3/8/2007 10:22 AM FISIKA I 1

KINEMATIKAKinematika adalah cabang ilmu Fisika yang membahasgerak benda tanpa memperhatikan penyebab gerakbenda tersebut. Penyebab gerak yang sering ditinjauadalah gaya atau momentum.

Pergerakan suatu benda itu dapat berupa translasi atauperpindahan, rotasi, atau vibrasi. Dalam bab ini, dibahasmengenai gerak translasi dan rotasi saja. Sedangkangerak vibrasi akan dibahas pada bab selanjutnya yang berkaitan dengan gerak harmonik.

3/8/2007 10:22 AM FISIKA I 2

KINEMATIKA

Ada 3 besaran fisis yang digunakan untukmengetahui gerak sebuah partikel yaitu :

1. Posisi (r), satuannya meterposisi relatif, perpindahan (∆r), jarak tempuh

2. Kecepatan ( v ), satuannya m/skecepatan rata-rata (vrata-rata) dan sesaat ( v )

3. Percepatan ( a ), satuannya m/s2

percepatan rata-rata (arata-rata) dan sesaat (a)

3/8/2007 10:22 AM FISIKA I 3

GERAK TRANSLASI

POSISI

Contoh dari gerak translasi : menggeser meja dari suatutempat ke tempat yang lain, mobil bergerak dari kota A kekota B, dan sebagainya. Contoh dari gerak rotasi : planet Merkurius mengelilingiMatahari, elektron mengelilingi inti atom, putaran baling-baling helikopter, dan lain-lain.

Suatu perpindahan benda dicirikan oleh perubahan posisidari benda tersebut. Perubahan posisi benda selaludinyatakan dalam parameter waktu. Sebagai contoh, perjalanan sebuah bis dari Bandung ke Jakarta. Olehkarena itu posisi benda adalah fungsi dari waktu. Posisi : X = f(t)

3/8/2007 10:22 AM FISIKA I 4

GERAK TRANSLASIGambar di bawah ini menyatakan kordinat dari posisi bispada waktu tertentu. Dari gambar diperoleh pada jam 7.00 posisi bis masih di Bandung. Satu jam kemudianposisinya berada di Ciranjang. Jam 9.00 berada di kotaCianjur. Dan jam 10.00 sudah berada di Jakarta.

waktu

Jakarta

CianjurCiranjang

Bandung

7.00 8.00 9.00 10.00

3/8/2007 10:22 AM FISIKA I 5

GERAK TRANSLASIContoh fungsi posisi terhadap waktu:

X(t) = 2t2 +2t – 1X(t) = ln(t2) untuk t ≥ 1

Persamaan posisi sebagai fungsi waktu di atas adalahdalam kerangka satu dimensi, karena benda hanyabergerak dalam arah koordinat X saja.

Untuk kerangka dua dimensi atau tiga dimensi posisitersebut harus dinyatakan dalam bentuk vektor dalamkomponen arah sumbu koordinat X, komponen sumbukoordinat Y, dan komponen sumbu koordinat Z.

3/8/2007 10:22 AM FISIKA I 6

GERAK 2D DAN 3DDua dimensi :

R(t) = X(t) i + Y(t) jContoh :

R(t) = t i + (t + 1)jR(t) = r(cos ωt i + sin ωt j)

Tiga dimensi :R(t) = X(t) i + Y(t) j + Z(t) kContoh :R(t) = t i + (t + 1)j − kR(t) = r(cos ωt i + sin ωt j) + k

R(t) = t i

+ (t −

1)j

x

y

0

1

2

3

4

5

t = 0 t = 2 t = 4

3/8/2007 10:22 AM FISIKA I 7

KECEPATANBesaran lain dalam gerak translasi yang menyatakanperubahan posisi terhadap waktu adalah kecepatan. Umumnya posisi dinyatakan dalam bentuk vektor(kecuali untuk gerak satu dimensi), maka kecepatanjuga merupakan besaran vektor. Kecepatan sebuahbenda sama dengan turunan pertama dari posisiterhadap waktu.

Kecepatan :

Contoh : Posisi : r(t) = t i + (t – 1)2 j – k kecepatan : v(t) = i + (t − 1) j

( ) ( )=v

dr tt

dt

3/8/2007 10:22 AM FISIKA I 8

KECEPATAN

( ) ( ) ( )r r−= =

−v 0

0

∆r t t t

∆t t tKecepatan rata-rata :

Sehingga persamaan posisi dapat dinyatakan :

r(t) = r0 + v.∆t

Untuk persamaan posisi dalam satu dimensi :

X(t) = X0 + v.∆t

r(t0) dan X(t0) menyatakan posisi pada keadaan awal

3/8/2007 10:22 AM FISIKA I 9

GERAK LURUS BERATURAN (GLB)

t

X

Xo

Jika sebuah benda mengalami GLB, maka grafik X – T berupa garis lurus. Kemiringan fungsi x(t) dinyatakan oleh :

tankonsvdt

dx(t) == (t)

Gerak lurus beraturan adalah gerak perpindahan bendapada garis lurus dan mempunyai kecepatan konstan. Persamaan gerak lurus beraturan dinyatakan oleh :

x(t) = xo + vt xo : posisi awalv : kecepatan

3/8/2007 10:22 AM FISIKA I 10

CONTOHSebuah benda bergerak dalam bidang XY yang dinyatakanoleh :x(t) = 2t3 − t2 ; y(t) = 3t2 – 2t + 1Tentukan :a. Komponen kecepatan untuk masing-masing arahb. Besar kecepatan pada t = 1 detikJawab :

dtdxa. vx = = 6t2 – 2t m/s vy =

dtdy = 6t – 2 m/s

b. vx(1) = 6.12 – 2.1 = 4 m/s vy(1) = 6.1 – 2 = 4 m/s,

2444 22 =+maka besar kecepatan : v = m/s

3/8/2007 10:22 AM FISIKA I 11

PERCEPATANPercepatan adalah perubahan kecepatan terhadap waktudan merupakan besaran vektor. Percepatan sebuahbenda adalah turunan pertama dari kecepatan terhadapwaktu, atau turunan kedua dari posisi terhadap waktu.

( ) ( )r( )dv tdt

= =a2

2

d tt

dtPercepatan:

Percepatan rata-rata : ( ) ( ) ( )0

0

tttt

∆tt∆

−−

==vvva

3/8/2007 10:22 AM FISIKA I 12

GLBBGerak lurus berubah beraturan (GLBB) adalah geraktranslasi/perpindahan benda pada garis lurus dan mempunyai percepatan konstan. Persamaan gerak lurus berubah beraturan dinyatakanoleh :x(t) = xo + vot + ½at2

xo : posisi awalvo : kecepatan awala : percepatan

3/8/2007 10:22 AM FISIKA I 13

GLBB

t

X

Xo

Percepatan a bernilai positif

t

X

Xo

Percepatan a bernilai negatif

3/8/2007 10:22 AM FISIKA I 14

KINEMATIKA

Secara umum ada 3 kasus kinematika yaitu :1. Posisi diketahui, kecepatan dan percepatan

dicari dengan cara posisi diturunkan.2. Kecepatan diketahui, ada informasi posisi

pada t tertentu. Percepatan dicari dengancara mendeferensialkan v dan posisi dicarimelalui integrasi v.

3. Percepatan diketahui, ada informasi posisidan kecepatan pada t tertentu. Kecepatandan posisi diperoleh melalui integrasi a.

3/8/2007 10:22 AM FISIKA I 15

CONTOHSebuah partikel bergerak pada garis lurus (sumbu X). Percepatan gerak berubah dengan waktu sebagai a(t) = 12 t2 ms-2.a. Hitung v pada t = 2 s, jika pada t = 0 benda diam.b. Tentukan x(t) jika diketahui pada saat t = 2 s benda adapada posisi x = 1 m.c. Tentukan laju benda ketika benda tepat menempuhjarak 66 m.Jawab :

a. Kecepatan v(t) = o32 v4tdt12tdta(t) +== ∫∫

3/8/2007 10:22 AM FISIKA I 16

CONTOHNilai vo dapat ditentukan dari syarat awal pada t = 0 kecepatan v = 0. v(0) = 4(0)3 + vo = 0. Sehinggadiperoleh vo = 0. Dengan demikian v(t) = 4t3 m/s. Padat = 2 detik nilai kecepatan v(2) = 4.23 = 32 m/s

b. Posisi x(t) = o43 xtdt4tdtv(t) +== ∫∫

Nilai xo dapat ditentukan dari syarat awal pada t = 2 detik posisi benda pada x = 1 m. Nilai x(2) = 24 + xo = 1. Sehingga diperoleh xo = -15. Dengan demikiandiperoleh x(t) = t4 – 15.

c. x(t) = 66 = t4 – 15 t4 – 81 = 0 atau t = 3 detikKecepatan pada t = 3 detik adalah v(3) = 4.33 = 108 m/s

3/8/2007 10:22 AM FISIKA I 17

GERAK DUA DIMENSIContoh dari gerak dua dimensi adalah gerak peluru dangerak melingkar.Gerak peluru adalah gerak benda pada bidang XY dibawah pengaruh gravitasi (pada sumbu-y) dan gesekanudara (sumbu-x).Gerak pada sumbu X : x = xo + voxtGerak pada sumbu Y : y = yo + voyt - ½gt2

vox = vo cos θ

voy = vo sin θDengan (xo, yo) adalah posisi awal, (vox, voy) kecepatanawal, dan g adalah percepatan gravitasi.

3/8/2007 10:22 AM FISIKA I 18

GERAK PELURU

gθsinvt o=

X

Y

Yo

vo

θ

Xo

Titik tertinggi terjadi pada saat kecepatan vy(t) = vo sin θ -gt = 0. Dengan demikian titik tertinggi terjadi pada saat :

3/8/2007 10:22 AM FISIKA I 19

CONTOH

a. Tinggi maksimum yang dapat dialami bola golf tersebutdari permukaan tanah

b. Lama waktu bola berada di udarac. Jarak dari saat bola dipukul sampai kembali ke tanah

Sebuah bola golf dipukul sehingga memiliki kecepatan awal150 m/s pada sudut 45o dengan horizontal. Tentukan :

Jawab :a. Tinggi maksimum diperoleh pada saat vy(t) = 0, yaitu

pada :75 2 − gt = 0. Diperoleh tmax =

10275

g275= 2= 7,5 s

3/8/2007 10:22 AM FISIKA I 20

CONTOH

c. Jarak tempuh bola sampai ke tanah sama dengan x = vocosθ. t. Dengan t menyatakan selang waktu bola golf sejak di lempar sampai kembali ke tanah.Diperoleh x = 75 2 .15 2 = 2250 m

b. Lama waktu bola di udara adalah waktu t pada saat bola jatuh ke tanah, yaitu pada y = 0. y = 75 t - ½gt2 = 0. Diperoleh t = 15 detik

22

Ketinggian ymax = vo sin θ.tmax − ½ g tmax2

= 150. ½ 2.7,5 2− ½.10.(7,5 )22= 1125 – 562,5 = 562,5 m

3/8/2007 10:22 AM FISIKA I 21

CONTOHSebuah bola golf dipukul dari ketinggian 2 meter sehinggamemiliki kecepatan awal 150 m/s pada sudut 45o denganhorizontal. Tentukan :

a. Tinggi maksimum yang dapat dialami bola golf tersebutdari permukaan tanah

b. Lama waktu bola berada di udarac. Jarak dari saat bola dipukul sampai kembali ke tanah

3/8/2007 10:22 AM FISIKA I 22

Contoh

Peluru ditembakkan dengan kecepatan awalvo = (3 i + 4 j )m/s dari ketinggian 10 m. Tentukan :a. Posisi tinggi maksimumb. Lama peluru di udarac. Posisi saat peluru sampai tanahd. Kecepatan peluru saat sampai tanah

3/8/2007 10:22 AM FISIKA I 23

SOAL1. Sebuah benda titik bergerak disumbu X. Kecepatan

sebagai fungsi dari waktu terlihat pada grafik dibawah ini. 10

v(m/s)

-5

1 3 56 8 t(s)

a. Gambarkan grafik a(t) dalam selang t = 0 dan t = 8 detik !Berapakah x8 – x0 ?Berapakah panjang lintasan yang ditempuh selamaselang t = 0 sampai t = 8 detik ?

b.c.

3/8/2007 10:22 AM FISIKA I 24

SOALSebuah benda bergerak dalam bidang XY sebagaifungsi t : x(t) = 2t3 − t2 m dan y(t) = 3t2 – 2t + 1 mWaktu t dalam detik. Tentukan :a. Komponen kecepatan untuk masing-masing arahb. Besar kecepatan pada t = 1 detikc. Waktu ketika kecepatan nold. a(t)e. Waktu ketika arah a sejajar dengan sumbu Y

2.

Sebuah bom dijatuhkan dari sebuah pesawat yang bergerak horizontal dengan kecepatan 103 km/jam. Pesawat berada pada ketinggian 180 m. Tentukanjarak horizontal dari titik awal dijatuhkan bom denganposisi di mana bom mendarat !

3.

3/8/2007 10:22 AM FISIKA I 25

SOLUSI10

v(m/s)

-5

1 3 56 8 t(s)

Kecepatan :1. a.

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

<<−<<+−<<<<

=

8t656t325t53t1101t0t10

v

3/8/2007 10:22 AM FISIKA I 26

SOLUSI

Untuk selang 0 < t < 1, v(t) = 10t. Percepatan :

( ) 10t10dtd

dt)t(dv)t(a ===

Untuk selang 1 < t < 3, v(t) = 10. Percepatan :

( ) 010dtd

dt)t(dv)t(a ===

Untuk selang 3 < t < 6, v(t) = -5t + 25. Percepatan :

( ) 525t5dtd

dt)t(dv)t(a −=+−==

3/8/2007 10:22 AM FISIKA I 27

SOLUSI

Untuk selang 6 < t < 8, v(t) = -5. Percepatan :

( ) 05dtd

dt)t(dv)t(a =−==

Dengan demikian, grafik a(t) :

10a(m/s)

-5

1 3 56 8

t(s)

3/8/2007 10:22 AM FISIKA I 28

SOLUSI1. b. Untuk menentukan selisih jarak x8 – x0 dengan

menghitung luas dari daerah yang dibentuk olehfungsi v(t) dan sumbu t. Untuk daerah pada hargav(t) positif, artinya terjadi pertambahan jarak. Sedangkan untuk harga v(t) negatif, terjadipengurangan jarak. Dengan demikian selisih jarak x8– x0 dapat ditentukan dengan mengurangi luasdaerah A dikurangi daerah B di bawah ini :

10v(m/s)

-51 3 5

6 8 t(s)

A

B

Luas A = ½.(2 + 5).10 = 35

Luas B = ½.(2 + 3).5 = 12,5

3/8/2007 10:22 AM FISIKA I 29

SOLUSI

Luas A – luas B = 22,5. Dengan demikian selisihjarak x8 – x0 = 22,5 m

1. c. Untuk menentukan panjang lintasan dari t = 0 sampai t = 8 detik dapat dicari dengan menghitungluas total yang dibentuk fungsi v(t) dan sumbu t darit = 0 sampai dengan t = 8 yang besarnya samadengan Luas A + luas B = 47,5. Dengan demikianpanjang lintasan sama dengan 47,5 m.

3/8/2007 10:22 AM FISIKA I 30

SOLUSI

2. a. vx = = 6t2 – 2t vy = = 6t – 2 dtdx

dtdy

2. b. vx(1) = 6.12 – 2.1 = 4 m/s vy(1) = 6.1 – 2 = 4 m/s, maka besar kecepatan :

24vv 2y

2x =+v = m/s

2. c. Waktu pada kecepatan sama dengan nol, berartiwaktu pada vx = vy = 0, yaitu pada t = detik3

1

2. d. a(t) = jidt

dvdt

dv yx + = (12t – 2)i + 6j m/s

2. e. Arah a sejajar sumbu Y berarti ax = 12t – 2 = 0, yaitu pada t = detik6

1

3/8/2007 10:22 AM FISIKA I 31

SOLUSIBom tersebut bergerak dengan kecepatan horizontal konstan vx = 1000 km/jam, dan kecepatan vertikal vy = -gt. Konstanta g menyatakan percepatan gravitasiyang besarnya g = 10 m/s2 = 12960 km/jam2.

Kecepatan vertikal vy = -12960t km/jam. Ketinggianawal yo = 0,18 km. Diperoleh : y(t) = 0,18 – 6480t2 km.

Benda jatuh ke tanah berarti y(t) = 0 yang terjadi padasaat :

=64800,18

t = 5,27.10-3 jam

Maka jarak horizontal sampa bom jatuh ke tanah adalah x = vxt = 1000. 5,27.10-3 = 5,27 km.

3.

3/8/2007 10:22 AM FISIKA I 32

Soal

Sebuah partikel bergerak sepanjang sumbu-xdengan kecepatan v = 4t2 m/s. Jika pada t = 1 s partikel berada di x = 2 m, maka cari :a. Posisi saat t = 0 dan t = 2 sb. Kecepatan rata-rata saat pindah dari t = 0 s ke t = 2 sc. Kecepatan saat t = 0 dan t = 2 sd. Percepatan rata-rata saat pindah dari t = 0 ke t = 2 s.

3/8/2007 10:22 AM FISIKA I 33

Gerak MelingkarGerak melingkar adalah gerak pada bidang denganlintasan berupa lingkaran. Posisi benda dari gerak padabidang dapat dinyatakan dalam bentuk vektor :

r(t) = r [cos(ωt + θo)i + sin(ωt + θo)j]

r(t) = r r

Konstanta ω menyatakan kecepatan sudut, θomenyatakan sudut awal, dan r menyatakan vektorsatuan dari r(t). r menyatakan jari-jari lintasan yang besarnya konstan. Pada saat = 0, berlaku :

ro(t) = r [cos θo i + sin θo j]

3/8/2007 10:22 AM FISIKA I 34

Koordinat PolarBerlaku : xo = r cos θo

yo = r sin θoDengan (xo, yo) adalah posisi awal.Arah putaran berlawanan arah jarum jam. r

xo

yo

θoUntuk memudahkan perhitungandalam mencari persamaan gerakrotasi, suatu posisi dapat dinyatakandalam koordinat polar.Berbeda dengan koordinat Kartesius, posisi dari suatu titikdinyatakan oleh jarak dari titik tersebut dengan titik pusatdan sudut yang dibentuk dengan sumbu x positif.

3/8/2007 10:22 AM FISIKA I 35

Koordinat PolarVektor posisi dalam koordinat polar dinyatakan dalam :

r(t) = r(t) arDengan r(t) menyatakan jarak titik pusat ke titik posisisebagai fungsi waktu dan vektor satuan rr menyatakanarah dari vektor r(t) yang arahnya berubah terhadapwaktu.

rar

xo

yo

θo

Untuk gerak melingkar, jarakr(t) besarnya konstan yang dinyatakan sebagai jari-jarilintasan r.

3/8/2007 10:22 AM FISIKA I 36

Gerak MelingkarKecepatan dari gerak melingkar dinyatakan oleh :

( ) ( )dt

dRdt

tdt reRv ==

Karena R konstan, maka yang berubah terhadap waktuadalah arah vektor/vektor satuan. Diketahui dari slide sebelumnya :

er = cos(ωt + θo)i + sin(ωt + θo)jJika θo = 0, diperoleh :

er = cos ωt i + sin ωt jMaka :

dtd re = ω(-sin ωt i + cos ωt j)

3/8/2007 10:22 AM FISIKA I 37

Gerak Melingkar

dtd re = ω[cos(ωt + 90o)i + sin(ωt + 90o)j] = ωeθ

Atau :

R

er

xo

yo

θo

eθVektor satuan eθ menyatakanarah tegak lurus dengan vektorsatuan er seperti pada gambarsamping.

Dengan demikian kecepatandalam gerak melingkar samadengan :

v(t) = ωR eθ

3/8/2007 10:22 AM FISIKA I 38

Gerak MelingkarDengan demikian besar kecepatan v = ωr dengan arahtegak lurus vektor posisi. Arah dari kecepatanmerupakan garis singgung dari lintasan lingkaran.

Vektor satuan aθ menyatakanarah tegak lurus dengan vektorsatuan ar seperti pada gambarsamping.

Percepatan dari gerak melingkardinyatakan oleh :

( ) ( ) (ωa )drdt

θ= =v

ad t

tdt

r

ar

xo

yo

θo

aθ

3/8/2007 10:22 AM FISIKA I 39

Gerak Melingkar BeraturanGerak melingkar beraturan terjadi jika ω yang menyatakan kecepatan sudut konstan. Kecepatansudut adalah turunan sudut terhadap waktu.

( ) ( ) ωθωtdtd

dttθd

o =+=

Jika ω konstan maka percepatan :

( ) ( )ωr da

dtθ= =

va

d tt

dtdadtθ = -ω(cos ωt i + sin ωt j) = -ωar

Dengan demikian besar percepatan a = ω2r denganarah berlawanan vektor posisi (-ar).

3/8/2007 10:22 AM FISIKA I 40

Gerak MelingkarPercepatan yang demikian disebut percepatansentripetal, yang dicirikan arahnya menuju titik pusat. Jika ω tidak konstan, maka percepatan menjadi :

( ) ( ) 2ωωr ω αadt

de d rdtθ

θ θ= = + = − +rv

a ra rad t

tdt

Dengan α menyatakan percepatan sudut yang merupakan turunan pertama dari kecepatan sudutterhadap waktu.

Percepatan yang searah dengan arah kecepatan (aθ) disebut percepatan tangensial.

3/8/2007 10:22 AM FISIKA I 41

CONTOHSebuah roda berotasi murni mengelilingi porosnya. Sebuah titik P yang berjarak 0,2 m dari sumbu rotasimenempuh sudut (dalam radian) sebagai berikut :θ = (πt3)/3 – (πt2)/2 − 2πt (t dalam sekon)Tentukan :

Kecepatan dan percepatan sudut titik P pada t = 2 s Laju titik P pada t = 2 s Percepatan tangensial dan sentripetal titik P pada t = 2 s

a.b.c.

3/8/2007 10:22 AM FISIKA I 42

SOLUSI

Laju titik P pada t = 2 s adalah v = = 0.0,2 = 0Percepatan tangensial dan sentripetal titik P pada t = 2 s adalah :

as = ω2(2).r = 0at = αr

Dengan α menyatakan percepatan sudut yang besarnya adalah α = = 2πt - π. Saat t = 2 s diperoleh α = 3π. Dan at = 0,6π m/s2

b.c.

Jawab :a. Kecepatan sudut : ω = ( )

dttθd = πt2 - πt - 2π.

Pada t = 2 s diperoleh ω = 0.

( )dt

tωd