variabel random dan distribusi peluang -...

VARIABEL RANDOM DAN

DISTRIBUSI PELUANG

Dr. Vita Ratnasari, M.Si02/10/2013

1'Variabel Random dan Distribusi Peluang' - Sipil Geoteknik 2013

Definisi Variabel Random

02/10/2013'Variabel Random dan Distribusi Peluang' - Sipil Geoteknik 2013

2

Variabel random ialah

Suatu fungsi yang mengaitkan suatu bilangan real

pada setiap unsur dalam ruang sampel.

Variabel random dinyatakan dengan huruf besar : X

Sedangkan nilainya dinyatakan dengan huruf kecil : x

Contoh 1


3

Dua bola diambil satu demi satu tanpa dikembalikandari suatu kantong berisi 4 bola merah dan 3 bola hitam. Bila Y menyatakan jumlah bola merah yang diambilmaka nilai y yang mungkin dari variabel random Y adalah:

Solusi:

Y = jumlah bola merah yang diambil

S = {Y|y = 0,1,2}

MM 2

MH, HM 1

HH 0

R

u

a

n

g

s

a

m

p

e

l

Type Variabel Random


4

1. Ruang sampel DiskritJika suatu ruang sampel mengandung titikyang berhingga banyaknya atau sederatananggota yang banyaknya sebanyaknyabilangan bulat.

2. Ruang sampel KontinouBila ruang sampel mengandung titik sampelyang tak berhingga banyaknya danbanyaknya sebanyak titik pada sepotonggaris.

f(x) = p(x) = P(X = x) = fgs dist peluang

= fungsi padat peluang

= pdf = probability density function

F(X = x) = P(X ≤ x)

= cdf = cumulative distribution function

dx

xdFxf

02/10/2013

5

'Variabel Random dan Distribusi Peluang' - Sipil Geoteknik 2013

Sifat Distribusi peluang variabel random

1.

2.

3. Variabel random

4. Diskrit

5. Variabel random

6. Kontinou

1)(0 ixf

ii xXPxf )(

i

ixf 1)(

xt

tfxXPxF )()()(

1

i

ixf

dttfxXPxF

x

x

)()(

02/10/2013

6


Contoh 2


7

Sebuah kontraktor mempunyai 4 mesin yang

digunakan pada suatu proses produksi.

Diramalkan mesin mempunyai rata-rata usia

pakai 10 tahun.

Tentukan ruang sampel dari variabel random x.

Misal: X menyatakan jumlah mesin dalam keadaan baik.

Solusi


8

X: jumlah mesin dalam keadaan baik setelah 10 th

S: {X|x = 0,1,2,3,4}

Kondisi mesin bil real (x)

BBBB 4

BBBR, BBRB, BRBB, RBBB 3

BBRR, BRRB, RRBB, RBRB, RBBR, RBRB 2

BRRR, RBRR, RRBR, RRRB 1

RRRR 0

Distribusi Peluang


9

Distribusi peluang suatu variabel random X

adalah himpunan nilai peluang variabel

random X yang ditampilkan dalam bentuk

tabel dan atau gambar.

X X1 X2 ... Xk

Peluang f(x1) f(x2) ... f(xk)

Distribusi peluang keadaan mesin baik setelah 10 tahun

BBRR B

RBR R

BBR

RBRB R

RBB B

RRB RRRR

BRRR R

BRR

RRBR R

RRB

BBBR B

BRB

BRBB R

BBB

BBBB

02/10/2013

10


X 4 3 2 1 0

P(X) 1/16 4/16 6/16 4/16 1/16

Berdasarkan Contoh 2:

a. Tentukan peluang lebih dari 2 mesin yang baik dengan

usia lebih dari 10 tahun:

b. Tentukan peluang paling banyak 1 mesin baik dengan


c. Tentukan peluang antara 1 sampai 2 mesin baik dengan


4 1 5( 2)

16 16 16P X

16

5

16

4

16

1)1( XP

16

10

16

6

16

4)21( XP

02/10/2013

11


Contoh 3

Sebuah pengiriman 8 komputer pc yang sama ke suatu toko

mengandung 3 yang cacat. Bila suatu sekolah membeli 2

komputer secara random,

Tentukan distribusi peluang banyaknya komputer yg cacat.

X = banyaknya komputer yang cacat = {0, 1, 2}

f(0) = P(X = 0)

f(1) = P(X = 1)

f(2) = P(X = 2)

02/10/2013

12



13

;

Distribusi Probabilitas

3 5

0 2

8

2

10(0) ( 0)

28

C Cf P X

C

3 5

1 1

8

2

15(1) ( 1)

28

C Cf P X

C

3 5

2 0

8

2

3(2) ( 2)

28

C Cf P X

C

X = 0 X = 1 X = 2

f(x) 1028

1528

328

Contoh 4:

Misalkan bahwa galat suhu reaksi, dalam 0C padapercobaan laboratorium, merupakan variabelrandom X yang mempunyai fungsi padat peluang:

a. Tunjukkan bahwa

b. Cari

c. Carilah fungsi kumulatifnya

2

, 1 23

0 ,

xx

f x

lainnya

1f x dx

0 1P X

02/10/2013 14'Variabel Random dan Distribusi Peluang' - Sipil Geoteknik 2013

Solusi:

a.

b.

22 2 3

1 1

8 11

3 9 9 9

x xdx

11 2 3

0 0

10 1

3 9 9

x xP X dx


c. Untuk -1 < x < 2

jadi:

2 3 3

1 1

1

3 9 9

xx xt t x

F x f t dt dt

3

0 1

11 2

9

1 2

x

xF x x

x


Beberapa distribusi peluang Diskrit a.l:

1. Distribusi Uniform

ialah suatu kejadian yang mempunyai probabilitas

yang sama.

misal:

Probabilitas mata dadu keluar angka 5:

Probabilitas mata uang keluar muka:

k

xf1

6

1

2

1

02/10/2013

17


2. Distribusi Binomial

- Peristiwa terjadi n kali percobaan/kejadian.

- Tiap peristiwa menghasilkan 2 kemungkinan,

‘sukses’ (p) or ‘gagal’ (q).

- Tiap peristiwa terjadi saling independen.

x = 0, 1, 2, … , n

xnxn

x PPCxXP

1

02/10/2013

18


Contoh 5:

Suatu suku cadang dapat menahan uji goncangan

tertentu dengan peluang ¾. Hitunglah

a. Peluang bahwa tepat 2 dari 4 suku cadang yang

diuji tidak akan rusak.

b. Peluang paling banyak 1 yang rusak dari 4 suku

cadang yang diujikan.

c. Peluang terdapat paling sedikit 3 suku cadang

yang baik dari 4 suku cadang yang diujikan.

02/10/2013

19


Solusi:

X : Suku cadang yang baik

a. P( X = 2) = ?

b. P( X ≥ 3) = P(X = 3) + P(X = 4)

c. P( X ≥ 3) = P(X = 3) + P(X = 4)

4 2 4 2

2; , (1 )B x n p C p p

02/10/2013

20


2 4 2

4

2

3 3 32;4, 1

4 4 4B C

3. Distribusi Binomial Negatif

Percobaan seperti kejadian pada Binomial, dengan usaha diulang sampai tercapai sejumlahsukses tertentu.

Jadi banyaknya usaha X untuk menghasilkan k sukses pada n kejadian adalah Variabel random Binomial Negatif.

Distribusi peluangnya disebut distribusi Binomial Negatif.

02/10/2013

21


Berapa peluang sukses ke-k akan terjadi pada

kejadian ke-n.

Contoh 6:

Peluang cacat pembuatan tiang pancang sebesar0.1. Pada pemeriksaan kualitas dilakukanpengambilan sampel sebanyak 5 item.

knkn

kk qpCnXP

1

1

02/10/2013

22


Berapa peluang pengambilan tiang pancang yang

ke-5, adalah pengambilan tiang pancang cacat

yang ke-2 ?

Solusi:

Kemungkinan yang terjadi:

1. BBBCC P(BBBCC) = (0.9)(0.9) (0.9)(0.1)(0.1)

2. BBCBC P(BBCBC) = (0.9) (0.9)(0.1)(0.9)(0.1)

3. BCBBC P(BCBBC) = (0.1)(0.9) (0.9)(0.9)(0.1)

4. CBBBC P(CBBBC) = (0.1)(0.9)(0.9) (0.9)(0.1)02/10/2013

23


Fungsi dist Binomial Negatif

Jadi peluang pengambilan tiang pancang yang ke-4

adalah pengambilan tiang pancang cacat yang

kedua sebesar 2.43 %

5 1 2 5 2

2 2 15P X C p q

2 34

2 15 0.1 0.9 0.02916P X C

02/10/2013

24


4. Distribusi Geometrik

Sukses pertama pada kejadian ke-n

Contoh 7:

Pada saat sibuk di suatu sentral telepon mencapaibatas daya sambungnya, sehingga orang tidakmendapat sambungan. Andaikan peluang mendapatsambungan selama waktu sibuk adalah 0.05. Berapapeluang diperlukan 6 kali usaha agar sambunganberhasil.

1

1

npqnXP

02/10/2013

25


X = kejadian sambungan berhasil

Diperlukan 6 kali usaha agar sambungan berhasil:

GGGGGS

Jadi peluang yang diperlukan agar 6 kali usaha

dalam melakukan sambungan akan berhasil sebesar

3.6 %

036.095.005.065

1 XP

02/10/2013

26


5. Distribusi Hypergeometrik

Banyaknya sukses dalam variabel random ukuran n

sampel yang diambil dari N populasi, yang

mengandung k sifat tertentu dari populasi.

x = 0, 1, 2, …, n

n

N

xn

kN

x

k

C

CCknNxh

N

n

kN

xn

k

x),,;(

02/10/2013

27


Contoh 8:

Suatu kotak berisi 40 suku cadang, dikatakan

memenuhi syarat penerimaan bila berisi tidak lebih

dari 3 yang cacat. Cara sampling kotak ialah

dengan memilih 5 suku cadang secara random.

Berapa peluang mendapatkan tepat satu yang cacat

dalam sampel berukuran 5?

3011.0

5

40

4

37

1

3

)3,5,40;1(

h

02/10/2013

28


6. Distribusi Poisson

Banyaknya sukses yang terjadi dalam suatu selang

waktu atau daerah tertentu.

x = 0, 1, 2, …

e = 2.71828

Sebagai pendekatan untuk distribusi binomial bila n cukup

besar dan p kecil (n > 20 dan p < 0.05)

!)(

x

exf

x

02/10/2013

29


Contoh 9:

Dari pengalaman masa lalu selama 20 tahun terakhir,

rata-rata terjadi hujan lebat 4 kali per tahun.

Berapa peluang tidak terjadi hujan lebat tahun

depan?

018.0!0

4)0(

40

e

XP t

02/10/2013

30


Soal-soal

1. Seorang petani jeruk mengeluh karena

dari panen jeruknya terserang suatu virus. Cari

peluangnya bahwa diantara 4 buah jeruk yang

diperiksa dari hasil panen ini:

a. Semuanya terserang virus tersebut.

b. Antara 1 sampai 3 yang terserang virus

tersebut.

c. Cari distribusi peluangnya

3

2

02/10/2013

31


2. Dalam pengujian sejenis ban truk melalui jalan yang

kasar ditemukan bahwa 25 % truk mengalami

kegagalan karena ban pecah. Carilah peluangnya

dari 15 truk yang diuji, jika:

a. 3 sampai 6 mengalami ban pecah

b. kurang dari 4 yang mengalami ban pecah

c. lebih dari 5 yang mengalami ban pecah

02/10/2013

32


3. Dari kotak berisi 10 peluru, diambil 4 secara acak

dan kemudian ditembakkan. Bila kotak itu

mengandung 3 peluru yang cacat yang tidak akan

meledak, berapakah peluang bahwa:

a. keempatnya meledak

b. paling banyak 2 yang tidak akan meledak

02/10/2013

33


Rata-rata dan varians dari distribusi peluang

Jika X adalah variabel random diskrit dengandistribusi peluang f(x), maka nilai rata-rata X dinyatakan:

E(X) = ekspektasi X

Varians X dinyatakan dgn Var(X) =

i i

i

E X x f x 2

2 22

22 2 2

i i

i

E X X f x

E X E X E X

02/10/2013

34


Ekspektasi dari Distribusi peluang

Diskrit

Kontinou

dxxfxgxgE

dxxfxXE

xfxgxgE

xfxXE

02/10/2013

35


Sifat-sifat ekspektasi:

1. E(ax) = a E(x)

2. E(a + bx2) = a + b E(x2)

3. E(xy) = E(x) E(y)

02/10/2013

36


Standart Deviation

Var (X) = E( X – μ)2

= E(X2) – μ2 , dimana; μ = E(X)

= E(X2) – (E(X)) 2

)()(tan XVariansXDeviasidartS

02/10/2013

37


Sifat-sifat varians:

1. Varians tidak negatif

2. Var (x + a) = Var (x)

3. Var (bx) = b2 Var (x)

4. Var (a + bx) = b2 Var (x)

02/10/2013

38


Distribusi Binomial (x; n, p)

Nilai Harapan (expected value)

Varians X

i i

i

E X x f x np

2( ) 1Var X np p


Distribusi Binomial Negatif (x; k, p)


Varians X

1

i i

i

pE X x f x k

p

2

2

(1 )( )

pVar X k

p


Distribusi Geometrik (x; p)


Varians X

1

i i

i

E X x f xp

2

2

(1 )( )

pVar X

p


Distribusi Hipergeometrik (x; N, n, k)


Varians X

i i

i

kE X x f x n

N

2( ) 11

N n k kVar X n

N N N


Distribusi Poisson (x; )


Varians X

E X

Var X


contoh 10

Seorang kontraktor memasukkan penawaran tender untuk 3 pekerjaan A, B dan C. Jumlah pesaing untukmendapatkan pekerjaan A, B dan C masing-masing4, 3 dan 2. Andaikan peristiwa A, B dan C bebassecara statistik dan X menyatakan jumlah total pekerjaan yang akan dimenangkan kontraktor:

a. Tentukan distribusi peluang X

b. Tentukan rata-rata X

c. Tentukan varians X

02/10/2013

44


Peluang sukses mendapatkan pekerjaan A:

Peluang sukses mendapatkan pekerjaan B:

Peluang sukses mendapatkan pekerjaan C:

X = jumlah total pekerjaan yang akan dimenangkanseorang kontraktor.

15

141

3

4.03

2

4

3

5

40

XP

43.03

1

4

3

5

4

3

2

4

1

5

4

3

2

4

3

5

11

XP

02/10/2013

45


149.03

1

4

1

5

4

3

1

4

3

5

1

3

2

4

1

5

12

XP

0167.03

1

4

1

5

13

XP

X 0 1 2 3

f(x) 0.4 0.43 0.149 0.016

E(x) = x f(x) 0 0.43 0.298 0.348


Jadi rata-rata hanya satu pekerjaan yang akandimenangkan oleh seorang kontraktor.

i

ii xfxx 1076.1

X 0 1 2 3

f(x) 0.40 0.43 0.149 0.016

X2 f(x) 0 0.43 0.596 1.044


Var (X) = E(X2) – μ2

= E(X2) – (E(X))2

= 2.07 - (1.076)2

= 0.91

i

ii xfxXE 07.222

02/10/2013

48


Koefisien Variasi ( δx )

Kemencengan (θ)

x

x

x

3

3

x

xXE

02/10/2013

49


Distribusi Kontinou

1. Distribusi NORMAL

KARL FRIEDRICH GAUSS

- < x <

Simetris

Bell shape

X N ( , 2 )

2

2

1

22

1)(

x

exf

02/10/2013

50



51

f(x)

x

Transformasi Normal Standart


52

(Transformasi)

menggunakan tabel normal standart

2~ ,X N

~ 0,1Z N

XZ

Contoh 11:

Pendapatan mingguan seorang karyawan diindustri kaca berdistribusi normal dengan mean $ 1.000 dan standart deviasi $ 100.

1. Berapa probabilitas karyawan yang berpendapatan paling banyak $ 900 per minggu.

2. Berapa probabilitas karyawan yang berpendapatan paling sedikit $ 1.250 per minggu.

3. Berapa probabilitas karyawan yang berpendapatan antara $ 900 dan $ 1.100 per minggu.

02/10/2013

53


Solusi:

X = pendapatan mingguan, = $ 1.000 dan = $ 100

a. P( x < 900) =

= = 0.1587

b. P( x > 1.250) =

=

= =

= 0.0062 = 0.62 %

10

000.1900

100

000.1xP

100

100ZP 1ZP

100

000.1250.1

100

000.1xP

100

250ZP 5.2ZP

5.21 ZP 9938.01

02/10/2013

54


c. P(900 < x < 1.100) =

= =

=

100

000.1100.1

100

000.1

100

000.1900 xP

100 100

100 100P Z

11 ZP

11 ZPZP = 0.8413 - 0.1587

= 0.6826 = 68.26 %

02/10/2013

55


Soal

1. Diketahui distribusi normal : dgn = 40 dan = 5

Tentukan :

a. P(x < 35)

b. P(x > 45)

c. P(20 < x < 50)

d. P(x < k) = 0.05

e. P(x > k) = 0.2578

02/10/2013

56


2. Diberikan distribusi normal dengan = 40 dan = 6, dapatkan luasan :

a). Di bawah 32

b). Di atas 27

c). Antara 42 dan 51

d). Cari suatu nilai k sedemikian hingga luasan dibawah k = 45%

e). Cari suatu nilai k sedemikian hingga luasan diatas k = 13%

02/10/2013

57


3. Sebuah perusahaan alat listrik memproduksi bolam

yang umurnya berdistribusi normal dengan mean 800

jam dan standart deviasinya 40 jam. Hitung

probabilitas sebuah bolam hasil produksinya akan

berumur antara 778 dan 834 jam.

02/10/2013

58


4. Kekuatan batang baja yang dibuat dengan prosestertentu diketahui kira-kira mendekati distribusinormal dengan mean 24 dan deviasi standart 3.Para konsumen menghendaki bahwa paling sedikit95% batang tersebut mempunyai kekuatan lebih 20.Apakah kualitas batang baja tersebut sesuaidengan ketetapan konsumen.

02/10/2013

59


5. Ukuran mata bor untuk komponen tertentu yangdigunakan dalam proses perakitan (assembly) merupakandimensi (karakteristik) kualitas yang penting. Daripengamatan tiap jam berukuran 4 sampel selama 25 jamdiperoleh : = 4,3 mm, s = 0,243 mm. Batas spesifikasimata bor 4,4 0,2 mm. Biaya scrap dan rework tiap unitmasing-masing $ 2,40 dan $ 0,75. Produksi 1200 unit.

a). Taksir parameter produk yang discrap & rework?

b). Taksir biaya total scrap dan rework tiap hari?

c). Jika rata-rata proses digeser 4,5 mm, jelaskan

dampaknya pada persentase produk yang discrap

dan rework serta biayanya?

02/10/2013

60


x


61

6. Tinjau proses pembuatan coil. Diambil sampel berukuran 5

buah tiap jam dan dicatat tingkat resistensinya (ohm)nya.

Data diberikan pada Tabel 1.

Andaikan spesifikasi proses 21 3 ohm

a. Tentukan persentase produk cacat (tidak memenuhi)

spesifikasi bila tingkat resistensi berdistribusi normal.

b. Andaikan tiap hari diproduksi 10000 coil dan coil dengan

tingkat resistensi kurang dari LSL tidak dapat digunakan,

tentukan kerugian bila biaya scrap tiap unit $ 1.

62

Tabel 1

Sampel

ke

Data Sampel

ke

Data

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

20,22,21,23,22

19,18,20,20,22

25,18,20,17,22

20,21,22,21,21

19,24,23,22,20

22,20,18,18,19

18,20,19,18,20

20,18,23,20,21

21,20,24,23,22

21,19,20,20,20

20,20,23,22,20

22,21,20,22,23

19,22,19,18,19

21,6

19,8

20,4

21,0

21,6

19,4

19,0

20,4

22,0

20,0

21,0

21,0

19,4

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

20,21,22,21,22

20,24,24,23,23

21,20,24,20,21

20,18,18,20,20

20,24,22,23,23

20,19,23,20,19

21,21,21,24,22

23,22,22,20,22

21,18,18,17,19

21,24,24,23,23

20,22,21,21,20

19,20,21,21,22

21,2

22,8

21,2

19,2

22,4

20,2

22,0

21,8

18,6

23,0

20,8

20,6

x x



63

Tabel 1

mean = 20,816

Standar deviasi = 1,188725


64

Tabel 2

Mean = 37,175

Standar deviasi = 1,678933


65

7. Tingkat ketebalan magnetic coating pada proses pem-

buatan audio tape merupakan karakteristik kualitas

penting. Suatu sampel berukuran 4 unit dipilih tiap jam

dan tingkat ketebalannya diukur dengan instrument optik

(Tabel 2). Batas-batas spesifikasi proses 38 4,5.

Jika tingkat ketebalan proses coating kurang dari batas

spesifikasi maka digunakan untuk produk lain dengan

melalui proses lain.

a). Berapa persen produk tidak memenuhi batas spesifikasi?

b). Jika rata-rata proses bergeser menjadi 37,8 berapapersen produk akan diterima?

Tabel 2


66 Sampel ke Sampel ke

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

36,4

35,8

37,3

33,9

37,8

36,1

38,6

39,4

34,4

39,5

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

36,7

35,2

38,8

39,0

35,5

37,1

38,3

39,2

36,8

37,7

THE GOLDEN TRIANGEL


variabel random dan distribusi peluang -...

Documents