ma1201 matematika 2a - · pdf filekuliah yang lalu 12.1 fungsi dua (atau lebih) peubah 12.2...

of 40/40
MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan Semester II, 2016/2017 31 Maret 2017

Post on 05-Feb-2018

252 views

Category:

Documents

11 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

  • MA1201 MATEMATIKA 2A

    Hendra GunawanSemester II, 2016/2017

    31 Maret 2017

  • Kuliah yang Lalu

    12.1 Fungsi dua (atau lebih) peubah

    12.2 Turunan Parsial

    12.3 Limit dan Kekontinuan

    12.4 Turunan fungsi dua peubah

    12.5 Turunan berarah dan gradien

    12.6 Aturan Rantai

    12.7 Bidang singgung dan aproksimasi Bagian I

    12.8 Maksimum dan minimum

    12.9 Metode pengali Lagrange

    4/2/2014 (c) Hendra Gunawan 2

  • Kuliah Hari Ini

    12.1 Fungsi dua (atau lebih) peubah

    12.2 Turunan Parsial

    12.3 Limit dan Kekontinuan

    12.4 Turunan fungsi dua peubah

    12.5 Turunan berarah dan gradien

    12.6 Aturan Rantai

    12.7 Bidang singgung dan aproksimasi Bag II

    12.8 Maksimum dan minimum

    12.9 Metode pengali Lagrange

    4/2/2014 (c) Hendra Gunawan 3

  • 12.7 BIDANG SINGGUNG DAN HAMPIRAN BAGIAN II

    MA1201 MATEMATIKA 2A

    4/2/2014 (c) Hendra Gunawan 4

    Menggunakan polinom Taylor orde 2 untukmenghampiri nilai fungsi dua peubah disekitar titik tertentu

  • Hampiran Linear & Bidang Singgung

    Bila f mempunyai turunan di p = (a,b), maka kitamempunyai hampiran linear

    Dalam hal ini, persamaan

    merupakan persamaan bidang singgung padapermukaan z = f(x,y) di titik (a,b).4/2/2014 (c) Hendra Gunawan 5

    ),(),(),(),( byaxbafbafyxf

    ))(,())(,(),(

    ),(),(),(

    bybafaxbafbaf

    byaxbafbafz

    yx

  • Bidang Singgung & Vektor Gradien

    Diberikan fungsi dua peubah implisit F(x,y,z) = 0, kita dapat memperoleh persamaan bidangsinggungnya di titik (a,b,c) dari persamaan

    Perhatikan jika z = f(x,y), tulis F(x,y,z) = z f(x,y). Maka Fx = -fx, Fy = -fy, dan Fz = 1, sehingga

    4/2/2014 (c) Hendra Gunawan 6

    ( , , ) ( , , ) 0.x y zx a y b z c F F F

    ( , , ) ( , ,1) 0.x yx a y b z c f f

    ( ) ( ).x yz c f x a f y b

  • Polinom Taylor Orde 1

    Terkait dengan hampiran linear & bidangsinggung, polinom

    merupakan polinom Taylor orde 1 untukf(x,y) di titik (a,b).

    Dlm hal ini, f(x,y) P1(x,y) untuk (x,y) (a,b).4/2/2014 (c) Hendra Gunawan 7

    ))(,())(,(),(

    ),(),(),(),(1

    bybafaxbafbaf

    byaxbafbafyxP

    yx

    Hampiran linear

  • Polinom Taylor Orde 2

    Seperti halnya utk fungsi satu peubah, kitamempunyai polinom Taylor orde 2 untukfungsi dua peubah:

    Dlm hal ini, f(x,y) P2(x,y) untuk (x,y) (a,b).4/2/2014 (c) Hendra Gunawan 8

    ].))(,(

    ))()(,(2))(,([2

    1

    ))(,())(,(),(),(

    2

    2

    2

    bybaf

    byaxbafaxbaf

    bybafaxbafbafyxP

    yy

    xyxx

    yx

    Hampiran kuadratik

  • Polinom Taylor Orde 2

    Polinom Taylor orde 2 dapat dituliskan sebagai

    4/2/2014 (c) Hendra Gunawan 9

    .),(),(

    ),(),(),(

    ])[,(][2

    1

    ),(][),(),(2

    bafbaf

    bafbafbaHf

    dengan

    byaxbaHfbyax

    bafbyaxbafyxP

    yyyx

    xyxx

    T

  • Contoh/Latihan

    Tentukan polinom Taylor orde 2 untuk f(x,y) =

    di O(0,0), dan gunakan polinom tsb untukmenaksir nilai f(0.1,0.2).

    Jawab: fx = , fy = , fxx = , fxy = , fyy =

    Jadi

    P2(x,y) =

    dan

    f(0.1,0.2) P2(0.1,0.2) =

    4/2/2014 (c) Hendra Gunawan 10

    22 yxe

  • 12.8 MAKSIMUM DAN MINIMUMMA1201 MATEMATIKA 2A

    4/2/2014 (c) Hendra Gunawan 11

    Menentukan nilai maksimum dan minimum dari fungsi dua peubah

  • Nilai Ekstrim Global

    Misalkan S R2, R, dan p* S.

    (i) f(p*) disebut nilai maksimum global f pada Sapabila f(p*) f(p) untuk setiap p S.

    (ii) f(p*) disebut nilai minimum global f pada Sapabila f(p*) f(p) untuk setiap p S.

    Nilai f(p*) disebut nilai ekstrim global f pada Sapabila f(p*) merupakan nilai maksimum global atau nilai minimum global.

    4/2/2014 (c) Hendra Gunawan 12

    Sf :

  • Nilai Ekstrim Lokal

    Misalkan S R2, R, dan p* S.

    (i) f(p*) disebut nilai maksimum lokal f pada Sapabila terdapat cakram N yang memuat p*sehingga f(p*) f(p) untuk setiap p N S.

    (ii) f(p*) disebut nilai minimum lokal f pada Sapabila terdapat cakram N yang memuat p*sehingga f(p*) f(p) untuk setiap p N S.

    Nilai f(p*) disebut nilai ekstrim lokal f pada Sapabila f(p*) merupakan nilai maksimum lokalatau nilai minimum lokal.4/2/2014 (c) Hendra Gunawan 13

    Sf :

  • Teorema Eksistensi Maks-Min

    Jika f kontinu pada suatu himpunan tertutup danterbatas S, maka f mencapai nilai maksimumdan nilai minimum global pada S (kemungkinandi titik yang berbeda).

    4/2/2014 (c) Hendra Gunawan 14

    Catatan. Himpunan S tertutup berartiS memuat titik-titik perbatasannya. S terbatas berarti S termuat dalamsuatu cakram C(O,R) yg berpusat diO(0,0) & berjari-jari R, utk suatu R > 0.

    S

  • Teorema Titik Kritis

    Fungsi f hanya mungkin mencapai nilai ekstrim dititik-titik kritis, yaitu di:

    (i) titik-titik perbatasan daerah asal f, atau

    (ii) titik-titik stasioner (yaitu titik di mana f mem-punyai turunan 0), atau

    (iii)titik-titik singular (yaitu titik di mana f tidakmempunyai turunan).

    4/2/2014 (c) Hendra Gunawan 15

  • Contoh

    1. Fungsi f(x,y) = x2 + y2 mencapai nilaiminimum 0 di O(0,0) yang merupakan titikstasioner.

    2. Fungsi g(x,y) = mencapai nilaiminimum 0 di O(0,0) yang merupakan titiksingular.

    3. Jika kita batasi daerah asal kedua fungsi diatas pada cakram tertutup C(O,1), makakedua fungsi di atas mencapai nilaimaksimum 1 pada setiap titik perbatasan.

    4/2/2014 (c) Hendra Gunawan 16

    22 yx

  • Catatan

    Titik stasioner belum tentu merupakan titikekstrim. Sebagai contoh, fungsi F(x,y) = xymempunyai titik stasioner O(0,0), tetapi titik inibukan merupakan titik ekstrim (global maupunlokal). Ingat peta konturnya seperti apa!

    Jika daerah asal fungsi F dibatasi pada cakramtertutup C(O,1), maka nilai ekstrimnya hanyamungkin tercapai di titik perbatasan, yaitu padalingkaran x2 + y2 = 1. [Kita bahas bagaimanamencari nilai ekstrimnya nanti, ya!]

    4/2/2014 (c) Hendra Gunawan 17

  • Uji Turunan Kedua: Syarat Cukup untuk Nilai EkstrimMisalkan f(x,y) mempunyai turunan parsial keduayang kontinu pada suatu cakram yang berpusat di(a,b) dan Tulis

    Maka1. Jika D > 0 dan fxx(a,b) < 0, maka f(a,b) merupakan

    nilai maksimum lokal.2. Jika D > 0 dan fxx(a,b) > 0, maka f(a,b) merupakan

    nilai minimum lokal.3. Jika D < 0, maka (a,b) merupakan titik pelana.4. Jika D = 0, maka uji ini gagal.4/2/2014 (c) Hendra Gunawan 18

    ).0,0(),( baf

    .)],([),(),(),( 2bafbafbafbaDD xyyyxx

  • Contoh

    Tentukan nilai ekstrim dari F(x,y) = x3 + y2 3x 4y, jika ada.

    Jawab: Fx = 3x2 3 = 0 j.h.j. x = 1, dan Fy = 2y 4 = 0

    j.h.j. y = 2. Jadi ada 2 titik stasioner, yaitu (1,2) dan(-1,2). Selanjutnya, Fxx = 6x, Fxy = 0, dan Fyy = 2.

    Di (1,2), Fxx = 6(1) = 6 > 0 dan D = 6(2) 02 = 12 > 0.

    Jadi F(1,2) = -6 merupakan nilai minimum lokal.

    Di (-1,2), Fxx = 6(-1) = -6 < 0 dan D = -6(2) 02 = -12

    < 0. Jadi (-1,2) merupakan titik pelana (bukanekstrim).4/2/2014 (c) Hendra Gunawan 19

  • Soal 1

    Misalkan anda ingin membuat kotak tertutupdengan volume 1 dm3 dan luas permukaannyaminimum. Berapakah ukuran kotak tsb?

    [Petunjuk: Nyatakan luas permukaan kotak sebagaifungsi dua peubah.]

    4/2/2014 (c) Hendra Gunawan 20

  • Soal 2

    Tentukan nilai maksimum dan nilai minimum dariF(x,y) = xy pada cakram tertutup C(O,1).

    Jawab: Nilai ekstrimnya tercapai di perbatasan, yaitu pada lingkaran x2 + y2 = 1. Untuk mencarinya, nyatakan titik-titik pada lingkaran tsb dalamkoordinat polar, yakni x = cos dan y = sin .

    Maka, F(x,y) = F(r,) = (cos )(sin ) = sin 2. Jadi: F mencapai nilai maksimum pd saat = /4 dan5/4, yakni di titik (2,2) dan (-2,-2); danF mencapai nilai minimum pd saat = 3/4 dan7/4, yakni di titik (-2,2) dan (2,-2).4/2/2014 (c) Hendra Gunawan 21

  • Catatan

    Soal 2 dapat pula dijawabdengan menggambar petakontur dan mengamatibahwa nilai ekstrim tercapaipada perbatasan, khususnyadi 4 buah titik perpotonganlingkaran x2 + y2 = 1 dengangaris y = x.

    4/2/2014 (c) Hendra Gunawan 22

  • 12.9 METODE PENGALI LAGRANGEMA1201 MATEMATIKA 2A

    4/4/2014 (c) Hendra Gunawan 23

    1. Menggunakan Metode Lagrange untukmenentukan nilai ekstrim fungsi dua atautiga peubah dengan kendala tertentu

  • Mencari Nilai Ekstrim Fungsi padaSuatu Kurva/Permukaan

    Ingat bagaimana kita mencari nilai ekstrimfungsi F(x,y) = xy pada lingkaran x2 + y2 = 1.

    Demikian juga soal tentang ukuran kotak ber-volume 1 yang luas permukaannya minimum.

    Kedua soal ini termasuk contoh masalah nilaiekstrim dengan kendala.

    4/4/2014 (c) Hendra Gunawan 24

  • Masalah Nilai Ekstrim dengan Kendala

    Masalah I:

    Tentukan nilai ekstrim fungsi z = F(x,y) dengan kendala g(x,y) = 0.

    Masalah II:

    Tentukan nilai ekstrim fungsi w = F(x,y,z) dengan kendala g(x,y,z) = 0.

    Catatan. Fungsi F disebut fungsi objektif, sedangkan fungsi g disebut fungsi kendala.4/4/2014 (c) Hendra Gunawan 25

  • Catatan

    1. Pada soal tentang kotak, kita ingin mencarinilai minimum dari L = 2(xy + xz + yz) dengankendala xyz = 1. [Di sini, fungsi kendalanyaadalah g(x,y,z) = xyz 1.]

    Untuk soal ini, kita dapat mensubstitusikanz = 1/(xy) pada L, sehingga L menjadi fungsidari x dan y saja, lalu kita peroleh nilaiminimum dari L (dengan Uji Turunan Kedua).

    4/4/2014 (c) Hendra Gunawan 26

  • Catatan

    3. Pada soal kedua, kita ingin mencari nilaiekstrim dari F = xy dengan kendala x2 + y2 = 1. Untuk soal ini kita tidak mensubstitusika