BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Peluang merupakan materi pembelajaraan keenam dari Matematika. Teori

peluang bukan bahan baru lagi bagi anda, karena teori ini sudah anda pelajari dalam

Matetatika tingkat SMP maupun SMA. Teori peluang ini juga dikenal teori

probabilitas atau teori kemungkinaan.

Peluang banyak digunakan dibidang lain, selain bidang Matematika. Ahli fisika

menggunakan peluang untuk mempelajari macam-macam gas dan hukum panas

dalam teori atom. Ahli biologi mengaplikasi teknik peluang dalam ilmu genetika dan

teori seleksi alam. Dalam dunia bisnis teknik peluang digunakan untuk pengembalian

keputusan.

1.2 Rumusan Masalah

Peluang merupakan teori dasar stastistika, suatu disiplin ilmu yang mempelajari

pengumpulan, pengaturan, perhitungan, penggambaran dan penganalisisan data, serta

penarikan kesimpulan yang valid berdasarkan penganalisisan yang dilakukan dan

pembuatan keputusan yang rasional.

1.3 Tujuan

Pada makalah ini anda akan mempelajari pengertian dan aturan dalam peluang.

Dalam mempelajarinya anda diharapkan dapat menggunakan konsep permutasi,

kombinasi dan peluang untuk menyelesaikan masalah dalam Matematika atau bidang

lain. Sementara secara khusus setelah mempelajari materi ini, anda diharapkan dapat :

1. Menyusun aturan perkalian, permutasi dan kombinasi.

2. Menggunakan aturan perkalian, permutasi dan kon\mbinasi dalam

pemecahan soal.

3. Menentukan banyak kemungkinaan kejadian dari berbagai situasi.

4. Menentukan ruang sampel suatu percobaan acak.

5. Menentukan peluang kejadian dari berbagai situasi.

6. Memberi tafsiran peluang kejadian dari berbagai situasi.

7. Menentukan peluang komplemen suatu kejadian.

8. Merumuskan aturan penjumlahan dan perkalian dalam peluang

kejadian mejemuk.

9. Menggunakan aturan penjumlahan dan perkalian dalam peluang

kejadian mejemuk.

BAB II

PEMBAHASAN

2.1.    Peluang Suatu Kejadian

Peluang adalah munculnya suatu kejadian yang memiliki ruang sampel

dan titik sampel. Ruang sampel yaitu himpunan semua hasil yang mungkin dari

sebuah percobaan. Jika suatu anggota ruang sampel mempunyai peluang yang sama

untuk muncul maka peluang kejadian A yang memiliki anggota sebanyak n(A) : P(A)

=  , A  S .Titik sampel yaitu,setiap anggota ruang sampel,disebut juga kejadian yang

mungkin. Jika A’ komplemen kejadian A maka peluang kejadian A : P(A’) = 1 –

P(A).

Contoh : Percobaan melambungkan sekeping uang logam satu kali, berapakah

peluang munculnya gambar?

Jawab : Ruang sampelnya, S = {A,G}, n (S) = 2. Misalkan B adalah kejadian

munculnya gambar : A = {G} ; n(A) = 1 , Jadi, peluang munculnya gambar adalah

P(B) =   = 

·         Kiasaran nilai peluang

Jika S adalah suatu ruang contoh dari suatu percobaan, E adalah suatu kejadian, dan P

adalah suatu fungsi peluang, maka P(E) adalah peluang kejadian E yang bernilai

nyata jika memenuhi tiga sifat berikut :

1.   0  P(E)  1 , untuk setiap E

2.   P(S) = 1

3.   P(E1 E2) = P(E1) + P(E2), untuk E1 dan E2 dan kejadian yang lepas atau E1  E2 = 0

Contoh :

Pada percobaan  melempar dua dadu bersama-sama berapa peluang mendapatkan :

a.     Jumlah kedua mata dadu 9

b.    Jumlah kedua mata dadu 6?

Jawab ;

a.    Jika kejadian A = {jumlah mata dadu 9} maka, A = {(6,3),(5,4),(4,5),(3,6)} n(A)

= 4 p(A) =  =  

b.   Jika kejadian B = {jumlah mata dadu 6} maka, B = {(5,1),(4,2),(3,3),(2,4),(1,5)}

n(B) = 5 , P(B) = 

2.2.     Frekuensi Harapan

 Frekuensi harapan adalah hasil kali peluang kejadian dengan banyaknya

percobaan. F(E) = P(E).n

Contoh :

Sekeping uang logam dilemparkan 30 kali, maka frekuensi harapan muncul

gambar adalah ?

Jawab : F(G) = .30 = 15 kali

2.3.    Kaidah Pencacahan

Jika suatu himpunan A memuat r dan himpunan B memuat s elemen

maka A B adalah suatu himpunan yang memuat r s elemen, dimana r s elemen

memuat pasangan berurut (a;b) dengan a dan b  B. Misalnya A = {1,3,5} dan B =

{x,y} maka A  B = {(1 . n (A) = 3, n (B) = 2, n (A ).

Ilustrasi diatas menunjukkan bahwa “jika peristiwa pertama dapat

diilakukan dengan n cara yang berbeda dan kemudian dilanjutkan dengan peristiwa

kedua yang dapat dilakukan dengan m cara berbeda maka, kedua peristiwa itu dapat

dilakukan secara bersama-sama dengan n  cara yang berbeda”

Contoh ; seseorang mempunyai 4 kaos dan 3 celana. Dengan beberapa pasangan yang

berbeda, dia dapat memakai kaos dan celana tersebut ?

Jawab ; Ia dapat memakai kaos dengan 4 cara , ia dapat memakai celana dengan 3

cara. Maka ia dapat memakai kaos dan celana yang berbeda sebanyak 4 3 = 12 cara.

2.4.    Permutasi

              Permutasi dari sekumpulan unsur-unsur suatu himpunan adalah susunan

berurutan dari semua atau sebagian unsur-unsur himpunan itu dengan memperhatikan

urutannya.Jadi : AB  BA,PQ  QR, 12  21, dsb

1.      Notasi Faktorial

                    n !  (n faktorial) adalah perkalian bilangan asli dari 1 sampai n, yaitu

1atau n . Dalam hal ini didefinisikan = 1! = 1 dan 0! = 1

jadi, n ! = n(n-1)(n-2)…3 

Contoh ; Carilah nilai dari, a) 5! , b)   , c) 

Jawab ;

a)      5! = 5.4.3.2.1 = 120

b)       =  = 6

c)       =  = 56

2.      Permutasi dari unsur yang berbeda

·         ₆P₃ =  =  = 120

·         ₇P₂ =    =  = 42

Dari contoh soal diatas, maka dapat didefinisikan bahwa : permutasi “r” unsur yang

diambil “ ” unsur yang tersedia adalah susunan dari r unsur dengan satu urutan, dan

ditulis dengan notasi ᵤPᵣ atau Pᵘᵣ atau Pᵤ.ᵣ .

3.      Permutasi dari unsur yang sama

·         Berapa banyak susunan huruf-huruf yang berbeda yang  dapat disusun dari

huruf-huruf pada kata :

o   SSST

→ Huruf-huruf dari SSST dapat disusun berbeda : SSST,SSTS, STSS,TSSS

Jadi,ada 4 macam susunan yang berbeda.

ATAU

→ P =  =  = 4 macam susunan

4.      Permutasi Siklis (Permutasi melingkar)

Secara umum banyaknya permutasi siklis dari n obyek adalah (n-1)!

Contoh ; Dengan berapa cara 9 kue yg berbeda dapat diisusun melingkar diatas

sebuah meja ?

Jawab ; P = (9-1)! = 8! = 8.7.6.5.4.3.2.1 = 40.320

E.     Kombinasi

                          Kombinasi adalah susunan beberapa unsur yang diambil dari

sebagian atau semua unsur suatu himpunan tanpa memperhatikan urutannya.

Banyaknya kombinasii dari n unsur diambil r unsur dengan r unsure dengan r  n

C (n,r) 

Contoh :

Diketahui himpunan A = {1,2,3,4,5} Berapa himpunan bagian dari A yang terdiri atas

3 unsur ?

Jawab : C (5,3) =  =  =  = 10

F.     Ekspansi Binominal

                          Secara umum untuk sembarang bunominal (a+b) dan bilangan asli n

dapat dieroleh : (a+b)n  =  C (n,o) an + C(n,1) an-1 b + C(n,2) an-2  b2 + … + C(n,n)

bn=  an-r br

                          Bentuk rumus ruas kanan diatas dinamakan ekspansi binominal atau

binomium Newton. Rumus binomium newton :

(a+b)n = an-r br

Contoh :

Carilah koefisien dari suku ke-7 pada (4x-y3)9 !

Jawab :

n = 9 , a = 4x , b = -y3 , r = (7- 1) = 6

suku ke-7 :  C(9,6) (4x)9-6 (-y3)6 =  64x3y18

                                                  =  64x3y18

                                                                  = 5.376 x3y18

Jadi, koefisien suku ke-7 adalah 5.376

G.    Ruang Sampel

                          Ruang sample dari suatu percobaan akan berbeda-beda tergantung

pada tujuan percobaan tersebut atau tergantung pada hasil yang diamati.

Contoh :

Pada percobaan melemparkan dua mata logam bersama-sama, dimana sisi-sisi uang

logam adalah gambar (G) dan angka (A). Tuliskan : (i) ruang sampel sisi logam

                                                                                   (ii) ruang sampel sisi gambar

Jawab :

(i)                 Ruang sampel sisi uang logam yang muncul yaitu :

S1 = {(A,A);(A,G);(G,A);(G,G)} atau {AA, AG, GA, GG}

(ii)               Jika yang diamati adalah munculnya sisi gambar maka ruang sampelnya :

S2 = {0, 1,2}

Unsur 0 menyatakan tidak ada gambar yang muncul,

Unsur 1 menyatakan sebuah gambar yang muncul, dan

Unsur 2 menyatakan dua gambar yang muncul pada kedua sisi uang logam

H.    Kejadian Majemuk

                          Kejadian majemuk adalah kejadian yang dibentuk dari

menggabungkan dua atau lebih kejadian sederhana.

1.      Dua kejadian saling lepas

                    Jika A dan B adalah dua kejadian dalam ruang sampel S, maka peluang

gabungan kejadian A dan B adalah :

P (A  B) = P(A) + P(B) – P(A B)

Jika suatu kejadian A dan B tidak bersekutu maka kita katakan dua kejadian terebut

adalah saling lepas. Untuk kejadian yang saling lepas (saling asing / saling eksklusif),

maka P(A B) = P( ) = 0

Jika A dan B dua kejadian saling lepas, maka P(A B) = P(A) + P(B)

Contoh :

Pada pengambilan satu  kartu secara acak dari 1 set kartu bridge, berapa

peluang mendapatkan artu as atau king?

Jawab :

Misalkan, A kejadian mendapatkan As dan B kejadian mendapatkan king, maka A B

tidak mungkin terjadi .

Jadi, P(A B) = P(A) + P(B)

                    =  +  = 

2.      Dua Kejadian Saling Bebas

a.       Bola pertama dikembalikan sebelum bola kedua diambil.

              Jika E1 dan E2 adalah dua kejadian dengan syarat bahwa peluang bagi

kejadian : E1 tidak mempengaruhi kejadian E2, maka E1 dan E2 disebut sebagai

kajadian-kejadian saling bebas. Dan berlaku rumus

              P(E1 E2) = P(E1).P(E2)

b.      Bola pertama tidak dikembalikan sebelum bola kedua diambil

              Jika E1 dan E2 adalah dua kejadian dengan syarat bahwa peluang kejadian

E1 akan mempengaruhi kejadian E2, maka E1 dan E2 disebut sebagai “kejadian

Bersayarat”. Tidak saling bebas

Dan berlaku rumus :

              P(E1 E2) = P(E1).P(E2/E1)

·         P(E2/E1) dibaca peluang kejadian E2  dengan syarat E1 telah terjadi

Contoh :

Sebuah dadu isi enam dilambungkan dua kali. Berapakah peluang bahwa nomor yg

muncul pada lemparan pertama adalah due dan nomor yang muncul pada lemparan

kedua lebih dari dua ?

Jawab :

S = {1,2,3,4,5,6} maka n(S) = 6

Misalkan E1 = {kejadian nomor 2 muncul pada lemparan pertama}

                E1 = {2} → n(E2) = 4

Maka : P(E1) =  =  dan P(E2) =  =  = 

Karene kejadian E1 dan E2 saling bebas, maka : P(E1 E2) = P(E1).P(E2)

BAB III

PENUTUP

3.1 Kesimpulan

         Didalam makalah ini kita dapat mempelajari matematika tentang peluang. Pada

bab peluang, materinya meliputi kaidah pencacahan, permutasi, kombinasi, ekspansi

binominal, ruang sampel, peluang, frekuensi harapan, komplemen dan kejadian

majemuk.

         Permutasi adalah susunan yang berbeda yang dapat dibentuk dari n unsur yang

diambil dari n unsur atau sabagai unsur. Kombinasi adalah susunan beberapa unsur

yang diambil dari sebagian atau semua unsur suatu himpunan tanpa memperhatikan

urutannya. Ruang sampel adalah himpunan yang memuat semua hasil yang mungkin

dari suatu percobaan. Peluang kejadiaan adalah himpunan bagian dari ruang sampel.

Frekuensi harapan adalah hasil kali peluang kejadian dengan gabungkan dua atau

lebuh kejadian sederhana.

         Sifat-sifat peluang, misalnya S suatu ruang sampel dan A suatu kejadian pada

ruang sampel S.

a. Jika A = Ø maka P (A) = O

b. Nilai peluang kejadian A, yaitu P (A) berkisar dari O sampai 1 (O ≤ P (A) ≤ 1).

c. Jika S ruang sampel maka P (S) = 1.

3.2 Penutup

         Demikian makalah yang dapat penulis susun, penulis menyadari bahwa makalah

ini jauh dari kesempurnaan. Karena itu, keterbatasaan ini kiranya akan dapat

diminimalis dengan partisipasi pembaca untuk memberikan saran dan kritik yang

kinstruktif agar makalah kedepan dapat lebih baik.