Peubah Acak & Distribusi Peluang

Peubah Acak & Distribusi PeluangPendahuluanBidang Statistika Penarikan kesimpulan (inferensi) populasi dan sifat populasi.Percobaan hasil berkemungkinanPercobaan statistika Proses yg menghasilkan pengamatan yg berkemungkinan3/27/20153 Definisi Peubah AcakRE : MENGUNCALKAN KOIN, TIGA KALIS = { TTT, TTH, THT, HTT, HHT, HTH, THH, HHH }Peubah X yang mencacah banyaknya heads (H) dalam RE seperti kondisi diatas :X (TTT) = 0X (THT) = 1X (HHT) = 2X (THH) = 2X (TTH) = 1X (HTT) = 1X (HTH) = 2X (HHH) = 3

Nilai fungsi disetiap sample point dinyatakan dengan lambang X(e)Himpunan nilai-nilai { X(e) : e S} disebut range/range space, diberi lambang RX pada contoh diatas RX = { 0, 1, 2, 3 }Ini menunjukan salah satu dari contoh PAD. Dinamakan PAD, karena RX mengambil harga-harga bilangan bulat.Pengertian Peubah AcakPeubah acak merupakan suatu fungsi yang mengaitkan suatu bilangan real pada setiap unsur dalam ruang sampel.Variebal acak merupakan deskripsi numerik dari hasil percobaan / eksperimen.

Contoh 1Dari suatu kotak yang berisi 4 uang logam ratusan (R) dan 2 logam lima puluhan (L). 3 uang diambil secara acak tanpa pengembalian, maka ruang sampel yang mungkin adalah S = {RRR, RRL, RLR, RLL, LRR, LRL, LLR}. Apabila dari percobaan pengambilan 3 uang logam tersebut, ditetapkan peubah acak X yang menyatakan jumlah uang logam ratusan yang muncul, maka diperoleh hasil ?Jawab 1Ruang sampelXRRR3RRL2RLR2LRR2RLL1LRL1LLR1Jika Peubah acak dinyatakan dengan huruf besar, maka nilai dari setiap peubah acak tersebut dinyatakan dengan huruf kecil, sehingga apabila ruang sampel tersebut dinyatakan dengan cara pencirian adalahS = { X | x adalah jumlah uang logam ratusan yang muncul }S = { Y | y adalah jumlah uang logam limapuluhan yang muncul }

Contoh 2Apabila dari percobaan diatas, ditetapkan peubah Y yang menyatakan jumlah uang logam lima puluhan yang muncul, maka diperoleh hasil percobaan ?Jawab 2Ruang sampelYRRR0RRL1RLR1LRR1RLL2LRL2LLR2Contoh 3Dua bola diambil satu demi satu tanpa dikembalikan dari suatu kantung berisi 4 bola merah dan 3 bola hitam. Bila Y menyatakan jumlah bola merah yang diambil maka nilai y yang mungkin dari peubah acak Y adalahJawab 3Ruang sampelyMM2MH1HM1HH0

MACAM PEUBAH ACAK

Peubah Acak Kontinyu, Diskret, dan CampuranPeubah acak yang fungsi distribusinya kontinyu disebut peubah acak kontinyu, peubah acak yang fungsi distribusinya diskret disebut peubah acak diskret, dan peubah yang fungsi distribusinya diskret dan kontinyu disebut peubah acak campuran.

Jika suatu ruang sampel mengandung titik yang berhingga banyaknya atau sederetan anggota yang banyaknya sebanyak bilangan bulat maka ruang sample itu disebut ruang sampel diskret.Jika suatu ruang sampel mengandung titik yang takberhingga banyaknya dan banyaknya sebanyak titik pada sepotong garis maka ruang sample itu disebut ruang sampel kontinyu.

Distribusi Probabilitas Peubah Acak Diskret menggambarkan bagaimana suatu probabilitas didistribusikan thd nilai-nilai dari peubah acak tsb. Untuk peubah diskret X, distribusi probabilitas didefinisikan dengan fungsi probabilitas, yaitu f(x).

Fungsi probabilitas p(x) menyatakan probabilitas untuk setiap nilai peubah acak X.Syarat fungsi probabilitas :(i) f(x) 0(ii) f(x) = 1(iii) P(X=x) = f(x)

Contoh 4Suatu pengiriman 7 pesawat televisi berisi 2 yang rusak. Sebuah hotel membeli 3 pesawat televisi tersebut dan memilih secarak acak dari pengiriman tersebut. Bila X menyatakan banyaknya pesawat rusak yang dibeli hotel tersebut, nyatakan hasilnya dalam distribusi peluang.Jawab 4Apabila pesawat televisi yang rusak dinyatakan dengan R dan yang tidak rusak dinyatakan dengan B, maka ruang sampel yang mungkin adalahS = { RRB,RBR.RBB,BRR,BRB,BBR,bbb }Apabila X menyatakan jumlah pesawat televisi yang rusak, maka ruang sampel yang mungkin dan jumlah pesawat televisi rusak yang dibeli adalah sebagai berikut

Berdasarkan ruang sampel diatas, maka distribusi peluangnya adalah sebagai berikut :Ruang sampel XBBB0RBB, BRB, BBR1RRB, RBR, BRR2X P(X=x)01/713/723/7Fungsi probabilitas kumulatif peubah acak diskret digunakan untuk menyatakan jumlah dari seluruh nilai fungsi probabilitas yg lebih kecil atau sama dengan suatu nilai yg ditentukan.F(x) = P(X x) = f(n) untuk n xdengan, F(x) = P(X x) menyatakan fungsi probabilitas kumulatif pada titik X = x yang merupakan jumlah dari seluruh nilai fungsi probabilitas untuk nilai kurang dari sama dengan x.

Distribusi Probabilitas peubah Acak Kontinyu dinyatakan dgn f(x) dan sering disebut fungsi kerapatan (density function) atau fungsi kerapatan probabilitas, bukan fungsi probabilitas.Nilai f(x) dapat lebih dari 1.

Syarat fungsi kerapatan probabilitas:(i) f(x) 0 (ii) Integral dari f(x) dx = 1 (integral seluruh fungsi kerapatan probabilitas f(x) = 1)catatan: Integral dari f(x) dx = P{x X (x + dx)}, yaitu probabilitas bahwa nilai X terletak pd interval x dan (x + dx).Fungsi probabilitas kumulatif peubah acak kontinyuF(x) = P(X x) = Integral f(x) dx Nilai-nilai x harus kontinyu (dalam suatu interval). Fungsi Probabilitas Bersama (Joint Probability)Jika X dan Y adalah dua peubah acak diskret, maka distribusi probabilitas bersamanya dinyatakan sebagai sebuah fungsi f(x, y) untuk sembarang nilai (x, y) yang dapat diambil dari peubah acak X dan Y. f(x, y) = p(x, y) = P(X = x, Y = y)dengan syarat:(i) p(x, y) 0 (ii) p(x, y): probabilitas bahwa x dan y terjadi bersamaan.Sebagai contoh bila X menyatakan umur (tahun) sapi bali betina dan Y menyatakan banyaknya kali kelahiran maka f(3,4) berarti sapi bali betina umur 3 tahun dan telah melahirkan sebanyak 4 kali.

ContohDua ekor anak kucing Kintamani dipilih secara acak dari dalam keranjang seorang pedagang kucing yang berisi 3 ekor warna putih, 2 ekor warna hitam dan 3 ekor warna kemerahan. Bila X menyatakan anak kucing kintamani yang bulunya berwarna putih dan Y anak kucing Kintamani berwarna hitam terambil/terpilih. Hitunglah fungsi peluang bersama f(x.y) P [ (x,y) A] bila A daerahnya { (x,y) x + y 1}

JawabPasangan harga (x,y) yang memungkinkan adalah : (0,0), (0,1) (1,0)(1,1)(0,2)atau(2,0) Banyaknya cara yang berkemungkinan sama memilih dua ekor anak anjing kintamani dari 8 ekor (3+2+3 ekor) yang bulunya berwarna putih dan hitam adalah (82) = 8/2!(8-2)! = 28 Misalkan f(0,1) menyatakan peluang bahwa anak anjing Kintamani yang warna bulunya kemerahan dan hitam yang terpilih dapat dicari denagn cara :