BAB 2 : PENYELESAIAN PERSAMAAN TAK LINEAR

2 jenis bentuk persamaan: Persamaan Linear

boleh diselesaikan secara persamaan serentak cth: f(x) = 2X + 4 ; f(1)=6; y=mx+c

Persamaan Tak Linear cth:

22

122

2

yx

yx

apakah nilai x dan y ?f(x)= sin xf(x)=x 3

PERSAMAAN TAK LINEAR Di kelaskan kpd 2 jenis:

Persamaan Polinomial dlm bentuk p biasanya di dlm darjah n cth:

Polinomial berdarjah 1

polinomial berdarjah 2

polinomial berdarjah 3

pemalar a ; )(1 axxp

pemalar cb,a, ; )( 22 cbxaxxp

pemalar dc,b,a, ; )( 233 dcxbxaxxp

Persamaan Transendan dlm bentuk f penyelesaian => sukar diramalkan dlm keadaan fungsi trigoneometri cth: f(x) = sin x, f(x) = ex, f(x) = log x

PERSAMAAN TAK LINEAR

utk mendapatkan punca persamaan penyelesaian tak linear melibatkan: Kaedah Langsung

menghasilkan jawapan tepat tetapi hanya sesuai utk berjenis polinomial

Kaedah Tak Langsung memberikan jawapan dgn ketepatan pd batas kejituan

yg dinyatakan boleh digunakan di dlm kedua-dua bentuk persamaan

tak linear.

Punca Persamaan ?? nilai yg akan memenuhi persamaan tersebut ;

nilai bg x di dlm memenuhi pers. f(x)=0

CIRI-CIRI PUNCA PERSAMAAN

Dikelaskan kpd 3 jenis: mempunyai punca nyata

cth:

mempunyai punca kompleks cth:

mempunyai punca berulang cth:

-1dan x 1 x; 012 x

-idan x x; 012 ix

berulang) nyata punca (mempunyai 1 x; 0122 xx

PENENTUAN KEDUDUKAN PUNCA Hanya dilakukan apabila menggunakan kaedah tak

langsung Penting ?? =>proses mendptkan punca sebenar

menjadi lebih cepat Bg punca nyata penentuan kedudukan punca

melalui: Kaedah Bergraf Teorem Nilai Pertengahan

Kaedah Bergraf Kelemahan:

tidak akan memberikan hasil yg memuaskan menyulitkan apabila fungsi sukar dilakar

Kelebihan: digunakan utk mendapatkan anggaran kasar

punca digunakan sbg kaedah semakan sama ada punca

bg persamaan wujud atau tidak

Contoh Lakarkan persamaan x2-1= 0

punca

1-1

Contoh 2f(x) = x – kosx

Lakaran f(x) =x dan g(x) = kos xPunca nyata ialah pada titik persilangan

0 /2

f(x)= x

g(x)=kosx

punca

ContohPersamaan x3 – x2 +2x-1=0

f(x)=x2 +2x-1

g(x)= x3

TEOREM NILAI PERTENGAHAN (TNP) Teorem:

Jika f(x) suatu fungsi selanjar didlm selang [a,b] dan f(a)f(b)<0, maka wujud sesuatu punca (a,b).

Secara graf: Jika fungsi f(x) merupakan suatu fungsi selanjar

dlm selang [a,b] di mana f(a) dan f(b) berlawanan arah,dengan:

f(a) bernilai positif dan f(B) bernilai negatif, atau f(a) bernilai negatif dan f(b) bernilai positif

a

b

Dgn itu fungsi f(x) ini akan memotong sekurang-kurangnya sekali pd paksi –x atau blh dikatakan bahawa fungs tersebut mempunyai sekurang-kurangnya satu punca dlm selang [a,b]

ab

Jika tidak berlaku, iaitu f(a) dan f(b) mempunyai arah yg sama atau f(a)f(b) >0 dalam selang [a,b] maka boleh dikatakan fungsi f(x) tiada sebarang punca dalam [a,b]

KRITERIA PENUMPUAN Batas kejituan bagi menghentikan lelaran. Kenapa wujud lelaran??

kerana punca ditentukan menggunakan kaedah tak langsung.

Jenis kriteria penumpuan: tentukan >0. Berhenti apabila nilai mutlak fungsi

pd suatu titik xk, kurang drpd iaitu : tentukan suatu nombor >0. Berhenti apabila nilai

mutlak beza antara 2 hampiran xk dengan xk+1 yg berturut kurang drpd iaitu

)( kxf

kk xx 1