STATISTIKA

DISTRIBUSI PELUANG

• PELUANG SERAGAM DAN TIDAK SERAGAM• DISTRIBUSI PELUANG DISKRIT DAN KONTINU• DISTRIBUSI SAMPEL DAN POPULASI• HISTOGRAM• PENGGUNAAN DISTRIBUSI UNTUK EKPEKTASI• DISTRIBUSI BINOMIAL DAN GEOMETRIK• DISTRIBUSI POISSON DAN EKSPONEN

VARIABEL ACAK

• SUATU HASIL ATAU PERISTIWA DAPAT DINYATAKAN DALAM NILAI ATAU NILAI SUATU FUNGSI….LAZIMNYA DINYATAKAN DALAM HURUF BESAR

• CONTOH: X ADALAH VARIABEL ACAK YANG MENYATAKAN BANJIR TERJADI DI ATAS PERMUKAAN RATA-RATA 7 ft…..X > 7 ft

• VARIABEL ACAK MERUPAKAN SUATU ALAT YANG MENUNJUKAN SUATU PERISTIWA DALAM BESARAN NUMERIK

• VARIABEL ACAK IALAH SUATU FUNGSI YANG MENGHUBUNGKAN BILANGAN REAL PADA SETIAP UNSUR PADA RUANG SAMPEL

DISTRIBUSI PROBABILITAS VARIABEL ACAK

• UKURAN PROBABILITAS YANG BERKAITAN DENGAN SUATU HARGA VARIABEL ACAK

• CONTOH: PROBABILITAS BANJIR MELEBIHI PERMUKAAN RATA-RATA ……..P(X > 7ft)

• ATURAN UNTUK MENYATAKAN UKURAN PROBABILITAS YANG BERKAITAN DENGAN SEMUA HARGA SUATU VARIABEL ACAK DISEBUT DISTRIBUSI PROBABILITAS

DISTRIBUSI PELUANG SERAGAM DAN TIDAK SERAGAM

• Distribusi peluang seragam: distribusi peluang dari setiap titik sampel mempunya peluang yang sama

• Distribusi peluang tidak seragam: distribusi peluang dari setiap titik sampel mempunyai peluang yang tidak sama

Distribusi peluang keluarnya mata dadu

1-2-3-4-5-6

Distribusi peluang curah hujan tiap bulan dalam satu tahun

Distribusi seragam

Distribusi tidak seragam

RUANG SAMPEL DISKRET DAN KONTINU

• RUANG SAMPEL DISKRET: RUANG SAMPEL YANG MENGANDUNG TITIK YANG BERHINGGA BANYAKNYA

• DATA YANG DIHITUNG (BILANGAN BULAT)

• RUANG SAMPEL KONTINU: RUANG SAMPEL YANG MENGANDUNG TITIK YANG TIDAK BERHINGGA BANYAKNYA

• DATA YANG DIUKUR….KONTINU (BILANGAN RIL)

Distribusi peluang diskrit dan kontinu

Distribusi peluang DiskritVariabel bilangan bulatEx: jml kendaraan jml penduduk interval nilai

Distribusi peluang KontinuVariabel bilangan realEx: Tinggi badan, curah hujan, suhu, hasil pengukuran

Distribusi peluang diskrit

Nilai mekanika tanah

A = 5 siswa

B = 8 siswa

C = 12 siswa

D = 10 siswa

E = 5 siswa

5/50

8/50

12/50

10/50

5/50

A B C D E

Distribusi peluang kontinu

• Distribusi peluang penggunaan uang dalam suatu proyek

Fungsi distribusi peluang

f(x) f(x) =0.4 x=A,B

f(x) = 0.2 x=C

f(x) = 0 x = yg lain

f(x)

A B C

4 10

f(x) = 1/6 4<x<10

f(x) = 0 x<4 x>10

Syarat fungsi distribusi peluang

• Fungsi Peluang = fungsi masa• Bernilai positif• Total luas dibawah kurva = satu

Bentuk distribusi peluang

• Distribusi peluang empiris• Distribusi Gauss• Distribusi binomial• Distribusi peluang dari proses

Poisson• Distribusi peluang geometrik• Distribusi peluang exponensial• Distribusi dari populasi normal: log

normal, t student, chi kuadrat dan F fisher

Tentukan Fungsi Distribusi Peluangnya

• Bila 50% mobil yang dijual oleh agen adalah mobil bermesin disel.Tentukan rumus distribusi peluang banyaknya mobil bermesin disel terjual untuk penjualan 4 mobil berikutnya.

16

4

)(

x

xf

Contoh:

• Galat pengukuran suhu suatu reaksi dinyatakan dalam fungsi masa berikut :

• Apakah ini fungsi distribusi• P(0<x<1)

lainxuntuk

xx

xf,0

21,3)(

2

Distribusi peluang empirik (kontinu)

Apakah ini distribusi peluang?• f(x)= 2(4-x) ,1<x<2

1

518416

8)( 2

xxdxxf

Bukan distribusi peluang

Pemakaian kendaraan

Sebuah perusahaan memiliki 3 kendaraan merek Toyota dan 5 kendaraan merek Mitsubishi. Jika setiap hari dipakai 5 kendaraan, berapa distribusi peluang penggunaan kendaraan merek Toyota

Kendaraan Toyota : A, B, CKendaraan Mitsubishi : 1,2,3,4,5Jika dipakai 1 kendaraan Toyota

A : kombinasi nya dengan Mitsubishi =5 54

B : juga 5C : juga

5

Jika dipakai 2 kendaraan ToyotaAB : kombinasi nya dengan Mitsubishi =10 5

3 BC: juga 10 AC : juga 10

Jika dipakai 3 kendaraan ToyotaABC : kombinasi untuk kendaraan Mitsubishi = 10

52

Jumlah kombinasi = 3x5 + 3x10 + 1x10 =55Distribusi peluang adalah:Peluang satu Toyota = 15/55 Peluang dua Toyota = 30/55 Peluang tiga toyota = 10/55

Distribusi digambar dalam histogram

1 2 3

toyota

Distribusi peluang kumulatif

• Distribusi total peluang dari variabel terkecil sampai variabel ke-x

• Integral dari fungsi distribusi• Dipakai untuk menghitung peluang

lebih kecil atau peluang lebih besar

1

Luas total =1

P

Luas=P

Distribusi peluang.

Atau masa peluang

Distribusi peluang kumulatif

x

Distribusi peluang kumulatif adalah integral dari distribusi peluang massa nilai ujung = 1

3/18

6/18

4/18 3/18

2/18

Buat distribusi peluang kumulatif

Sebuah dadu dan tetahedron dilemparbuat distribusi peluang jumlah nilai

Ruang contoh kombinasi

11 12 13 14 15 16

21 22 23 24 25 26

31 32 33 34 35 36

41 42 43 44 45 46

2 3 4 5 6 7 8 9 10

Berapa peluang mendapat jumlah nilai lebih dari 5?

Buat distribusi peluang kumulatif !

DISTRIBUSI SAMPEL DAN POPULASI

• Fungsi peluang pada peluang diskit dan fungsi masa pada peluang kontinu adalah cara menjelaskan distribusi peluang untuk suatu populasi

• Data sering diperoleh dalam suatu percobaan

• Ringkasan data yang berbentuk grafik membantu memahami sifat penghasil data

Data nilai ujian statika

• 23,60,79,80,45,75,83,23,56,78,67,65,64,82,34,25,55,66,73,78,90,67,69,70,....(40 anak)

interval frekwensi Frkwensi relatif

0-40 5 5/40

40-56 6 6/40

56-65 10 10/40

65-80 14 14/40

>80 5 5/40

HISTOGRAM

0,5

0,25

0,125

0,375

A B C D E

Nilai ujian statika

Dis

trib

usi

pelu

ang

0,5

0,25

0,125

0,375

A B C D E

Nilai ujian statika

Dis

trib

usi

pelu

ang

kum

ula

tif

1

Distribusi eksponensial

• Jika peristiwa terjadi menurut proses poisson, maka waktu T1 sampai pada kejadian yang pertama mempunyai distribusi eksponensial. T1 > t, berarti tidak terjadi peristiwa dalam waktu t sehinga:

• T1 adalah waktu kejadian yg pertama dalam proses poisson. Kejadian peristiwa yang tidak tumpang tindih, bebas secara statistik, sehingga T1 juga merupakan waktu ulang ( wkt dua kejadian yang berturutan) Fungsi yang demikian:

vteXtPtTP )0()1(

vtetTP 1)1(

Contoh soal

• Arsip dari gempa di San Francisco menunjukan selama periode 1836 – 1961 terdapat 16 gempa berskala intensitas VI atau lebih. Jika peristiwa tersebut mengikuti proses poisson , berapa probabilitas gempa tsb terjadi dalam 2 tahun mendatang.

• Probabilitas tidak terjadi gempa spt ini dalam 10 tahun mendatang

• Periode ulang

226.01)1(

128.0125

16

)2)(128.0(

etTP

v

278.0)10( )128.0(101 eTP

tahunvTE 8.71)( 1

Tugas

• Dari data tinggi badan dari anak SMU kelas 3 dari 30 siswa: 140,145,150,155, 138,142,151,144, 150,155,148,160,157, 141,156,143,161,155,148,147,159,137, 148, 157,143,159,158,144,146, 161

Gambarlah histogram, distribusipeluang dan distribusi kumulatif nya

• Penurunan (x) suatu struktur mempunyai kerapatan probabilitas seperti gbr.

(a)Berapa probabilitas penurunan <2 cm(b)Berapa probabilitas antara 2cm dan 4cm

2 4 6

h

f(x)

x

• Suatu saluran pembuangan dirancang terhadap curah hujan yang perioda ulang 10 tahun.

(a)Berapa probabilitas banjir dalam 3 tahun pertama(b) Berapa probabilitas tidak terjadi banjir dalam 2 tahun

pertama.