diferensial kalkulus dari fungsi beberapa...

21
DIFERENSIAL KALKULUS DARI FUNGSI BEBERAPA VARIABEL MATEMATIKA LANJUT 1 Jurusan: Teknik Informatika Fakultas: Teknologi Industri Dwi Ermawati

Upload: phamduong

Post on 13-Mar-2019

274 views

Category:

Documents


4 download

TRANSCRIPT

Page 1: DIFERENSIAL KALKULUS DARI FUNGSI BEBERAPA VARIABELdwiermawati.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/56609/PERTEMUAN...Turunan parsial pertama dari fungsi dua variabel Turunan parsial

DIFERENSIAL KALKULUS DARI

FUNGSI BEBERAPA VARIABEL

MATEMATIKA LANJUT 1

Jurusan: Teknik Informatika

Fakultas: Teknologi Industri

Dwi Ermawati

Page 2: DIFERENSIAL KALKULUS DARI FUNGSI BEBERAPA VARIABELdwiermawati.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/56609/PERTEMUAN...Turunan parsial pertama dari fungsi dua variabel Turunan parsial

TURUNAN PARSIAL

1. Turunan parsial pertama dari fungsi dua

variabel

Turunan parsial dari f(x,y) terhdp x dimana hanya variabel x saja yg

diasumsikan berubah, dan y tetap konstan. Begitupun sebaliknya.

Misal z = F(x,y) turunan parsial pertama z terhadap x dan y

dinotasikan dengan𝝏𝒛

𝝏𝒙dan

𝝏𝒛

𝝏𝒙

Page 3: DIFERENSIAL KALKULUS DARI FUNGSI BEBERAPA VARIABELdwiermawati.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/56609/PERTEMUAN...Turunan parsial pertama dari fungsi dua variabel Turunan parsial

Contoh:

Page 4: DIFERENSIAL KALKULUS DARI FUNGSI BEBERAPA VARIABELdwiermawati.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/56609/PERTEMUAN...Turunan parsial pertama dari fungsi dua variabel Turunan parsial

2. Turunan parsial pertama dari fungsi tiga variabel

Page 5: DIFERENSIAL KALKULUS DARI FUNGSI BEBERAPA VARIABELdwiermawati.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/56609/PERTEMUAN...Turunan parsial pertama dari fungsi dua variabel Turunan parsial

Contoh:

Page 6: DIFERENSIAL KALKULUS DARI FUNGSI BEBERAPA VARIABELdwiermawati.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/56609/PERTEMUAN...Turunan parsial pertama dari fungsi dua variabel Turunan parsial

Turunan Parsial Tingkat Tinggi

• Turuna Parsial Kedua Suatu Fungsi dua peubah dapat diperoleh

dari turunan parsial pertamanya.

• Karena ada dua turunan parsial pertama, 𝒇𝒙 dan 𝒇𝒚, dan masing-

masing mempunyai dua turunan parsial, maka kita akan

mendapatkan empat turunan parsial kedua, Yaitu:

𝝏

𝝏𝒙

𝝏𝒇

𝝏𝒙=

𝝏𝟐𝒇

𝝏𝒙𝟐= 𝒇𝒙𝒙

𝝏

𝝏𝒚

𝝏𝒇

𝝏𝒙=

𝝏𝟐𝒇

𝝏𝒙𝝏𝒚= 𝒇𝒙𝒚

𝝏

𝝏𝒚

𝝏𝒇

𝝏𝒚=

𝝏𝟐𝒇

𝝏𝒚𝟐= 𝒇𝒚𝒚

𝝏

𝝏𝒙

𝝏𝒇

𝝏𝒚=

𝝏𝟐𝒇

𝝏𝒚𝝏𝒙= 𝒇𝒚𝒙

Page 7: DIFERENSIAL KALKULUS DARI FUNGSI BEBERAPA VARIABELdwiermawati.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/56609/PERTEMUAN...Turunan parsial pertama dari fungsi dua variabel Turunan parsial

Contoh:

Page 8: DIFERENSIAL KALKULUS DARI FUNGSI BEBERAPA VARIABELdwiermawati.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/56609/PERTEMUAN...Turunan parsial pertama dari fungsi dua variabel Turunan parsial

• Turuna Parsial Ketiga: Suatu Fungsi yang dapat

diperoleh dari turunan parsial kedua.

𝝏

𝝏𝒙

𝝏𝒇

𝝏𝒙=

𝝏𝟐𝒇

𝝏𝒙𝟐= 𝒇𝒙𝒙

𝝏

𝝏𝒙

𝝏𝟐𝒇

𝝏𝒙𝟐=

𝝏𝟑𝒇

𝝏𝒙𝟑= 𝒇𝒙𝒙𝒙= 𝒇𝟏𝟏𝟏

𝝏

𝝏𝒚

𝝏𝒇

𝝏𝒚=

𝝏𝟐𝒇

𝝏𝒚𝟐= 𝒇𝒚𝒚

𝝏

𝝏𝒚

𝝏𝟐𝒇

𝝏𝒚𝟐=

𝝏𝟑𝒇

𝝏𝒚𝟑= 𝒇𝒚𝒚𝒚 = 𝒇𝟐𝟐𝟐

𝝏

𝝏𝒛

𝝏𝒇

𝝏𝒛=

𝝏𝟐𝒇

𝝏𝒛𝟐= 𝒇𝒛𝒛

𝝏

𝝏𝒛

𝝏𝟐𝒇

𝝏𝒛𝟐=

𝝏𝟑𝒇

𝝏𝒛𝟑= 𝒇𝒛𝒛𝒛 = 𝒇𝟑𝟑𝟑

Page 9: DIFERENSIAL KALKULUS DARI FUNGSI BEBERAPA VARIABELdwiermawati.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/56609/PERTEMUAN...Turunan parsial pertama dari fungsi dua variabel Turunan parsial

Contoh:

Page 10: DIFERENSIAL KALKULUS DARI FUNGSI BEBERAPA VARIABELdwiermawati.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/56609/PERTEMUAN...Turunan parsial pertama dari fungsi dua variabel Turunan parsial

SOAL LATIHAN

Page 11: DIFERENSIAL KALKULUS DARI FUNGSI BEBERAPA VARIABELdwiermawati.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/56609/PERTEMUAN...Turunan parsial pertama dari fungsi dua variabel Turunan parsial

DIFERENSIAL TOTALMisal z = F(x,y), dan fungsi tersebut dapat diturunkan terhadap variable x dan

y, maka diperoleh turuna parisal terhadap x dan turunan parsial terhadap y

yang secara berturut-turut dinotasikan dengan

𝝏𝒛

𝝏𝒙=

𝝏𝑭(𝒙,𝒚)

𝝏𝒙(1)

𝝏𝒛

𝝏𝒚=

𝝏𝑭(𝒙,𝒚)

𝝏𝒚(2)

Dari (1) dan (2) diperoleh:

dz = 𝝏𝑭(𝒙,𝒚)

𝝏𝒙dx dan dz =

𝝏𝑭(𝒙,𝒚)

𝝏𝒚dy

Jumlah diferensialnya diperoleh:

dz = 𝝏𝑭(𝒙,𝒚)

𝝏𝒙dx +

𝝏𝑭(𝒙,𝒚)

𝝏𝒚dy

Page 12: DIFERENSIAL KALKULUS DARI FUNGSI BEBERAPA VARIABELdwiermawati.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/56609/PERTEMUAN...Turunan parsial pertama dari fungsi dua variabel Turunan parsial

• Bila dipunya suatu fungsi z = f (x,y) maka Diferensial Total dari z atau

Diferensial dari z adalah

• Banyaknya suku yang terbentuk sesuai dengan banyaknya variabel

bebas yang dimiliki oleh fungsi itu, dari contoh di atas fungsi z memiliki

dua buah variabel bebas sehingga diferensialnya memiliki dua buah suku.

Bentuk di atas dapat diperluas

• Bila dipunya suatu fungsi z = f (𝒙𝟏, 𝒙𝟐, 𝒙𝟑,… 𝒙𝒏) maka Diferensial Total

dari z atau Diferensial dari z adalah

Page 13: DIFERENSIAL KALKULUS DARI FUNGSI BEBERAPA VARIABELdwiermawati.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/56609/PERTEMUAN...Turunan parsial pertama dari fungsi dua variabel Turunan parsial
Page 14: DIFERENSIAL KALKULUS DARI FUNGSI BEBERAPA VARIABELdwiermawati.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/56609/PERTEMUAN...Turunan parsial pertama dari fungsi dua variabel Turunan parsial

Aturan Rantai (Chain Rule)

• Misalkan y = f(x) dan x = g(t) dengan f dan g keduanya

adalah fungsi yang terdiferensial. Maka y terdiferensial

di t seperti yang terlihat pada aturan rantai berikut:

• Untuk fungsi lebih dari satu variabel, aturan rantai

terbagi kedalam dua versi sebagai berikut:

Page 15: DIFERENSIAL KALKULUS DARI FUNGSI BEBERAPA VARIABELdwiermawati.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/56609/PERTEMUAN...Turunan parsial pertama dari fungsi dua variabel Turunan parsial

1. Aturan rantai versi 1

Misalkan bahwa z = f(x, y) suatau fungsi yang terdiferensial, dimana x = g(t)

dan y = h(t) keduanya merupakan fungsi yang terdiferensial di t. Fungsi z

adalah fungsi yang terdiferensial di t

Karena z = f(x, y)

Contoh:

Page 16: DIFERENSIAL KALKULUS DARI FUNGSI BEBERAPA VARIABELdwiermawati.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/56609/PERTEMUAN...Turunan parsial pertama dari fungsi dua variabel Turunan parsial

2. Aturan rantai versi 2

Misalkan bahwa z = f(x, y) suatau fungsi yang terdiferensial, dimana x = g(s, t)

dan y = h(s, t) keduanya fungsi yang terdiferensial di s dan t.

Contoh:

Page 17: DIFERENSIAL KALKULUS DARI FUNGSI BEBERAPA VARIABELdwiermawati.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/56609/PERTEMUAN...Turunan parsial pertama dari fungsi dua variabel Turunan parsial

3. Aturan rantai versi umum

Misalkan u suatu fungsi yang terdiferensial dengan n variabel 𝒙𝟏, 𝒙𝟐, ..., 𝒙𝒏, dan setiap

𝒙𝒏 merupakan suatu fungsi yang terdiferensial pada m variabel 𝒕𝟏, 𝒕𝟐, ..., 𝒕𝒎. Maka u

adalah suatu fungsi dari 𝒕𝟏, 𝒕𝟐, ..., 𝒕𝒎 dengan i = 1, 2, ..., m.

Contoh:

Page 18: DIFERENSIAL KALKULUS DARI FUNGSI BEBERAPA VARIABELdwiermawati.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/56609/PERTEMUAN...Turunan parsial pertama dari fungsi dua variabel Turunan parsial

FUNGSI IMPLISIT

• Misalkan F(x,y) = 0 mendefinisikan y secara implisit

sebagai suatu fungsi x, katakan y = g(x), tetapi fungsi g

sukar untuk ditentukan. Suatu dy/dx dari kasus ini masih

dapat ditentukan dengan menerapakan aturan rantai

sebagai berikut:

Page 19: DIFERENSIAL KALKULUS DARI FUNGSI BEBERAPA VARIABELdwiermawati.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/56609/PERTEMUAN...Turunan parsial pertama dari fungsi dua variabel Turunan parsial

Contoh:

Page 20: DIFERENSIAL KALKULUS DARI FUNGSI BEBERAPA VARIABELdwiermawati.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/56609/PERTEMUAN...Turunan parsial pertama dari fungsi dua variabel Turunan parsial

• Selanjutnya, misalkan z suatu fungsi implisit dari f(x, y, z) = 0, maka

diferensiasi kedua ruas terhadap x dengan mempertahankan y tetap

adalah sebagai berikut:

Karena y tetap maka

𝜕𝑦

𝜕𝑥= 0

• Sehingga:

dan

Page 21: DIFERENSIAL KALKULUS DARI FUNGSI BEBERAPA VARIABELdwiermawati.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/56609/PERTEMUAN...Turunan parsial pertama dari fungsi dua variabel Turunan parsial

Contoh: