PROBABILITAS DAN

STATISTIKABAB 5

DISTRIBUSI PELUANG KONTINU

PEMBAHASAN Distribusi Normal Luas di Bawah Kurva Normal Hampiran Normal terhadap Binomial Distribusi Gamma dan Eksponensial Distribusi Khi-Kuadrat Distribusi Weibull

DISTRIBUSI NORMALDistribusi suatu data dari sebuah

sample yang memiliki kurva normal (normal curve) yang berbentuk lonceng.

Ditemukan oleh Abraham DeMoivere (1733).

Sering disebut distribussi Gauss (Gaussian distribution)

DISTRIBUSI NORMAL Distribusi Normal, Fungsi Penuh peubah

acak normal X, dengan rataan µ dan variansi σ2 adalah

Dengan : 3,14159… dan e=2,71828…

KURVA NORMAL

KARAKTERISTIK KURVA NORMAL1. Kurva berbentuk genta (= Md= Mo)2. Kurva berbentuk simetris3. Kurva mencapai puncak pada saat

X= 4. Luas daerah di bawah kurva adalah

1; ½ di sisi kanan nilai tengah dan ½ di sisi kiri

JENIS-JENIS DISTRIBUSI NORMAL Distribusi kurva normal dengan sama dan

berbeda

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

mMesokurtic Platykurtic

JENIS-JENIS DISTRIBUSI NORMAL Distribusi kurva normal dengan berbeda dan

sama

150 300 450

JENIS-JENIS DISTRIBUSI NORMAL Distribusi dengan dan yang berbeda

85 850

LUAS DI BAWAH KURVA NORMAL Luas dibawah kurva normal dengan

batas x1=a dan x2 = b

a b x

LUAS DI BAWAH KURVA NORMAL P(x1 < X < x2) =

=

Integral di atas tidak dapat diselesaikan secara analitis. Untuk memudahkan perhitungan tersedia tabel normal yang berisikan luas dibawah area kurva normal baku

dxxnx

x

),;(2

1

dxe xx

x

22

1

/)()2/1(

2

1

x

Z

CONTOH 1 Diketahui nilai mata kuliah

Probabilitas dan Statistika kelas C, berdistribusi normal dengan mean = 55 dan deviasi standar = 15. Tentukan nilai peluang a) 55 ≤ X ≤ 75b) 60 ≤ X ≤ 80X ≤ 40

Answer a) 55 < X < 75

P(55<X<75) =

=

= P(0 ≤Z ≤1,33)= 0,4082 ……(see table ….)

Atau

= 0,4082

b) P(60≤x≤80) =

= P(0,33≤Z≤1,67)= P(0≤Z≤1,67) –

P(0≤Z≤0,33)= 0,4525 – 0,1293 = 0,3232atau :

Z1 = = 0,33 B = 0,1293

Z2 = = 1,67 A = 0,4525

C = A – B = 0,3232

c). P(x ≤ 40) = 0,5 – A = 0,5 – 0,3412 = 0,1588

CONTOH 2Tinggi badan mahasiswa UGM berdistribusi normal dengan rata-rata 165 cm dan deviasi standar 10 cm. Tentukan berapa problabilitas mahasiswa UGM dengan tinggi lebih dari 180 cm?

Answer:

P(180<X<)Z=X-/ 180-165/102,5Dengan tabel didapat bahwa peluangnya adalah : 0,9938 Maka besarnya peluangnya adalah 1 - 0,9938 = 0,0062

CONTOH 3Diketahui rata-rata hasil adalah 74 dengan simpangan baku 7. Jika nilai-nilai peserta ujian berdistribusi normal dan 12% peserta nilai tertinggi mendapat nilai A, berapa batas nilai A yang terendah ?

answer

HAMPIRAN NORMAL TERHADAP BINOMIAL Persamaan distribusi binomial

b(x;n,p)Review : = simpangan

= rataan

Distribusi Normal : = np dan

dengan q= (1-p)

x

Z

npq2

Hampiran normal paling berguna dalam perhitungan dengan nilai n yang besar

Ex: peluang yang tepat diberikan oleh

3564,0

)(60989,09662,0

)4,0;15;()4,0;15;(

)4,0;15;()97(

6

0

9

0

9

7

tablesee

xbxb

xbXP

xx

x

Untuk hampiran normal :x1= 6,5 dan x2 = 9,5

Selanjutnya =P(Z<1,85)-P(Z<0,26)=0,9678 – 0,6026=0,3652

Hasil ini mendekati dengan hasil yang sebenarnya

SOAL LATIHAN1. Peluang seorang mahasiswa sembuh

dari hepatitis A adalah 0,4. Bila ada 100 mahasiswa yang terkena penyakit ini, berapa peluang bahwa kurang dari 30 mhs yang sembuh.

2. Saat UM UGM terdapat 200 soal pilihan ganda dengan 4 pilihan dan hanya 1 pilihan yang benar. Seorang siswa mengerjakan soal tanpa membaca soal sedikitpun, berapa peluang siswa tadi menjawab 25 sampai 30 soal dengan benar untuk 80 dari 200 soal???

Penyelesaian :

Misal : peubah binomial X menyatakan banyaknya penderita yang sembuh,

Karena n = 100 maka

µ = np = 100 x 0,4

= 40

Dan

Untuk mendapatkan peluang yang dicari digunakan x= 29,5

Peluang ≤ 30 pasien yang sembuh dari 100 pasien :

P(X<30) ≈ P(Z < ─2.14) = 0,0162

DISTRIBUSI GAMMA DAN EKSPONENSIAL

Fungsi gamma didefinisikan sebagai:

Untuk

Jadi

Sifat penting fungsi gamma :

00

1 1 1x x( ) e dx e

(1) 1

0;)(0

1

untukdxex x

12

( )

Jika di integralkan per bagian (parsial) dengan

Diperoleh

Maka

Jadi diperoleh

1 xx dan dv e dx 1 21

x x

u x du ( )x dx

v e dv e dx

1

0 0 0

1 2

00

2

0

1

1

1 1

x

x x

x

( )

( ) x e dx u dv uv v du

x e e ( )x dx

( ) e x dx ; untuk

1 1( ) ( ) ( )

Dengan formula (rumus) berulang diperoleh

:

: dan seterusnya

Jika dengan bilangan n bulat positif, maka

( )

( 2) ( 2)

( 3) ( 3)

( 1) ( 1) ( 1) ( 1)

( 1)( 2) ( 2) ( 1)( 2) ( 2)

( 1)( 2)( 3) ( 3)

n

1 2 3 1 1 1 1

1 2 3 1 1

1

(n) (n )(n )(n )......... . ( ) ;karena ( )

(n) (n )(n )(n )......... (n )!

atau

(n) (n )!

DISTRIBUSI GAMMA Perubah acak kontinu X berdistribusi gamma dengan

parameter dan , jika fungsi padatnya

berbentuk :

Distribusi gamma yang khusus dengan

disebut distribusi Eksponensial

110

0

x

x e ; xf(x) ( )

; x yanglain

1

DISTRIBUSI GAMMA

0 2 4 6 8 10

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

x

f(x)

Distribusi Gamma

DISTRIBUSI EKSPONENSIAL

Perubah acak kontinu X terdistribusi eksponensial dengan parameter, , jika fungsi padatnya berbentuk :

Rata-rata dan variansi distribusi gamma :

Rata-rata dan variansi distribusi eksponensial :

10

0

0

x

e ; xf(x)

; x yanglain

dengan

2 2dan

2 2dan

CONTOH 4 Suatu sistem memuat sejenis komponen yang mempunyai daya

tahan pertahun dinyatakan oleh perubah acak T yang berdistribusi

eksponensial dengan parameter waktu rata-rata sampai gagal

Bila sebanyak 5 komponen tersebut dipasangkan dalam sistem

yang berlainan, berapa pobabilitas bahwa paing sedikit 2 masih

akan berfungsi pada akir tahun ke delapan. Jawab:

Probabilitas bahwa suatu komponen tertentu masih akan berfungsi

setelah 8 tahun adalah: 81 5 55

8

8

0 2

tP(T ) e dt e

,

5

CONTOH 5Hubungan saluran telepon tiba i suatu gardu (sentral) memrnuhi

proses poisson dengan rata-rata 5 hubungan yang masuk per menit.

Berapa probabilitasnya bahwa setelah semenit berlalu baru 2

sambungan telepon masuk ke gardu tadiJawab:

Proses poisson berlaku dengan waktu sampai kejadian poisson

memenuhi distribusi gamma dengan parameter

Misalkan X perubah acak yang menyatakan waktu dalam menit yang

berlalu sebelum 2 hubungan masuk,probabilitasnya adalah: 8

1 5 55

8

8

0 2

tP(T ) e dt e

,

15

2dan

KHI KUADRAT Distribusi ini adalah kasus spesial dari

distribusi gamma :

Lalu disubstitusi dengan :

Menjadi :

110

0

x

x e ; xf(x) ( )

; x yanglain

22v dan ;v bilangan bulat positif

12 2

21

02 2

0

v x

v /x e ; x

f(x) (v / )

; x yanglain

dengan vbilangan bulat positif

KHI KUADRAT Parameter V merupakan derajat

kebebasan

Rataan distribusi chi kuadrat :

Variansi distribusi chi kuadrat :

v

v22

DISTRIBUSI WEIBULLPerubah acak kontinyu X terdistribusi Weibull dengan

parameter

, jika fungsi padatnya berbentuk:

Jika maka distribusi weibull menjadi distribusi

eksponensial.

Jika maka kurvanya mirip lonceng dan menyerupai

kurva normal tetapi agak mencong.

1 0

0

0 0

xx e ; xf(x); x yanglain

dengan dan

1

1

dan

DISTRIBUSI WEIBULL

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

x

f(x)

Distribusi Weibull

RATA-RATA DAN VARIANSI DISTRIBUSI WEIBULL

Rata-rata :

Variansi :

Seperti distribusi gamma dan eksponensial, distribusi weibull juga dipakai pada persoalan keandalan dan pengujian panjang umur misal misal panjang umur suatu komponen, diukur dari suatu waktu tertentu sampai rusak.

1 1

22 2 2 1

1

1 1

/

/

( )

( ) ( )