BAB I

TEORI DASAR

1.1 Pendahuluan

Persamaan differensial biasa dapat dinyatakan sebagai persamaan yang

mengandung suatu besaran dan perubahannya (differensialnya ), dapat dituliskan

sebagai :

f ¿) = 0

Salah satu persamaan differensial yang banyak digunakan adalah persamaan

differensial linier yang dituliskan :

andn xdt n +an−1

dn−1 xdtn−1 +…+a1

dxdt

+a0 x=f (t )

Persamaan differensial yang mengandung satu variable independen disebut

dengan persamaan differensial biasa (PDB) umumnya diselesaikan dengan cara

analitik seperti penggunaan transformasi laplace.

1.2 Jenis – Jenis Metode Numerik Persamaan Differensial Biasa

Metode numerik persamaan differensial biasa, diantaranya terdiri dari :

a. Metode Taylor

Metode taylor adalah metode pendekatan yang menggunakan deret taylor

untuk mendapatkan penyelesaian persamaan differensial.

y '=f (x , y )

Dengan nilai pendekatan awal (x0 , y0 ¿ maka nilay y berikutnya dapat dihitung

dengan menggunakan deret taylor sebagai berikut :

y i+1= y i+ y ' ih+y i

n

2 !h2+

y i(3)

3 !h3+…+

y i(n)

n!hn

Dimana h = ∆ x=x−x0

Metode taylor tidak banyak digemari karena memerlukan perhitungan yang

cukup rumit dalam penyelesaiannya. Tetapi metode ini dapat memperoleh hasil

yang bagus pada beberapa permasalahan persamaan differensial.

b. Metode Euler

Suatu persamaan differensial dapat dinyatakan sebagai berikut :

dydt

=f ( t , y ) , a ≤ t ≤ b , y (a )=a

Pada kenyataannya melalui pendekatan numeric, kita tidak akan memperoleh solusi

fungsi yang kontinyu; yang mungkin kita dapat adalah solusi diskrit dalam bentuk

mesh points di dalam interval [a,b]. Setelah diperoleh solusi numerik pada suatu

point, maka point-point yang lainpun bisa dicari dengan cara interpolasi. Tahap

awal solusi pendekatan numerik adalah dengan menentukan point-point dalam

jarak yang sama di dalam interval [a,b], yaitu dengan menerapkan

t i=a+ih ,i=0,1.2 , ….. , N

Jarak antar point dirumuskan sebagai

h=b−aN

ini disebut step size.

Metode Euler diturunkan dari deret Taylor. Misalnya, fungsi y(t) adalah

fungsi yang kontinyu dan memiliki turunan dalam interval [a,b]. Maka dalam deret

Taylor

y (t i+1 )= y (t i )+(t i+1−t i ) y ' (t i )+( ti+1−ti )

2

2y ' ' ( δi )

Karena h = (t i+1−t i ) , maka

y (t i+1 )= y (t i )+h y ' (t i )+h2

2y ' ' (δ i )

(a) (b)

Gambar 1 Kurva Metode Euler

dan, karena y(t) memenuhi persamaan diferensial (1),

y (t i+1 )= y (t i )+h y ' (t i )+h2

2y ' ' (δ i )

Metode Euler dibangun dengan pendekatan wi ≈ y(ti) untuk i = 1,2,3,...,N,

dengan mengabaikan

suku terakhir yang terdapat pada persamaan diatas. Jadi metode Euler dinyatakan

sebagai

ω0=α

ωi+1=ωi+hf (t i ,ωi)

Dimana i=0 , 1 , 2, … .. , , N−1

Pada percobaan metode numeric persamaan differensial biasa hanya akan

membahas dan mengenal lebih dalam mengenai metode euler baik secara program

maupun perhitungan manual.