BILANGAN KOMPLEKS I

BILANGAN KOMPLEKS IGagasan dan SimbolGagasan tentang ruang, waktu, massa, gaya, laju perubahan.Isaac Newton mengatakan:F = m x a di mana F = Gayam= Massaa = Percepatan 2. Persamaan Kuadratikax2 + bx + c = 0 dapat diperoleh dengan menggunakan :

Contoh : 5x2 6x + 5 = 0, kita akan memperoleh:

Selanjutnya menentukan akar kuadrat dari -64.

+ 8 dan -8 adalah akar kuadrat dari 64 dan bukan -64. tidak dapat dinyatakan dengan bilangan , karena tidak ada bilangan real yang kuadratnyamerupakan kuantitas negatif.

Akan tetapi -64 = -1 x 64 sehingga kita dapat menulis = = =

Kita masih diperhadapkan dengan yang tidak dapat dihitung seperti bilangan real. Jika kita menulis huruf j sebagai pengganti maka:

Walaupun kita dapat menghitung , kita dapat menggantinya dengan j.

j menyatakan , mari kita perhatikan pangkat-pangkat dari j berikut:

Contoh :

Contoh :x2 6x + 34 = 0 Jadi :

Artinya x = 3 + j5 atau x = 3 j5Hasil x = 3 + j5 yang kita peroleh terdiri atas dua suku yang terpisah, 3 dan j5. Kedua suku itu tidak dapat digabungkan lagi karena sukuyang kedua memiliki faktor j.

Dimana: 3 disebut bagian real dari x 5 disebut bagian imajiner dari x.Keduanya membentuk apa yang disebut Bilangan Kompleks.1.Penambahan dan pengurangan bilangan KompleksContoh : (4 + j5) + (3 j2)Walaupun bagian real dan imajiner tidak dapat digabungkan kita dapat menghilangkan tanda kurung dan menjumlahkan suku-suku yang jenisnya sama;

(4 + j5) + (3 j2) = 4 + j7 + 3 j2 = (4 + 3) + j(5 - 2) = 7 + j3Contoh: (4 + j7) (2 j5) = 4 + j7 2 + j5 = (4-2) + j(7 + 5) = 2 + j12

Jadi secara umum:

(a + jb) + (c + jd) = (a + c) + j(b + d)

2. Perkalian Bilangan Kompleks Contoh:(3 + j4)(2 +j5) Dari suku-suku hasil kali: 1. Kedua suku sisikiri 2. Kedua suku dibagian dalam 3. Kedua suku di bagian luar 4. Kedua suku sisi kanan = 6 + j8 + j15 + j2 20 = 6 + j23 20 (karena j2 = -1) = -14 + j23 (5 + j8) dan (5 j8) Kedua bilangan kompleks ini identik kecuali pada tanda di tengah tanda kurungnya.Sepasang bilangan kompleks diatas disebut bilangan kompleks Konjugat dan hasilkali dua bilangan kompleks konjugat selalu bilangan real.Lihat dengan cara seperti ini:

(a + b)(a b) = a2 b2 (selisih dua kuadrat)

Hasil kali (7 j6) dan (4 + j3) akan berupa Bilangan Kompleks

Karena (7 + j6)(4 + j3) adalah hasilkali dua bilangan kompleks yang bukan bilangan kompleks konjugat atau kelipatan konjugatnya.Ingat:Bilangan kompleks konjugat adalah identik kecuali pada tanda ditengah tanda kurungnya.(4+j5) dan (4-j5) adalah Bil. Kompleks Konjugat(a+jb) dan (a-jb) adalah Bil. Kompleks KonjugatTetapi(6+j2) dan (2+j6) bukanlah bil. Kompleks konjugat(5-j3) dan (-5+j3) bukanlah bil. Kompleks konjugat

(3 j2) dikalikan dengan apakah menghasilkan yang seluruhnya real? (3 + j2), karena Konjugat (3-j2) adalah identik denganya, kecuali untuk tanda ditengah tanda kurungnya yakni (3 + j2).Contoh:(3 j2)(3 + j2) = 32 (j2)2 = 9 j2 4 = 9 + 4 = 13(2 + j7)(2 j7) = 22 (j7)2 = 4 j2 49 = 4 + 49 = 53

Pembagian Bilangan KompleksPembagian bilangan Kompleks dengan bilangan real: Contoh :

Bilangan Kompleks Yang SamaDua bilangan kompleks yang kita sebut sama.Misal : a + jb dan c + jd a + jb = c + jd a c = j(d- b) - Kuantitas di sisi kiri seluruhnya real - Kuantitas di sisi kanansemuanya imajinerSehingga berlawanan dan umumnya tidak benar. Dapat benar ketika setiap sisi sama dengan nol. a c = j(d b) dapat benar hanya jika a c = 0 yakni a = c dan d b = 0 yakni b = d.Sehingga kita dapat memperoleh hasil yang penting ini:Jika dua bilangan Kompleks adalah sama Kedua bagian realnya sama Kedua bagaian imajinernya samaContoh :Jika x + jy = 5 + j4 Maka kita ketahui x = 5, y = 4 a + jb = 6 j3 Maka a = 6, b = -3 Representasi grafis suatu bilangan kompleks

Sebuah garis yang merepresentasikan suatu magnitudo (dengan panjangnya) dan arah (dengan mata panahnya) di sebut Vektor.Kalikan (+3) dengan faktor (-1) = (-3) dengan kata lain faktor (-1) memiliki pengaruh dalam memutar vektornya 1800 .

3 dan 2 keduanya ekuivalen dengan vector tunggal yang ditarik dari titik. Yang secara alami menghasilkan 3 + 2 = 5.

Penjumlahan Bilangan Kompleks Secara Grafis

Bentuk Polar Suatu Bilangan KompleksMisalkan OP merupakan vector a + jb, r = Panjang Vektor, merupakan sudut yg dibuatnya dengan OX

Inilah yg disebut Bentuk Polar Bilangan Kompleks a + Jb , di mana:

Bentuk Eksponensial Suatu Bilangan KompleksAda Beberapa Fungsi yg dapat dinyatakan sebagai deret sebagai contoh:

Dengan demikian ada tiga cara untuk menyatakan suatu bilangan kompleks :

Ingatlah bahwa bentuk eksponensialnya diperoleh dari bentuk polar : Nilai r sama dalam setiap kasusSudutnya juga sama dalam setiap kasus, tetapi pada bentuk eksponensial sudutnya haruslah dalam radian.