turunan bas

Download Turunan Bas

Post on 22-Dec-2015

243 views

Category:

Documents

10 download

Embed Size (px)

DESCRIPTION

we

TRANSCRIPT

BAB IV TURUNAN

PAGE 60Bab 4.. Turunan

BAB 4. TURUNAN

Sebelum membahas turunan, terlebih dahulu ditinjau tentang garis singgung pada suatu kurva.A. Garis singgung

Garis singgung adalah garis yang menyinggung suatu titik tertentu pada suatu kurva. Pengertian garis singgung tersebut dapat dilihat pada Gambar 1a. Akan tetapi jika terdapat dua buah titik pada suatu kurva maka berkemungkinan garis singgung yang menyinggung salah satu titik akan memotong kurva pada titik lainnya. Untuk lebih jelasnya dapat dilihat pada Gambar 1b.

Untuk mendapatkan pengertian yang lebih jelas mengenai garis singgung kita perlu mendefinisikan kemiringan garis singgung l pada titik A(x1,f(x1)) yang terletak pada grafik fungsi. Selanjutnya pada grafik fungsi tersebut kita pilih suatu titik B(x,f(x)). Jika kita hubungkan titik A dan B maka akan terbentuk garis l1 yang mempunyai kemiringan :

Jika f(x) kontinu pada selang [A,B] maka kita dapat mendekatkan titik B ke titik A dengan jalan memperkecil jarak antara x dan x1. Dalam bentuk limit hal tersebut dapat ditulis dalam bentuk :

Persaman ini adalah kemiringan garis l1 jika x mendekati x1. Jika kita perhatikan Gambar 2 maka kita dapat melihat bahwa kemiringan garis l1 jika x mendekati x1 adalah mendekati kemiringan garis l. Dalam bentuk limit dapat ditulis :

Jadi :

Karena x1 x = h, maka

Jika dimisalkan h = (x, maka

Tiga persamaan adalah kemiringan garis l pada titik (x, f(x))

Contoh 1 :Diketahui f(x) = 3x2 + 5. Tentukan kemiringan dan persamaan garis singgung yang melalui titik (1,2)

Penyelesaian :

Jadi turunannya (dy/dx) = m = 6x(*)

Persamaan garis singgung : y = mx + n(**)

Karena garis singgung melalui titik (1,2) maka :

persamaan (*) menjadi :m = 6(1) = 6

persamaan (**) menjadi : 2 = 6(1) + n. Sehingga n = -4Persamaan garis singgung menjadi : y = 6x 4Kesimpulan: f(x) = 3x2 + 5 maka dy/dx = 6xB. Turunan

Turunan adalah hasil dari proses differensiasi suatu fungsi. Differensiasi dapat dimisalkan sebagai suatu mesin yang memproses masukan f(x) menjadi turunan f(x) atau f (x). Selanjutnya turunan didefinisikan sebagai kemiringan garis yang menyinggung kurva f(x)di titik (x, f(x)). Berdasarkan persamaan 4.3 dan Gambar 4.3 maka definisi turunan dapat ditulis dalam bentuk :

, jika nilai limitnya ada

Jika persamaan di atas dapat dipenuhi berarti f(x) dapat didifferensiasikan (differensiable) pada x. Maka dikatakan f(x) mempunyai turunan pada x.

Contoh 2Jika f(x) = 2x2 + 5x 7, tentukan f (x), f (c) dan f (3)

Penyelesaian :

f(x) = 2x2 + 5x 7

f(x+(x) = 2(x+(x)2 + 5(x+(x) 7 = 2x2 + 4x(x +2((x)2 + 5x + 5(x 7

f(x+(x) f(x) = 4x(x + 2((x)2 + 5(x

Jadi :

Catatan: Selain notasi , turunan fungsi y = f(x) juga dapat dituliskan dengan notasi dy/dx .

Pada uraian terdahulu telah dijelaskan bahwa suatu fungsi f dikatakan differensiable jika memenuhi persamaan 4.6, yaitu :

Jika : ada, maka

f(x+(x)- f(x)=

= (x) . 0 = 0

Sehingga : ( (terbukti)

Jadi jika f adalah fungsi yang differensiabel pada x maka f dikatakan kontinu pada x. Sebaliknya jika f adalah fungsi yang kontinu pada x, maka tidak secara otomatis f differensiable pada x.Rumus Dasar Turunan Fungsi Polinonial

y = f(x) = xn maka

Contoh: f(x) = 3x2 + 5 = 3x2 + 5x0 maka f (x) = 3.2x2-1 + 5.0x0-1 = 6x + 0 = 6xC. Sifat sifat turunan1. Turunan bilangan konstan

Jika c suatu bilangan konstan dan y didefinisikan sebagai :

y = f(x) = c maka

2. Turunan Fungsi Polinomial

Jika n adalah sembarang bilangan bulat, k adalah sembarang bilangan ril dan jika y didefinisikan sebagai :

y = f(x) = kxn maka

Contoh 3

Tentukan turunan pertama dari f(x) = 5x7Penyelesaian :

3. Aturan penjumlahan

Jika f dan g adalah dua buah fungsi dan h adalah fungsi yang didefinisikan sebagai :

y = h(x) = f(x) + g(x) maka

Contoh 4 :Diketahui y = 5x6 + 2x-3. Tenrtukan

Penyelesaian :

f(x) = 5x6

g(x) = 2x-3

f(x) = 30x5

g(x) = -6x-4

f(x) + g(x) = 30x5 6x-44. Aturan perkalian

Jika f dan g adalah dua buah fungsi dan h adalah fungsi yang didefinisikan sebagai :

y = h(x) = f(x).g(x) maka

Contoh 5 :Diketahui y = (3x5 + 2x-2)(7x+3)

Tentukan

Penyelesaian :

f(x) = 3x5 + 2x-2

g(x) = 7x+3

f(x) = 15x4 4x-3 g(x) = 7

= (15x4 4x-3 )(7x+3) + (3x5 + 2x-2 )(7) = 126x5 + 45x4 - 14x-2 12x-35. Aturan pembagian

Jika f dan g adalah dua buah fungsi dan h adalah fungsi yang didefinisikan sebagai :

y = h(x) = maka

Contoh 6 :Tentukan turunan dari h(x) =

Penyelesaian :

==

6. Turunan fungsi komposisi

Jika y = f(u) dan u = g(x) maka

Persamaan ini disebut aturan rantaiJika y = f(u) dan u = g(x) dapat ditulis menjadi

y = f[g(x)] maka

Contoh 7 : Tentukan jika y = (4x3 + 5x2 x + 4)3 Penyelesaian: Misal u = 4x3 + 5x2 x + 4

y = u3

Atau dengan cara y = (4x3 + 5x2 x + 4)3 ( y = 3(4x3 + 5x2 x + 4)2 (12x2 + 10x 1) Soal-soal

Tentukan turunan dari fungsi-fungsi berikut:1. f(t) = at2 bt + 17

6.

2. f(x) = 2x-5 +

7. g(t) = (at2+bt+c)2(3at7)53.

8.

4. h(x) =

9.

5. w(x) =

10.

SOAL LATIHAN TAMBAHAN

D. Turunan fungsi-fungsi trigonometri1. Jika y = sin x maka

Bukti :

= (sin x)(0) + (cos x)(1) = cos x (terbukti)1.a. Rumus perluasan (Aturan rantai)Jika y = sin x maka

Jika y = sin u dan u = f(x) maka atau

2. Jika y = f(x) = cos x maka

2.a. Rumus perluasan (Aturan rantai)

Jika y = cos u dan u = f(x) maka atau

Contoh 8 :Jika y = sin((-2x), tentukan Penyelesaian:

Misal u = ( - 2x y = sin u

Contoh 9 :Jika y = tentukan Penyelesaian :

Misal u =

y = cos u

Contoh 10

Jika y = sin 2x cos 3x, tentukan Penyelesaian :

Misal u = sin 2x v = cos 3x

Contoh 11

Jika y = , tentukan Penyelesaian :

Misal u = sin 3x v = cos 4x

5. Jika y = f(x) = tan x maka

6. Jika y = tan u dan u = f(x) maka

Contoh 12Jika y = 5 tan 3x, tentukan Penyelesaian :

Misal u = 3x y = 5 tan u

7. Jika y = f(x) = cot x maka

8. Jika y = cot u dan u = f(x) maka

Contoh 13 :Jika y = , tentukan Penyelesaian :

Misal u = y =

9. Jika y = f(x) = sec x maka

10. Jika y = sec u maka

11. Jika y = f(x) = csc x maka

12. Jika y = csc u maka

Contoh 15 :Jika y = , tentukan Penyelesaian: Misal u = (-x y =

RANGKUMAN

Turunan Fungsi Trigonometri

Rumus dasar

Rumus perluasan (Aturan rantai)

1. y(x) = sin x (

y = sin f(x) (

2. y = cos x (

y = cos f(x) (

3. y = tg x (

y = tg f(x) (

4. y = cot x (

y = ctg f(x) (

5. y = sec x (

y = sec f(x)(

6. y = cosec x ( y = cosec f(x)(

Soal-soal

Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi berikut !

1. f(x) =

6. f(x) =

2. f(x) = cos

7. g(t) =

3. f(x) = tan3 x

8. h(w) =

4. h(x) = cot3x

9. g(t) =

5. h(x) =

10. g(t) =

RANGKUMAN TURUNAN DASAR DAN TRIGONOMETRI

SOAL LATIHAN TAMBAHANTentukan Turunan Fungsi Trigonometri berikut:

LATIHAN SOAL Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi berikut !

Tentukan Turunan Fungsi Trigonometri berikut:

E. Turunan fungsi-fungsi trigonometri invers

Berikut beberapa turunan fungsi invers trigonometri ( fungsi siklometri)

1. Jika y = f(x) = arcsin x maka

Bukti :

y = arcsinx( x = sin y (

(

Selanjutnya perhatikan segitiga berikut ini !

sin y = x

cos y =

(terbukti)

Jika y = f(x) = arcsin x maka

2. Jika y = arcsin u dan u = f(x) maka

Contoh 16 :Jika y = , tentukan Penyelesaian :

Misal u = y =

Atau

3. Jika y = f(x) = arccos x maka 4. Jika y = arccos u dan u = f(x) maka

Contoh 17 :Jika y =, tentukan Penyelesaian :

Misal u = 2x y =

5. Jika y = f(x) = arctan x maka

6. Jika y = arctan u dan u = f(x) maka

Contoh 18 :Jika y = , tentukan Penyelesaian :

Misal u = y =

7. Jika y = f(x) = arccot x maka

8. Jika y = arccot u dan u = f(x) maka Contoh 19 :Jika y = 2 arccot 3x, tentukan Penyelesaian :

Misal u = 3x y = 2 arccot u

9. Jika y = f(x) = arcsec x maka

10. Jika y = arcsec u dan u = f(x) maka

Contoh 20 :Jika y = arcsec, tentukan Penyelesaian :

Misal u = y = arcsec u

11. Jika y = f(x) = arccsc x maka

12. Jika y = arcsec u dan u = f(x) maka Contoh 21 :Jika y = arccsc, tentukan Penyelesaian :

Misal u = y = arccsc u

RANGKUMAN TURUNAN FUNGSI INVERS TRIGONOMETRI

Soal-soal Turunan Fungsi Invers Trigonometri

Carilah turunan pertama dari soal-soal berikut !

(1). y = arcsin ((-x) (2)