tutorial 2

17
TUTORIAL 2 SMU 3023 MATEMATIK ASAS GEOMETRI KOORDINAT 1. Tentukan sama ada setiap pasangan garis lurus berikut adalah selari atau tidak. a) 2x – 5y + 8 = 0 dan 2x – 5y – 3 = 0. b) x + y = 5 dan 2x + 3y = 5. 2. Tentukan sama ada garis lurus AB dan CD berikut adalah selari atau tidak. a) A (0,1) , B(1,2) , C(1, 4) dan D(3,2); b) A (1,0), B(3,6) C (5,2) dan D(3,5). 3. Diberi kecerunan garis lurus yang melalui titik (t,1) dan titik (1,2 – 5t) ialah 3.Cari nilai t. 4. Jika A (4 , p + q) , B (4 ,2p), dan C (8 , 12) terletak pada satu garis lurus, cari nilai p. 5. Nyatakan pintasan paksi-x dan pintasan paksi-y bagi setiap garis lurus berikut. Seterusnya, kirakan kecerunan garis lurus itu. 6. Cari kecerunan garis lurus yang melalui titik a) P (4,0) dan Q (0,12). b) R (15,0) dan S (0,10). y 0 ( 0 , 8 ) ( 4 , 0 ) y 0 ( 0 , 6 ) (9 , 0 )

Upload: kasturi-nusi

Post on 12-Dec-2014

122 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: Tutorial 2

TUTORIAL 2

SMU 3023 MATEMATIK ASAS

GEOMETRI KOORDINAT

1. Tentukan sama ada setiap pasangan garis lurus berikut adalah selari atau tidak.

a) 2x – 5y + 8 = 0 dan 2x – 5y – 3 = 0.

b) x + y = 5 dan 2x + 3y = 5.

2. Tentukan sama ada garis lurus AB dan CD berikut adalah selari atau tidak.

a) A (0,1) , B(1,2) , C(1, 4) dan D(3,2);

b) A (1,0), B(3,6) C (5,2) dan D(3,5).

3. Diberi kecerunan garis lurus yang melalui titik (t,1) dan titik (1,2 – 5t) ialah 3.Cari nilai t.

4. Jika A (4 , p + q) , B (4 ,2p), dan C (8 , 12) terletak pada satu garis lurus, cari nilai p.

5. Nyatakan pintasan paksi-x dan pintasan paksi-y bagi setiap garis lurus berikut. Seterusnya, kirakan kecerunan garis lurus itu.

6. Cari kecerunan garis lurus yang melalui titik

a) P (4,0) dan Q (0,12).

b) R (15,0) dan S (0,10).

7. Diberi kecerunan suatu garis lurus yang menyilang paksi-x pada titik (3,0) ialah 2. Cari koordinat

titik garis lurus itu yang menyilang paksi-y.

8. Cari persamaan garis lurus yang menyilang paksi-x dan paksi-y masing-masing pada

a) (3,0) dan (6,2).

b) (4,0) dan (0,2).

9. Sebuah segitiga mempunyai bucu-bucu sA (1,2) , B (3,0) dan C (4,4).

Cari persamaan garis lurus

••

y

0

( 0 , 8 )

( 4 , 0 )

y

0

( 0 , 6 )

(9 , 0 )

Page 2: Tutorial 2

a) yang melalui titik C dan titik tengah AB;

b) yang melalui titik C dan mempunyai kecerunan yang sama dengan kecerunan AB.

10.

8. Diberi garis lurus 2x + py +q = 0 mempunyai kecerunan –2 dan menyilang paksi-y pada titik

(0,5) .Cari nilai p dan q.

11. Garis lurus 4x – 3y –12 = 0 menyilang paksi-x dan paksi-y masing-masing pada titik P dan Q. Cari koordinat bagi titik P dan Q.

12. Cari luas rantau yang dilingkungi oleh garis lurus 6x + 2y 12 = 0 , paksi-x dan paksi-y.

13. Cari titik persilangan bagi setiap pasangan garis lurus yang berikut:

a) x + y = 8 dan 3x –2y = 9.

b) 5x + 2y – 12 = 0 dan 5x – 2y = 0.

14. Cari persamaan garis lurus yang melalui titik asalan dan titik persilangan garis lurus

3x – 2y + 3 = 0 dan 3x + y – 6 = 0.

15. Garis lurus yang melalui titik (1,3) dan (5,3) menyilang garis lurus 2x –3y = 9 pada titik A. Cari koordinat bagi titik A.

16 . Cari persamaan garis lurus yang selari dengan 2y = 3x – 4 dan melalui titik tengah

P(0,3) dan Q(2,5).

17. Cari persamaan garis lurus yang berserenjang dengan garis lurus y = 5 –3x dan melalui titik

(1,2).

TRIGONOMETRI I

Page 3: Tutorial 2

1. Cari sudut berbucu pusat bulatan yang mempunyai panjang lengkok 7cm pada suatu bulatan jika

jejari bulatan ialah 3cm. Berikan jawapan dalam kedua-dua ukuran, darjah dan radian.

2. Tangen-tangen TA dan TB dilukis dari suatu titik T kepada suatu bulatan berpusat O dengan

jejari 10cm. Jika OT = 15cm, cari

a) panjang lengkok minor AB

b) luas tembereng minor AB

3. Panjang tangen PA dan PB yang dilukis daripada suatu titik P kepada suatu bulatan berjejari 4cm

adalah 8cm. Kira luas rantau yang dibatasi oleh PA, PB dan lengkok minor AB bulatan itu.

4. A

O C B

Dalam rajah di atas, OAB ialah sebuah sektor berpusat O dan AOC ialah sebuah segi tiga

bersudut tegak di C.

Hitungkan

a) panjang CB

b) perimeter kawasan berlorek

c) luas kawasan berlorek

5.

Rajah menunjukkan suatu sektor berpusat O dan berjejari 10 cm. Diberi panjang perentas PQ

ialah 7cm. Carikan

a) sudut POQ dalam radian

b) perimeter sektor OPQ

c) luas kawasan berlorek

6. Selesaikan persamaan-persamaan berikut untuk 0< < 360

a) sin b) kos = – 0.679

10cm

50o

P

Q

O

Page 4: Tutorial 2

b) sek d) kosek = – 13

e) tan 2 = –1

7. Cari nilai di antara 0 dan 360 termasuk kedua-duanya yang memenuhi persamaan –persamaan berikut

a) 6 sin – kosek = 1

b) tan kos =

c) 6 kosek 2 –10 = 2 kot d) kot + 4 tan = 4 kosek e) 20 kos 2 – 7 sin kos = 6 sin 2

f) kosek

TRIGONOMETRI II

1. Buktikan bahawa

2. Cari satu ungkapan bagi sin 3A dalam sebutan sin A

3. Buktikan bahawa

= tan 5A (gunakan rumus faktor)

4. Buktikan bahawa

sin 4x + kos 4x = 1 - sin2 2x

5. Buktikan identiti berikut

= tan

6. Untuk nilai 0° x 360°, selesaikan persamaan berikut:

a) kos 2x = kos x

b) sin x = 2 sin (60° – x)

7. Jika tan B = 5 tan C, buktikan

tan (B + C) =

8. Selesaikan persamaan berikut di mana 0° 360

sin 2 + sin 3 + sin 4 = 0

Page 5: Tutorial 2

9. Diberi sin A = dan kos B = dengan keadaan 0 A, B 90, carikan nilai

a) tan (A + B)

b) sin (A - B)

10. Buktikan bahawa

sin22 (kot2 - tan2) = 4 kos2

11. Diberi sin = dengan keadaan ialah sudut tirus.

a) Tunjukkan bahawa sin 2 =

b) Carikan nilai m jika kos 2 =

12. Buktikan identiti

sin X + kos X = 2 sin (X + Y)sin Y kos Y sin 2Y

VEKTOR

B

P

A

O

M

N

Page 6: Tutorial 2

1. Rajah di atas menunjukkan sebuah ABC dengan M sebagai titik tengah kepada

OA dan P terletak pada AB dengan keadaan AP = 3PB. Titik tengah bagi OP ialah N.

Jika diberi

OA = 4p dan OB = 6q

a) i) Kirakan vektor AB, OP dan MN dalam sebutan p dan q

ii) Diberi OC = kq dan garis MN bertemu OB di C. Dapatkan nilai bagi k.

b) Jika koordinat P ialah (4,-3) dan PQ = -2i + 5j, dapatkan koordinat bagi Q.

→ Seterusnya dapatkan vektor unit bagi Q dan tentukan arah bagi vektor PQ.

2. Vektor kedudukan tiga titik A, B, C masing-masing adalah 2a + b, 4a – 2b dan 8a – 8b. Buktikan

bahawa ketiga-tiga titik ini berada pada satu garis lurus dan cari nisbah AB : BC

3. ABCD ialah sebuah sis empat dan P, Q, R, S masing-masing adalah titik tengah sisi-sisi AB, BC,

CD dan DA. Buktikan bahawa PQRS membentuk sebuah segi empat selari.

4. Cari magnitud bagi vektor i – 2j + 2k dan seterusnya cari vektor unit yang selari dengan dengan

vektor i – 2j + 2k

5. Jika a = i – j – 2k, b = 2i + j , c = – 2i + j 2k, cari vektor unit dalam arah a dan 2b + c.

6. ABC mempunyai koordinat - koordinat (2,3,4), (– 2,1,,0) dan (4,0,2) masing-masing. Cari sudut

tirus BAC.

7. Terdapat segi tiga ABC dengan bucu –bucu A(2,3,4), B (0.1.2) dan C (2,0, – 1). Cari vektor unit

yang berserenjang dengan satah yang mengandungi A,B,C.

O

C

B

A

A B

CD

P

Q

R

S

Page 7: Tutorial 2

8. Jika a = i + j + k, b = 3i – 4j + 5k, tunjukkan bahawa

i) a x b = – b x a

ii) a a x b = c

9. Vektor kedudukan bagi titik-titik A, B, C adalah a = i – 2j + k, b = 2i – 3j – k, c = 3i – j + 2k, cari

i) AB x AC

ii) Sudut BAC

10. Katakan O ialah asalan, P ialah titik (2,4) dan Q ialah titik (– 1,3). Diberi vektor

OR = OP – OQ. Dapatkan

i) Koordinat R

ii) QR

iii) Diberi S ialah titik (– 4,7) dan OS = hOP + kOQ di mana h dan k adalah pemalar, hitung nilai h dan k

11. Vektor kedudukan untuk A,B dan C adalah masing-masing OA = 2i – 3j, OB = 3i+ 4j dan OC = 6j. Dapatkan

i) AB ii) BA iii) Nilai m dan n jika mOA + n OB = OC

12. OPQR ialah sebuah segi empat selari dengan dengan OP = 12i – 5j dan OR = 4i + 3j. Carikan

i) OQ

ii) Vektor unit dalam arah OQ

iii) Sudut OPQ

13. i) Tunjukkan bahawa 2i – j + 4k dan 5i + 2j – 2k adalah serenjang

ii) Cari vektor ketiga yang serenjang dengan kedua-dua vektor di atas

14. a) Cari vektor unit yang berserenjang kepada satah yang mengandungi vektor-vektor

a = i – 2j + k dan b = -2i + j+ 2k

b) Sudut di antara dua vektor a dengan b ialah kos-1 . Cari nilai-nilai q, jika

a = 6i – 8j

Page 8: Tutorial 2

b = 4i + qj

15. Vektor kedudukan bagi titik-titik A, B dan C adalah

a = 4i – 9j – k, b = i + 3j + 5k. c = pi – j + 3k

a) Cari vektor unit yang selari dengan vektor AB

b) Cari nilai p supaya A, B dan C adalah segaris

c) Jika p = – 2, cari vektor kedudukan bagi D supaya ABCD adalah sebuah segi empat selari

16. Rajah di atas menunjukkan sebuah heksagon sekata yang berpusat di O. Jika OJ = a dan

JK = b, ungkapkan vektor-vektor berikut dalam bentuk yang paling ringkas.

i) JI

ii) KL

iii) GJ

iv) KJ + JI + IH + HO + OJ – KJ

18.

Dalam rajah di atas, OA = a dan OB = b. Titik P dan Q terletak pada AB dan OB dengan keadaan

3AP = PB dan 4OQ = 3OB. Nyatakan

i) AQ dan OP dalam sebutan a dan b

ii) Jika OS = mOP dan AS = nAQ, tunjukkan bahawa m =3n dan 3m + 4n = 4

KJ

L

G H

IO

A

O B

P

Q

S

Page 9: Tutorial 2

iii) Seterusnya selesaikan persamaan tersebut dan dapatkan nilai nisbah AS : AQ

NOMBOR KOMPLEKS

1. Diberi bahawa z = 2 + 3ί, ungkapkan setiap yang berikut dalam bentuk a + bί.

(a) (z – ί)(z + 1) (b)

2. Cari nilai-nilai nyata x dan y yang memenuhi persamaan

3. Jika z = 1 – 2ί, nyatakan z + 1 dalam bentuk a + bί.

4. Tentukan modulus dan hujah bagi setiap nombor kompleks berikut:

a) 6 + 8ί b) 3ί c) –2 + 2ί d)

5. Cari modulus dan hujah untuk i) z1 + z2 ii) z1 – z2 untuk setiap kes.

a) z 1 = 1 + 2ί; z 2 = 2 + ίb) z 1 = 3 – 2ί; z 2 = –1 + ί

6. Nyatakan yang berikut dalam bentuk r(kos + ί sin ).

a) 1 + 2ί b) 3 – ί c)

7. Jika z 2 = dan z 3 = buktikan bahawa z1 z3 = 1

8. Tunjukkan bahawa punca-punca persamaan z 4 – 16 = 0 diwakil dalam Gambarajah Argand oleh

empat bucu suatu segi empat sama.

9. Jika z = 3 + i , ungkapkan berikut dalam bentuk a + ib, di mana a, b R.

i) (z + 2i)(z – 1) ii)

10. Cari nilai punca kuasa bagi nombor kompleks 3 + 4i dalam bentuk a + ib.

Page 10: Tutorial 2

JAWAPAN

GEOMETRI KOORDINAT

1. a) Selari b) Tidak Selari 2. a) Selari b) Tidak Selari 3. 24. 35. a) pintasan-x = 4 , pintasan-y = 8 kecerunan = 2

b) pintasan-x = 9, pintasan -y = 6 kecerunan = 2/36. a) 3

7. b)

8. ( 0, 6 )9. a) y = 3x + 11 b) 3x + 2y = 18 10. a) y = x b) x + 2y = 1211. p =1 , q = 512. P (3,0) , Q(0,4)13. 6 unit2

14. a) (5,3) b) (1, )

15. A(3,1)16. 3x – 2y +5 = 017. x – 3y + 7 = 0

Page 11: Tutorial 2

TRIGONOMETRI I

1. 133.69o 2.33 radian

2. a) 16.82 cm b) 34.41 cm2

3. 14.272 cm2

4. a) 3.57 cm b) 19.957 cm c) 19.01 cm2

5. a) 0.716 rad b) 27.16 cm c) 2.981 cm2

6. a) 210o, 330o b) 132.77o , 227.23o c) 30o , 330o

d) 184.41o , 355.59o e) 67.5o , 157.5o , 247.5o , 337.5o

7. a) 30o, 150o, 199.47o, 340.53o b) 14.48o, 165.52o

c) 45o, 123.69o, 225o, 303.69o d) 48.19o, 311.81o

e) 53.13o, 111.8o, 233.13o, 291.8o f) 30o, 150o

TRIGONOMETRI II

1. sin 3A = 3 sin A – 4 sin3 A

6. a) x = 120, 240 b) x = 40.9, 220.9

8. = 0, 60, 120, 180, 240, 300, 360

9. tan (A + B) = sin (A – B) =

10. m =

VEKTOR

1. a) i) AB = 6q – 4p , OP = , MN =

ii) k = 3

b) Q = (2,2) , Arah PQ = 111 48 dengan paksi x dan ikut arah

2. AB :BC = 1 : 2

4. 3,

5. ,

6. BAC = 7558

7.

9. i) i – 5j + 3k ii) BAC = 8024

Page 12: Tutorial 2

10. i) Koordinat R(3,1) ii) 4i – 2j iii) h = , k = 3

11. i) ii) – i – 7j iii) m = , n =

12. i) 16i – 2j ii) iii) OPQ = 12031

13. ii) – 6i + 24j + 9k

14. a) – 5i – 4j + 5k b) q = – 3,

15. a) b) p = 2

c) i – 13j – 3k16. i) – (a + b) ii) –a iii) 2a iv) – b

17. i) AQ = , OP =

iii) m = , n = , AS : AQ = 4 : 13

NOMBOR KOMPLEKS

1. a) b)

2. x = 2; y = 53.

4. a) 10; 53.1o (sukuan I) b) 3; 71.6o (sukuan I)

c) ; – 45o (sukuan II) d) 1; 60o (sukuan I)

5. a) ; 45o (sukuan I) b) ; – 26.6o (sukuan II)

6. a) b)

c) 2

9. i) ii)

10.