iv. sebaran peluang kontinyu

5/13/2018 IV. Sebaran Peluang Kontinyu - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/iv-sebaran-peluang-kontinyu 1/44

4. Sebaran Peluang Kontinyu

EL2002-Probabilitas dan Statistik

Dosen: Andriyan B. Suksmono



Isi

1. Sebaran normal/Gauss

2. Luas daerah di bawah kurva normal

3. Hampiran normal untuk sebaran binomial

4. Sebaran Gamma, Eksponensial, dan Chi-

kuadrat

5. Sebaran Weibull



4.1 Sebaran Normal/Gauss



Pendahuluan

• Sebaran normal adalah sebaran paling

penting dalam Statistika.

• 1733, DeMoivre mengembangkan ekspresimatematika untuk kurva normal.

• Gauss (1777-1855) menurunkan persamaannormal ketika mempelajari kesalahan dari

eksperimen berulang.

• Sebaran normal n(x; μ, σ) dari peubah acak

X bergantung pada mean μ dan variansi σ.



Konsep

• SEBARAN NORMAL. Fungsi kerapatan (peluang) dari peubah acak normal X,dengan mean μ dan variansi σ2, adalah

dimana π=3.14159 … dan e=2.71828 …

( )

2

2

1

2

1,;

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

−

= σ

μ

σ π σ μ

x

e xn

%----------------------------------------------------

%Fig.4.1: Gaussian Curve n(x,mu,sigma)

% mean=0.0 and sigma=1

%----------------------------------------------------

mu=0.0;sigma=1.0

x=-10:0.1:10;

g=(1/sqrt(2*pi)/sigma)*exp(-0.5*(x-mu).^2/sigma^2);

figure(1); plot(x,g);

%------------------------------------------------------

%Fig.4.2: Two Gaussian Curves n(x,mu,sigma)

% with mu1=-2.0, mu2=2.0 and sigma=1

%------------------------------------------------------

mu1=-2;mu2=4;sigma=1.0

x=-10:0.1:10;

g1=(1/sqrt(2*pi)/sigma)*exp(-0.5*(x-mu1).^2/sigma^2);

g2=(1/sqrt(2*pi)/sigma)*exp(-0.5*(x-mu2).^2/sigma^2);

figure(1); plot(x,g1,'r-',x,g2,'b:');

-1 0 -8 - 6 - 4 -2 0 2 4 6 8 1 00

0 . 0 5

0 . 1

0 . 1 5

0 . 2

0 . 2 5

0 . 3

0 . 3 5

0 . 4

μ 1

μ 2

σ

1

σ

2

= σ

1

-1 0 -8 - 6 -4 -2 0 2 4 6 8 1 00

0 . 0 5

0 . 1

0 . 1 5

0 . 2

0 . 2 5

0 . 3

0 . 3 5

0 . 4

μ

σ



Kurva normal dng berbagai μ dan σ

%------------------------------------------------------


% with mu1=mu2=0.0 and sigma1<sigma2

%------------------------------------------------------

mu1=0.0;mu2=0.0;sigma1=1.0;sigma2=3x=-10:0.1:10;

g1=(1/sqrt(2*pi)/sigma1)*exp(-0.5*(x-mu1).^2/sigma1^2);



%------------------------------------------------------


% with mu1<mu2 and sigma1 < sigma2

%------------------------------------------------------

mu1=-4.0;mu2=2.0;sigma1=1.0;sigma2=3

x=-10:0.1:10;




-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

σ 1

μ 2= μ

1

σ 2>σ

1

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100

0.05

0. 1

0.15

0. 2

0.25

0. 3

0.35

0. 4

σ

1

σ 2>σ

1

μ

2

> μ

1

μ 1



Sifat-sifat kurva normal

1. Modus, yaitu titik dalam sumbu mendatar dimana

kurva mencapai maksimum adalah x = μ

2. Kurva simetrik terhadap mean μ3. Kurva memiliki titik infleksi pada x = μ±σ, yaitu

telungkup (concave) kebawah saat μ-σ<X<μ+σ,

dan telungkup keatas didaerah lainnya.

4. Semakin jauh dari mean μ, kurva mendekati

sumbu mendatar secara asimptotis.

5. Luas daerah dibawah kurva (diatas sumbu

mendatar) sama dengan 1.



Bukti μ adalah mean

• Integral pertama adalah μ dikalikan dng luas daerah dibawah kurva

normal (=1), dng demikian hasilnya adalah μ• Integral kedua adalah integral terhadap fungsi ganjil, hasilnya akan

sama dengan nol.

• Dengan demikian: E(X) = μ

( ) dx xe X E

x

∫ ∞

∞−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−

=

2

2

1

2

1 σ

μ

σ π

Dng membuat z=(x-μ)/ σ dan dx = σ dz, maka akan kita peroleh

( ) ( )

∫ ∫

∫ ∞

∞−

−∞

∞−

−

∞

∞−

−

+=

+=

dz zedze

dze z X E

z z

z

22

2

22

2

22

1

2

1

π

σ

π μ

σ μ σ π



Bukti σ2 adalah variansi

• Integrasi perbagian dng u=z dan dv= z exp(-z2 /2), sehinggadu=dz dan v=-exp(-z2 /2) , diperoleh

( )[ ] ( ) dxe x X E x

∫ ∞

∞−

⎥⎦⎤⎢⎣

⎡ −−

−=−2

2

122

2

1 σ μ

μ σ π

μ

Dng membuat z=(x-μ)/ σ => (x-μ)2=z2σ2 dan dx = σ dz, maka

( )[ ] ∫ ∞

∞−

−=− dze z X E

z

222

2

2

2π

σ μ

( )[ ]

( )

22

22

22

10

2

22

σ σ

π

σ μ

=+=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ +−=− ∫

∞

∞−

−∞

∞−

−dze ze X E

z z



Luas daerah di bawahkurva normal



Integrasi fs sebaran dan Nilai Peluang

• Setiap kurva dari sebaran peluang kontinyu atau fungsi kerapatan dibuatsedemikian hingga daerah dibawah kurva yang dibatasi dua ordinatnya,x=x1 dan x=x2, sama dengan nilai peluang dari peubah acak X antarax=x1 dan x=x2. Dng demikian, untuk gambar 4.5 dibawah:

( ) ( ) dxedx xn x X xP

x

x

x x

x

∫ ∫ ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−

==<<2

1

2

2

1

2

1

212

1,; σ

μ

σ π σ μ

μx1 x2

x



Luas ditentukan oleh μ dan σ2

• Gambar 4.6 menunjukkan, untuk selang x1 dan x2 yangsama, luas daerah dibawah kurva bisa berlainan. Nilainyabergantung juga pada μ dan σ2.

μ1 x1 x2

x

μ2

Gambar 4.6



Transformasi peubah acak

• Untuk beberapa keperluan, perlu dilakukan tabulasi nilai peluangsebaran normal dalam selang tertentu. Ini tidak mungkin dilakukanuntuk semua kombinasi μ dan σ2.

• Untunglah kita bisa melakukan transformasi sebarang observasi normal

ke sebaran baku yang memiliki mean nol dan variansi satul.• Tranformasi yang dipakai: Z=(X-μ)/ σ• Jika X memiliki nilai batas x1 dan x2, maka luas daerah antar batas tsb

akan sama dengan luas dibawah kurva normal baku yang memiliki batas

z1=(x1-μ)/ σ dan z2=(x2-μ)/ σ. Akibatnya:

( )

( ) ( )21

2

2

2

1

21

2

1

2

1

22

1

1,0;

2

1

2

1

z Z zPdz zn

dzedxe x X xP

z

z

z

z

z x

x

x

<<==

==<<

∫

∫ ∫ −⎟

⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −

−

π σ π

σ

μ

• dimana Z adalah peubah acak normal dengan mean nol dan variansi satu



Sebaran Normal Baku

• Def. 4.1. Sebaran dari peubah acak normal denganmean nol dan variansi 1 disebut sebagai sebarannormal baku

μx1

x2

x

0z1 z2

z

Z = (X- μ)/ σσ σ=1

• Dalam buku teks, sebaran normal baku diberikan

pada Tabel IV di lampiran.

( 0 1)d



∫ z-∞ n( z;0,1)d z



Contoh 4.1

• Soal: Diberikan suatu sebaran normal dengan μ=50 danσ=10, tentukan peluang X bernilai antara 45 dan 62

• Jawab: nilai z yang terkait dengan x1=45 dan x2= 62 adalah

z1

= (45-50)/10 = -0.5

z2 = (62-50)/10 = 1.2

Dengan demikian

P(45<X<62) = P(-0.5<Z<1.2)

Dari Tabel IV, kita perolehP(45<X<62) = P(-0.5<Z<1.2)

= P(Z<1.2) - P(Z<-0.5)

= 0.8849 – 0.3085=0.5764

-0.5 1.2

z



Sebaran normal baku dan T. Chebysev

• T. Chebysev mengatakan bahwa peluang suatu peubahacak berada dalam 2 simpangan baku, sedikitnya ¾.Untuk sebaran normal baku, z untuk x1=μ-2σ danx

2=μ+2σ dapat dihitung sbb

z1 = [(μ-2σ)-μ]/ σ = -2, dan

z2 = [(μ+2σ)-μ]/ σ = 2, dan

Dengan demikian,

P(μ-2σ<X< μ+2σ) = P(-2<Z<2)

= P(Z<2) – P(Z<-2)

=0.9772 – 0.0228 (Tabel IV)

= 0.9544

• Hasil ini jauh lebih “kuat” daripada yang diberikan olehTeorema Chebysev.



Contoh 4.2

• Soal: Sejenis batere tertentu rata-rata akan habis listriknyadalam 3.0 tahun dengan simpangan baku 0.5 tahun. Jika waktuhidup batere tersebar normal, tentukan peluang bahwa suatubatere tertentu akan habis listriknya dalam 2.3 tahun!

• Jawab: Peluang yang dimaksud dilukiskan pada gambar 4.9.Untuk menentukan P(X<2.3), kita perlu menghitung luasdibawah kurva normal dari -∞ dampai 2.3. Transformasi kekurva normal baku memberikan z=(2.3-3)/0.5 = -1.4.Berdasarkan Tabel IV diperoleh

P(X<2.3) = P(Z<-1.4)

= 0.0808

2.3 3

σ=0.5



Contoh 4.3

• Soal: Sebuah pabrik memproduksi bola lampu yng memiliki waktuhidup tersebar normal dengan mean 800 jam dan simpangan baku 40 jam. Tentukan peluang suatu bola lampu produksi pabrik tsb terletak antara 778 dan 834 jam.

• Jawab: Sebaran spt dilukiskan pada Gb.4.10. nilai z untuk x1=778 danx2=834 adalah

z1 = (778-800)/40 = -0.55

z2 = (834-800)/40 = 0.85

Dengan demikian

P(778<X<834) = P(-0.55<Z<0.85)

= P(Z<0.85) – P(Z<-0.55)

= 0.8023 – 0.2912

= 0.511

778 834800

σ=40

x



Contoh 4.4

• Soal: Suatu jenis komponen akan direject jika beradadiluar persyaratan 1.50±d. Hasil pengukuran tersebarnormal dengan mean 1.50 dan simpangan baku 0.2.Tentukan nilai d sehingga spesifikasi ini meliput 95%

pengukuran.• Jawab: Dalam soal ini akan ditentukan nilai z sehingga

prosentase terpenuhi, lalu kembalikan menjadi x denganrumus x=σz+μ. Dari Tabel IV diperolah

0.95 = P(-1.96 <Z<1.96))Jadi: 1.50 +d = (0.2)(1.96)+1.50

atau: d = (0.2)(1.96) = 0.392

1.108 1.50

σ=0.2

1.892

0.025 0.025



Contoh 4.5

• Soal: Suatu mesin pembuat resistor dengan sebarannormal. Mean dari resistor 40 ohm dan simpanganbakunya 2 ohm. Akurasi bisa berapapun, tentukanprosentase resistor yang melebihi 43 ohm

• Jawab: Prosentasi ditentukan dengan mengalikan frekuensidengan 100%. Kita akan menghitung nilai peluangdisebelah kanan 43 pd gambar 4.12. Ini bisa dilihat padaTabel IV setelah dihitung z-nya, yaitu

z = (43-40)/2 = 1.5Dengan demikian

P(X>43) = P(Z>1.5) = 1-P(Z<1.5)

= 1-0.9332= 0.0668

Jadi, ada 6.68% resistor yang

nilainya diatas 43 Ohm 40

σ=2.0

43



Contoh 4.6

• Soal: Tentukan prosentase dari resistor spt pada soal sebelumnya yangmelebihi 43 ohm jika resistansi diukur pada nilai ohm terdekat .

• Jawab: Soal ini sedikit berbeda dari sebelumnya, nilai 43 ohm di-assign untuk semua resistor yng terletak dalam selang 42.5 – 43.5.Jadi, kita menghitung nilai aproksimasi sebaran diskrit deng sebaran

normal yang kontinyu. Dari gambar 4.13 dpt dihitungz = (43.5 - 40)/2 =1.75

jadi P(X>43.5) = P(Z>1.75) = 1 – P(Z<1.75)

= 1 – 0.9599

= 0.0401Jadi ada 4.01% resistor yang melebihi 43

ohm diukur dng ohm terdekat.

Perbedaan sebesar 6.68%-4.01%

= 2.67% dng jawab sebelumnyaadalah kontribusi resistor yang

lebih dari 43 tapi kurang dari 43.5

(tercatat sbg 43 ohm).

40

σ=2.0

43.5



4.3 Hampiran sebaran binomialdengan sebaran normal



Hampiran sebaran

• Nilai b(x;n,p) telah ditabulasi untuk n kecil. Jikatdk ada di tabel, kita harus menghitung sendiri. Ini

bisa dilakukan secara hampiran.

• Sebelumnya telah dijelaskan bahwa sebaran

Poisson dapat dipakai sebagai hampiran sebaran

binomial jika n besar dan p mendekati 1. Kedua-duanya sebaran diskrit.

• Akan diperlihatkan bahwa sebaran normal dapat

menjadi hampiran yang cukup teliti untuk sebaranbinomial, jika n besar dan p mendekati ½ .



Teorema

• Teorema 4.1 Jika X suatu peubah acak binomialdengan mean μ=np dan variansi σ2=npq, maka

batas dari sebaran

ketika n→∞ adalah sebaran normal n( z;0,1)

npq

np X Z −=



Contoh

• Tinjau sebaran binomial b(x;15,0.4).• Untuk x=4, kita dapatkan b(4;15,0.4)=0.1268

• Nilai tsb didekati dng kurva dibawah kurva normal dngbatas antara x1=3.5 sampai dengan x2=4.5

⇒ z1=(3.5-6)/1.9 = -1.316

z2=(4.5-6)/1.9 = -0.789

Jika X peubah acak binomial dan Z peubah acak normal,

makaP(X=4) = b(4;5, 0.4)

~ P(-1.316<Z<-0.789)

= P(Z<-0.789) – P(Z<-1.316)= 0.2151 – 0.0941

= 0.1210

cukup dekat dengan nilai b(4;15,0.4) = 0.1268



Contoh …

• Pendekatan ini sangat berguna untuk menghitung jumlah binomialuntuk n besar. Andaikan kita akan menghitung peluang X bernilaiantara 7 dan 9 (inklusif) dari soal sebelumnya, maka

P(7≤ X ≤9) = ∑9

7

b(x;15,0.4)

= ∑90 b(x;15,0.4) - ∑6

0 b(x;15,0.4)

= 0.9662 – 0.6098

= 0.03564

• Dengan pendekatan normal, kita akan hitung luas daerah dibawahkurva normal dengan batas antara x1=6.5 sampai dengan x2=9.5. Nilaiz1, z2 ybs adalah

z1 = (6.5-6)/1.9 = 0.263; z2= (9.5-6)/1.9 =1.842

P(7≤ X ≤9) ~ P(0.263≤ Z ≤1.842)= P(Z<1.842) – P(Z<0.263)

= 0.9673 – 0.6037

= 0.3636

ih



Latihan

• No: 2, 3

• No: 15, 16



4.4 Sebaran Gamma,Eksponensial, dan Chi-kuadrat

F i G



Fungsi Gamma

• Teorema 4.2 Fungsi gamma didefinisikan sebagai

dimana α >0.( ) ∫

∞−−=Γ

0

1dxe x

xα α

substitusi dengan u=xα-1 dan dv=e-xdx, kemudian integrasi parsial,

akan menghasilkan

Γ(α) = -e-xxα-1|0∞ + ∫ 0

∞e-x(α-1)xα-2 dx

= (α-1) ∫ 0∞e-xxα-2 dx

Kita peroleh rumus rekursi

Γ(α) = (α-1)Γ(α-1) = (α-1) (α-2)Γ(α-2) = … dst.

Untuk α=n bulat positif, maka: Γ(n) = (n-1)(n-2) … Γ(1).Perdefinisi Γ(1) = ∫ 0

∞e-xdx =1. Dengan demikian, maka

Γ(n) = (n-1)!

• Salah satu sifat fungsi gamma yang penting adalah Γ(1/2) = √π

Sebaran Gamma



Sebaran Gamma• SEBARAN GAMMA. Peubah acak kontinyu X memiliki sebaran

gamma dengan parameter α dan β, jika fungsi kerapatannya diberikanoleh

dimana α>0 dan β>0.

( )( )

lainnya

xe x x f

x

,0

0,1 1

=

>Γ

=−

− β α

α α β

• Grafik sebaran gamma. Jika α=1, sebaran menjadi eksponensial.

f(x)

1 2 3 4 5 6 7

0.5

1

x

α=1, β=1

α=2, β=1

α=4, β=1

S b k i l



Sebaran eksponensial

• SEBARAN EKSPONENSIAL. Peubah acak kontinyu Xakan memiliki sebaran eksponensial dengan parameter β jika

fungsi kerapatannya diberikan oleh

dimana β >0.

( )

lainnya

xe x f

x

,0

0,1

=

>= − β

β

• Sebaran eksponensial memiliki banyak aplikasi dalam

statistik, khususnya menyangkut teori keandalan (reliability)dan teori antrian ( queueing theory).

C t h 4 10



Contoh 4.10

• Soal: Suatu sistem mengandung komponen tertentu yang waktukegagalannya (dalam tahun) diberikan oleh peubah acak T yangmemiliki sebaran eksponensial dengan parameter β=5. Jika 5dari komponen ini dipasang pada berbagai sistem, berapapeluang 2 diantaranya tetap berfungsi setelah 8 tahun?

• Jawab: Peluang suatu komponen tetap berfungsi setelah 8 tahundiberikan oleh

P(T >8) = (1/5)∫ 8∞

e-t/5

dt= e-8/5 ~0.2

Andaikan X menyatakan jumlah komponen yang masih

berfungsi stlh 8 tahun. Maka dengan sebaran binomialP(X ≥2) = ∑2

5 b( x;5,0.2) = 1- ∑01 b(x;5,0.2)

=1-0.7373 = 0.2627

S b Chi k d t



Sebaran Chi-kuadrat

• Kasus khusus kedua untuk sebaran gamma diperoleh ketikaα=v/2, dan β=2. Sebaran yang dihasilkan disebut sebaran

chi-kuadrat dengan derajat bebas v.

• SEBARAN CHI-KUADRAT. Peubah acak kontinyu Xmemiliki sebaran peluang chi-kuadrat, dengan derajat bebas v, jika fungsi kerapatan peluangnya diberikan oleh

dimana v bilangan bulat positif.

( )

lainnya

xe xv

x f

xv

v

,0

0,

22

1 212

2

=

>⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ Γ

= −−

• Sebaran Chi-kuadrat adalah salah satu perangkat penting

dalam bidang pengujian hipotesis.

Mean dan variansi



Mean dan variansi

• TEOREMA 4.2 Mean dan variansi dari sebarangamma adalah

μ = αβ dan σ2 = αβ2

• COROLLARY 1. Mean dan variansi dari sebaraneksponensial adalah

μ=β dan σ2=β2

• COROLLARY 2. Mean dan variansi dari sebaranchi-kuadrat adalah

μ=v dan σ2=2v



4.5 Sebaran Weibull

Pengantar



Pengantar

• Teknologi modern memungkinkan dibuatnyasistem/perangkat yang operasi maupun keselamatannyatergantung dari berbagai komponen.

• Contoh: sekering dpt terbakar, kolom beton dapat roboh,atau pengindera panas dapat gagal.

• Komponen yang sama dalam pengaruh lingkungan samadapat mengalami kegagalan dlm waktu berbeda dan tak

teramalkan.• Waktu kegagalan atau waktu hidup komponen diukur dari

saat mula tertentu sampai gagal dinyatakan dengan peubah

acak T dan fungsi rapat peluang f(T). Salah satu yangterpenting dalam permasalahan keandalan adalah sebaranWeibull.

Sebaran Weibull



Sebaran Weibull• SEBARAN WEIBULL. Peubah acak kontinyu T disebut memiliki

sebaran Weibull dengan parameter α dan β, jika fungsi kerapatan

peluangnya diberikan oleh

dimana α>0 dan β>0.

( )

lainnya

t et t f t

,0

0,1

=

>= −− β α β αβ

f(t)

0.51.0 1.5

t

β=1

β=2β=3

Sebaran Weibull (α=1)

Mean dan variansi



Mean dan variansi

• Terlihat kurva berbeda-beda untuk parameter yangberlainan, khususnya β. Jika β=1, sebaran Weibullmenjadi sebaran eksponensial.

• Untuk β>1, kurva mendekati bentuk lonceng danmirip kurva normal, tapi punya skewness.

• TEOREMA 4.3 Mean dan variansi dari sebaranWeibull adalah:

μ = α-1/ βΓ(1+1/ β)

σ2 = α-2/ β{Γ(1+2/ β) – [Γ(1+1/ β)]2 }

Aplikasi



Aplikasi

• Untuk menerapkan sebaran Weibull dalam teori keandalan,definisikan keandalan dari produk sebagai peluang bahwa produk ini berfungsi secara benar untuk sedikitnya dalamwaktu tertentu dalam kondisi percobaan tertentu pula.

• Jadi, jika R(t) keandalan komponen pada saat t, maka

R(t) = P(T>t) = ∫ 1∞ f(t) dt

= 1-F(t)

dimana F(t) adalah sebaran kumulatif dari T.

• Peluang bersyarat bahwa suatu komponen akan gagaldalam selang T=t sampai T= t + Δt, diberikan komponen

ini tahan sampai t, adalah

[F(t+Δt) – F(t)] / R(t)

Lanjutan



Lanjutan …

• Laju kegagalan adalah

( )( ) ( )

( )( )( )

( )( )

( )( )t F

t f

t R

t f

t R

t F

t Rt

t F t t F t Z

t

−=

==Δ

−Δ+=

→Δ

1

'1lim

0

• Karena R(t) = 1-F(t) dan R’(t) = -F’(t), kita dapat menuliskan

persamaan diferensial berikut

Z(t) = -R’(t)/R(t) = -d[ln R(t)]/dt

dan kemudian dengan memecahkan

ln[R(t)] = - ∫ Z(t) dt , atau

R(t) = exp(-∫ Z(t)dt) + c

dimana c menyatakan asumsi awal R(0) =1 atau F(0) = 1-R(0) =0.

• Terlihat bahwa pengetahuan fungsi kerapatan f(t) atau laju

kegagalan Z(t) saling menentukan.

Contoh 4 11



Contoh 4.11

• Soal: Tunjukkan bahwa fungsi laju kegagalan diberikan olehZ(t) = αβtβ-1 , t>0

jika dan hanya jika sebaran waktu ke kegagalan adalah sebaranWeibull dengan fungsi kerapatan

f(t) = αβtβ-1 exp(-αtβ), t>0

• Jawab: asumsikan bahwa Z(t) = αβtβ-1, t>0. Maka kita dapat

menuliskanf(t) = Z(t) R(t), dimana

R(t) = exp(-∫ Z(t)dt) = exp(-∫αβtβ-1dt) = exp(αtβ +c)

dari kondisi R(0) = 1, kita temukan c=0. Maka

R(t) = exp(-αtβ) dan

f(t) = αβtβ-1 exp(-αtβ), t>0

Lanjutan



Lanjutan …

• Dengan mengasumsikanf(t) = αβtβ-1 exp(-αtβ), t>0

maka Z(t) ditentukan dengan menuliskan

Z(t) = f(t)/R(t)

dimanaR(t) = 1-F(t) = 1-∫ 0t αβxβ-1 exp(-αxβ)dx,

= 1+∫ 0t d(exp(-αxβ))

= exp (-αtβ)

MakaZ(t) = αβtβ-1 exp(-αtβ)/exp(-αtβ)

= αβtβ-1 , t>0

• Dlm contoh ini, laju kegagalan menurun thd waktu jika β<1,

meningkat jika β>1, dan konstan jika β=1.• Dari sudut pandang β=1 sebaran Weibull menjadi eksponensial,asumsi kegagalan konstan sering diacu sebagai asumsi eksponensial.



Selesai

iv. sebaran peluang kontinyu

Documents