BAB I

FUNGSI TRANSEDEN

1.1 PENDAHULUAN

Salah satu fungsi non aljabar adalah fungsi transeden. Fungsi transeden mencakup antara lain fungsi logaritma, fungsi eksponen, fungsi trigonometri, dan fungsi hiperbolik

1.2 FUNGSI LOGARITMA NATURAL

Bila diberikan suatu fungsi f(x) = xn, maka perhitungan integral dari fungsi tersebut secara umum adalah:

+ C untuk n – 1

Namun integrasi tersebut tidak berlaku untuk n = – 1. Artinya, tidak dapat diintegrasikan dengan rumus

seperti di atas. Perhatikan bentuk logaritma natural : ln x =

dimana : e = = 2,7182818284589…….

bilangan e adalah irasional dan tak terukur

a. Menentukan turunan fungsi logaritma natural

Untuk mencari turunan fungsi logaritma natural y = ln x dapat dilakukan sebagai berikut:

misalkan sehingga dan =

dan untuk x 0 maka k 0, sehingga = = e

Dengan demikian = ln e =

Jadi: jika y = ln x maka turunannya =

Secara umum, jika y = ln u maka turunannya =

Aturan dalam logaritma natural mirip logaritma biasa, yaitu:

a. ln (ab) = ln a + ln b c. ln ab = b ln a

b. ln = ln a – ln b d. ln e = 1

Contoh soal:

Tentukan turunan dari 1. y = ln (x2 – 1) 3. y = ln (x – 1)2

2. y = ln {2x2 (4x – 1)} 4. y = ln

Jawab:

1. y = ln (x2 – 1) misal u = x2 – 1, maka = 2x

y = ln u, maka = = =

2. y = ln {2x2 (4x – 1)} misal u = 2x2 (4x – 1), maka = 4x(4x – 1) + 2x2 . 4 = 24 x2 – 4x

Jadi = =

1

Tujuan Instruksional Khusus: Mahasiswa memahami fungsi transeden, yaitu fungsi logarima natural, fungsi eksponen, fungsi inversi trigonometri, fungsi hiperbolik, dan fungsi inversi hiperbolik, serta cara mendiferensialkan dan mengintegralkan fungsi tersebut agar mampu menyelesaikan persoalan berkaitan dengan materi tersebut

3. y = ln (x – 1)2 = 2 ln (x – 1) Jadi =

4. y = ln misal u = maka =

Jadi = =

Tugas: Tentukan turunan dari:

1. y = ln {(4x2 + 3) (2x – 1)} 6. y = ln cos2x

2. y = ln (x3 + 2) (x2 + 3) 7. y = (x2 – 2) ln sin x

3. y = ln 8. xy + y ln x – ln y = 0

4. y = {ln (x3 – 4)2}3 9. xy (ln y + ln x) = 1

5. y = ln 10. y =

b. Diferensiasi menggunakan logaritma natural

Jika diketahui suatu fungsi y = f(x), maka diferensiasi secara logaritmik adalah dengan membuat kedua ruas menjadi fungsi logaritma natural, sehingga menjadi ln y = ln f(x). Kedua ruas lalu diturunkan menjadi:

diperoleh

Contoh soal:

Tentukan turunan dari

1. y = (x3 + 1)7 (2 – x2)3 2. y =

Jawab:1. y = (x3 + 1)7 (2 – x2)3 kedua ruas dijadikan fungsi logaritma natural ln y = ln

ln y = 7 ln (x3 + 1) + 3 ln (2 – x2) kedua ruas diturunkan, diperoleh = +

sehingga = y ( + ) = { + }

= { } = 3x (– 9x3 + 14x – 2)

2. y = kedua ruas dijadikan fungsi logaritma natural ln y =

kedua ruas dikalikan 6, menjadi 6 ln y = lalu kedua ruas diturunkan

= = ( )

= ( ) = ( )

= ( ) =

Tugas: Tentukan turunan dari fungsi-fungsi berikut

1. 3.

2. 4. y =

c. Diferensiasi Fungsi y = alog x

Fungsi y = alog x sama dengan ay = x, jika diubah menjadi fungsi ln maka menjadi

2

ln ay = ln x y ln a = ln x y = dimana ln a = konstan

Untuk y = maka =

Jadi untuk fungsi y = alog x, turunannya =

Atau secara umum,

Untuk fungsi y = alog u, turunannya =

Contoh soal: Tentukan turunan dari

1. y = 2 log (x2 – 1) 2. y = log (x4 + 3x2)

Jawab:

1. y = 2 log (x2 – 1) =

2. y = log (x4 + 3x2) =

Tugas: Tentukan turunan dari

1. y = alog (3x2 – 5) 4. y = log (ln x)

2. y = 5. y = ln (log x)3

3. y = 5 log sin2 x

d. Menentukan integrasi dan

Sebagaimana dijelaskan di muka bahwa untuk fungsi y = ln x, turunannya

dan untuk fungsi y = ln u, turunannya , maka untuk integrasinya adalah kebalikannya, yaitu:

atau secara umum

Contoh soal: Tentukan integrasi dari

1. 2.

Jawab:

1. misal u = 2x + 1 maka du = 2 dx atau dx = du, sehingga

= = = ln u + C = ln (2x + 1) + C

2. , misal u = x2 + 3x + 1, maka du = (2x + 3) dx, sehingga

= = ln u + C = ln (x2 + 3x + 1) + C

Tugas : Tentukan integrasi dari:

1. 4.

2. 5.

3. 6.

1.3 FUNGSI EKSPONEN

Fungsi eksponen adalah inversi dari fungsi logaritma natural, yang didefinisikan sebagai:y = ex jika dan hanya jika x = ln y

3

Grafik y = ex dan y = ln x simetris terhadap y = xFungsi eksponen adalah inversi dari fungsi logaritma natural, dan sebaliknya.

Teorema: Jika a dan b adalah bilangan real maka berlaku:

ea + b = ea . eb

ea – b = ea / eb

eab = (ea)b = (eb)a

Jika a sebarang bilangan real positip dan x adalah bilangan real maka:

ax = ex ln a sehingga ln ax = x ln a

Fungsi eksponen ada 2 jenis, yaitu:

1. y = ex atau y = eu 2. y = ax atau y = au

Catatan e adalah singkatan dari nama seorang ahli matematika dan fisika berkebangsaan Swiss, Leonhard Euler. Bilangan ini adalah bilangan transeden, artinya tidak bisa dinyatakan sebagai akar dari suatu polinomial dengan koefisien polinomial berupa bilangan bulat.

a. Turunan dan integrasi fungsi y = ex

Fungsi y = ex diubah menjadi fungsi logaritma natural yaitu ln y = ln ex ln y = x ln e ln y = x. Jika fungsi tersebut diturunkan maka didapat,

atau y = ex

Jadi y = ex turunannya adalah ex

y = eu turunannya adalah eu

= ex + C atau = eu + C

Contoh Soal :

1. Tentukan turunan dari

Jawab: misal u = maka

eu = . ( ) =

2. Hitung

Jawab: misal u = maka du = dx atau dx = 2 du = 2 u du

= 2u du = 2 = 2 eu + C = 2 + C

Tugas: Tentukan turunan dari fungsi berikut

1. y = 4. y = sin 2x

2. y = 5. y = ln x

3. y = 6. y =

b. Turunan dan integrasi fungsi y = ax

Fungsi y = ax diubah menjadi fungsi logaritma natural yaitu ln y = ln ax ln y = x ln a. Jika fungsi tersebut diturunkan maka didapat,

ln a atau y ln a = ax ln a

4

y = ln xy = ex

y = x

Jadi y = ax turunannya adalah ax ln a

y = au turunannya adalah au ln a

= + C atau = + C

Contoh soal:

1. Tentukan turunan dari y =

2. Hitung

Jawab:

1. y = maka turunannya ln 2 . 4 = ln 2

2. = , misal u = maka atau dx = du, maka

= = + C = + C = + C

Tugas: Tentukan turunan dari

1. y = 3. y =

2. y = x2 3x 4. Y =

c. Turunan fungsi y = xx dan f(x) = g(x)h(x)

Ada perbedaan antara fungsi pangkat dan fungsi eksponen, yaitu:

Fungsi pangkat : y = xa atau y = ua dimana bilangan pokok x atau u adalah variabel dan bilangan pangkat a tetap

Fungsi eksponen : y = ex atau y = eu dan y = ax atau y = au dimana bilangan pokok e atau a tetap dan bilangan pangkat x atau u adalah variabel

Namun, fungsi y = xx dan f(x) = g(x)h(x) bukanlah fungsi pangkat maupun eksponen, sebab bilangan pokok dan bilangan eksponen adalah variabel. Oleh karena itu, turunan untuk fungsi ini tidak boleh menggunakan turunan untuk fungsi pangkat maupun eksponen. Untuk menurunkannya kedua ruas harus dijadikan logaritma natural.

Contoh soal: Tentukan turunan fungsi berikut

1. y = xx Jawab: Ubah menjadi logaritma natural ln y = x ln x, turunkan

= ln x + 1 Jadi

2. y = ln y = (x2 – 2x) ln x diturunkan

(2x ln x – 2 ln x + x – 2)

Tugas: Tentukan turunan dari 1. y = 4. y = 7. y = 10. y =

2. y = 5. y = 8. y =

3. y = 6. y = 9. y =

Contoh soal esai:

5

1. Dalam suatu kondisi tertentu, laju pertumbuhan bakteri dinyatakan sebanding dengan jumlah bakteri yang ada. Jika ada 1000 bakteri saat ini, lalu 12 menit kemudian bertumbuh menjadi 2000 bakteri. Berapa lamakah bakteri tersebut menjadi 1.000.000?

Jawab:

Misal A = jumlah bakteri saat t, t = waktu, k = konstanta, dan = laju pertumbuhan bakteri,

maka laju pertumbuhan bakteri dinyatakan sebagai = k.A atau = k dt.

Kedua ruas diintegralkan menjadi:

menghasilkan ln A = kt + C1 atau A = =

Jika = C, didapat persamaan A = C

Untuk t = 0 dan A = 1000, maka 1000 = C.e0, didapat C = 1000Untuk t = 12, A = 2000, dan C = 1000, maka

2000 = 1000.e12 k sehingga e12 k = 2 12k = ln 2 k = = 0,05776

Jadi untuk A = 1.000.000, C = 1.000, dan k = 0,05776,1.000.000 = 1.000 = 1000 0,05776 t = ln 1000

t = = 119, 6. Jadi waktu yang diperlukan = 119, 6 menit

2. Sebatang besi panjangnya L meter pada suhu t dengan persamaan L = 60 e0,0001t. Hitung pertambahan panjang batang besi tersebut jika suhunya berubah dari 00 menjadi 250.Jawab:

L = 60 e0,0001t turunannya adalah = 60 e0,0001t. 0,0001

Jadi perubahan panjang terhadap suhu dL = 0,006 e0,0001t dtDiketahui t1 = 00 , t2 = 250, maka dt = 250 – 00 = 250, makadL = 0,006 e0,0001x0 25 = 0,150 meter

Tugas:

Laju pertumbuhan penduduk di suatu kota dinyatakan sebanding dengan jumlahnya pada setiap saat. Jika jumlah penduduk bertambah dari 40.000 menjadi 60.000 dalam 40 tahun, kapankan jumlah penduduk mencapai 100.000?

1.4 FUNGSI INVERSI TRIGONOMETRI

Definisi untuk fungsi inversi trigonometri sebagai berikut:a. y = arc sin x jika dan hanya jika x = sin y untuk – /2 y /2b. y = arc cos x jika dan hanya jika x = cos y untuk 0 y c. y = arc tan x jika dan hanya jika x = tan y untuk – /2 y /2d. y = arc cot x jika dan hanya jika x = cot y untuk 0 y e. y = arc sec x jika dan hanya jika x = sec y untuk – y – /2, 0 y /2f. y = arc csc x jika dan hanya jika x = csc y untuk – y – /2, 0 y /2

Catatan:

arc cot x = 1/2 – arc tan x untuk x = bilangan realarc sec x = arc cos (1/ x) untuk x 1arc csc x = arc sin (1/ x) untuk x 1

Contoh soal:

Buktikan arc cos x = 1/2 – arc sin x untuk x 1Jawab: misal w = 1/2 – arc sin x maka arc sin x = 1/2 – w sin ( arc sin x) = sin (1/2 – w) x = cos w w = arc cos x terbukti

a. Turunan Fungsi y = arc sin x

Bentuk y = arc sin x diubah menjadi x = sin y, lalu kedua ruas diturunkan menjadi

dx = cos y dy atau Menurut rumus sin2y + cos2 y = 1 atau cos2y = 1 – sin2y.

x = sin y maka cos2y = 1 – sin2y = 1 – x2 dan cos y = maka, =

Jadi: y = arc sin x turunannya adalah

6

Secara umum y = arc sin u turunannya adalah

b. Turunan Fungsi y = arc cos x

Karena arc cos x = 1/2 – arc sin x, maka bentuk y = arc cos x dapat diubah menjadi

y = 1/2 – arc sin x, lalu kedua ruas diturunkan menjadi –

Jadi: y = arc cos x turunannya adalah –

Secara umum y = arc cos u turunannya adalah –

c. Turunan Fungsi y = arc tan x

Bentuk y = arc tan x diubah menjadi x = tan y, kedua ruas diturunkan menjadi dx = sec2 y dy atau

Menurut rumus sec2y = 1 + tan2 y = 1 + x2 , sehingga =

Jadi: y = arc tan x turunannya adalah

Secara umum y = arc tan u turunannya adalah

d. Turunan Fungsi y = arc cot x

Bentuk y = arc cot x diubah menjadi x = cot y, lalu kedua ruas diturunkan menjadi

dx = dy atau

Perhatikan segitiga di samping x = cot y atau cot y =

maka sin y = atau

Jadi: y = arc cot x turunannya adalah –

Secara umum y = arc cot u turunannya adalah –

e. Turunan Fungsi y = arc sec x

Bentuk y = arc sec x diubah menjadi x = sec y = cos-1y, lalu kedua ruas diturunkan menjadi

dx = – cos-2y (– sin y) dy atau

Perhatikan segitiga di samping sin y =

dan cos y = maka = =

Jadi: y = arc sec x turunannya adalah

Secara umum y = arc sec u turunannya adalah

f. Turunan Fungsi y = arc csc x

Bentuk y = arc csc x diubah menjadi x = csc y = sin-1y, lalu kedua ruas diturunkan menjadi

dx = – sin-2y (cos y) dy atau

7

y x

11x2

y

x

1

1x2

y

x1

1x2

Perhatikan segitiga di samping sin y =

dan cos y = maka = =

Jadi: y = arc csc x turunannya adalah –

Secara umum y = arc csc u turunannya adalah –

Contoh soal: Tentukan turunan dari

1. y = arc cot 2. y =

Jawab:

1. Menurut rumus jika y = arc cot u maka –

Misal u = maka = dan = =

– =

2. + x +

= – + = =

Tugas : Tentukan turunan dari

1. y2 sin x + y = arc tan x 5. y = ln ln sec 2x 9. y = arc sin ex

2. y = – arc sin 6. y = + 10. y = arc sin

3. y = x2 arccos 7. y = xsin x 11. ln (x+y) = arc tan

4. y = arc tan 8. y = arc sin (x-1)

1.5 FUNGSI HIPERBOLIK

1.5.1 Definisi fungsi hiperbolik

1. Sinus hiperbolik : sinh x =

2. Cosinus hiperbolik : cosh x =

3. Tangent hiperbolik : tanh x = =

4. Cotangent hiperbolik : coth x = =

5. Secant hiperbolik : sech x = =

6. Cosecant hiperbolik : csch x = =

8

– 2 0 2

X

Y

y = sinh x

0

X

Y y = cosh x

– 1

0

1

X

Y

y = tanh x

Grafik fungsi y = sinh x, y = cosh x, dan y = tanh x

Persamaan dasar mirip dengan fungsi trigonometri biasa:

Fungsi Hiperbolik Fungsi Trigonometri

a. tanh x = tan x =

b. cosh2 x – sinh2 x = 1 cos2 x + sin2 x = 1c. 1 – tanh2 x = sech2 x 1 + tan2 x = sec2 xd. 1 – coth2 x = – csch2 x 1 + cot2 x = csc2 x

Tugas : Buktikan

1. cosh x + sinh x = ex 6. cosh 2x = cosh2 x + sinh2 x

2. cosh x – sinh x = e-x 7. sinh 2x = 2 sinh x cosh x

3. 8. sinh (x + y) = sinh x cosh y + cosh x sinh y

4. tanh 2x = 9. cosh (x + y) = cosh x cosh y + sinh x sinh y

5.

1.5.2 Turunan Fungsi Hiperbolik

a. Fungsi y = sinh x = , turunannya = = cosh x

b. Fungsi y = cosh x = , turunannya = = sinh x

c. Fungsi y = tanh x = , turunannya = = sech2 x

d. Fungsi y = coth x = , turunannya = = – csch2 x

e. Fungsi y = sech x = , turunannya = – = – sech x tanh x

f. Fungsi y = csch x = , turunannya = = – csch x coth x

Secara umum:

a. y = sinh u , turunannya = cosh u

b. y = cosh u, turunannya = sinh u

c. y = tanh u, turunannya = sech2 u

d. y = coth u, turunannya = – csch2 u

e. y = sech u, turunannya = – sech u tanh u

f. y = csch u, turunannya = – csch u coth u

Contoh soal: Tentukan turunan dari

1. y = tanh (1 – x2) Jawab : = – 2x sech2(1 – x2)

2. y = ln (sinh x) Jawab : = = coth x

9

3. y = tanh ( ) Jawab : =

Tugas : Tentukan turunan dari

1. y = x sech x2 4. y = csch2 (x2 + 1)

2. y = ln cosh x 5. y = a cosh

3. y =

1.5.3 Integrasi Fungsi Hiperbolik

Rumus-rumus pokok integrasi fungsi hiperbolik

a. sinh u du = cosh u + C

b. cosh u du = sinh u + C

c. tanh u du = ln | cosh u | + C

d. coth u du = ln | sinh u | + C

e. sech2u du = tanh u + C

f. csch2u du = – coth u + C

g. sech u tanh u du = – sech u + C

h. csch u coth u du = – csch u + C

Contoh soal : Hitung integral berikut

1. = = =

misal u = sinh x maka du = cosh x dx, sehingga

= = arc tan u + C = arc tan (sinh x) + C

2. = = = + C

Tugas : Hitung integral berikut

1. 4.

2. 5.

3. 6.

1.6 FUNGSI INVERSI HIPERBOLIK

1. Jika y = arc sinh u maka turunannya

2. Jika y = arc cosh u maka turunannya

3. Jika y = arc tanh u maka turunannya dimana u2 1

4. Jika y = arc coth u maka turunannya dimana u2 1

5. Jika y = arc sech u maka turunannya dimana 0 u 1

6. Jika y = arc csch u maka turunannya dimana u 0

Integrasi yang berkaitan dengan fungsi hiperbolik inversi

7. = arc sinh + C

10

8. = arc cosh + C dimana 0 a u

9. = arc tanh + C dimana u2 a2

10. = – arc coth + C dimana u2 a2

Contoh soal :

1. Buktikan jika y = arc sinh u, turunannya

Bukti: Misal u = sinh y, maka atau

cosh2y = 1 + sinh2y = 1 + u2 maka cosh y = =

Jadi terbukti

2. Buktikan = arc sinh + C

Bukti : misal u = a sinh p maka du = a cosh p dp dan = = a cosh p

= = = p + C = arc sinh + C terbukti

Tugas :

1. Buktikan turunan fungsi inversi hiperbolik no 2 – 6 di atas.

2. Buktikan persamaan 8 – 10 5. Hitung

3. Hitung 6. Hitung

4. Hitung 7. Hitung

11