turunan parsial - official site of ina...

of 16 /16
BAB I TURUNAN PARSIAL a. Fungsi dua peubah atau lebih Fungsi dua peubah atau lebih dapat ditulis dalam bentuk eksplisit atau implisit. Jika fungsi dua peubah dinyatakan dalam bentuk eksplisit, maka secara umum ditulis dalam bentuk z = F(x,y). Sebaliknya jika fungsi dituliskan dalam bentuk implisit, secara umum ditulis dalam bentuk F(x,y,z) = 0. Contoh: 1. z = 2x + y 2. z = ln 3. z = 1 – 2 4. xy + xz – yz = 0 5. xy - e = 0 6. ln = 0 7. arc tan - 2z = 0 Pada contoh di atas, fungsi yang ditulis dalam bentuk eksplisit adalah pada contoh 1,2, dan 3. Sedangkan contoh 4, 5, 6, dan 7 adalah fungsi yang ditulis dalam bentuk implisit. Semua fungsi dalam bentuk eksplisit dengan mudah dapat dinyatakan dalam bentuk implisit. Akan tetapi tidak

Author: vocong

Post on 13-May-2019

214 views

Category:

Documents


0 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

TURUNAN PARSIAL

BAB I

TURUNAN PARSIAL

a. Fungsi dua peubah atau lebih

Fungsi dua peubah atau lebih dapat ditulis dalam bentuk eksplisit atau implisit. Jika fungsi dua peubah dinyatakan dalam bentuk eksplisit, maka secara umum ditulis dalam bentuk z = F(x,y). Sebaliknya jika fungsi dituliskan dalam bentuk implisit, secara umum ditulis dalam bentuk F(x,y,z) = 0.

Contoh:

1. z = 2x + y

2. z = ln

EMBED Equation.3

4

2

2

y

x

-

3. z = 1 2

y

x

sin

sin

2

1

-

4. xy + xz yz = 0

5. xy - e

y

x

sin

= 0

6. ln

x

y

y

x

arctan

2

2

-

-

= 0

7. arc tan

x

y

- 2z = 0

Pada contoh di atas, fungsi yang ditulis dalam bentuk eksplisit adalah pada contoh 1,2, dan 3. Sedangkan contoh 4, 5, 6, dan 7 adalah fungsi yang ditulis dalam bentuk implisit. Semua fungsi dalam bentuk eksplisit dengan mudah dapat dinyatakan dalam bentuk implisit. Akan tetapi tidak semua bentuk implisit dapat dinyatakan dalam bentuk eksplisit.

Untuk menggambar fungsi dua peubah dapat dengan membuat sumbu-sumbu koordinat, yaitu sumbu x, sumbu y, dan sumbu z seperti gambar berikut:

b. Turunan Parsial Fungsi Dua dan Tiga Peubah

Misal z = F(x,y) adalah fungsi dengan variable bebas x dan y. Karena x dan y variable bebas maka terdapat beberapa kemungkinan yaitu:

1. y dianggap tetap, sedangkan x berubah-ubah.

2. x dianggap tetap, sedangkan y berubah-ubah

3. x dan y berubah bersama-sama sekaligus.

Pada kasus 1 dan 2 diatas mengakibatkan fungsinya menjadi fungsi satu peubah, sehingga fungsi tersebut dapat diturunkan dengan menggunakan definisi turunan pertama yang telah dipelajari pada kalkulus diferensial.

Definisi

Misal z = F(x,y) adalah fungsi dua peubah yang terdefinisi pada interval tertentu, turunan parsial pertama z terhadap x dan y dinotasikan dengan

x

z

dan

y

z

dan didefinisikan oleh

x

Z

=

0

D

x

Lim

EMBED Equation.3

x

y

x

F

y

x

x

F

D

-

D

+

)

,

(

)

,

(

dan

y

Z

=

0

D

y

Lim

EMBED Equation.3

y

y

x

F

y

y

x

F

D

-

D

+

)

,

(

)

,

(

Asalkan limitnya ada.

Contoh :

Tentukan turunan parsial pertama dari

a. z =

2

2

y

x

+

Jawab

x

Z

=

0

D

x

Lim

EMBED Equation.3

x

y

x

F

y

x

x

F

D

-

D

+

)

,

(

)

,

(

=

0

D

x

Lim

EMBED Equation.3

x

y

x

y

x

x

D

+

-

+

D

+

2

2

2

2

)

(

=

0

D

x

Lim

EMBED Equation.3

x

y

x

y

x

x

D

+

-

+

D

+

2

2

2

2

)

(

.

2

2

2

2

2

2

2

2

)

(

)

(

y

x

y

x

x

y

x

y

x

x

+

+

+

D

+

+

+

+

D

+

=

0

D

x

Lim

EMBED Equation.3

x

y

x

y

x

x

D

+

-

+

D

+

)

(

)

(

2

2

2

2

=

0

D

x

Lim

EMBED Equation.3

2

2

2

2

2

)

(

2

y

x

y

x

x

x

x

x

x

+

+

+

D

+

D

D

+

D

=

0

D

x

Lim

EMBED Equation.3

2

2

2

2

)

(

2

y

x

y

x

x

x

x

+

+

+

D

+

D

+

=

2

2

2

2

y

x

x

+

=

2

2

y

x

x

+

y

Z

=

0

D

y

Lim

EMBED Equation.3

y

y

x

F

y

y

x

F

D

-

D

+

)

,

(

)

,

(

=

0

D

x

Lim

EMBED Equation.3

y

y

x

y

y

x

D

+

-

D

+

+

2

2

2

2

)

(

(

=

0

D

x

Lim

EMBED Equation.3

y

y

x

y

y

x

D

+

-

D

+

+

2

2

2

2

)

(

(

.

2

2

2

2

2

2

2

2

(

(

)

(

(

y

x

y

x

y

x

x

y

x

+

+

+

+

+

D

+

+

=

0

D

x

Lim

EMBED Equation.3

x

y

x

y

x

x

D

+

-

+

D

+

)

(

)

(

2

2

2

2

=

0

D

x

Lim

EMBED Equation.3

2

2

2

2

2

)

(

2

y

x

y

x

x

x

x

x

x

+

+

+

D

+

D

D

+

D

=

0

D

x

Lim

EMBED Equation.3

2

2

2

2

)

(

2

y

x

y

x

x

x

x

+

+

+

D

+

D

+

=

2

2

2

2

y

x

y

+

=

2

2

y

x

y

+

b. z = Sin (x+y)

Jawab

x

Z

=

0

D

x

Lim

EMBED Equation.3

x

y

x

F

y

x

x

F

D

-

D

+

)

,

(

)

,

(

=

0

D

x

Lim

EMBED Equation.3

x

y

x

y

x

x

D

+

-

+

D

+

)

(

sin

)

sin(

=

0

D

x

Lim

EMBED Equation.3

x

y

x

y

x

x

y

x

y

x

x

D

-

-

+

D

+

+

+

+

D

+

)

(

2

1

sin

)

(

2

1

cos

2

= 2

0

D

x

Lim

EMBED Equation.3

x

x

x

y

x

D

D

D

+

+

2

sin

)

2

cos(

=

0

2

D

x

Lim

cos (x+y+

2

x

D

)

x

x

Lim

x

D

D

D

2

sin

0

=

0

2

D

x

Lim

cos (x+y+

2

x

D

)

2

1

.

2

/

2

sin

0

x

x

Lim

x

D

D

D

= 2 cos (x+y)(1)(1/2)

= cos (x+y)

y

Z

=

0

D

x

Lim

EMBED Equation.3

y

y

x

F

y

y

x

F

D

-

D

+

)

,

(

)

,

(

=

0

D

x

Lim

EMBED Equation.3

y

y

x

y

y

x

D

+

-

D

+

+

)

(

sin

)

sin(

=

0

D

x

Lim

EMBED Equation.3

y

y

x

y

y

x

y

x

y

y

x

D

-

-

D

+

+

+

+

D

+

+

)

(

2

1

sin

)

(

2

1

cos

2

= 2

0

D

x

Lim

EMBED Equation.3

x

x

x

y

x

D

D

D

+

+

2

sin

)

2

cos(

=

0

2

D

x

Lim

cos (x+y+

2

x

D

)

x

x

Lim

x

D

D

D

2

sin

0

=

0

2

D

x

Lim

cos (x+

2

x

D

)

2

1

.

2

/

2

sin

0

x

x

Lim

x

D

D

D

= 2 cos (x+y)(1)(1/2)

= cos (x+y)

Untuk memudahkan persoalan andaikan z = F(x,y) maka untuk menentukan

x

z

sama artinya dengan menurunkan variabel x dan variabel y dianggap konstan dan selanjutnya y diturunkan. Demikian pula untuk menentukan

y

z

sama artinya dengan menurukan variable y dan variable x dianggap konstant lalu diturunkan.

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

Dengan cara yang sama, andaikan W = F(x,y,z) adalah fungsi tiga peubah yang terdefinisi dalam selang tertentu maka turunan parsial pertama dinyatakan dengan

y

W

x

W

,

, dan

z

W

yang secara berturut didefinisikan oleh:

x

z

y

x

F

z

y

x

x

F

Lim

x

W

o

x

D

-

D

+

=

D

)

,

,

(

)

,

,

(

y

z

y

x

F

z

y

y

x

F

Lim

y

W

o

y

D

-

D

+

=

D

)

,

,

(

)

,

,

(

z

z

y

x

F

z

z

y

x

F

Lim

z

W

o

z

D

-

D

+

=

D

)

,

,

(

)

,

,

(

Asalkan limitnya ada.

Contoh:

1. Ditentukan F(x,y,z) = xyz + 2 tan

x

y

Carilah turunan parsial pertamanya.

Dengan metode seserhana didapat

a.

yz

x

z

y

x

F

=

)

,

,

(

+

2

2

1

2

x

y

+

EMBED Equation.3

-

2

x

y

= yz -

)

1

(

2

2

2

2

y

x

yx

+

b.

xz

y

z

y

x

F

=

)

,

,

(

+

2

2

1

2

x

y

+

EMBED Equation.3

x

1

= xz -

)

1

(

2

2

2

y

x

x

+

c.

xy

z

z

y

x

F

=

)

,

,

(

Untuk latihan para pembaca tentukan turunan persial fungsi-fungsi di bawah ini:

1. z = ln

y

x

+

2. z = 36 x2 y2

3. z = 3 -

)

sin(

1

y

x

+

4. z = xy2 2x2 + 3y3

5. z = arc tan

x

y

6. F(x,y,z) = xy yz + xz

7. F(x,y,z) =

3

2

2

2

z

y

x

+

+

8. F(x,y,z) = sin (xy) 2e

xy

9. F(x,y,z) = arc sin

z

xy

Selanjutnya turunan parsial fungsi dua peubah atau lebih dapat ditentukan turunan parsial ke n, untuk n

2 turunan parsialnya dinamakan turunan parsial tingkat tinggi.

Dengan menggunakan analogi fungsi satu peubah dapat ditentukan turunan parsial tingkat 2, 3 dan seterusnya.

Jadi andaikan z = F(x,y) maka:

Turunan parsial tingkat dua adalah

dan

y

x

z

y

z

x

z

,

,

,

2

2

2

2

2

EMBED Equation.3

x

y

z

2

Demikian pula, jika W = F(x,y,z)

Turunan parsial tingkat dua adalah

y

z

W

x

z

W

x

y

W

z

y

W

z

x

W

y

x

W

z

W

y

W

x

W

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

,

,

,

,

,

,

,

,

Demikian seterusnya. Banyaknya turunan tingkat ditentuka oleh rumus

m

n

, dimana m banyaknya variabel dan n menunjukkan turuna ke-n

Contoh

1. Tentukan

2. Tentukan

3. Tentukan

d. Differensial Total dan Turunan Total

Misal z = F(x,y), dan fungsi tersebut dapat diturunkan terhadap variable x dan y, maka diperoleh turuna parisal terhadap x dan turunan parsial terhadap y yang secara berturut-turut dinotasikan dengan

x

y

x

F

x

z

=

)

,

(

------------- (1) dan

y

y

x

F

y

z

=

)

,

(

------------- (2)

Dari (1) dan (2) diperoleh:

dx

x

y

x

F

dz

=

)

,

(

dan

dy

y

y

x

F

dz

=

)

,

(

Jumlah diferensialnya diperoleh:

dz =

dx

x

y

x

F

)

,

(

+

dy

y

y

x

F

)

,

(

Bentuk di atas disebut diferensial total.

Jika r =

2

2

y

x

+

dengan x = panjang sisi yang pendek, y = panjang sisi yang panjang

Differensial total

dr =

dy

y

r

dx

x

r

+

dimana dr

r

D

, dx

x

D

, dx

y

D

didapat

=

D

r

EMBED Equation.3

y

y

r

x

x

r

D

+

D

=

y

y

x

y

x

y

x

x

D

+

+

D

+

2

2

2

2

2

2

2

2

=

-

+

+

+

16

5

20

15

20

8

5

20

15

15

2

2

2

2

=

16

5

25

20

8

5

25

15

-

=

8

1

cm

2. Suatu tempat berbentuk silinder (tabung) dengan jari-jari alasnya 15 cm dan tingginya 20 cm. Karena pemuaian, tinggi slinder bertambah 0,5 cm/det dan tingginya berkurang 1 cm/det.

Hitunglah perubahan yang terjadi terhadap volume dan luas permukaan silinder.

Jawab.

Misal jari-jari tabung r, tinggi h dan volume I, maka

I =

h

r

2

p

I = I(r,h)

Diketahui r = 15 cm, h = 20,

det

/

5

,

0

cm

t

r

=

D

D

,

det

/

1

cm

t

h

-

=

D

D

Dengan definisi turunan total

I = I(r,h) dengan r dan h bergantung pada waktu t, maka diperoleh

dt

dh

h

I

dt

dr

r

I

dt

dI

+

=

= 2

dt

dh

r

dt

dr

rh

2

p

p

+

Turunan Parsial Fungsi Implisit

Fungsi Implisit 4 Peubah

BU dinyatakan dengan

=

=

0

)

,

,

,

(

0

)

,

,

,

(

v

u

y

x

G

v

u

y

x

F

Atau ditulis dalam bentuk

F(x,y,u,v) = 0 dan G(x,y,u,v) = 0

dengan x,y variable berpasangan dan u,v variabel berpasangan dan F(x,y,u,v) = 0 serta G(x,y,u,v) = 0 tidak dapat berdiri sendiri.

Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut ini.

Contoh

1.

=

+

+

+

-

=

+

+

0

0

2

2

2

2

2

2

v

u

y

xy

x

uv

y

x

Atau ditulis dengan x+y

2

+ 2uv = 0, x

0

2

2

2

2

=

+

+

+

-

v

u

y

xy

2.

=

-

+

+

=

+

+

-

0

2

0

2

2

2

y

xy

v

u

xy

x

v

u

3.

=

-

+

=

+

+

-

0

0

3

2

2

2

y

x

uv

y

x

v

u

dan seterusnya.

Turunan Parsial dilakukan dengan menggunakan metode substitusi.

Dalam F(x,y,u,v) = 0 dan G(x,y,u,v)= 0, u,v variabel sejenis, x,y variabel sejenis sehingga tidak dapat ditentukan

u

v

dan

v

u

x

y

y

x

,

,

,

.

Sehingga turunan parsialnya adalah

y

v

u

x

,

dan seterusnya.

Untuk menentukan turunan parsial 4 peubah, langkah ditempuh adalah menurunkan fungsi terhadap peubah yang dimaksud.

Contoh:

1. Tentukan

u

x

dan

x

u

dari

x+y2 +2uv = 0 dan

x2-xy+y2+u2+v2 = 0 didapat

1

0

2

2

=

+

+

+

x

u

v

x

v

u

x

y

y

x

x

-----( 1

0

2

2

0

1

=

+

+

+

x

u

v

x

v

u

atau

1

2

2

-

=

+

x

u

v

x

v

u

2x

0

2

2

2

=

+

+

+

+

-

x

v

v

x

u

u

x

y

y

x

x

y

x

y

x

x

x

----( 2

2x-0-y+0+2u

0

2

=

+

x

v

v

x

u

atau 2u

x

y

x

v

v

x

u

2

2

-

=

+

Setelah di eliminasi

x

v

didapat

)

(

2

)

2

(

2

2

u

v

x

y

u

v

x

u

-

-

-

-

=

=

)

(

2

)

2

(

2

2

v

u

x

y

u

v

-

-

+

x+y2 +2uv = 0 dan

x2-xy+y2+u2+v2 = 0 didapat

dlyiturunkan terhadap

u

x

1

0

2

2

=

+

+

v

u

y

y

u

x

atau

1

v

u

y

y

u

x

2

2

-

=

+

2x

0

0

2

2

=

+

+

+

+

-

u

u

u

u

y

y

u

x

y

u

y

x

u

x

atau

u

u

y

x

y

u

x

y

x

2

)

2

(

)

2

(

-

=

-

+

-

2. Cari turunan parsial pertama dari dan dari persamaan

, dan

1) Mencari

Persamaan 1)

.(1)

Persamaan 2)

.... (2)

dikali

dikali

Maka,

2) Mencari

Persamaan 1)

.(1)

Persamaan 2)

(2)

dikali

dikali

Maka,

Jadi, , dan

Soal-soal.

1. Carilah

x

x

dan

y

v

dari fungsi

F(x,y,u,v) = = 0 dan F(x,y,u,v) = = 0

2.

=

=

=

=

0

...

)

,

,

,

(

0

...

)

,

,

,

(

v

u

y

x

G

v

u

y

x

F

3.

=

=

=

=

0

...

)

,

,

,

(

0

...

)

,

,

,

(

v

u

y

x

G

v

u

y

x

F

4.

=

=

=

=

0

...

)

,

,

,

(

0

...

)

,

,

,

(

v

u

y

x

G

v

u

y

x

F

5.

=

=

=

=

0

...

)

,

,

,

(

0

...

)

,

,

,

(

v

u

y

x

G

v

u

y

x

F

6.

=

=

=

=

0

...

)

,

,

,

(

0

...

)

,

,

,

(

v

u

y

x

G

v

u

y

x

F

7.

=

=

=

=

0

...

)

,

,

,

(

0

...

)

,

,

,

(

v

u

y

x

G

v

u

y

x

F

8.

=

=

=

=

0

...

)

,

,

,

(

0

...

)

,

,

,

(

v

u

y

x

G

v

u

y

x

F

9.

=

=

=

=

0

...

)

,

,

,

(

0

...

)

,

,

,

(

v

u

y

x

G

v

u

y

x

F

10.

=

=

=

=

0

...

)

,

,

,

(

0

...

)

,

,

,

(

v

u

y

x

G

v

u

y

x

F

_1317811999.unknown_1318683966.unknown_1318686224.unknown_1318765543.unknown_1318765787.unknown_1318765950.unknown_1318765997.unknown_1318766047.unknown_1318766177.unknown_1318766032.unknown_1318765966.unknown_1318765838.unknown_1318765724.unknown_1318763965.unknown_1318764093.unknown_1318765443.unknown_1318764030.unknown_1318764057.unknown_1318763975.unknown_1318686228.unknown_1318686230.unknown_1318686232.unknown_1318686709.unknown_1318761980.unknown_1318686659.unknown_1318686231.unknown_1318686229.unknown_1318686226.unknown_1318686227.unknown_1318686225.unknown_1318686216.unknown_1318686220.unknown_1318686222.unknown_1318686223.unknown_1318686221.unknown_1318686218.unknown_1318686219.unknown_1318686217.unknown_1318686212.unknown_1318686214.unknown_1318686215.unknown_1318686213.unknown_1318686210.unknown_1318686211.unknown_1318685807.unknown_1318686209.unknown_1318686046.unknown_1318685636.unknown_1318674544.unknown_1318677113.unknown_1318683137.unknown_1318683577.unknown_1318683937.unknown_1318683942.unknown_1318683889.unknown_1318683501.unknown_1318677424.unknown_1318682658.unknown_1318677327.unknown_1318676786.unknown_1318677023.unknown_1318677081.unknown_1318676816.unknown_1318676595.unknown_1318676669.unknown_1318675474.unknown_1318676536.unknown_1318675069.unknown_1318672777.unknown_1318674251.unknown_1318674382.unknown_1318674439.unknown_1318674359.unknown_1318674144.unknown_1318674161.unknown_1318674183.unknown_1318673957.unknown_1318674018.unknown_1318673801.unknown_1318673877.unknown_1318673045.unknown_1318672789.unknown_1317812181.unknown_1317812557.unknown_1317812594.unknown_1317812622.unknown_1317812223.unknown_1317812233.unknown_1317812191.unknown_1317812068.unknown_1317812163.unknown_1317810934.unknown_1317811721.unknown_1317811824.unknown_1317811969.unknown_1317811522.unknown_1288501800.unknown_1288503254.unknown_1317810909.unknown_1317810685.unknown_1317810756.unknown_1317810726.unknown_1288503492.unknown_1288503630.unknown_1288503295.unknown_1288502181.unknown_1288502518.unknown_1288503050.unknown_1288502305.unknown_1288501879.unknown_1288502000.unknown_1288501845.unknown_1288501630.unknown_1288501742.unknown_1288501790.unknown_1288501681.unknown_1287899010.unknown_1287899060.unknown_1287898877.unknown_1287898947.unknown_1287898863.unknown