m4. variabel rdandom dan distribusi peluang mesin revisi

67
VARIABEL RANDOM DAN DISTRIBUSI PELUANG Dr. Vita Ratnasari, M.Si 12/03/2022 1 Variabel Random dan Distribusi Peluang - Mesin ITS

Upload: alief-naufal

Post on 18-Nov-2015

320 views

Category:

Documents


10 download

DESCRIPTION

dsc

TRANSCRIPT

VarIABEL RANDOM

VarIABEL RANDOM dan distribusi PELUANGDr. Vita Ratnasari, M.Si11/03/20141Variabel Random dan Distribusi Peluang - Mesin ITS

Definisi Variabel Random11/03/2014Variabel Random dan Distribusi Peluang - Mesin ITS2Variabel random ialahSuatu fungsi yang mengaitkan suatu bilangan real pada setiap unsur dalam ruang sampel.

Variabel random dinyatakan dengan huruf besar : XSedangkan nilainya dinyatakan dengan huruf kecil : x

Contoh 111/03/2014Variabel Random dan Distribusi Peluang - Mesin ITS3 Dua bola diambil satu demi satu tanpa dikembalikan dari suatu kantong berisi 4 bola merah dan 3 bola hitam. Bila Y menyatakan jumlah bola merah yang diambil maka nilai y yang mungkin dari variabel random Y adalah:

Solusi:Y = jumlah bola merah yang diambilS = {Y|y = 0,1,2}MM 2MH, HM 1HH 0

Contoh 2 11/03/2014Variabel Random dan Distribusi Peluang - Mesin ITS4Sebuah kontraktor mempunyai 4 mesin yang digunakan pada suatu proses produksi. Diramalkan mesin mempunyai rata-rata usia pakai 10 tahun. Namun diharapkan setelah 10 th mesin masih dapat berfungsi dengan baik. Misal: X menyatakan jumlah mesin dalam keadaan baik, tentukan ruang sampel dari variabel random x.

Solusi11/03/2014Variabel Random dan Distribusi Peluang - Mesin ITS5X: jumlah mesin dalam keadaan baik setelah 10 thS: {X|x = 0,1,2,3,4}

Kondisi mesin bil real (x)BBBB 4BBBR, BBRB, BRBB, RBBB 3BBRR, BRRB, RRBB, RBRB, RBBR, RBRB 2BRRR, RBRR, RRBR, RRRB 1RRRR 0

Type Variabel Random11/03/2014Variabel Random dan Distribusi Peluang - Mesin ITS6Ruang sampel DiskritJika suatu ruang sampel mengandung titik yang berhingga banyaknya atau sederatan anggota yang banyaknya sebanyaknya bilangan bulat.

Ruang sampel KontinouBila ruang sampel mengandung titik sampel yang tak berhingga banyaknya dan banyaknya sebanyak titik pada sepotong garis.

Distribusi Peluang11/03/2014Variabel Random dan Distribusi Peluang - Mesin ITS7Distribusi peluang suatu variabel random X adalah himpunan nilai peluang variabel random X yang ditampilkan dalam bentuk tabel dan atau gambar.

XX1X2...XkPeluangf(x1)f(x2)...f(xk)

Distribusi peluang keadaan mesin baik setelah 10 tahun

BBRR BRBR RBBRRBRB RRBB BRRB RRRRBRRR RBRRRRBR RRRB BBBR BBRBBRBB RBBBBBBB11/03/20148Variabel Random dan Distribusi Peluang - Mesin ITSX43210P(X)1/164/166/164/161/16

f(x) = p(x) = P(X = x) = fgs dist peluang = fungsi padat peluang = pdf = probability density function

F(X = x) = P(X x) = cdf = cumulative distribution function

11/03/20149Variabel Random dan Distribusi Peluang - Mesin ITS

Sifat Distribusi peluang variabel random1.2.3. Variabel random4. Diskrit 5. Variabel random6. Kontinou

11/03/201410Variabel Random dan Distribusi Peluang - Mesin ITS

10

Berdasarkan Contoh 2:a. Tentukan peluang lebih dari 2 mesin yang baik dengan usia lebih dari 10 tahun:

b. Tentukan peluang paling banyak 1 mesin baik dengan usia lebih dari 10 tahun:

c. Tentukan peluang antara 1 sampai 2 mesin baik dengan usia lebih dari 10 tahun:

11/03/201411Variabel Random dan Distribusi Peluang - Mesin ITS

Contoh 3Sebuah pengiriman 8 komputer pc yang sama ke suatu toko mengandung 3 yang cacat. Bila suatu sekolah membeli 2 komputer secara random, Tentukan distribusi peluang banyaknya komputer yg cacat.

X = banyaknya komputer yang cacat = {0, 1, 2}f(0) = P(X = 0)f(1) = P(X = 1)f(2) = P(X = 2)

11/03/201412Variabel Random dan Distribusi Peluang - Mesin ITS

11/03/2014Variabel Random dan Distribusi Peluang - Mesin ITS13 ;

Distribusi Probabilitas

X = 0X = 1X = 2f(x)

Contoh 4: Misalkan bahwa galat suhu reaksi, dalam 0C pada percobaan laboratorium, merupakan variabel random X yang mempunyai fungsi padat peluang:

a. Tunjukkan bahwa

b. Cari

11/03/201414Variabel Random dan Distribusi Peluang - Mesin ITS

c. Carilah fungsi kumulatifnyad. Berdasar c) hitung

Solusi:a.

b.

11/03/201415Variabel Random dan Distribusi Peluang - Mesin ITS

c. Untuk -1 < x < 2

jadi:

11/03/201416Variabel Random dan Distribusi Peluang - Mesin ITS

d.

Jadi mencari peluang, bisa dengan cara langsung, atau melalui fungsi kumulatif.

11/03/201417Variabel Random dan Distribusi Peluang - Mesin ITS

Beberapa distribusi peluang Diskrit a.l:1. Distribusi Uniformialah suatu kejadian yang mempunyai probabilitas yang sama.

misal: Probabilitas mata dadu keluar angka 5:

Probabilitas mata uang keluar muka:

11/03/201418Variabel Random dan Distribusi Peluang - Mesin ITS

2. Distribusi Binomial

- Peristiwa terjadi n kali percobaan/kejadian. - Tiap peristiwa menghasilkan 2 kemungkinan, sukses (p) or gagal (q). - Tiap peristiwa terjadi saling independen.

x = 0, 1, 2, , n

11/03/201419Variabel Random dan Distribusi Peluang - Mesin ITS

Contoh 5:Suatu suku cadang dapat menahan uji goncangan tertentu dengan peluang . Hitunglah a. Peluang bahwa tepat 2 dari 4 suku cadang yang diuji tidak akan rusak. b. Peluang paling banyak 1 yang rusak dari 4 suku cadang yang diujikan. c. Peluang terdapat paling sedikit 3 suku cadang yang baik dari 4 suku cadang yang diujikan. 11/03/201420Variabel Random dan Distribusi Peluang - Mesin ITS

Solusi:X : Suku cadang yang baika. P( X = 2) = ?

b. P( X 2) =c. P( X 3) =

11/03/201421Variabel Random dan Distribusi Peluang - Mesin ITS

3. Distribusi Binomial NegatifPercobaan seperti kejadian pada Binomial, kecuali usaha diulang sampai tercapai sejumlah sukses tertentu.Jadi banyaknya usaha X untuk menghasilkan k sukses pada n kejadian adalah Variabel random Binomial Negatif.Distribusi peluangnya disebut distribusi Binomial Negatif.

11/03/201422Variabel Random dan Distribusi Peluang - Mesin ITS

Berapa peluang sukses ke-k akan terjadi pada kejadian ke-n.

Contoh 6: Peluang cacat pembuatan tiang pancang sebesar 0.1. Pada pemeriksaan kualitas dilakukan pengambilan sampel sebanyak 4 item.

11/03/201423Variabel Random dan Distribusi Peluang - Mesin ITS

Berapa peluang pengambilan tiang pancang yang ke-4, adalah pengambilan tiang pancang cacat yang kedua?Solusi:Kemungkinan yang terjadi:1. BBCC P(BBCC) = (0.9)(0.9)(0.1)(0.1)2. BCBC P(BCBC) = (0.9)(0.1)(0.9)(0.1)3. CBBC P(CBBC) = (0.1)(0.9)(0.9)(0.1)

11/03/201424Variabel Random dan Distribusi Peluang - Mesin ITS

Jadi peluang pengambilan tiang pancang yang ke-4 adalah pengambilan tiang pancang cacat yang kedua sebesar 2.43 %

11/03/201425Variabel Random dan Distribusi Peluang - Mesin ITS

4. Distribusi GeometrikSukses pertama pada kejadian ke-n

Contoh 7:Pada saat sibuk di suatu sentral telepon mencapai batas daya sambungnya, sehingga orang tidak mendapat sambungan. Andaikan peluang mendapat sambungan selama waktu sibuk adalah 0.05. Berapa peluang diperlukan 6 kali usaha agar sambungan berhasil.

11/03/201426Variabel Random dan Distribusi Peluang - Mesin ITS

X = kejadian sambungan berhasilDiperlukan 6 kali usaha agar sambungan berhasil: GGGGGS

Jadi peluang yang diperlukan agar 6 kali usaha dalam melakukan sambungan akan berhasil sebesar 3.6 %

11/03/201427Variabel Random dan Distribusi Peluang - Mesin ITS

5. Distribusi HypergeometrikBanyaknya sukses dalam variabel random ukuran n sampel yang diambil dari N populasi, yang mengandung k sifat tertentu dari populasi.

x = 0, 1, 2, , n

11/03/201428Variabel Random dan Distribusi Peluang - Mesin ITS

Contoh 8:Suatu kotak berisi 40 suku cadang, dikatakan memenuhi syarat penerimaan bila berisi tidak lebih dari 3 yang cacat. Cara sampling kotak ialah dengan memilih 5 suku cadang secara random. Berapa peluang mendapatkan tepat satu yang cacat dalam sampel berukuran 5?

11/03/201429Variabel Random dan Distribusi Peluang - Mesin ITS

6. Distribusi PoissonBanyaknya sukses yang terjadi dalam suatu selang waktu atau daerah tertentu.

x = 0, 1, 2, e = 2.71828Sebagai pendekatan untuk distribusi binomial bila n cukup besar dan p kecil (n > 20 dan p < 0.05)

11/03/201430Variabel Random dan Distribusi Peluang - Mesin ITS

Contoh 9:Dari pengalaman masa lalu selama 20 tahun terakhir, rata-rata terjadi hujan lebat 4 kali per tahun. Berapa peluang tidak terjadi hujan lebat tahun depan?

11/03/201431Variabel Random dan Distribusi Peluang - Mesin ITS

Soal-soal1. Seorang petani jeruk mengeluh karena dari panen jeruknya terserang suatu virus. Cari peluangnya bahwa diantara 4 buah jeruk yang diperiksa dari hasil panen ini:a. Semuanya terserang virus tersebut.b. Antara 1 sampai 3 yang terserang virus tersebut.c. Cari distribusi peluangnya

11/03/201432Variabel Random dan Distribusi Peluang - Mesin ITS

2. Dalam pengujian sejenis ban truk melalui jalan yang kasar ditemukan bahwa 25 % truk mengalami kegagalan karena ban pecah. Carilah peluangnya dari 15 truk yang diuji, jika:a. 3 sampai 6 mengalami ban pecahb. kurang dari 4 yang mengalami ban pecahc. lebih dari 5 yang mengalami ban pecah11/03/201433Variabel Random dan Distribusi Peluang - Mesin ITS

Rata-rata dan varians dari distribusi peluang Jika X adalah variabel random diskrit dengan distribusi peluang f(x),maka nilai rata-rata X dinyatakan: E(X) = ekspektasi X

Varians X dinyatakan dgn Var(X) =

11/03/201434Variabel Random dan Distribusi Peluang - Mesin ITS

Ekspektasi dari Distribusi peluang Diskrit

Kontinou

11/03/201435Variabel Random dan Distribusi Peluang - Mesin ITS

Sifat-sifat ekspektasi:1. E(ax) = a E(x)2. E(a + bx2) = a + b E(x2)3. E(xy) = E(x) E(y)

11/03/201436Variabel Random dan Distribusi Peluang - Mesin ITS

Standart Deviation Var (X) = E( X )2 = E(X2) 2 , dimana; = E(X) = E(X2) (E(X)) 2

11/03/201437Variabel Random dan Distribusi Peluang - Mesin ITS

37

Sifat-sifat varians:1. Varians tidak negatif2. Var (x + a) = Var (x)3. Var (bx) = b2 Var (x)4. Var (a + bx) = b2 Var (x)11/03/201438Variabel Random dan Distribusi Peluang - Mesin ITS

Distribusi Binomial (x; n, p)Nilai Harapan (expected value)

Varians X

11/03/201439Variabel Random dan Distribusi Peluang - Mesin ITS

Distribusi Binomial Negatif (x; k, p)Nilai Harapan (expected value)

Varians X

11/03/201440Variabel Random dan Distribusi Peluang - Mesin ITS

Distribusi Geometrik (x; p)Nilai Harapan (expected value)

Varians X

11/03/201441Variabel Random dan Distribusi Peluang - Mesin ITS

Distribusi Hipergeometrik (x; N, n, k) Nilai Harapan (expected value)

Varians X

11/03/201442Variabel Random dan Distribusi Peluang - Mesin ITS

Distribusi Poisson (x; ) Nilai Harapan (expected value)

Varians X

11/03/201443Variabel Random dan Distribusi Peluang - Mesin ITS

contoh 10Seorang kontraktor memasukkan penawaran tender untuk 3 pekerjaan A, B dan C. Jumlah pesaing untuk mendapatkan pekerjaan A, B dan C masing-masing 4, 3 dan 2. Andaikan peristiwa A, B dan C bebas secara statistik dan X menyatakan jumlah total pekerjaan yang akan dimenangkan kontraktor:a. Tentukan distribusi peluang Xb. Tentukan rata-rata Xc. Tentukan varians X

11/03/201444Variabel Random dan Distribusi Peluang - Mesin ITS

Peluang sukses mendapatkan pekerjaan A: Peluang sukses mendapatkan pekerjaan B: Peluang sukses mendapatkan pekerjaan C:

X = jumlah total pekerjaan yang akan dimenangkan seorang kontraktor.

11/03/201445Variabel Random dan Distribusi Peluang - Mesin ITS

X0123f(x)0.40.430.1490.016E(x) = x f(x)00.430.2980.348

11/03/201446Variabel Random dan Distribusi Peluang - Mesin ITS

Jadi rata-rata hanya satu pekerjaan yang akan dimenangkan oleh seorang kontraktor.

X0123f(x)0.400.430.1490.016X2 f(x)00.430.5961.044

11/03/201447Variabel Random dan Distribusi Peluang - Mesin ITS

Var (X) = E(X2) 2 = E(X2) (E(X))2 = 2.07 - (1.076)2 = 0.91

11/03/201448Variabel Random dan Distribusi Peluang - Mesin ITS

Koefisien Variasi ( x )

Kemencengan ()

11/03/201449Variabel Random dan Distribusi Peluang - Mesin ITS

Distribusi Kontinou1. Distribusi NORMALKARL FRIEDRICH GAUSS

- < x < SimetrisBell shapeX N ( , 2 )

11/03/201450Variabel Random dan Distribusi Peluang - Mesin ITS

11/03/2014Variabel Random dan Distribusi Peluang - Mesin ITS51

Transformasi Normal Standart11/03/2014Variabel Random dan Distribusi Peluang - Mesin ITS52

(Transformasi)

menggunakan tabel normal standart

Contoh 11:Pendapatan mingguan seorang karyawan di industri kaca berdistribusi normal dengan mean $ 1.000 dan standart deviasi $ 100.1. Berapa probabilitas karyawan yang berpendapatan paling banyak $ 900 per minggu.2. Berapa probabilitas karyawan yang berpendapatan paling sedikit $ 1.250 per minggu.3. Berapa probabilitas karyawan yang berpendapatan antara $ 900 dan $ 1.100 per minggu.11/03/201453Variabel Random dan Distribusi Peluang - Mesin ITS

53

Solusi:X = pendapatan mingguan, = $ 1.000 dan = $ 100

a. P( x < 900) = = = 0.1587

b. P( x > 1.250) = = = = = 0.0062 = 0.62 %

11/03/201454Variabel Random dan Distribusi Peluang - Mesin ITS

c. P(900 < x < 1.100) =

= =

=

= 0.8413 - 0.1587 = 0.6826 = 68.26 %11/03/201455Variabel Random dan Distribusi Peluang - Mesin ITS

Soal1. Diketahui distribusi normal : dgn = 40 dan = 5Tentukan : a. P(X < 35)b. P(X > 45)c. P(20 < X < 50)d. P(X < k) = 0.05 e. P(X > k) = 0.2578

11/03/201456Variabel Random dan Distribusi Peluang - Mesin ITS

56

2. Diberikan distribusi normal dengan = 40 dan = 6, dapatkan luasan :a). Di bawah 32b). Di atas 27c). Antara 42 dan 51d). Cari suatu nilai k sedemikian hingga luasan di bawah k = 45%e). Cari suatu nilai k sedemikian hingga luasan di atas k = 13%

11/03/201457Variabel Random dan Distribusi Peluang - Mesin ITS

3. Sebuah perusahaan alat listrik memproduksi bolam yang umurnya berdistribusi normal dengan mean 800 jam dan standart deviasinya 40 jam. Hitung probabilitas sebuah bolam hasil produksinya akan berumur antara 778 dan 834 jam.11/03/201458Variabel Random dan Distribusi Peluang - Mesin ITS

4. Kekuatan batang baja yang dibuat dengan proses tertentu diketahui kira-kira mendekati distribusi normal dengan mean 24 dan deviasi standart 3. Para konsumen menghendaki bahwa paling sedikit 95% batang tersebut mempunyai kekuatan lebih 20. Apakah kualitas batang baja tersebut sesuai dengan ketetapan konsumen.11/03/201459Variabel Random dan Distribusi Peluang - Mesin ITS

5. Ukuran mata bor untuk komponen tertentu yang digunakan dalam proses perakitan (assembly) merupakan dimensi (karakteristik) kualitas yang penting. Dari pengamatan tiap jam berukuran 4 sampel selama 25 jam diperoleh : = 4,3 mm, s = 0,243 mm. Batas spesifikasi mata bor 4,4 0,2 mm. Biaya scrap dan rework tiap unit masing-masing $ 2,40 dan $ 0,75. Produksi 1200 unit. a). Taksir probabilitas produk yang discrap & rework? b). Taksir biaya total scrap dan rework tiap hari? c). Jika rata-rata proses digeser 4,5 mm, jelaskan dampaknya pada persentase produk yang discrap dan rework serta biayanya?

11/03/201460Variabel Random dan Distribusi Peluang - Mesin ITS

11/03/2014Variabel Random dan Distribusi Peluang - Mesin ITS616. Tinjau proses pembuatan coil. Diambil sampel berukuran 5 buah tiap jam dan dicatat tingkat resistensinya (ohm)nya. Data diberikan pada Tabel 1. Andaikan spesifikasi proses 21 3 ohma. Tentukan persentase produk cacat (tidak memenuhi) spesifikasi bila tingkat resistensi berdistribusi normal.b. Andaikan tiap hari diproduksi 10.000 coil dan coil dengan tingkat resistensi kurang dari LSL tidak dapat digunakan, tentukan kerugian bila biaya scrap tiap unit $ 1.

62Tabel 1SampelkeDataSampel keData1234567891011121320,22,21,23,2219,18,20,20,2225,18,20,17,2220,21,22,21,2119,24,23,22,2022,20,18,18,1918,20,19,18,2020,18,23,20,2121,20,24,23,2221,19,20,20,2020,20,23,22,2022,21,20,22,2319,22,19,18,19 21,619,820,421,021,619,419,020,422,020,021,021,019,4 14151617181920212223242520,21,22,21,2220,24,24,23,2321,20,24,20,2120,18,18,20,2020,24,22,23,2320,19,23,20,1921,21,21,24,2223,22,22,20,2221,18,18,17,1921,24,24,23,2320,22,21,21,2019,20,21,21,22 21,222,821,219,222,420,222,021,818,623,020,820,6

11/03/2014Variabel Random dan Distribusi Peluang - Mesin ITS

11/03/2014Variabel Random dan Distribusi Peluang - Mesin ITS63Tabel 1 mean = 20,816Standar deviasi = 1,188725

11/03/2014Variabel Random dan Distribusi Peluang - Mesin ITS64Tabel 2Mean = 37,175 Standar deviasi = 1,678933

11/03/2014Variabel Random dan Distribusi Peluang - Mesin ITS657. Tingkat ketebalan magnetic coating pada proses pem-buatan audio tape merupakan karakteristik kualitas penting. Suatu sampel berukuran 4 unit dipilih tiap jam dan tingkat ketebalannya diukur dengan instrument optik (Tabel 2). Batas-batas spesifikasi proses 38 4,5. Jika tingkat ketebalan proses coating kurang dari batas spesifikasi maka digunakan untuk produk lain dengan melalui proses lain.a). Berapa persen produk tidak memenuhi batas spesifikasi?b). Jika rata-rata proses bergeser menjadi 37,8 berapa persen produk akan diterima?

Tabel 211/03/2014Variabel Random dan Distribusi Peluang - Mesin ITS66

Sampel keSampel ke1234567891036,435,837,333,937,836,138,639,434,439,51112131415161718192036,735,238,839,035,537,138,339,236,837,7

THE GOLDEN TRIANGEL

11/03/201467Variabel Random dan Distribusi Peluang - Mesin ITS

f(x)xHipergeometrik BinomialPoissonNormaln > 20p < 0,05 = np