diferensial kalkulus dari fungsi beberapa...
TRANSCRIPT
DIFERENSIAL KALKULUS DARI
FUNGSI BEBERAPA VARIABEL
MATEMATIKA LANJUT 1
Jurusan: Teknik Informatika
Fakultas: Teknologi Industri
Dwi Ermawati
TURUNAN PARSIAL
1. Turunan parsial pertama dari fungsi dua
variabel
Turunan parsial dari f(x,y) terhdp x dimana hanya variabel x saja yg
diasumsikan berubah, dan y tetap konstan. Begitupun sebaliknya.
Misal z = F(x,y) turunan parsial pertama z terhadap x dan y
dinotasikan dengan𝝏𝒛
𝝏𝒙dan
𝝏𝒛
𝝏𝒙
Contoh:
2. Turunan parsial pertama dari fungsi tiga variabel
Contoh:
Turunan Parsial Tingkat Tinggi
• Turuna Parsial Kedua Suatu Fungsi dua peubah dapat diperoleh
dari turunan parsial pertamanya.
• Karena ada dua turunan parsial pertama, 𝒇𝒙 dan 𝒇𝒚, dan masing-
masing mempunyai dua turunan parsial, maka kita akan
mendapatkan empat turunan parsial kedua, Yaitu:
𝝏
𝝏𝒙
𝝏𝒇
𝝏𝒙=
𝝏𝟐𝒇
𝝏𝒙𝟐= 𝒇𝒙𝒙
𝝏
𝝏𝒚
𝝏𝒇
𝝏𝒙=
𝝏𝟐𝒇
𝝏𝒙𝝏𝒚= 𝒇𝒙𝒚
𝝏
𝝏𝒚
𝝏𝒇
𝝏𝒚=
𝝏𝟐𝒇
𝝏𝒚𝟐= 𝒇𝒚𝒚
𝝏
𝝏𝒙
𝝏𝒇
𝝏𝒚=
𝝏𝟐𝒇
𝝏𝒚𝝏𝒙= 𝒇𝒚𝒙
Contoh:
• Turuna Parsial Ketiga: Suatu Fungsi yang dapat
diperoleh dari turunan parsial kedua.
𝝏
𝝏𝒙
𝝏𝒇
𝝏𝒙=
𝝏𝟐𝒇
𝝏𝒙𝟐= 𝒇𝒙𝒙
𝝏
𝝏𝒙
𝝏𝟐𝒇
𝝏𝒙𝟐=
𝝏𝟑𝒇
𝝏𝒙𝟑= 𝒇𝒙𝒙𝒙= 𝒇𝟏𝟏𝟏
𝝏
𝝏𝒚
𝝏𝒇
𝝏𝒚=
𝝏𝟐𝒇
𝝏𝒚𝟐= 𝒇𝒚𝒚
𝝏
𝝏𝒚
𝝏𝟐𝒇
𝝏𝒚𝟐=
𝝏𝟑𝒇
𝝏𝒚𝟑= 𝒇𝒚𝒚𝒚 = 𝒇𝟐𝟐𝟐
𝝏
𝝏𝒛
𝝏𝒇
𝝏𝒛=
𝝏𝟐𝒇
𝝏𝒛𝟐= 𝒇𝒛𝒛
𝝏
𝝏𝒛
𝝏𝟐𝒇
𝝏𝒛𝟐=
𝝏𝟑𝒇
𝝏𝒛𝟑= 𝒇𝒛𝒛𝒛 = 𝒇𝟑𝟑𝟑
Contoh:
SOAL LATIHAN
DIFERENSIAL TOTALMisal z = F(x,y), dan fungsi tersebut dapat diturunkan terhadap variable x dan
y, maka diperoleh turuna parisal terhadap x dan turunan parsial terhadap y
yang secara berturut-turut dinotasikan dengan
𝝏𝒛
𝝏𝒙=
𝝏𝑭(𝒙,𝒚)
𝝏𝒙(1)
𝝏𝒛
𝝏𝒚=
𝝏𝑭(𝒙,𝒚)
𝝏𝒚(2)
Dari (1) dan (2) diperoleh:
dz = 𝝏𝑭(𝒙,𝒚)
𝝏𝒙dx dan dz =
𝝏𝑭(𝒙,𝒚)
𝝏𝒚dy
Jumlah diferensialnya diperoleh:
dz = 𝝏𝑭(𝒙,𝒚)
𝝏𝒙dx +
𝝏𝑭(𝒙,𝒚)
𝝏𝒚dy
• Bila dipunya suatu fungsi z = f (x,y) maka Diferensial Total dari z atau
Diferensial dari z adalah
• Banyaknya suku yang terbentuk sesuai dengan banyaknya variabel
bebas yang dimiliki oleh fungsi itu, dari contoh di atas fungsi z memiliki
dua buah variabel bebas sehingga diferensialnya memiliki dua buah suku.
Bentuk di atas dapat diperluas
• Bila dipunya suatu fungsi z = f (𝒙𝟏, 𝒙𝟐, 𝒙𝟑,… 𝒙𝒏) maka Diferensial Total
dari z atau Diferensial dari z adalah
Aturan Rantai (Chain Rule)
• Misalkan y = f(x) dan x = g(t) dengan f dan g keduanya
adalah fungsi yang terdiferensial. Maka y terdiferensial
di t seperti yang terlihat pada aturan rantai berikut:
• Untuk fungsi lebih dari satu variabel, aturan rantai
terbagi kedalam dua versi sebagai berikut:
1. Aturan rantai versi 1
Misalkan bahwa z = f(x, y) suatau fungsi yang terdiferensial, dimana x = g(t)
dan y = h(t) keduanya merupakan fungsi yang terdiferensial di t. Fungsi z
adalah fungsi yang terdiferensial di t
Karena z = f(x, y)
Contoh:
2. Aturan rantai versi 2
Misalkan bahwa z = f(x, y) suatau fungsi yang terdiferensial, dimana x = g(s, t)
dan y = h(s, t) keduanya fungsi yang terdiferensial di s dan t.
Contoh:
3. Aturan rantai versi umum
Misalkan u suatu fungsi yang terdiferensial dengan n variabel 𝒙𝟏, 𝒙𝟐, ..., 𝒙𝒏, dan setiap
𝒙𝒏 merupakan suatu fungsi yang terdiferensial pada m variabel 𝒕𝟏, 𝒕𝟐, ..., 𝒕𝒎. Maka u
adalah suatu fungsi dari 𝒕𝟏, 𝒕𝟐, ..., 𝒕𝒎 dengan i = 1, 2, ..., m.
Contoh:
FUNGSI IMPLISIT
• Misalkan F(x,y) = 0 mendefinisikan y secara implisit
sebagai suatu fungsi x, katakan y = g(x), tetapi fungsi g
sukar untuk ditentukan. Suatu dy/dx dari kasus ini masih
dapat ditentukan dengan menerapakan aturan rantai
sebagai berikut:
Contoh:
• Selanjutnya, misalkan z suatu fungsi implisit dari f(x, y, z) = 0, maka
diferensiasi kedua ruas terhadap x dengan mempertahankan y tetap
adalah sebagai berikut:
Karena y tetap maka
𝜕𝑦
𝜕𝑥= 0
• Sehingga:
dan
Contoh: