1

2

LAPORAN KOMPUTASI PROSES

INTEGRASI NUMERIS DENGAN CARA SIMPSON

Diusulkan Oleh :

Nama : Usman Darmanto

Nim : 13521005

Kelas : C

Asisten : 1. Agus Kurniawan

2. Andry Septian

3. Heni Anggorowati

4. Khuriyati A’malina

LABORATORIUM KOMPUTASI PROSES

PROGRAM STUDI TEKNIK KIMIA

FAKULTAS TEKNOOGI INDUSTRI

UNIVERSITAS ISLAM INDONESIA

YOGYAKARTA

2015

1

2

BAB 1

PENDAHULUAN

A. Tujuan

Agar mahasiswa dapat menyelesaikan bentuk integral dengan

menggunakan penyelesaian numerik.

B. Dasar Teori

Perhitungan integral adalah perhitungan yang digunakan dalam kalkulus

untuk banyak keperluan. Integral ini secara definitive digunakan untuk

menghitung luas daerah yang dibatasi oleh fungsi y= f(x) dan sumbu x. perhatikan

gambar berikut:

Gambar 2.1 Luas daerah kurva

Luas daerah yang dihitamkan (L) dapat dihitung dengan :

Pada beberapa permasalahn perhitungan integral ini, dapat dihitung secara

manual menggunakan integral, namun pada beberapa kasus sering kita temui

permasalahan yang sulit untuk dihitung secara manual. Maka daripada itu alat

bantu berupa pemrograman dan semisalnya sangat dibutuhkan dalam

menyelesaikan permasalahan tersebut.

Pada penerapannya, perhitungan integral ini digunakan untuk menghitung

luas area pada peta, volume permukaan tanah, menghitung luas dan volume-

volume benda putar dimana fungsi f(x) tidak ditulis, hanyadigunakan gambar

untuk menyajikan nilai f(x).

Perlu diketahui, integrasi numerik memiliki banyak metode dalam

pemecahan masalahnya, dan penggunaan metodenya juga tergantung dari segi

1

2

keefektifan metode dalam penyelesaian masalah yang ada. Adapun pendekatan

atau metode yang digunakan dalam penyelaian intgrasi numerik yaitu :

1. Metode Trapezoida

2. Metode Simpson

3. Metode Composite-Simpson

4. Metode Adaptive Quadrature

5. Metode Gaussian Quadrature

Pada kesempatan kali ini, hanya akan dibahas satu pendekatan

penyelesaian yaitu dengan pendekatan penyelesaian Simpson lebih tepatnya

metode Simpson 1/3, sesuai dengan apa yang telah dipelajari sebelumnya.

Metode integrasi Simpson merupakan pengembangan metode integrasi

trapezoida, hanya saja daerah pembaginya bukan berupa trapesium tetapi berupa

dua buah trapesium dengan menggunakan pembobot berat dititik tengahnya atau

dengan kata lain metode ini adalah metode rerata dengan pembobot kuadrat

seperti terlihat pada gambar dibawah ini:

Gambar 2.2 luas daerah yang dibatasi fungsi y dan sumbu x

Jika interval tidak begitu besar dan fungsi (kurva) tidak berubah tajam,

maka integrasi dapat diselesaikan dengan rumus Simpson sebagai berikut :

(2.1)

Jika interval terlalu lebar dan/atau kurva berubah cukup tajam, maka

interval dibagi menjadi bagian-bagian kecil yang sama besar (Δx)

seperti gambar diatas , berjumlah N (dengan N = bilangan genap) dan batas-batas

1

2

interval diberi index 0, 1, 2,…, N. selanjutnya pada tiap 2 interval berurutan

dikenakan Simpson’s Rule.

(2.2)

dan (koefisien = 1)

Y nomor ganjil (koefisien = 4)

Y nomor genap (koefisien = 2)

N = bilangan genap

BAB II

PERSOALAN DAN PENYELESAIAN

A. Latihan

Terdapat beberapa contoh latihan yang sudah diselesaikan menggunakan

exel yaitu sebagai berikut :

3

1

2

Algoritma

(1) Definisikan fungsi f(x).

(2) Tentukan nilai batas bawah Xo, batas bawah Xi, dan jumlah pembagai i.

(3) Hitung

.

(4) Jika i terletak antara 0 dan N maka (Y) : koefisien = 1.

Jika i adalah genap maka 2 x f(x), jika ganjil maka 4 x f(x).

(5) Hitung dengan menggunakan rumus Simpson’s Rule.

Contoh latihan yang lain adalah sebagai berikut:

4

1

2

5

1

2

B. Tugas

Penyelesaian tugas dengan soal sebagai berikut :

Δx = 0.2

Jadi hasil integrasi dari persamaan diatas adalah 27.6851

6

1

2

BAB III

PENUTUP

A. Kesimpulan

Dalam hal ini kesimpulan dibagi menjadi dua segi yaitu kesimpulan dari

segi kualitatif dan kesimpulan dari segi kuantitatif. Adapun kesimpulan secara

kualitatif yang didapat dari praktikum komputasi proses kali ini mengenai

diferensiasi numeris yaitu :

1. Tujuan dari pembelajaran ini yaitu agar mahasiswa mengetahui

bagaimana bentuk persamaan integral dan mampu menyelesaikan

bentuk integral menggunakan penyelesaian numerik.

2. Persamaan integral dapat diselesaikan dengan berbagai cara

diantaranya yaitu dengan pendekatan Trapezoida, Simpson,

Composite-Simpson, Adaptive Quadrature, dan Gaussian Cuadrature.

Kesimpulan secara kuantitatif yaitu sebagai berikut :

1. Pada latihan nomor 1 didapat nilai integrasi dari persamaan

yaitu 6.1440.

2. Pada latihan nomor 2 dengan persamaan integral

didapat hasil integrasi yaitu 3.3, sedangkan untuk hasil dari latihan soal

nomor 3 dan 4 bisa dilihat di bab 2.

3. Pada soal tugas dengan persamaan integral sebagai berikut :

didapat hasil integrasi yaitu 27.6851, dengan cara dibuat dua integrasi

maka didapat dua hasil integrasi dengan batas bawah dan atasnya

adalah 1-3 dan 3-5. Kemudian dijumlahkan (15.8549 + 11.8302).

2

1

3 2 )32( dxxxy

3

1

5/2

3)

5

6

2

5( dx

xx

xy

7

1

2

B. Saran

Dalam pengerjaan soal integrasi numerik seperti di atas, harus dilakukan

secara teliti agar didapat hasil yang sesuai, khususnya ketika menentukan iterasi

dan pemberian kunci pada beberapa penulisan rumus. Karena dalam praktikum

komputasi sendiri, media yang digunakan yaitu microsoft exel maka dalam

penulisan rumus harus lebih hati-hati terutama tanda kurung dan sebagainya.

Daftar Pustaka

Suparno Supriyanto (2008), Komputasi untuk Sains dan Teknik, Depok.

Universitas Indonesia.

UII Pers (2010), Buku Petunjuk Praktikum Komputasi Proses, Yogyakarta.

Laboratorium Komputasi Proses.

Achmad Basuki, Nana Ramadijanti,”Pratikum Metode Numerik sebagai Algoritma

komputasi Progra, Diploma IV”, modul ajar metode numerik,PENS ,2002.

8