Turunan Numerik

Nama Kelompok :Bobby Chandra A

1

Definisi Turunan (derivatif)

f '(x) = lim f ( x+h ) − fx)

h → 0 h

• Bila persamaan fungsi f(x) diberikan secara eksplisit, maka kita

dapat menentukan fungsi turunannya, f '(x), f "(x), ..., f (n+1)(x), lalu menggunakannya untuk menghitung nilai turunan fungsi di x = t.

• Tetapi jika fungsi f(x) tidak diketahui secara eksplisit, tetapi kita

hanya memiliki beberapa titik data saja. Pada kasus seperti ini kita tidak dapat menemukan nilai turunan fungsi secara analitik.

• Sebaliknya, pada kasus lain, meskipun f(x) diketahui secara eksplisit tetapi bentuknya rumit sehingga menentukan fungsi turunannya merupakan pekerjaan yang tidak mangkus

2

Persoalan Turunan Numerik

• Persoalan turunan numerik ialah menentukan

hampiran nilai turunan fungsi f yang diberikan dalam

bentuk tabel.

• Tiga pendekatan dalam menghitung turunan

numerik:

1. Hampiran selisih maju

2. Hampiran selisih mundur

3. Hampiran selisih pusat

3

1. Hampiran Selisih Maju (forward difference

approximation)

f ( x +h ) −f ( x ) f f f '(x0) =

y

y1

y0

0 0

h

y = f(x)

h

1 − 0 = h

x-1 x0 x1 x

4

2. Hampiran selisih-mundur (backward difference

approximation)

f f '(x0) =

y

y0

y-1

( x 0 ) − f ( x − h 0

h

h

) f f 0 − 1 = h

y = f(x)

x-1 x0 x1 x

5

3. Hampiran selisih-pusat (central difference

approximation)

f f '(x0) =

y

y0

y-1

( x0 +h ) − f ( x

2h

0 −h ) f − f 1 −1 =

2 h

y = f(x)

2h

x-1 x0 x-1

6

• Rumus-rumus turunan numerik untuk ketiga

pendekatan tersebut dapat diturunkan dengan dua

cara, yaitu:

1. Dengan bantuan deret Taylor

2. Dengan hampiran polinom interpolasi

• Kedua cara tersebut menghasilkan rumus yang sama.

7

Penurunan Rumus dengan Deret Taylor

(a) Hampiran selisih-maju

Uraikan f(xi+1) di sekitar xi :

x f(xi+1) = f(xi) + ( i+1

− x ) i f '(xi) +

2 ( x − x ) i+1 i f "(xi) + ... 1! 2!

fi+1 = fi + hfi' + h2/2 fi " + .. .

hfi ' = fi+1 - fi - h2/2 fi " + ...

f − ffi ' =

f fi ' =

i+1

i+1

i - h/2 fi " h

− f i + O(h) h

yang dalam hal ini, O(h) = h/2 f "(t), xi < t < xi+1

8

Untuk nilai-nilai f di x0 dan x1 persamaan rumusnya menjadi:

f − ff 0

1 0 ' = + O(h)

h

yang dalam hal ini O(h) = h/2 f "(t), xi < t < xi+1 .

9

(b) Hampiran selisih-mundur

Uraikan f(xi-1) di sekitar xi :

x f(xi-1) = f(xi) + ( i+1 − x ) x

i f '(xi) + ( 2

− x ) i+1 i f "(xi) + ... 1! 2!

fi-1 = fi - hfi ' + h2/2 fi " + ...

hfi ' = fi - fi-1 + h2/2 fi " + ...

f − ffi ' =

f fi ' =

i

i

i −1 - h/2 fi " + ... h

− f i −1 + O(h), h

yang dalam hal ini, O(h) = - h/2 f "(t), xi-1 < t < xi

10

Untuk nilai-nilai f di x0 dan x-1 persamaan rumusnya menjadi:

f 0

f ' = 0 − f −1 +O(h)

h

yang dalam hal ini, O(h) = - h/2 f "(t), xi+1 < t < xi.

11

(a) Hampiran selisih-pusat

Kurangkan persamaan (P.7.4) dengan persamaan (P.7.6):

fi+1 - fi-1 = 2hfi' + h3/3 fi "' + ...

2hfi ' = fi+1 - fi-1

f − f

- h3/3 fi "' + ...

fi ' =

f fi ' =

i+1

i+1

i −1 - h2/6 fi "' + ... 2h

− f i −1 + O(h2),

2h

yang dalam hal ini, O(h2) = - h2/6 f "'(t), xi-1 < t < xi+1

Untuk nilai-nilai f di x-1 dan x1 persamaan rumusnya menjadi:

f1

− f −1 2fo '= + O(h )2h

yang dalam hal ini, O(h2) = - h/6 f "'(t), xi-1 < t < xi+1.

12

Rumus untuk Turunan Kedua, f ’’(x), dengan

Bantuan Deret Taylor

(a) Hampiran selisih-pusat

Tambahkan persamaan (P.7.4) dengan persamaan (P.7.6) di atas :

fi+1 + fi-1 = 2 fi + h2 fi " + h4/12 fi (4) + ...

fi+1 - 2fi + fi-1 = h2 fi " + h4/12 fi (4)

f − 2f + f

Jadi,

f i+1

fi" =

i+1 fi" =

− 2 f i + f i −1

2 h

i i −1 - h2/12 fi (4) 2 h

+ O(h2),

yang dalam hal ini, O(h2) = - h2/12 f (4)(t), xi-1 < t < xi+1

13

Untuk nilai-nilai f di x-1 , x0, dan x1 persamaan rumusnya menjadi:

1 f0" = f − 2 f + f 0 1 + O(h2)

2 h

yang dalam hal ini O(h2) = - h2/12 f (4)(t), xi-1 < t < xi+1.

14

(b) Hampiran selisih-mundur

Dengan cara yang sama seperti (a) di atas, diperoleh :

f fi" =

i −2 − 2 f + f i −1 i + O(h),

2 h

yang dalam hal ini O(h) = h f "(t), xi-2 < t < xi

Untuk nilai-nilai f di x-2 , x-1, dan x0 persamaan rumusnya :

f 0

f "= −2 − 2 f + f −1 0 + O(h),

2 h

yang dalam hal ini, O(h) = h f "(t) , xi-2 < t < xi

15

(c) Hampiran selisih-maju

Dengan cara yang sama seperti di atas, diperoleh :

i+2 fi" = f

− 2 f i+1 + f i + O(h),

2 h

yang dalam hal ini, O(h) = - h f "(t), xi < t < xi+2

Untuk nilai-nilai f di x0 , x1, dan x2 persamaan rumusnya :

f 0

f "= 2

− 2 f + f 1 0 + O(h), 2 h

yang dalam hal ini, O(h) = - h f "(t), x1 < t < xi+2.

16

Penurunan Rumus Turunan Numerik

dengan Polinom Interpolasi

• Polinom Newton-Gregory:

s Δf f (x) ≈ pn(x) = f0 +

1 !

0 + s(s-1)

Δ2 f 0

2!

n Δ f

Δ3 f 0 + s(s-1)(s-2) +

3!

0 s(s-1)(s-2)...(s- n+1)n!

= F(s)

yang dalam hal ini, s = (x-x0)/h.

17

s Δf f (x) ≈ pn(x) = f0 +

1 !

0 + s(s-1) Δ2 f

0

2!

n Δ f

Δ3 f 0 + s(s-1)(s-2) +

3!

0 s(s-1)(s-2)...(s- n+1)n!

= F(s)

yang dalam hal ini, s = (x-x0)/h.

18

(a) Hampiran selisih-maju

- bila digunakan titik-titik x0 dan x1 :

f1 − f0f '(x0) = 1/h ( Δf0) =h

- bila digunakan titik-titik x0, x1, dan x2 :

f '(x0) = 1/h ( Δf0 + (s- 1/2) Δ2 f 0 )

untuk titik x0 → s = (x0 - x0)/h = 0, sehingga

f '(x0) = 1/h ( Δf0 - 1/2 Δ2f 0 )

= 1/h ( Δf0 - 1/2( Δf1 - Δf0) )

= 1/h (3/2 Δf0 - 1/2 Δf1)

= 1/h (3/2 f1 - 3/2 f0 - 1/2 f2+ 1/2 f1 )

= 1/h (-3/2 f0 + 2 f1 - 1/2 f2 )

−3f 0 +4f 1− f 2

f '(x0 ) =2h

19

(b) Hampiran selisih-mundur

- polinom interpolasi: Newton-Gregory mundur

- bila digunakan titik-titik x0 dan x-1 :

f − f0 −1 f '(x0) = 1/h ( ∇f0) =

h

20

(c) Hampiran selisih-pusat

- digunakan tiga titik x0 , x1 , dan x2 :

f '(x0) = 1/h ( Δf0 + (s - 1/2) Δ2f 0 )

untuk titik x1 → s = (x1 - x0)/h = h/h = 1, sehingga

f '(x1) = 1/h ( Δf0 + 1/2 Δ2f 0 )

= 1/h ( Δf0 + 1/2( Δf1 - Δf0) )

= 1/h (1/2 Δf0 + 1/2 Δf1)

= 1/2h ( f1 - f0 + f2 - f1 )

f 2 − f 0=2h

untuk titik x-1 , x0 , dan x1 :

f '(x0) f 1 − f −1

= 2h

21

Rumus untuk Turunan Kedua, f "(x),

dengan Polinom Interpolasi

Turunan kedua f adalah

2 d f 2

dx

= d df ds

ds dx dx

= 1/h (0 + Δ2f 0 + (s - 1) Δ3f 0 ) . 1/h

= 1/h2 ( Δ2 f0 + ( s - 1) Δ3f0 )

22

Misalkan untuk hampiran selisih-pusat, titik-titik yang digunakan x0 , x1 , dan x2 :

- pada titik x1 → s = (x1 - x0)/h = h/h = 1, sehingga

f "(x1) = 1/h2 ( Δ2f 0 + (1 - 1) Δ3f 0 )

= 1/h2 ( Δ2f 0 )

= 1/h2 ( Δf1 - Δf0)

2 = 1/h ( f2 - f1 + f1 + f0 )

= 1/h2 ( f0 - 2f1 + f2 )

- untuk titik x-1 , x0 , dan x1 :

f − 2 f + ff " (x 0

−1 0 ) = 2 h

1

23

Ringkasan Rumus-Rumus Turunan

1. Rumus untuk turunan pertama

f0' =

f0' =

f0' =

f0' =

f 1 − f 0 + O(h)

h

f − f 0 −1 + O(h)

h

f 1 − f −1 + O(h2)

2h

−3 f 0 +4 f 1 − f 2

2h

− f 2 +8 f 1 −8 f −1

(selisih-maju)

(selisih-mundur)

(selisih-pusat)

+ O(h2) (selisih-maju)

+ f − 2 f0' = + O(h4)

12h (selisih-pusat)

24

2. Rumus untuk turunan kedua

f f0" =

f

1 − 2f + f 0 −1 + O(h2) 2 h

− 2f + f

(selisih-pusat)

−2 f0" = h

f −2f

−1 0 + O(h) 2

+ f

(selisih-mundur)

2 1 f0" = 2 h

− f +4

0 + O(h)

f −5 f +2 f

(selisih-maju)

3 f0" =

− f

2 1

12h

+16 f −30 f

0 + O(h2)

+16 f − f

(selisih-maju)

2 1 0 −1 −2 f0" = + O(h4) 2 12h

(selisih-pusat)

25

3. Rumus untuk turunan ketiga

f f0"' =

f

3 − 3f + 3f − 2 1

3 h

− 2 f + 2 f −

f 0 + O(h) (selisih-maju)

f 2 1 −1 −2 f0"' =

3 2h

4. Rumus untuk turunan keempat

f − 4 f + 6 f − 4 f

+ O(h2) (selisih-pusat)

+ f 4 f0(iv) =

f − 4

3 2

4 h

f + 6 f − 4 f

1 0 + O(h)

+ f

(selisih-maju)

2 1 f0(iv) = 0 −1 −2 + O(h2) 4 h

(selisih-pusat)

26

Contoh

Diberikan data dalam bentuk tabel sebagai berikut :

x f(x)

1.3 3.669

1.5 4.482

1.7 5.474

1.9 6.686

2.1 8.166

2.3 9.974

2.5 12.182

(a) Hitunglah f '(1.7) dengan rumus hampiran selisih-pusat orde O(h2) dan O(h4)

(b) Hitunglah f '(1.4)dengan rumus hampiran selisih-pusat orde O(h2)

(c) Rumus apa yang digunakan untuk menghitung f '(1.3) dan f '(2.5) ?

27

Penyelesaian:

(a) Orde O(h2):

f − f1 −1f0' =2h

Ambil titik-titik x-1 = 1.5 dan x1 = 1.9, yang dalam hal ini x0 = 1.7 terletak di tengah

keduanya dengan h = 0.2.

f '(1.7) =

Orde O(h4):

− f

6.686 − 4.482 = 5.510

2 (0.2)

+8 f −8 f + f

(empat angka bena)

2 1 f0' = 12h

−1 2

28

Ambil titik-titik x-2 = 1.3 dan x-1 = 1.5 , x1 = 1.9, dan x2 = 2.1, yang dalam hal ini x0 = 1.7 terletak di pertengahannya.

f '(1.7)

(b) Orde O(h2):

−8.166 + 8 ( 6.686 ) −8 ( 4.482 ) + 3.669 =

12 (0.2) = 5.473 (4 angka bena)

Ambil titik-titik x-1 = 1.3 dan x1 = 1.5, yang dalam hal ini x0 = 1.4 terletak di

tengahnya dan h = 0.1.

f '(1.4) = 4.482 − 3.669

= 4.065 2 (0.1)

(4 angka bena)

29

(c) Untuk menghitung f '(1.3) digunakan rumus hampiran selisih-maju, sebab x = 1.3

hanya mempunyai titik-titik sesudahnya (maju), tetapi tidak memiliki titik-titik sebelumnya.

Sebaliknya, untuk menghitung nilai f '(2.5) digunakan rumus hampiran selisih-mundur,

sebab x = 2.5 hanya mempunyai titik-titik sebelumnya (mundur).

Hampiran selisih-maju :

f ff0' =

f '(1.3) =

1 − 0 + O(h) h

4.482 − 3.669 = 4.065

Hampiran selisih-mundur :

f f0' = 0 − f −1 + O(h)

h

f '(2.5) = 12.182 −9.974 = 11.04

30

Terapan Turunan Numerik dalam Bidang

Pengolahan Citra

• Citra digital dapat disajikan oleh matriks f yang berukuran M

N dengan bentuk

f

f

11 f f 12 1N

f f

f = 21

M

fM 1

22 2n

M M M

f f M 2 MN

• Tiap elemen matriks adalah bilangan bulat dalam rentang

[0..255] untuk citra 8 bit.

31

• Salah satu proses yang terdapat dalam pengolahan citra ialah pendeteksian tepi.

• Tepi merupakan feature yang penting pada suatu citra.

• Tepi didefinisikan sebagai perubahan intensitas yang besar dalam jarak yang singkat.

• Perbedaan intensitas inilah yang menampakkan rincian pada gambar. Tepi memberikan informasi batas-batas objek dengan lingkungannya atau dengan objek yang lain, feature untuk mengidentifikasi objek, dan untuk terapan penapisan citra.

32

33

34

• Salah satu pendekatamyang dipakai dalam pendeteksian sisi adalah dengan kemiringan diferensial (differential gradient).

• Secara matematis perubahan intensitas yang besar dalam jarak yang sangat singkat dapat dipandang sebagai suatu fungsi yang memiliki kemiringan yang besar.

• Pengukuran kemiringan suatu fungsi dilakukan dengan menghitung turunan pertamanya.

35

• Dalam citra digital, pendeteksian tepi dapat dilakukan dengan

cara yang mirip, yaitu dengan turunan pertamanya secara

parsial dalam ruang diskrit:

∇ f(x, y) = ∂f / ∂x

f = x

∂f / ∂y fy

• yang dalam hal ini kedua turunan parsial didefinisikan sebagai

D1(x) =

D1( y) =

∂f ( x, y )

∂x

∂f ( x, y )

∂y

f ( x+Δx, y ) − f ( x, y ) ≈

Δx

f ( x, y+Δy ) − f ( x, y ) ≈

Δy

36

Biasanya Δx = Δy = 1, sehingga persamaan turunan pertama menjadi:

D 1

D 1

∂f (x, (x) =

∂x

∂f (x, (y) =

∂y

y) = f (x +1,y) − f (x, y)

y) = f (x, y+1) − f (x, y)

37

• Kekuatan tepi pada setiap pixel citra dihitung dengan

rumus:

G[f(x,y)] = | fx2 | + | fy2 |

• atau dengan rumus

G[f(x,y)] = max ( fx2 | , | fy2 |)

• Suatu pixel dianggap sebagai pixel sisi jika kekuatan

tepinya di atas nilai ambang (threshold) tertentu.

38

• D1(x) dan D1( y) merupakan hampiran selisih-maju.

Hampiran lain yang dipakai adalah hampiran selisih-

pusat, yaitu:

D2(x) =

D2(y) =

∂f ( x, y ) ≈

∂x

∂f ( x, y ) ≈

∂y

f ( x+Δx, y ) − f(x − Δx , y

2 Δ x

f ( x, y+Δy ) − f(x, y − Δy )

2 Δ y

)

39

• Operator lain yang digunakan untuk mendeteksi sisi

adalah yang berdasarkan pada operasi turunan

kedua, yang dikenal dengan operator Laplace

(Laplacian).

• Operator Laplace mendeteksi lokasi tepi lebih akurat

khususnya pada tepi yang curam.

40

f(x)

∂f / ∂x

∂2f / ∂x2

•

(a) Tepi landai (b) Tepi curam

41

• Jika digunakan hampiran selisih-maju, maka operator Laplace

diturunkan sebagai berikut:

∇2f = 2 2 ∂ f ∂ f

+ 2 2

∂x ∂y

= D1(D1(x)) + D1( D1( y))

1 1

= D1 ( f(x + Δx, y) - D1( f(x,y)) + Δx

D1( f(x, y))

1 f ( x x+Δx, y ) − f ( x + Δx ,y

D1( f(x, y + Δy) -Δy

) f ( x+ Δx, y ) − f ( x, y ) =

Δx

1

Δx

f ( x, y +Δy+Δy

−

) − f ( x, y + Δy ) f

+ Δx

( x, y+ Δy ) − f ( x, y )

=

Δy

f ( x

Δy

+ 2 Δ x, y ) − 2 f ( x+Δx,

( Δx )2

− Δy

y ) + f ( x, y ) +

f (x, y + 2 Δy)− 2 f (x, y+Δy )+ f (x, y)

(Δy)2

42

(a) (b)

(a) citra botol; (b) hasil pendeteksian tepi dengan operator Laplace

43

CONTOH PROGRAM#include // pembacaan cout dan cin.

#include // tampilan standar input output.

#include // di gunakan untuk membuat teks antarmuka pengguna.

#include // prototype fungsi untuk pustaka matematika.

main() // program utama

{ // pembuka program .

int i=1, k; // pendeklarasian variabel dengan menggunakan tipe data integer.

float x0, x1, xr, fx0, fx1, E, e=0.00001; // pendeklarasian variabel dengan

menggunakan tipe data float.

clrscr(); // untuk menghapus data yang tidak perlu.

gotoxy(18,6);cout<<" METODE SECANT f(x)=2x^2-

5x+1"<gotoxy(18,7);cout<<"---------------------------------------"; // tampilan output

tabel.

gotoxy(14,9);cout<< "Masukkan Nilai Awal : ";cin>>x0; // input nilai awal

gotoxy(14,10);cout<<"Masukkan Nilai Akhir : ";cin>>x1; // input nilai akhir

gotoxy(7,12);cout<<"+------------------------------------------------+"<

LANJUTAN PROGRAM

gotoxy(8,13);cout<<"iterasi"; // pembacaan nilai iterasi.

gotoxy(18,13);cout<<"x0"; // pembacaan nilai x0 (masukan nilai awal).

gotoxy(24,13);cout<<"x1"; // pembacaan nilai x1 (masukan nilai akhir).

gotoxy(30,13);cout<<"xr"; // pembacaan nilai xr.

gotoxy(34,13);cout<<"f(x0)"; // pembacaan nilai f(x0) turunan nilai dari x0.

gotoxy(43,13);cout<<"f(x1)"; // pembacaan nilai f(x1) turunan nilai dari x1.

gotoxy(50,13);cout<<"E"; // pembacaan nilai error.

gotoxy(7,14);cout<<"+------------------------------------------------+"<k=15; //

do // menggunakan perulangan.

{ // pembuka program

fx0 = (2*(x0*x0))-(5*x0)+1; // rumus untuk pemanggilan nilai f(x0).

fx1 = (2*(x1*x1))-(5*x1)+1; // rumus untuk pemanggilan nilai f(x1).

xr = x1-(fx1*((x1-x0)/(fx1-fx0))); // rumus untuk pemanggilan nilai xr.

E = fabs((xr-x1)/xr); // rumus untuk pemanggilan nilai E.

LANJUTAN PROGRAM

gotoxy(10,k);cout<gotoxy(16,k);printf("%.3f",x0); // pemanggilan tampilan output hasil

hitungan x0.

gotoxy(22,k);printf("%.3f",x1); // pemanggilan tampilan output hasil hitungan x1.

gotoxy(28,k);printf("%.3f",xr); // pemanggilan tampilan output hasil hitungan xr.

gotoxy(34,k);printf("%.3f",fx0); // pemanggilan tampilan output hasil hitungan f(x0).

gotoxy(42,k);printf("%.3f",fx1); // pemanggilan tampilan output hasil hitungan f(x1).

gotoxy(50,k);printf("%.3f",E); // // pemanggilan tampilan output hasil hitungan E.

x0=x1; // pembacaan nilai x0 = x1.

x1=xr; // pembacaan nilai x1 = xr.

k++; //

i++; // pembacaan urutan nomor iterasi.

} // penutup program.

while(E>e); //

gotoxy(7,k);cout<<"+------------------------------------------------+"<getch();

return 0;

}

OUT PUT