DERET TAYLOR

Materi Ke- 2

❯❯❯❯❯

Cancel OK

Semoga selalu di garis depan

dalam berkarya nyata B.J. Habibie

Kriteria Capaian

Mahasiswa dapat :

1. Menggunakan persamaan deret Taylor

2. Mengubah persamaan diferensial parsiil (kontinyu) ke dalam bentuk diferensial numerik (diskret)

DERET TAYLOR

n

n

i

n

iiiii Rn

xxf

xxf

xxf

xxfxfxf

!)(......

!3)(

!2)(

!1)()()(

3'''

2'''

1

Dimana:

f(xi) : fungsi di titik xi f(xi+1) : fungsi di titik xi+1 f’, f’’, ..., fn : turunan pertama, kedua, ..., ke n dari fungsi

∆x : langkah ruang, yaitu jarak antara xi dan xi+1 Rn : kesalahan pemotongan

! : operator faktorial, misalkan bentuk 3! = 1x2x3

............)!1(

)()!1(

)(2

21

1

n

xxf

n

xxfR

n

i

nn

i

n

n

Kesalahan pemotongan (Rn) diberikan oleh bentuk berikut ini:

DERET TAYLOR

i i + 1

f(xi)

f(xi+1)

Order 0

x

y f(x)

Order 2

R0

R1 R2

)()( 1 ii xfxf

!1)()()( '1

xxfxfxf iii

!2)(

!1)()()(

2''

'

1

xxf

xxfxfxf

i

iii

Dalam praktek sulit memperhitungkan semua suku tersebut dan biasanya

hanya diperhitungkan beberapa suku pertama saja.

Order 1

Contoh Soal :

Diketahui suatu fungsi f(x) = 0,25x3 + 0,5x2 + 0,25x + 0,5. Dengan menggunakan deret Taylor order nol, satu, dua, tiga; perkirakan fungsi tersebut pada titik xi+1 = 1, berdasar fungsi pada titik xi = 0. Titik xi+1 = 1 berada pada jarak ∆x = 1 dari titik xi = 0.

Order Hasil Ee ɛe

0 0,5 1,0 66,67%

1 0,75 0,75 50,00%

2 1,25 0,25 16,67%

3 1,5 0,0 0,00%

Penyelesaian :

DIFERENSIAL NUMERIK

i - 1 i + 1

f(xi-1)

f(xi+1)

x

y f(x)

Digunakan untuk memperkirakan bentuk diferensial kontinyu menjadi bentuk

diskret. Diferensial numerik ini banyak digunakan untuk menyelesaikan

persamaan diferensial.

i

Garis singgung di i

A

C

B f(xi)

Diferensial maju )(!1)()()( 2'1 xO

xxfxfxf iii

)()()(

)( 21' xOx

xfxfxf

x

f iii

x

xfxfxf

x

f iii

)()()( 1'

Deret Taylor Order 1 :

Diferensial Turunan Pertama:

DIFERENSIAL NUMERIK

i - 1 i + 1

f(xi-1)

f(xi+1)

x

y f(x)

Digunakan untuk memperkirakan bentuk diferensial kontinyu menjadi bentuk

diskret. Diferensial numerik ini banyak digunakan untuk menyelesaikan

persamaan diferensial.

i

Garis singgung di i

A

C

B f(xi)

Diferensial mundur

Deret Taylor Order 1 :

Diferensial Turunan Pertama:

)()()(

)( 21' xOx

xfxfxf

x

f iii

)(!1

)()()( 2'1 xOx

xfxfxf iii

x

xfxfxf

x

f iii

)()()( 1'

DIFERENSIAL NUMERIK

i - 1 i + 1

f(xi-1)

f(xi+1)

x

y f(x)

Digunakan untuk memperkirakan bentuk diferensial kontinyu menjadi bentuk

diskret. Diferensial numerik ini banyak digunakan untuk menyelesaikan

persamaan diferensial.

i

Garis singgung di i

A

C

B f(xi)

Diferensial terpusat

Deret Taylor Order 1 :

Jika pers. (1) dikurangi pers. (2) maka:

)(!1

)()()( 2'1 xOx

xfxfxf iii

)(!1

)()()( 2'1 xOx

xfxfxf iii

)(!1

)(2)()( 2'11 xOx

xfxfxf iii

)(2

)()()( 211' xO

x

xfxfxf

x

f iii

x

xfxfxf

x

f iii

2

)()()( 11'

DIFERENSIAL NUMERIK

Turunan kedua dari suatu fungsi dapat diperoleh dengan menjumlahkan

pers. (1) dengan persamaan (2) :

.......!4

)(2!2

)(2)(2)()(4

'''2

''

11

x

xfx

xfxfxfxf iiiii

)()()(2)(

)( 22

11''

2

2

xOx

xfxfxfxf

x

f iiii

2

11''

2

2 )()(2)()(

x

xfxfxfxf

x

f iiii

atau

atau dapat ditulis juga:

Jika besarnya kesalahan pemotongan diabaikan, maka:

.......12

)()()(2)(

)(2

''''

2

11''

2

2

xxfx

xfxfxfxf

x

fi

iiii

DIFERENSIAL NUMERIK

Dengan cara serupa, dapat diturunkan diferensial turunan yang lebih tinggi

seperti diberikan berikut ini.

1. Diferensial turunan ketiga:

2. Diferensial turunan keempat:

3

2112'''

3

3

2

)()(2)(2)()(

x

xfxfxfxfxf

x

f iiiii

4

2112''''

4

4 )()(4)(6)(4)()(

x

xfxfxfxfxfxf

x

f iiiiii

DIFERENSIAL NUMERIK

Apabila fungsi mengandung lebih dari satu variabel bebas, seperti f(x,y),

maka bentuk deret Taylor menjadi:

Dengan cara yang sama dapat ditentukan turunan pertama terhadap

variabel x dan y (misal: diferensial maju) :

Silahkan mencoba !

Bagaimana dengan diferensial mundur dan diferensial terpusat serta

bagaimana pula turunan kedua terhadap variabel x dan y ?

x

yxfyxf

x

f jiji

),(),( 1

y

yxfyxf

y

f jiji

),(),( 1

......!2!2!1!1

),(),(2

2

22

2

2

11

y

y

fx

x

fy

y

fx

x

fyxfyxf jiji

DIFERENSIAL NUMERIK

Untuk menyederhanakan penulisan, selanjutnya bentuk f(xi, yj) ditulis

menjadi fi,j dengan subskrip i dan j menunjukkan komponen dalam arah

sumbu x dan sumbu y.

Diferensial Turunan Pertama:

Diferensial terpusat Diferensial maju Diferensial mundur

Diferensial Turunan Kedua:

x

ff

x

f jiji

,,1

x

ff

x

f jiji

,1,

x

ff

x

f jiji

2

,1,1

y

ff

y

f jiji

,1,

y

ff

y

f jiji

1,,

y

ff

y

f jiji

2

1,1,

x

y

j+1

j

j-1

i - 1 i i +1

(i,j)

(i,j+1)

(i+1,j) (i-1,j)

(i,j-1)

2

,1,,1

2

2 2

x

fff

x

f jijiji

2

1,,1,

2

2 2

y

fff

y

f jijiji

∆x ∆x

∆y

∆y

DIFERENSIAL NUMERIK

Untuk menyederhanakan penulisan, selanjutnya bentuk f(xi, tn) ditulis

menjadi fin dengan subskrip i dan n menunjukkan komponen dalam arah

sumbu x dan sumbu t.

Diferensial Turunan Pertama:

Diferensial terpusat Diferensial maju Diferensial mundur

Diferensial Turunan Kedua:

x

t

n+1

n

n-1

i - 1 i i +1

(i,n)

(i,n+1)

(i+1,n) (i-1,n)

(i,n-1)

? ?

?

Silahkan mencoba ! Silahkan mencoba !

Silahkan mencoba !

t

ff

t

f nin

i

1

x

ff

x

f nin

i

1

∆x ∆x

∆t

∆t

Contoh Soal :

Diketahui suatu fungsi f(x) = 0,25x3 + 0,5x2 + 0,25x + 0,5. Perkirakan turunan pertama (kemiringan kurva) dan turunan kedua dari persamaan tersebut di titik x=0,5 dengan menggunakan langkah ruang ∆x=0,5.

Turunan ke-

Jenis Hasil Eksak

Hasil Perkiraan

Ee ɛe

1 Maju 0,9375 1,4375 -0,5000 -53,3%

Mundur 0,9375 0,5625 0,3750 40%

Terpusat 0,9375 1,0000 -0,0625 -6,7%

2 - 1,75 1,7500 0,0000 0,00%

Penyelesaian :

Contoh Soal :

Tulis bentuk persamaan diferensial parsiil berikut, yang merupakan persamaan konveksi – difusi dalam bentuk persamaan diferensial numerik.

Penyelesaian :

022

020

018

016

014

012

009

006

004

001

000

gajah w ong Plan: Legend

WS

Ground

Bank Sta

2

2

x

CK

x

CU

t

C

Sumber limbah, konsentrasi (C)

Berapa konsentrasi limbah pada pias-pias di hilir ?

? Silahkan mencoba !

Tugas 1

Tulis bentuk persamaan diferensial parsiil berikut ke dalam bentuk persamaan diferensial numerik :

2

2

x

CK

x

CU

t

C

A.

B.

C.

D.

02

2

2

2

yx

Pers. Konveksi-Difusi

Pers. Laplace

2

2

2

21

y

y

x

u

x

p

y

uv

x

uu

Pers. Kontinuitas

D

q

y

z

yx

z

x

z

4

4

22

4

4

4

2 Pers. Defleksi Plat

Selamat mengerjakan...