 0.47380.4744 0.4750 0.4756 0.4761 0.47672.0 0.4772 0.4778 0.4783 0.4788 0.47930.4798 0.4803 0.4808 0.4812 0.48172.1 0.4821 0.4826 0.4830 0.4834 0.48380.4842 0.4846 0.4850 0.4854 0.48572.2 0.4861 0.4864 0.4868 0.4871 0.48750.4878 0.4881 0.4884 0.4887 0.48902.3 0.4893 0.4896 0.4898 0.4901 0.49040.4906 0.4909 0.4911 0.4913 0.49162.4 0.4918 0.4920 0.4922 0.4925 0.49270.4929 0.4931 0.4932 0.4934 0.49362.5 0.4938 0.4940 0.4941 0.4943 0.49450.4946 0.4948 0.4949 0.4951 0.49522.6 0.4953 0.4955 0.4956 0.4957 0.49590.4960 0.4961 0.4962 0.4963 0.49642.7 0.4965 0.4966 0.4967 0.4968 0.49690.4970 0.4971 0.4972 0.4973 0.49742.8 0.4974 0.4975 0.4976 0.4977 0.49770.4978 0.4979 0.4979 0.4980 0.49812.9 0.4981 0.4982 0.4982 0.4983 0.49840.4984 0.4985 0.4985 0.4986 0.49863.0 0.4987 0.4987 0.4987 0.4988 0.49880.4989 0.4989 0.4989 0.4990 0.4990

Peluang Normal Baku

Lihat pada baris 1.5 dan kolom .06 untuk

menemukanP(0<z<1.56) =

0.4406

P(0 < Z < 1.56)



Untuk P(Z<-2.47):Lihat tabel untuk 2.47

P(0 < Z < 2.47) = .4934

P(Z < -2.47) = .5 - P(0 < Z < 2.47) = .5 - .4934 = 0.0066

543210-1-2-3-4-5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

Z

f(z)


Nilai tabel area 2.47P(0 < Z < 2.47) = 0.4934

Area di sebelah kiri -2.47P(Z < -2.47) = .5 - 0.4932 = 0.0068

P(Z < -2.47)

z ... .06.07

.08.

. . .

. . .

..

. . .

2.3 ... 0.4909 0.4911 0.4913

2.4 ... 0.4931 0.4932 0.4934

2.5 ... 0.4948 0.4949 0.4951

.



z .00 ... . . . . . .0.9 0.3159 ...1.0 0.3413 ...1.1 0.3643 ... . . . . . .1.9 0.4713 ...2.0 0.4772 ...2.1 0.4821 ... . . . . . .

Temukan P(1 < Z < 2):1. Temukan nilai tabel 2.00

F(2) = P(Z < 2.00) = .5 + .4772 =.9772

2. Temukan nilai tabel 1.00F(1) = P(Z < 1.00) = .5 + .3413 = .8413

3. P(1 < Z < 2.00) = P(Z < 2.00) - P(Z < 1.00) = .9772 - .8413 = .1359

543210-1-2-3-4-5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

Z

f(z)


Luas area diantara 1 dan 2P(1 < Z < 2) = .4772 - .8413 =

0.1359

P(1< Z < 2)



Temukan z sehingga P(0 < Z < z) = .40:

Temukan nilai Peluangsedekat mungkin dengan .40 dari tabel kemungkinan normal Baku.

Tentukan nilai z pada baris dan kolom yang sesuai. P(0<z<1.28) 0.40

Karena P(Z < 0) = .50

P(Z <1.28) .90543210-1-2-3-4-5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

Z

f(z)


Area = .40 (.3997)

Z = 1.28

Luas area di kiri 0 = .50P(z 0) = .50

P(0 < Z < z) = 0.40

z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .090.0 0.0000 0.0040 0.0080 0.0120 0.0160 0.0199 0.0239 0.0279 0.0319 0.03590.1 0.0398 0.0438 0.0478 0.0517 0.0557 0.0596 0.0636 0.0675 0.0714 0.07530.2 0.0793 0.0832 0.0871 0.0910 0.0948 0.0987 0.1026 0.1064 0.1103 0.11410.3 0.1179 0.1217 0.1255 0.1293 0.1331 0.1368 0.1406 0.1443 0.1480 0.15170.4 0.1554 0.1591 0.1628 0.1664 0.1700 0.1736 0.1772 0.1808 0.1844 0.18790.5 0.1915 0.1950 0.1985 0.2019 0.2054 0.2088 0.2123 0.2157 0.2190 0.22240.6 0.2257 0.2291 0.2324 0.2357 0.2389 0.2422 0.2454 0.2486 0.2517 0.25490.7 0.2580 0.2611 0.2642 0.2673 0.2704 0.2734 0.2764 0.2794 0.2823 0.28520.8 0.2881 0.2910 0.2939 0.2967 0.2995 0.3023 0.3051 0.3078 0.3106 0.31330.9 0.3159 0.3186 0.3212 0.3238 0.3264 0.3289 0.3315 0.3340 0.3365 0.33891.0 0.3413 0.3438 0.3461 0.3485 0.3508 0.3531 0.3554 0.3577 0.3599 0.36211.1 0.3643 0.3665 0.3686 0.3708 0.3729 0.3749 0.3770 0.3790 0.3810 0.38301.2 0.3849 0.3869 0.3888 0.3907 0.3925 0.3944 0.3962 0.3980 0.3997 0.40151.3 0.4032 0.4049 0.4066 0.4082 0.4099 0.4115 0.4131 0.4147 0.4162 0.4177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



z .04 .05 .06 .07 .08 .09. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .2.4 ... 0.4927 0.4929 0.4931 0.4932 0.4934 0.49362.5 ... 0.4945 0.4946 0.4948 0.4949 0.4951 0.49522.6 ... 0.4959 0.4960 0.4961 0.4962 0.4963 0.4964. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .

Untuk memperoleh Peluang 0.99 di tengah distribusi, akan ada (1/2)(1-.99) = (1/2)(.01) = .005 di ekor (tail) distribusi, dan (1/2)(.99) = .495 setengah dari interval .99, atau :

P(0<Z<z.005) = .495

Dari tabel Peluang normal Baku:

2,57 < z.005 < 2,58 z.005 2,575

P(-.2575 < Z < 2,575) = .99

543210-1-2-3-4-5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

Z

f(z)

-z.005 z.005

Area di ekor kanan = .005Area di ekor kiri = .005

Area di kanan = .495

Area di kiri = .495

2.575-2.575

Area di tengah = .99

Distribusi Normal Baku P(-z.005< Z < z.005) = 0.99


Luas area dalam interval k dari rata-rata untuk peubah acak normal adalah sama. Jadi area di bawah kurva normal ekuivalan dengan area di bawah kurna normal Baku. Contoh: P(40 X P(-1 Z untuk = 50 m dan s= 10.

Luas area dalam interval k dari rata-rata untuk peubah acak normal adalah sama. Jadi area di bawah kurva normal ekuivalan dengan area di bawah kurna normal Baku. Contoh: P(40 X P(-1 Z untuk = 50 m dan s= 10.

1009080706050403020100

0.07

0.06

0.05

0.04

0.03

0.02

0.01

0.00

Xf(x

)


=10{

543210-1-2-3-4-5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

Z

f(z)


1.0 {

Transformasi pada

(2) Pembagian dengan x)

Transformasi X menjadi Z:Transformasi X menjadi Z:Z

X x

x

Transformasi sebaliknya Z menjadi X:

Transformasi sebaliknya Z menjadi X:

X x Z x

(1) Pengurangan: (X - x)


Transformasi Peubah Acak Normal

Contoh: X~N(160,302)

P X

PX

P Z

P Z

( )

.. . .

100 180100 180

100 160

30

180 160

30

2 66670 4772 0 2475 0 7247

ContohX~N(127,222)

P X

PX

P Z

P Z

( )

.. . .

150150

150 127

22

1 0450 5 0 3520 0 8520



Transformasi X menjadi Z:Z

X x

x

Transformasi kebalikan Z menjadi X:

Xx

Zx

Transformasi X menjadi Z, dengan nilai a dan b:P X a P Z

a

P X b P Zb

P a X b Pa

Zb

( )

( )

( )



z .07 .08 .09 . . . . . . . . . . . . . . .1.1 . . . 0.3790 0.3810 0.38301.2 . . . 0.3980 0.3997 0.40151.3 . . . 0.4147 0.4162 0.4177 . . . . . . . . . . . . . . .

Untuk menemukan nilai Peluang dengan interval tertentu untuk sembarang peubah acak normal adalah dengan mengekspresikan interval tersebut dalam satuan deviasi Baku dari rata-ratanya.

Jika X~N(50,102), P(X >70) dapat diperoleh karena 70 adalah 2 deviasi Baku di atas rata-rata X: 70=+2. P(X > 70) ekuivalen dengan P(Z > 2), luas area di bawah kurva normal Baku.

Untuk menemukan nilai Peluang dengan interval tertentu untuk sembarang peubah acak normal adalah dengan mengekspresikan interval tersebut dalam satuan deviasi Baku dari rata-ratanya.

Jika X~N(50,102), P(X >70) dapat diperoleh karena 70 adalah 2 deviasi Baku di atas rata-rata X: 70=+2. P(X > 70) ekuivalen dengan P(Z > 2), luas area di bawah kurva normal Baku.

P X Px

P Z P Z( ) ( )

70

70 70 50

102

Contoh: X~N(124,122) P(X > x) = 0.10 dan P(Z > 1.28) 0.10x = + z = 124 + (1.28)(12) = 139.36



z .02 .03 .04 . . . . . . . . . . . . . . .2.2 . . . 0.4868 0.4871 0.48752.3 . . . 0.4898 0.4901 0.49042.4 . . . 0.4922 0.4925 0.4927 . . . . . . . . . . . . . . .

z .05 .06 .07 . . . . . . . . . . . . . . .1.8 . . . 0.4678 0.4686 0.46931.9 . . . 0.4744 0.4750 0.47562.0 . . . 0.4798 0.4803 0.4808 . . . . . . . . . .

Contoh: X~N(5.7,0.52)P(X > x)=0.01 dan P(Z > 2.33) 0.01x = + z = 5.7 + (2.33)(0.5) = 6.865

Contoh: X~N(5.7,0.52)P(X > x)=0.01 dan P(Z > 2.33) 0.01x = + z = 5.7 + (2.33)(0.5) = 6.865

Contoh: X~N(2450,4002)P(a<X<b)=0.95 dan P(-1.96<Z<1.96)0.95x = z = 2450 ± (1.96)(400) = 2450 ±784=(1666,3234)P(1666 < X < 3234) = 0.95

Contoh: X~N(2450,4002)P(a<X<b)=0.95 dan P(-1.96<Z<1.96)0.95x = z = 2450 ± (1.96)(400) = 2450 ±784=(1666,3234)P(1666 < X < 3234) = 0.95

8.27.26.25.24.23.2

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

8.27.26.25.24.23.2

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

X

f(x)

Normal Distribution: = 5.7 = 0.5

543210-1-2-3-4-5

z Z.01 = 2.33

Area = 0.49

Area = 0.01

4000300020001000

0.0015

0.0010

0.0005

0.0000

X

f(x)

Normal Distribution: = 2450 = 400

4000300020001000

0.0015

0.0010

0.0005

0.0000

543210-1-2-3-4-5

Z

.4750.4750

.0250.0250

-1.96 1.96

X.01 = +z = 5.7 + (2.33)(0.5) = 6.865



4000300020001000

0.0012

0.0010

0.0008

0.0006

0.0004

0.0002

0.0000

X

f(x)


.

.

.

.

.

.

543210-1-2-3-4-5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

Z

f(z)

S tandard Normal Distribution

1. Gambarkan distribusi normal yang ingin diteliti dan distribusi normal Baku.

1. Gambarkan distribusi normal yang ingin diteliti dan distribusi normal Baku.2. Arsir daerah Peluang yang diteliti.

2. Arsir daerah Peluang yang diteliti.

3. Dari tabel distribusi normal Baku, temukan nilai z.

3. Dari tabel distribusi normal Baku, temukan nilai z.4.Transformasikan nilai z menjadi x (nilai peubah acak asal).

4.Transformasikan nilai z menjadi x (nilai peubah acak asal).



4. Transformasi nilai z ke nilai x

x = z = 2450 ± (1.96)(400) = 2450 ± 784 =(1666,3234)


z .05 .06 .07 . . . . . . . . . . . . . . .1.8 . . . 0.4678 0.4686 0.46931.9 . . . 0.4744 0.4750 0.47562.0 . . . 0.4798 0.4803 0.4808 . . . . . . . . . .

3. Temukan nilai z dari tabel normal Baku z=-1,96 dan z=1.96

1. Distribusi Normal dan Normal Baku.

2. Arsir daerah 0.95 (masing-masing 0.475 di kiri dan kanan.

400300200100

0.0012

0.0010

0.0008

0.0006

0.0004

0.0002

0.0000

X

f( x

Nor al Distribution: = 2450, = 40

.

.

.

.

.

.

.4750.4750

.9500

543210-1-2-3-4-5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

Z

f(z)

S tandard Normal Distribution

.4750.4750

.9500



1050

0.3

0.2

0.1

0.0

X

f(x)

Normal Distribution: = 3.5, = 1.323

76543210

0.3

0.2

0.1

0.0

X

P(x)

Binomial Distribution: n = 7, p = 0.50

Distribusi normal dengan = 3.5 dan = 1.323 mendekati distribusi binomial dengan n = 7 dan p = 0.50.

Distribusi normal dengan = 3.5 dan = 1.323 mendekati distribusi binomial dengan n = 7 dan p = 0.50.

P(x<4.5) = 0.7749

MTB > cdf 4.5;SUBC> normal 3.5 1.323.Cumulative Distribution FunctionNormal with mean = 3.50000 and Bakud deviation = 1.32300

x P( X <= x) 4.5000 0.7751


x P( X <= x) 4.5000 0.7751

MTB > cdf 4;SUBC> binomial 7,.5.Cumulative Distribution FunctionBinomial with n = 7 and p = 0.500000

x P( X <= x) 4.00 0.7734


x P( X <= x) 4.00 0.7734

P( x 4) = 0.7734

=0.0017


PENDEKATAN UNTUK BINOMIAL

1050

0.3

0.2

0.1

0.0

X

f(x)

Normal Distribution: = 5.5, = 1.6583

11109876543210

0.2

0.1

0.0

X

P(x)

Binomial Distribution: n = 11, p = 0.50

Distribusi normal dengan = 5.5 dan = 1.6583 pendekatan yang lebih baik untuk distribusi binomial dengan n = 11 dan p = 0.50.

Distribusi normal dengan = 5.5 dan = 1.6583 pendekatan yang lebih baik untuk distribusi binomial dengan n = 11 dan p = 0.50.

P(x<4.5) = 0.2732P(x4) = 0.2744


x P( X <= x) 4.5000 0.2732


x P( X <= x) 4.5000 0.2732


x P( X <= x) 4.00 0.2744


x P( X <= x) 4.00 0.2744=0.0012


PENDEKATAN UNTUK BINOMIAL

Pendekatan untuk Binomial (3)

D e fi n i s i :B i la X v a r ia b e l r a n d o m b in o m ia l d e n g a n r a t a - r a t a = n pd a n v a r ia n s i 2 = n p q , m a k a b e n t u k p e n d e k a t a n a d a la h

d is t r ib u s i ,npq

npXZ

b i la n a d a la h d is t r ib u s i n o r m a l

b a k u N ( 0 , 1 ) .

D a r i p e r h i t u n g a n , d is t r ib u s i n o r m a l m e m b e r ik a n p e n d e k a t a nn i la i p r o b a b i l i t a s y a n g b a ik t e r h a d a p d is t r ib u s i b in o m ia l b i l an b e s a r d a n p m e n d e k a t i 0 . 5 , b a h k a n b i la n m e n g e c i l t a p i pt id a k t e r la lu j a u h d a r i 0 . 5 m a s ih d ip e r o le h p e n d e k a t a n y a n gc u k u p b a ik .


P a X b Pa np

np pZ

b npnp p

( ) ( ) ( )

1 1

for large (n 50) and not too close to 0 or 1.00n p

P a X b Pa np

np pZ

b npnp p

( ) .( )

.( )

0 51

0 51

for moderately large (20 n < 50).n

Atau:

Jika p kecil (mendekati 0) atau besar (mendekati 1), gunakan pendekatan dengan distribusi Poisson.Jika p kecil (mendekati 0) atau besar (mendekati 1), gunakan pendekatan dengan distribusi Poisson.


Untuk n besar (n>50) dan p tidak mendekati 0 atau 1.00

Untuk n sedang (20<n<50)



S u a t u p r o s e s m e n g h a s i l k a n s e j u m l a h p r o d u k ( d e n g a n k e m u n g k i n a nd p r o d u k c a c a t 1 0 % ) . B i l a 1 0 0 p r o d u k d i a m b i l s e c a r a a c a k , b e r a p a k a hk e m u n g k i n a n b a h w a t e r d a p a t l e b i h d a r i 1 3 p r o d u k c a c a t ?

D a l a m k a s u s i n i , b a n y a k n y a c a c a t b e r d i s t r i b u s i b i n o m i a l d e n g a np a r a m e t e r n = 1 0 0 d a n p = 0 , 1 . K a r e n a u k u r a n s a m p e l b e s a r d i l a k u k a np e n d e k a t a n d e n g a n f u n g s i k e m u n g k i n a n n o r m a l d i m a n a p a r a m e t e r n y aa d a l a h 10)1,0)(100( np , d a n 0,3)9,0)(1,0)(100( npq .

K a r e n a i n g i n d i a m a t i k e m u n g k i n a n b a h w a t e r d a p a t l e b i h d a r i 1 3 p r o d u kc a c a t , m a k a d i c a r i p r o b a b i l i t a s x > 1 3 . U n t u k k a s u s d i s k r i t , d i g u n a k a nb a t a s x = 1 3 . 5 , d a n h a r g a z y a n g s e s u a i a d a l a h 167,13/)105.13( z .D a r i t a b e l d i p e r o l e h k e m u n g k i n a n z > 1 . 1 6 7 a d a l a h 0 . 1 2 1 6 .


Dalam EXCEL, perintah NORMSDIST(number) akan memberikan nilai Peluang kumulatif dari peubah acak normal Baku. Perintah NORMDIST(number, mean, Bakud deviation) akan memberikan nilai Peluang dari peubah acak normal secara umum.

Perhitungan dengan Excel (1)


Contoh:NORMSDIST(1.0) = 0.8413.NORMDIST(10.0, 5, 2) = 0.9938. Perintah inversinya NORMSINV(number) dan NORMINV(number, mean, Bakud deviation).NORMSINV(0.975) = 1.96.NORMINV(0.975, 20, 10) = 39.6.

Contoh:NORMSDIST(1.0) = 0.8413.NORMDIST(10.0, 5, 2) = 0.9938. Perintah inversinya NORMSINV(number) dan NORMINV(number, mean, Bakud deviation).NORMSINV(0.975) = 1.96.NORMINV(0.975, 20, 10) = 39.6.

Perhitungan dengan Excel (2)


Distribusi Normal Multivariat (1)

Distribusi dalam analisis multivariat umumnya adalahdistribusi multivariat normal sebagai perluasan daridistribusi normal univariat.Terdapat dua landasan pokok untuk hal tersebut, yaitu :i. Kasus pengukuran multivariat seringkali adalah bentuk

penjumlahan dari beberapa pengaruh random yangindependen. Dengan teorema central limit, beberapavariabel tadi membentuk distribusi normal multivariat.

ii. Teori statistika yang berlandaskan pada distribusi normalterbukti telah menunjukkan keberhasilan dalammelakukan kajian secara terstruktur dan sistematis.



N i l a i e k s p e k t a s i d a r i s e b u a h v e k t o r v a r i a b e l r a n d o mX = ( X 1 , … , X m ) ’ a d a l a h ')(),...,()( 1 mXEXEXE .

J i k a X m e m p u n y a i r a t a - r a t a m a t r i k s v a r i a n s i -k o v a r i a n s i X d i d e fi n i s i k a n s e b a g a i m a t r i k s ( m x m ) b e r i k u t

)')(()( XXEXCov .

E l e m e n k e - i d a n k e - j d a r i m a t r i k s v a r i a n s i - k o v a r i a n s ia d a l a h )])([( jjiiij XXE , s e d a n g k a n e l e m e n k e - i

d i k e n a l s e b a g a i v a r i a n s i ])[( 2iiii XE .



Agar variansi variabel random Xi ada, maka matriks definit nonnegatif. Karena similaritas kovariansi, makamatriks adalah matriks simetris, sehingga ' . Sebuah matriks simetris (mxm) A disebut definit non-negatif jika 0' A untuk semua mR dan pasti positif

jika 0' A untuk semua 0, mR . mR adalah ruangEuklidean berdimensi m dengan komponen real.

)()'(

2

1exp)(det)2()( 12/12/ xxxf m

x


Distribusi Peluang Gamma (1)

D i s t r i b u s i g a m m a d i k e n a l d a r i f u n g s i g a m m a y a n g b a n y a k d i g u n a k a nd a l a m b i d a n g m a t e m a t i k a . F u n g s i g a m m a d i d e fi n i s i k a n o l e h

0

1)( dxex x u n t u k 0 .

J i l a d i l a k u k a n i n t e g r a s i p a r s i a l a t a s 1 xu d a n d v = e - x d x , m a k a a k a n

d i p e r o l e h

0

21 )1(0

)( dxxexe xx =

0

2)1( dxxe x ,

s e h i n g g a d i h a s i l k a n p e n g u l a n g a n f u n g s i g a m m a )1()1()( ,)2()2)(1()( , d a n s e t e r u s n y a j i k a = n , d i m a n a n b i l a n g a n

b u l a t p o s i t i f , m a k a )1()...2)(1()( nnn . K a r e n a m e n u r u t d e fi n i s i

f u n g s i g a m m a

0

1)1( dxe x , m a k a )!1()( nn .

S a t u s i f a t p e n t i n g f u n g s i g a m m a , a d a l a h )2/1( .



D e fi n i s iS e b u a h v a r i a b e l r a n d o m k o n t i n y u X b e r d i s t r i b u s i g a m m ad e n g a n p a r a m e t e r b i l a 0 d a n 0 , b i l a m e n g i k u t if u n g s i

/1

)(

1)( xexxf

x > 0

= 0 , u n t u k x l a i n n y a .

P a r a m e t e r p e m u s a t a n d a n p e n y e b a r a n a d a l a h s e b a g a ib e r i k u t :

)( XE d a n 22)( XV .



Hal ini dapat dibuktikan dengan mengevaluasi momen ke-r disekitar titik asal distribusi gamma adalah

0

/1'

)(

1)( dxexXE rr

r

.

Jika dimisalkan y=x/, maka

0

/1'

)(dyeyr

r

r

)(

)(

rr

.

Dengan demikian

)(

)1('1 , dan

222

2'2

2

)(

)2(

= 2Distribusi gamma yang khusus (spesifik) untuk =v/2, =2,dan v bilangan bulat positif disebut distribusi khi-kuadrat (chi-square) dengan degree of freedom v.



Proposisi:J ika niX i ,...,2,1, adalah variabel random gamma independen

dengan parameter ),( i , maka

n

i iX1 juga gamma dengan

parameter ,1

n

i i .(parameter /1adalah )Proposisi:J ika niX i ,...,2,1, adalah variabel random independen

eksponensial independen dan identik dengan rata-rata ,

maka

n

i iX1 adalah variabel random gamma dengan

parameter ),( n .


Distribusi Peluang Weibull (1)

D i s t r i b u s i W e i b u l l ( W a l o d d i W e i b u l l , S w e d i s h , 1 9 3 9 ) b a n y a k d i g u n a k a nd a l a m a n a l i s i s k e a n d a l a n y a n g b e r k i a t a n d e n g a n u m u r ( r e n t a n gw a k t u ) , c o n t o h n y a r a n t a n g w a k t u d i m a n a s e b u a h p e r a l a t a n m u n g k i na k a n r u s a k ( t i d a k b e r f u n g s i ) .D e fi n i s iV a r i a b e l r a n d o m k o n t i n y u T b e r d i s t r i b u s i W e i b u l l , d e n g a n d u ap a r a m e t e r 0 d a n 0 , j i k a f u n g s i p a d a t n y a m e n g i k u t i

atettf 1)( u n t u k t > 0 , d a n f ( t ) = 0 , u n t u k t l a i n n y a

P a r a m e t e r p e m u s a t a n d a n p e n y e b a r a n a d a l a h s e b a g a i b e r i k u t :

1

1)( /1TE d a n

2

/22 11

21)(

TV



D e n g a n m e n g g u n a k a n a n a l o g i , f u n g s i d i s t r i b u s i k e m u n g k i n a nW e i b u l l d a p a t m e n c a k u p t i g a p a r a m e t e r W ( , , ) d a n f u n g s ik e a n d a l a n n y a d i d e fi n i s i k a n o l e h

, t,exp),,;(1

tttf d a n

t

tR exp),,;( .

M e a n t i m e t o f a i l u r e ( M T T F ) d a n v a r i a n s i n y a a d a l a h

1

),,;( TE d a n

12

),,;( 22TVar .



Distribusi Weibull digunakan secara luas dalam analisis keandalan yang mengeneralisasi aplikasi distribusi tersebut dengan menyertakan hazard rate yang tidak konstan, meningkat atau menurun, dan mencakup initial failure serta wear-out failures.

Distribusi Weibull digunakan secara luas dalam analisis keandalan yang mengeneralisasi aplikasi distribusi tersebut dengan menyertakan hazard rate yang tidak konstan, meningkat atau menurun, dan mencakup initial failure serta wear-out failures.

kerusakan karena terjadi wear-out causes dan chance causes

lajukerusakan

Kerusakan karena terjadinya earlycauses dan chance causes

hanya terjadichance failure

t


Diunduh dari: http: …… 20/9/2012

PELUANG

peluang dan distribusi peluang

Documents