pengantar proses stokastik · peluang bersama distribusi diskrit peluang bersama distribusi kontinu...

Peluang BersamaPeluang dan Ekspektasi Bersyarat

Pustaka

Pengantar Proses StokastikBab 2: Peluang dan Ekspektasi Bersyarat

Atina Ahdika, S.Si, M.Si

Statistika FMIPAUniversitas Islam Indonesia

2015

Atina Ahdika, S.Si, M.Si Pengantar Proses Stokastik


Pustaka

Peluang Bersama Distribusi DiskritPeluang Bersama Distribusi KontinuKebebasan

Peluang Bersama Distribusi Diskrit

Misalkan X dan Y adalah peubah acak-peubah acak diskrit yangterdefinisi di ruang sampel yang sama. Maka fungsi peluangbersama dari X dan Y

pX ,Y (x , y) = P(X = x ,Y = y)



Pustaka


Sifat-sifat fungsi peluang bersama pX ,Y (x , y):

1 pX ,Y (x , y) ≥ 0, ∀(x , y)

2∑∑

x ,y pX ,Y (x , y) = 1



Pustaka


Fungsi Peluang Marginal

Fungsi peluang marginal dari X dan Y masing-masing adalah:

pX (x) =∑y

pX ,Y (x , y), x ∈ R

danpY (y) =

∑x

pX ,Y (x , y), y ∈ R



Pustaka


Contoh 1

Berikut adalah data tentang jumlah kamar tidur dan kamar mandidari 50 rumah yang akan dijual:

X\Y 2 3 4 5 Total

2 3 0 0 0 3

3 14 12 2 0 28

4 2 11 5 1 19

Total 19 23 7 1 50

Hitung pX ,Y untuk semua nilai X dan Y



Pustaka


Penyelesaian:

X\Y 2 3 4 5 Total

2 0.06 0 0 0 0.06

3 0.28 0.24 0.04 0 0.56

4 0.04 0.22 0.10 0.02 0.38

Total 0.38 0.46 0.14 0.02 1



Pustaka


Peluang Bersama Distribusi Kontinu

Misalkan X dan Y adalah peubah acak-peubah acak kontinu yangterdefinisi di ruang sampel yang sama. Fungsi distribusi bersamadari X dan Y adalah

FX ,Y (x , y) = P(X ≤ x ,Y ≤ y)

dan fungsi peluang bersamanya adalah

fX ,Y (x , y) =∂2

∂x∂yFX ,Y (x , y) =

∂2

∂y∂xFX ,Y (x , y)



Pustaka


Sifat-sifat fungsi peluang bersama fX ,Y (x , y) adalah:

1 fX ,Y (x , y) ≥ 0, ∀(x , y) ∈ R2

2

∞∫−∞

∞∫−∞

fX ,Y (x , y) dx dy = 1



Pustaka


Fungsi Peluang Marginal

Misalkan X dan Y adalah peubah acak-peubah acak kontinudengan fungsi peluang bersama fX ,Y (x , y), maka fungsi peluangmarginal dari X dan Y masing-masing adalah

fX (x) =

∫y

fX ,Y (x , y)dy , x ∈ R

dan

fY (y) =

∫x

fX ,Y (x , y)dx , y ∈ R



Pustaka


Contoh 2

Misalkan X dan Y mempunyai fungsi peluang bersama

fX ,Y (x , y) = 3y2

x3, 0 < y < x < 1. Tentukan fungsi peluang

marginal X dan Y .



Pustaka


Penyelesaian:

a. Fungsi peluang marginal X

fX (x) =

x∫0

fX ,Y (x , y)dy =

x∫0

3y2

x3dy

=

[y3

x3

]x0

=x3

x3= 1



Pustaka


b. Fungsi peluang marginal Y

fY (y) =

1∫y

fX ,Y (x , y)dx =

1∫y

3y2

x3dx

=

[−3y2

2x2

]1y

=−3y2

2−(−3y2

2y2

)=−3y4 + 3y2

2y2=

3y2(1− y2)

2y2=

3

2(1− y2), 0 < y < 1



Pustaka


Kebebasan

Dua kejadian X dan Y saling bebas jika dan hanya jika

fX ,Y (x , y) = fX (x)fY (y)



Pustaka


Contoh 3

Pada Contoh 2, apakah X dan Y saling bebas?Jawab:

fX (x)fY (y) = 1

(3

2(1− y2)

)=

3

2(1− y2)

6= fX ,Y (x , y)

Jadi, X dan Y tidak saling bebas.



Pustaka

Peluang Bersyarat Distribusi DiskritEkspektasi Bersyarat Distribusi DiskritPeluang Bersyarat Distribusi KontinuConditioning RulesDiskusi

Peluang Bersyarat Distribusi Diskrit

Misalkan X dan Y peubah acak-peubah acak diskrit. JikapY (y) > 0, maka fungsi peluang bersyarat X diberikan Y = yadalah

pX |Y (x |y) = P(X = x |Y = y)

=P(X = x ,Y = y)

P(Y = y)

=pX ,Y (x , y)

pY (y)



Pustaka


Jika X dan Y saling bebas, maka

pX |Y (x |y) =P(X = x ,Y = y)

P(Y = y)

=P(X = x)P(Y = y)

P(Y = y)

= P(X = x)



Pustaka


Fungsi distribusi bersyarat X diberikan Y = y , untuk semua ysehingga P(Y = y) > 0 adalah

FX |Y (x |y) = P(X ≤ x |Y = y)

=∑a≤x

pX |Y (a|y)



Pustaka


Ekspektasi Bersyarat Distribusi Diskrit

Ekspektasi bersyarat dari X diberikan Y = y adalah

E [X |Y = y ] =∑x

x P(X = x |Y = y)

=∑x

x pX |Y (x |y)



Pustaka


Law of Total Probability

Misalkan {B1,B2, . . . ,Bn} merupakan himpunan darikejadian-kejadian yang saling asing (’mutually exclusive’), yaitupartisi-partisi dari ruang sampel S ,

∪iBi = S =⇒ P(∪iBi ) = 1

Bi ∩ Bj = φ, untuk i 6= j =⇒ P(Bi ∩ Bj) = 0



Pustaka


Maka, A = A ∩ S = A ∩ (∪iBi ) = ∪i (A ∩ Bi ) dan

P(A) =n∑

i=1

P(A ∩ Bi ) =n∑

i=1

P(A|Bi )P(Bi )



Pustaka


Contoh 4

Misalkan p(x , y) diberikan

p(1, 1) = 0.5 p(1, 2) = 0.1

p(2, 1) = 0.1 p(2, 2) = 0.3

Hitung peluang bersyarat X diberikan Y = 1.



Pustaka


Pertama, kita mempunyai

pY (1) =∑x

p(x , 1) = p(1, 1) + p(2, 1) = 0.6

Maka,

pX |Y (1|1) = P(X = 1|Y = 1) =P(X = 1,Y = 1)

P(Y = 1)

=p(1, 1)

pY (1)=

5

6

pX |Y (2|1) =p(2, 1)

pY (1)=

1

6



Pustaka


Contoh 5

Lala sedang mempersiapkan diri menghadapi seminar TA 2.Sebagai seorang mahasiswa yang selalu penuh perhitungan, Lalamencoba memperkirakan apakah akan mendapat hari yang baikatau hari yang buruk. Jika Lala mendapat hari yang baik, makapara dosen penguji semua akan menghujani Lala denganpertanyaan-pertanyaan (secara independen satu sama lain) denganpeluang 0.2. Jika mendapat hari yang buruk peluangnya membesarmenjadi 0.6. Menghujani pertanyaan-pertanyaan berartimembantai atau tidak meluluskan. Lala yakin bahwa hari yangbaik akan didapatkannya dua kali lebih banyak dibanding hari yangburuk. Pertanyaannya: Berapa peluang Lala akan lulus seminar?



Pustaka


Penyelesaian:Misalkan

A : kejadian hari yang baik

B : kejadian hari yang buruk

L : kejadian meluluskan

TL : kejadian tidak meluluskan

Maka

P(TL|A) = 0.2 P(L|A) = 0.8

P(TL|B) = 0.6 P(L|B) = 0.4

P(A) = 2P(B)



Pustaka


P(TL) = P(TL|A)P(A) + P(TL|B)P(B)

= 0.2(2P(B)) + 0.6P(B)

= P(B)

P(L) = P(L|A)P(A) + P(L|B)P(B)

= 0.8(2P(B)) + 0.4P(B)

= 2P(B)

P(L) + P(TL) = 1

2P(B) + P(B) = 1

P(B) =1

3=⇒ P(A) =

2

3

Maka, peluang Lala akan lulus seminar adalahP(L) = 2P(B) = 2

(13

)= 2

3



Pustaka


Peluang Bersyarat Distribusi Kontinu

Jika X dan Y mempunyai fungsi peluang bersama fX ,Y (x , y),maka fungsi peluang bersyarat dari X diberikan Y = y , terdefinisi∀y sehingga fY (y) > 0, adalah

fX |Y (x |y) =fX ,Y (x , y)

fY (y)



Pustaka


Ekspektasi Bersyarat Distribusi Kontinu

Ekspektasi bersyarat dari X diberikan Y = y adalah

E [X |Y = y ] =

∞∫−∞

x fX |Y (x |y)dx



Pustaka


Contoh 6

Misalkan fungsi peluang bersama X dan Y diberikan

fX ,Y (x , y) =

{6xy(2− x − y), 0 < x < 1, 0 < y < 1

0, lainnya

Tentukan ekspektasi bersyarat dari X diberikan Y = y , di mana0 < y < 1.



Pustaka


Penyelesaian:Pertama, kita tentukan fX |Y (x |y) yaitu

fX |Y (x |y) =fX ,Y (x , y)

fY (y)

=6xy(2− x − y)

1∫0

6xy(2− x − y) dx

=6xy(2− x − y)

y(4− 3y)

=6x(2− x − y)

4− 3y



Pustaka


Maka

E [X |Y = y ] =

1∫0

x6x(2− x − y)

4− 3ydx

=(2− y)2− 6

4

4− 3y

=5− 4y

8− 6y



Pustaka


Conditioning Rules

E [X ] = E [E [X |Y ]]Bukti:

E [X ] =∑y

E [X |Y = y ]P(Y = y)

=∑y

∑x

x P(X = x |Y = y)P(Y = y)

=∑y

∑x

xP(X = x ,Y = y)

P(Y = y)P(Y = y)

=∑y

∑x

x P(X = x ,Y = y)

=∑x

x∑y

P(X = x ,Y = y) =∑x

x P(X = x) �



Pustaka


Contoh 7

Sam akan membaca baik satu bab buku statistika maupun satubab buku sejarah. Jika banyaknya kesalahan cetak pada satu babbuku statistika berdistribusi Poisson dengan mean 2 danbanyaknya kesalahan cetak pada satu bab buku sejarah jugaberdistribusi Poisson dengan mean 5. Asumsikan Sam memilikipeluang yang sama untuk memilih kedua buku tersebut, berapabanyak kesalahan cetak yang diharapkan yang akan Sam temukan?



Pustaka


Penyelesaian:Misalkan

X : menyatakan banyaknya kesalahan cetak

Y : menyatakan buku yang akan dipilih

Misalkan

Y =

{1, jika Sam memilih buku statistika

2, jika Sam memilih buku sejarah

Maka

E [X ] = E [X |Y = 1]P(Y = 1) + E [X |Y = 2]P(Y = 2)

= 2

(1

2

)+ 5

(1

2

)=

7

2



Pustaka


Misalkan E adalah sebarang kejadian dan definisikan peubahacak indikator X oleh

X =

{1, jikaE terjadi

0, jikaE tidak terjadi

Maka

E [X ] = P(E )

E [X |Y = y ] = P(E |Y = y), untuk sebarang peubah acak Y



Pustaka


Maka,

P(E ) = E [X ] = E [E [X |Y = y ]]

= E [P(E |Y = y)]

=∑y

P(E |Y = y)P(Y = y), jika Y diskrit

=

∞∫−∞

P(E |Y = y)fY (y)dy , jika Y kontinu



Pustaka


Contoh 8

Di kampung, setiap Minggu pagi Swari meninggalkan rumah untuklari pagi. Swari akan pergi lewat pintu depan/belakang denganpeluang sama. Ketika meninggalkan rumah, Swari memakai sepatuolahraga/bertelanjang kaki jika sepatu tidak tersedia di depanpintu yang ia lewati. Ketika Swari pulang, Swari akan masuk lewatpintu depan/belakang dan meletakkan sepatunya dengan peluangyang sama. Jika dia mempunyai 4 pasang sepatu, akan dihitungberapa peluang Swari akan sering berolahraga dengan bertelanjangkaki. Tentukan ruang sampelnya terlebih dahulu.



Pustaka


Penyelesaian:

S = {(0, 4), (1, 3), (2, 2), (3, 1), (4, 0)}

MisalkanA : Swari berolahraga dengan bertelanjang kakiD : sepatu ada di pintu depanB : sepatu ada di pintu belakang

P(A) = P(A|D)P(D) + P(A|B)P(B)

=1

5.1

2+

1

5.1

2

=1

5



Pustaka


Diskusi

1. Catatan dalam perusahaan asuransi otomotif memberikaninformasi bahwa (i) setiap pelanggan mengasuransikansetidaknya satu mobil (ii) 70 % pelanggan mengasuransikanlebih dari satu mobil, dan (iii) 20 % mengasuransikan jenissports car. Dari pelanggan yang mengasuransikan lebih darisatu mobil, 15 % mengasuransikan sports car. Hitung peluangbahwa seorang pelanggan yang terpilih secara acakmengasuransikan tepat satu mobil dan ini bukan sports car.



Pustaka


2. Kuliah SMT, PSM, dan PPS di jurusan Statistika UII diikutioleh 50, 75, dan 100 mahasiswa. Dari jumlah tersebutdiketahui bahwa 50, 60, dan 70 persen-nya adalah mahasiswaangkatan 2012. Seperti biasa, mahasiswa akan mungkinmengundurkan diri dari perkuliahan tersebut, dengankemungkinan yang sama. Seorang mahasiswa mengundurkandiri dan dia adalah angkatan 2012. Berapa peluang bahwamahasiswa tersebut mengambil kuliah PPS?



Pustaka


3. JB berada di penjara markas Brimop di Kelapa Dua, Depok.Dia ingin melarikan diri namun hal itu tidak mudah. Faktayang ada menunjukkan bahwa jika JB hendak keluar daripenjara, dia akan menghadapi 3 pintu. Pintu 1 akanmembawanya ke sebuah lorong dan kembali ke penjara dalamwaktu 2 jam. Pintu 2 membawanya ke lorong dan kembali kepenjara dalam waktu 3 jam. Sedangkan pintu ketigalah yangakan membawa JB bebas. Diasumsikan bahwa JB memilihpintu-pintu 1,2, dan 3 dengan peluang berturut-turut 0.5, 0.3,dan 0.2. Berapa lama waktu rata-rata yang dibutuhkan JBuntuk bebas?



Pustaka


4. JB hendak melakukan penipuan. Di tangannya diamenyimpan sebuah koin yang memiliki sisi M dan B dansebuah koin lain yang ternyata memiliki 2 sisi M. Kepada Zetacalon korbannya, JB mengatakan bahwa dirinyalah sangpemenang apabila muncul M dalam koin yang dimilikinya. JBkemudian memilih koin secara acak dan melantunkannya.Ternyata muncul M. Berapa peluang bahwa koin yangdilantunkan adalah koin M dan B? Misal JB melantunkan koinyang sama untuk kedua kalinya dan muncul M, berapapeluang koin yang dilantunkan adalah koin M dan B? MisalJB melantunkan koin yang sama untuk ketiga kalinya danmuncul B, berapa peluang koin tsb adalah koin M dan B?



PustakaPustaka

Pustaka

Ross, Sheldon M. 2007. Introduction to Probability Models;9th Edition. New York: Academic Press.

Syuhada, Khreshna I.A. Materi Kuliah: MA4181 PengantarProses Stokastik. Departemen Matematika ITB, Bandung.

Taylor, Howard M. dan Samuel Karlin. 1975. A First Coursein Stochastic Processes; Second Edition. New York: AcademicPress.

Virtamo, J. 38.143 Queueing Theory/ Probability Theory.


pengantar proses stokastik · peluang bersama distribusi diskrit peluang bersama distribusi kontinu...

Documents