luqmanhakimnadzari.files.wordpress.com file · web viewdistribusi poisson. 4.2.2. distribusi...

22
MODUL VIII BAB IV PELUANG DAN DISTRIBUSI PELUANG Tujuan Instruksional Khusus 1. Mahasiswa memahami konsep peluang 2. Mahasiswa mampu memperhitungkan peluang sebuah kejadian 3. Mahasiswa mengetahui penyebaran peluang pada setiap kejadian Pokok Bahasan 4.2.1. Ditribusi Peluang Diskrit 4.2.1.1.Distribusi Binomial 4.2.1.3. Distribusi Hipergeomertik 4.2.1.4.Distribusi Poisson 4.2.2. Distribusi Peluang Kontinu 4.2.2.1.Distribusi Normal 4.2.2.2 Distribusi Lainnya (t, F, χ 2 ) Daftar Pustaka: 1. . Anton Dayan., Metoda Statistik, LP3ES, Jakarta 1975 2. Kane, Edward J., Economic Statistics and Econometrics, An Introduction to Quantitative Economia, Harper and Row, N.Y., 1969, hal. 150 sampai dengan 154. 3. Hoel, Paul G. and Jessen, Raymond J., Basic Statistics for Business and Economics, John Wiley and Sons, Inc., New York, 1971, hal. 96 sampai dengan 101.

Upload: truongtruc

Post on 07-May-2019

263 views

Category:

Documents


1 download

TRANSCRIPT

Page 1: luqmanhakimnadzari.files.wordpress.com file · Web viewDistribusi Poisson. 4.2.2. Distribusi Peluang Kontinu. 4.2.2.1. Distribusi Normal. 4.2.2.2 Distribusi Lainnya (t, F, χ2) 4-2

MODUL VIII

BAB IV

PELUANG DAN DISTRIBUSI PELUANG

Tujuan Instruksional Khusus

1. Mahasiswa memahami konsep peluang

2. Mahasiswa mampu memperhitungkan peluang sebuah kejadian

3. Mahasiswa mengetahui penyebaran peluang pada setiap kejadian

Pokok Bahasan

4.2.1. Ditribusi Peluang Diskrit

4.2.1.1. Distribusi Binomial

4.2.1.3. Distribusi Hipergeomertik

4.2.1.4. Distribusi Poisson

4.2.2. Distribusi Peluang Kontinu

4.2.2.1. Distribusi Normal

4.2.2.2 Distribusi Lainnya (t, F, χ2)

Daftar Pustaka:

1. . Anton Dayan., Metoda Statistik, LP3ES, Jakarta 19752. Kane, Edward J., Economic Statistics and Econometrics, An Introduction to Quantitative Economia, Harper and Row, N.Y., 1969, hal. 150 sampai dengan 154.3. Hoel, Paul G. and Jessen, Raymond J., Basic Statistics for Business and Economics, John Wiley and Sons, Inc., New York, 1971, hal. 96 sampai dengan 101.4. Ekeblad, Frederick.A., The Statistical Method in Business, John Wiley and Sons, Inc., New York, 1962, hal. 134 sampai dengan 138.5. Feller, William, An introduction to Probability Theory and Its Applications, Volume I, Second edition, John Wiley and Sons, Inc., 1964, hal. 135 sampai dengan 142.

Page 2: luqmanhakimnadzari.files.wordpress.com file · Web viewDistribusi Poisson. 4.2.2. Distribusi Peluang Kontinu. 4.2.2.1. Distribusi Normal. 4.2.2.2 Distribusi Lainnya (t, F, χ2) 4-2

BAB IV

Distribusi Peluang

4.2. Distribusi Peluang

Setiap peristiwa akan mempunyai peluangnya masing-masing, dan peluang

terjadinya peristiwa itu akan mempunyai penyebaran yang mengikuti suatu pola

tertentu yang di sebut dengan distribusi.

Distribusi peluang untuk suatu variabel acak menggambarkan bagaimana peluang

terditribusi untuk setiap nilai variabel acak.

Distribusi peluang didefinisikan dengan suatu fungsi peluang, dinotasikan dengan

p(x) atau f(x), yang menunjukkan peluang untuk setiap nilai variabel acak.

Ada dua jenis distribusi, sesuai dengan variabel acaknya. Jika variabel acaknya

variabel diskrit, maka distribusi peluangnya adalah distribusi peluang diskrit,

sedangkan jika variabel acaknya variabel yang kontinu, maka distribusi peluangnya

adalah distribusi kontinu.

4.2.1. Ditribusi Peluang Diskrit

4.2.1.1. Distribusi Binomial

4.2.1.3. Distribusi Hipergeomertik

4.2.1.4. Distribusi Poisson

4.2.2. Distribusi Peluang Kontinu

4.2.2.1. Distribusi Normal

4.2.2.2 Distribusi Lainnya (t, F, χ2)

4-2. Distribusi binomial

Dalam bab lalu yang lalu, kami telah membahas soal pelemparan sejumlah n uang

logam sebanyak sekali atau pelemparan sekeping uang logam sebanyak n kali.

Probabilita timbulnya K dari pelemparan di atas ialah,

atau

di mana

r = 0, 1, ... , n dan x = 0, 1, ... , n.

Page 3: luqmanhakimnadzari.files.wordpress.com file · Web viewDistribusi Poisson. 4.2.2. Distribusi Peluang Kontinu. 4.2.2.1. Distribusi Normal. 4.2.2.2 Distribusi Lainnya (t, F, χ2) 4-2

Dalam seksi ini, kami akan memberi uraian tentang suatu teknik yang khusus untuk

memecahkan persoalan di atas bila x = 0, 1, . . . , n.

Bila probabilita timbulnya K dinyatakan dengan p dan probabilita timbulnya E

dinyatakan dengan 1-p atau q, berapakah probabilita timbulnya K sebanyak

x pada pelemparan uang Iogam sebanyak n kali?

Pada pelemparan sekeping uang Iogam sebanyak 2 kali, hanya 4 peristiwa yang

mungkin terwujud dan hal tersebut dapat dinyatakan dalam sebuah ruang sampel

sebagai berikut,

S = {(K, K), (K, E), (E, K), (E, E)}

Bila hasil kedua lemparan di atas merupakan peristiwa yang independen, maka

hasil probabilita di atas dapat dinyatakan sebagai pp, pq, qp dan qq atau secara

singkat dapat ditulis sebagai p2, 2pq, q2.

Bila sekeping uang logam dilempar 3 kali, maka hasilnya dapat dinyatakan dalam

sebuah ruang sampel sebagai berikut,

S = {(KKK), (KKE), (KEK), (EKK), (KEE), (EKE), (EEK), (EEE)}

Probabilita hasil di atas dapat juga ditulis sebagai ppp, ppq, pqp, qpp, pqq, qpq,

qqp dan qqq.

Probabilita timbulnya 1K (atau dengan sendirinya 2E) menjadi pqq + qpq + qqp =

3pq2, sehingga bila p = 1/2 dan q = 1/2, maka probabilitanya menjadi 3(1/2)(1/2)2 =

3/8. Probabilita timbulnya 2K menjadi 3p2q dan seterusnya. Persoalan pelemparan

sekeping uang logam sebanyak 3 kali merupakan sebuah eksperimen yang terdiri

dari 3 percobaan Bernoulli dengan probabilita p bagi sukses dan q bagi gagal.

Seluruh kemungkinan hasil pelemparan 3 keping uang logam ialah 2n atau 23= 8

seperti yang dinyatakan dalam ruang sampel di atas.

Bila variabel random X menyatakan timbulnya jumlah K pada pelemparan 3 keping

uang logam di atas, maka fungsi probabilita bagi variabel random X dapat

dinyatakan dalam Tabel 4.2.1.

TABEL 4.2.1. Fungsi probabilita timbulnya jumlah K pada percobaan

pelemparan dengan 3 keping uang Iogam

Page 4: luqmanhakimnadzari.files.wordpress.com file · Web viewDistribusi Poisson. 4.2.2. Distribusi Peluang Kontinu. 4.2.2.1. Distribusi Normal. 4.2.2.2 Distribusi Lainnya (t, F, χ2) 4-2

Pada Tabel 8.2.1., p ({s} ) = p dan p({G}) = q sedangkan p + q = 1. Probabilita

bagi sebarang titik sampel di atas dapat diperoleh dengan rnengalikan 3 probabilita

sebagai berikut,

p( {SGS } ) = p( {S} ) p ( { G} ) p ( { S} )

= p q p

= p2q

Bila kita memakai notasi b(x|3, p) untuk menyatakan probabilita sejumlah x sukses

(K) dari suatu eksperimen binomial yang terdiri dari 3 percobaan Bernoulli dengan

probabilita p bagi sukses pada tiap-tiap percobaan, maka fungsi probabilita dari

Tabel 8.2.1. di atas dapat juga dinyatakan seperti dalam Tabel 8.2 2.

TABEL 4.2.2. Fungsi probabilita timbulnya jumlah K pada percobaan

pelemparan dengan 3 keping uang logam

Probabilita b(x | 3,

p)

q3 = 3pq2 = 3p2q = P3 =

x 0 1 2 3

Jelas sudah bahwa koefisien 1, 3, 3, 1 pada tabel 8.2.2. merupakan koefisien

binomial di mana n = 3 dan x = 0, 1, 2, 3. Koefisien binomial di atas

menghitung jumlah permutasi dari x "sukses" dan 3-x "gagal" dari 3 percobaan

Bernoulli.

Pada azasnya, probabilita timbulnya x "sukses" (K) dan dengan sendirinya 3-x

"gagal" (E) pada pelemparan sekeping uang logam sebanyak 3 kali

mengandung 2 macam unsur. Unsur terjebut ialah

Page 5: luqmanhakimnadzari.files.wordpress.com file · Web viewDistribusi Poisson. 4.2.2. Distribusi Peluang Kontinu. 4.2.2.1. Distribusi Normal. 4.2.2.2 Distribusi Lainnya (t, F, χ2) 4-2

a. koefisien binomial yang menghitung kemungkinan jumlah permutasi x dan

3-x, bila x = 0, 1,2,3 dan

b. probabilita bagi tiap permutasi yang dinyatakan dengan factor pxq3 -x .

Alhasil, probabilita binomial selalu merupakan hasil perkalian dengan pxq3 -x

Misalnya, b(l|3, ) = p1q3-1 =

= 2 = 3(1/8) = 3/8

Secara umum, pernyataan di atas dapat disimpulkan ke dalam Teorema 4.2. 1.

TEOREMA 8.2.1.: Bila sebuah eksperimen terdiri dari n percobaan Bernoulli dengan

probabilita p bagi sukses dan q bagi gagal pada tiap-tiap percobaan, maka fungsi

probabilita variabel random X dapat dinyatakan sebagai,

b(x|n, p) = p(X = x) = ( )pxqn-x ; x = 0, 1, . . . , n (4.2.1.)

Bagi nilai-nilai n dan p yang tertentu, maka fungsi probabilita yang

dirumuskan oleh 4.2.1. di atas dinamakan fungsi probabilita. binomial f(x) atau

distribusi binomial dengan parameter n dan p atau juga dinamakan fungsi

hepadatan binomial (binomial density function).

Formula 8.2.1. tidak hanya merumuskan satu distribusi binomial, tetapi

merumuskan seluruh keluarga distribusi binomial. Istilah distribusi binomial

diperoleh dari kenyataan bahwa probabilita b(x | n, p) bagi x = 0, 1, 2,... , n

sebetulnya merupakan suku-suku dalam ekspansi binomial (q + p) n. Karena p

+ q = 1, maka kita peroleh persamaan,

b(x|n, p) = (q + p)n = 1 (4.2.2)

Contoh 4.2.1.: Setelah diadakan penyelidikan bertahun-tahun lamanya terhadap

hasil stensilan mesin Roneo, maka diketahui bahwa pada tiap penstensilan kertas

koran ukuran folio sebanyak 1450 helai akan terjadi ke-rusakan sebanyak 145

helai. Dalam menstensil 5 helai kertas koran ukuran folio di atas, berapakah

probabilita unruk menemukan 0, 1, . . . ,5 helai kerusakan ?

Page 6: luqmanhakimnadzari.files.wordpress.com file · Web viewDistribusi Poisson. 4.2.2. Distribusi Peluang Kontinu. 4.2.2.1. Distribusi Normal. 4.2.2.2 Distribusi Lainnya (t, F, χ2) 4-2

Probabilita hasil stensilan rusak atau tidak memenuhi kualitas standar ialah

145/1450 = 0,1 = 1/10. Bila kita anggap probabilita tersebut konstan, maka p =

1/10. Sesuai dengan Rumus 8.2.1., maka berturut-turut kita peroleh hasil sebagai

berikut,

n = 5, x = 0, p = 1/10:

b(0|5,1/10) = (1/10)0(9/10)5= 0,59049

n = 5, x = I, p = 1/10:

b(1|5, 1/10) = (1/10)1(9/10)4 = 0,32805

n = 5, x = 2, p = 1/10:

b(2|5, 1/10) = (1/10)2(9/10)3 = 0,0729

n = 5, x = 3, p = 1/10:

b(3|5), 1/10) = (1/10)3(9/10)2 = 0.0081

n = 5, x = 4, p = 1/10:

b(4|5, 1/10) = (1/10)4(9/10)1 = 0,00045

n = 5, x = 5, p =1/lO:

b(5|5, 1/10) = (1/10)5(9/10)0 = 0,00001

Contoh 4.2.2.: Bila sekeping uang logam yang setimbang dilempar sebanyak 6

kali, (a) berapakah probabilita memperoleh 5K dan (b) berapakah probabilita

memperoleh paling sedikit 5K?

(a) n = 6, x = 5, p = 1/2:

= 0,09375

(b) n = 6, x = 6, p = 1/2:

= 0,015625

Probabilita memperoleh ≥ 5K menjadi,

Page 7: luqmanhakimnadzari.files.wordpress.com file · Web viewDistribusi Poisson. 4.2.2. Distribusi Peluang Kontinu. 4.2.2.1. Distribusi Normal. 4.2.2.2 Distribusi Lainnya (t, F, χ2) 4-2

= 0,109375

Contoh 8.2.3.: Sebuah peti terisi dengan 50 helai kain batik dan di antara 50 helai

kain tersebut terdapat 5 helai kain yang rusak. Bila kita secara random memilih 4

helai kain dari peti tersebut, berapakah probabilita untuk memilih 0, 1, 2, 3, 4 helai

kain yang rusak?

Bila kita anggap setiap helai kain memiliki kesempatan yang sama untuk terpilih,

maka pemilihan 4 helai kain dari 50 kain harus memiliki kemungkinan kombinasi

sebanyak .

Biia x merupakan jumlah kain yang rusak, kemungkinan x kain yang rusak terpilih

dari 5 kain yang rusak menjadi dan kemungkinan 4—x kain yang baik terpilih

dari 50—5 = 45 kain yang baik menjadi . Kemungkinan kita memilih 4

helai kain dan di antaranya terdapat x kain yang rusak menjadi,

Probabilita x kain rusak dari 4 kain yang terpilih menjadi,

Hasil probabilitas di mana x = 0,1,2,3,4 dapat dilihat secara terperinci dalam

Tabel 4.2.3.

TABEL 4.2.3. Probabilitas memilih x = 0, 1, ... , 4 kain yang rusak dari 4 kain

yang terpilih dari 50 kain.

x

= f(x)

Frekuensi kumulatif

F(x)

Page 8: luqmanhakimnadzari.files.wordpress.com file · Web viewDistribusi Poisson. 4.2.2. Distribusi Peluang Kontinu. 4.2.2.1. Distribusi Normal. 4.2.2.2 Distribusi Lainnya (t, F, χ2) 4-2

0

1

2

3

4

= 0,64696

= 0,30808

= 0,04299

= 0,00195

= 0,00002

0,64696

0,95504

0,99803

0,99998

1,00000

Tabel 4.2.3. di atas dapat digambarkan dengan sebuah grafik seperti yang

terdapat dalam Diagram 4.2.1.

DIAGRAM 8.2.1. Probabilita memilih x = 0, 1,... , ! kain yang rusak

dari 4 kain yang dipilih secara random dari 50 kainf(x)  0,64696

0,6    0,5    0,4    0,3     0,308080,2      0,1      

      0,04299        0,00195          0,00002   x0 1 2 3 4

Contoh 4.2.4.: Bila sebutir dadu dilempar 4 kali, berilah distribusi binomial f(x) di

mana x merupakan jumlah timbulnya mata dadu 6. Kemungkinan nilai x adalah 0,

Page 9: luqmanhakimnadzari.files.wordpress.com file · Web viewDistribusi Poisson. 4.2.2. Distribusi Peluang Kontinu. 4.2.2.1. Distribusi Normal. 4.2.2.2 Distribusi Lainnya (t, F, χ2) 4-2

1, 2, 3, 4. Probabilita jumlah timbulnya mata dadu 6 di mana x = 0, 1, ... , 4 dapat

dihitung dengan rumus 4.2.1. Hasilnya dapat diikuti dalamTabel 4.2.4.

TABEL 4.2.4. Probabilita jumlah timbulnya mata dadu 6 dalam percobaan pelemparan sebutir dadu

sebanyak 4 kali.

Page 10: luqmanhakimnadzari.files.wordpress.com file · Web viewDistribusi Poisson. 4.2.2. Distribusi Peluang Kontinu. 4.2.2.1. Distribusi Normal. 4.2.2.2 Distribusi Lainnya (t, F, χ2) 4-2

4.1.2. Rata-rata (mean) dari distribusi binomial

Jika nilai parameter n dan p telak diketahui, maka perhitungan rata-rata dari distribusi binomial

dapat dilakukan dengan mudah sekali.

Contoh 8.5.1.: Bila sebutir dadu dilempar sebanyak 4 kali, probabilita memperoleh hasil mata

dadu 6 bila x = 0, 1,2,3,4, dapat dilihat pada Tabel 8.2.4. Berapakah H dari distribusi binomial di

atas? Sesuai dengan rumus 7.2.3., kita peroleh,

µ = + 2

+ 3

= = 0,667.

Hasil di atas menyatakan bahwa secara rata-rata, kita berharap untuk memperoleh 0,667 "mata

dadu 6" pada pelemparan sebutir dadu sebanyak 4 kali. Dengan lain perkataan, pelemparan dadu

sebanyak 4 kali, kadang-kadang menghasilkan 0 "mata dadu 6", kadang-kadang 1 "mata dadu

6", kadang-kadang 2 "mata dadu 6", atau 3,4 "mata dadu 6", tetapi secara rata-rata kita akan

memperoleh hasil sebesar 0,667 bagi "mata dadu 6" tersebut. Bila t merupakan suatu tanda

arbriter yang dapat disisipkan ke dalam persamaan binomial 5.3.1., maka kita akan memperoleh

persamaan

(q + tp)n = (tp)xqn-x +

+ (4.5.1.)

Bila kita mencari turunan kedua sisi persamaan 4.5.1. di atas terhadap 6, maka akan diperoleh,

np(q + tp)n-1 =

Page 11: luqmanhakimnadzari.files.wordpress.com file · Web viewDistribusi Poisson. 4.2.2. Distribusi Peluang Kontinu. 4.2.2.1. Distribusi Normal. 4.2.2.2 Distribusi Lainnya (t, F, χ2) 4-2

x

(4.5.2.)

Bilamana kita persamakan t=1 dan maka, np = µ (4.5.3.)

Contoh 4.5.2.: Hitunglah soal dalam contoh 4.5.1. yang baru lalu dengan rumus 4.5.3. Dalam

contoh di atas, n = 4 dan p = 1/6,

µ = np = E(X)

=

=

Ternyata hasilnya adalah identik dengan hasil dalam contoh 8.5.1

Jelas sudah bahwa perhitungan rata-rata binomial mudah sekali dilakukan bila parameter n dan

p diketahui. Dalam hal ini, kita hanya perlu mengingat sebuah teorema yang dinyatakan sebagai

berikut,

TEOREMA 8.5.1.: Rata-rata Binomial. Bila p merupakan probabilita sukses pada tiap-tiap

percobaan Bernoulli dari sebuah eksperimen binomial, maka rata-rata daripada jumlah sukses

dalam sejumlah n percobaan dapat diberikan sebagai, µ = E(X) = np

4—6. Varians dan deviasi standar distribusi binomial.

Varians distribusi binomial dapat diberikan dengan rumus

(8.6.1)

Contoh 4.6.1.: Hitunglah varians soal 1 dalam contoh 8.5.1. Sesuai dengan rumus

8.6.1.,

+ (3)2

Page 12: luqmanhakimnadzari.files.wordpress.com file · Web viewDistribusi Poisson. 4.2.2. Distribusi Peluang Kontinu. 4.2.2.1. Distribusi Normal. 4.2.2.2 Distribusi Lainnya (t, F, χ2) 4-2

Dengan sendirinya, deviasi standar distribusi binomial di atas menjadi,

Sebetulnya, jika kita mengalikan kedua sisi rumus 8.5.2. dengan t, kita akan memperoleh

npt(q + tp)n-1 = 1

Bila kita mencari turunan kedua sisi persamaan di atas terhadap t, maka

np(q + tp)n-1 + n(n — 1)p2t(q + tp)n-2

x2 (8.6.3.)

Bila kita mempersamakan t = 1 dan karena q + p = 1, maka sisi kanan dari persamaan 8.6.3.

dapat disingkat menjadi,

sehingga kita memperoleh persamaan,

np(q + tp)n-1 n(n – 1)p2t(q + tp)n-2

(8.6.4.)

Bila t = 1, sisi kiri dari 8.6.4. dapat disingkat menjadi,

Page 13: luqmanhakimnadzari.files.wordpress.com file · Web viewDistribusi Poisson. 4.2.2. Distribusi Peluang Kontinu. 4.2.2.1. Distribusi Normal. 4.2.2.2 Distribusi Lainnya (t, F, χ2) 4-2

np + n(n — 1)p2

sehingga 8.6.4. di atas dapat diubah menjadi,

np+n(n—1)p2 (8.6.5.)

Karena

maka

(8.6.6.)

atau (8.6.7.)

Deviasi standar rumus 8.6.7. menjadi,

(8.6.8.)

Contoh 8.6.2.: Hitunglah varians dan deviasi standar soal 1 dalam contoh 8.6.1. dengan

rumus 8.6.7. dan 8.6.8.

Karena n = 4, p = 1/6 dan q = 5/6, maka sesuai dengan rumus 8.6.7. variansnya menjadi,

= npq

= 4( 1/6)(5/6)

= 4(5/36) = 20/36 = 5/9

dan deviasi standarnya menjadi,

=

4.2 Distribusi hipergeometris.

Soal dalam contoh 8.2.3. sebetulnya agak berbeda dengan contoh-contoh soal lainnya yang

terdapat dalam seksi 8—2. Sengaja kami cantumkan soal contoh 8.2.3. tersebut ke dalam seksi 8

Page 14: luqmanhakimnadzari.files.wordpress.com file · Web viewDistribusi Poisson. 4.2.2. Distribusi Peluang Kontinu. 4.2.2.1. Distribusi Normal. 4.2.2.2 Distribusi Lainnya (t, F, χ2) 4-2

—2. agar dapat dipakai sebagai batu loncatan untuk mempelajari distribusi hipergeometris di seksi

ini.

Dalam contoh 8.2.3. tersebut, kita memiliki persoalan di mana pemilihan 4 helai kain dari

sebuah peti yang terisi dengan 50 helai kain dilakukan tanpa pemulihan (without replacement).

Dengan lain perkataan, kita memilih secara random dan sekaligus 4 helai kain dari sebuah peti

yang terdiri dengan 45 helai kain yang baik dan 5 helai kain rusak.

Dalam hal di atas, kita sebetulnya memiliki sebuah populasi yang terbatas N = 50 dan random

sampel n = 4 yang dipilih sekaligus tanpa pemulihan (without replacement). Bila random sampel n

= 4 di atas dipilih dengan sistim pemulihan (with replacement), maka hal sedemikian itu

merupakan bentuk distribusi binomial. Secara singkat, persoalan di atas dapat dinyatakan dalam

sebuah teorema mengenai distribusi probabilita hipergeometris dengan parameter n, p dan N.

TEOREMA 8.8.1.: Bila sebuah populasi N memiliki sejumlah K unsur yang sama dan N — K unsur

lain yang sama, dan bila sejumlah n unsur dipilih secara random tanpa pemulihan, maka

probabilita unsur yang terpilih akan terdapat sejumlah k unsur K menjadi,

h(k|n, p, N) = f(k) = (8.8.1.)

Perumusan di atas dirumuskan bagi k yang tidak melebihi n atau K. Bila k > K atau k > n, maka

hasil rumus 8.8.1. di atas akan sama dengan nol!'

Contoh 8.8.1.: Pecahkanlah soal contoh 8.2.3. dengan rumus 8.8.1. Dalam contoh 8.2.3. tersebut,

N = 50, n = 4, K = 5. Sesuai dengan rumus 8.8.1. kita memperoleh,

f(k) =

=

Bila k = 0, maka kita.peroleh hasil,

Page 15: luqmanhakimnadzari.files.wordpress.com file · Web viewDistribusi Poisson. 4.2.2. Distribusi Peluang Kontinu. 4.2.2.1. Distribusi Normal. 4.2.2.2 Distribusi Lainnya (t, F, χ2) 4-2

f(0) =

= 0.64696

Hasil probabilita bagi k = 1, 2, 3, 4 dapat dihitung dengan cara yang sama dan hasilnya dapat

dilihat dalam Tabel 8.2.3.

Contoh 8.8.2.: 8 bola merah dan 12 bola putih dimasukkan ke dalam sebuah peti. Bila 5 bola

dipilih secara random dari dalam peti tersebut, berapakah probabilita 3 dari bola tersebut adalah

bola merah?

Di sini, N = 20, n = 5, K = 8 dan k = 3. Sesuai dengan rumus 8.8.1., kita peroleh,

f(3) = =

Contoh 4.8.3.: Seorang nelayan telah menangkap 10 ekor ikan dan di antara kesepuluh ekor ikan

tersebut, 3 ekor sebenamya terlalu kecil untuk dapat diterima oleh koperasi perikanan laut.

Meskipun demikian, nelayan tersebut ingin mengadu untung dengan jalan memasukkan saja

ketiga ekor ikan tersebut bersama-sama dengan ketujuh ekor ikan lainnya. Bila pengawas ikan dari

koperasi nelayan memilih secara random 2 ekor ikan dari kesepuluh ekor di atas, berapakah

probabilita pengawas tersebut tidak akan memilih ikan yang terlalu kecil tersebut?

Di sini, N = 10, K = 3, n = 2 dan k = 0. Sesuai dengan rumus 8.8.1., kita memperoleh hasil,

f(0) =

=

= 0,4666

Page 16: luqmanhakimnadzari.files.wordpress.com file · Web viewDistribusi Poisson. 4.2.2. Distribusi Peluang Kontinu. 4.2.2.1. Distribusi Normal. 4.2.2.2 Distribusi Lainnya (t, F, χ2) 4-2

Contoh 4.8.4.: Jumlah rusa yang terdapat dalam sebuah hutan ditaksir dengan metode "tangkap-

lepas -tangkap-pula". Pertama kali, 10 ekor rusa tertangkap secara random dan setelah ditandai,

kesepuluh rusa tersebut dilepaskan pula. Pada kedua kalinya, 12 ekor rusa tertangkap (dianggap

sebagai sebuah sampel random dari semua rusa yang terdapat dalam hutan) dan ternyata 4 ekor

dari kedua-belas rusa tersebut adalah rusa yang telah tertangkap pada pertama kalinya.

Bila terdapat 30 ekor rusa dalam hutan tersebut, berapakah probabilita 4 ekor rusa akan

tertangkap dua kali?

Disini, N = 30, K= 10, n = 12 dan k = 4. Sesuai dengan rumus 8.8.1., maka

f(4) =

=

=

4.3 Distribusi Poisson

Apabila diketahui bahwa dalam distribusi binomial nilai p ( peluang) sangat kecil dan dan nilai

n sangat besar sehingga np -> µ dengan µ suatu bilangan terhingga positip, maka rumus

binomial tersebut menjadi :

P( x = k) = , k = 0, 1, 2, ………..

Rumus ini disebut rumus distribusi Poisson.

Contoh :

Page 17: luqmanhakimnadzari.files.wordpress.com file · Web viewDistribusi Poisson. 4.2.2. Distribusi Peluang Kontinu. 4.2.2.1. Distribusi Normal. 4.2.2.2 Distribusi Lainnya (t, F, χ2) 4-2

Menurut pengalaman sebuah mesin cetak merek Anu setiap mencetak 1000 lembar ada 1 lembar

yang cacat. Ketika mesin itu dioperasikan mencetak 250 lembar, berapa nilai kemungkinan akan

terdapat kerusakan sebanyak

a. Kurang dari 5 lembar

b. Antara 3 dan 5 lembar.

Penyelesaian :

Nilai peluang rusak p = 0,001; n 250 , µ = n.p = 0,25

Dengan rumus P( x = k) = ,

P(0) = 0,7788; P(1) = 0,1947; P(2) = 0,0243; P(3) = 0,0020; P(4) = 0,0001; P(5) = 0,0000, maka

a. P( k < 5 ) = P(0) + P(1) + P(2) + P(4) = 0,9999

P( 3 < k < 5 ) = P(3) + P(4) + P(5) = 0,0021