modul 3 turunan fungsi
Embed Size (px)
DESCRIPTION
MODUL 3 TURUNAN FUNGSI. TURUNAN FUNGSI. Turunan fungsi f ditulis f’ adalah fungsi lain yang didefinisikan oleh :. Notasi dan pengertian turunan fungsi. Gradien garis singgung. Kecepatan sesaat. jika limitnya ada. Laju massa per satuan waktu. y. f(x+h). - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
MODUL 3TURUNAN FUNGSI
Kalkulus Prayudi Modul V : Turunan Fungsi 1
Kalkulus Prayudi Modul V : Turunan Fungsi 2
TURUNAN FUNGSITurunan fungsi f ditulis f’ adalah fungsi lain yang didefinisikan oleh :
h)x(f)hx(flim)x(f
0h
jika limitnya ada
f(x)
f(x+h)
x x+h
f(x+h)-f(x)
h
y
x
Notasi dan pengertian turunan fungsi
dxdyy Gradien garis singgung
dtdstv )( Kecepatan sesaat
dtdmm Laju massa per satuan
waktu
dtdqq Laju perubahan panas
per satuan waktu
dTdh Perubahan entalpi
akibat perubahan temperatur
dVdP Perubahan tekanan
akibat perubahan volume
Kalkulus Prayudi Modul V : Turunan Fungsi 3
Contoh Menghitung Turunan:
643)( 2 xxxf
Jawab :
Hitung f’(x)
f(x+h) = 3(x+h)2 – 4(x+h)+6 = 3x2 + 6xh + 3h2 – 4x – 4h + 6
f(x+h)-f(x) = 6xh + 3h2 – 4h
hxfhxfxf
h
)()(lim)(0
hhhxh
h
436lim2
0
)436(lim0
hxh
= 6x - 4
32)(
xxxf
3)(2)(
hxhxhxf
323)(2)()(
xx
hxhxxfhxf
)322)(32()322())(32(
hxx
hxxhxx
)322)(32(3
hxxh
)322)(32(3lim)(
0
hxxhhxf
h
2)32(
3
x
Kalkulus Prayudi Modul V : Turunan Fungsi 4
Menghitung Turunan
Grafik fungsi f(x)
Y=4x-x2
Y=4-2xY=2x
Y=2
4)x(flim2x
ada tidak )2(f
4)x(flim2x
2 )2(f
Y=5-(x-3)2Y=1.5x2–4x+6
Y=3x-4
Y=-2(x-3)
Kalkulus Prayudi Modul V : Turunan Fungsi 5
Rumus Dasar Turunan Fungsi
0)( ).1( kdxd
1)( ).2( nn nxxdxd
dxdukku
dxd )( ).3(
dxdv
dxduvu
dxd )( ).4(
dxdvu
dxduvuv
dxd )( ).5(
2 ).6(v
dxdvu
dxduv
vu
dxd
y=uv y' = u' v + uv'
2v
vuvuyvuy
Contoh-contoh(1). y=5x4 + 5x - 10
0)1(5)x4(5
)10(dxd)x(
dxd5)x(
dxd5y
3
4
(2). y = (x4 + 10)(x5 – 5)
u=x4+10u′=4x3
v=x5 – 5v′=5x4
y' = u' v + uv‘ = (4x3)(x5–5)+(x4+10)(5x4)
3
4 ).3( 4
3
xxy u=x3+4
u′=3x2v=x4 + 3v′=4x3
24
3324
)3(
)4)(4()3)(3(
x
xxxxy
Kalkulus Prayudi Modul V : Turunan Fungsi 6
Aturan RantaiMisalkan diberikan, y = (x4 + 3)6
x u=x4+3 y=u6u=g(x) y=f(u)
34xdxdu
5u6
dudy
)x4)(u6(dxdu
dudy
dxdy 35
)x4()3x(6dxdy 354
Rumus Umum
y=f(u), u = g(x) y=f(g(x))
dxdu
dudy
dxdy
Kasus kedua, y = {4+3(x4+1)5}7
x u=x4+1 v=4+3u5 y=v7u=g(x) v=h(u) y=f(v)
3x4dxdu 4u15
dudv 6v7
dvdy
)x4)(u15)(v7(dxdu
dudv
dvdy
dxdy 346
)x4}()1x(15}{)u34(7{ 34465
)x4}()1x(15}{)]1x[34(7{ 344654 Rumus Umum
y=f(v), v = h(v), u = g(x) y=f{h[g(x)]}
dxdu
dudv
dvdy
dxdy
Kalkulus Prayudi Modul V : Turunan Fungsi 7
SOAL LATIHAN
25
344
56
43
532
54
34
344/3
3/44/5-4
2/3-4/53
2/34
10
x
1xx
43x)1().10(
x
65xx
34x y).9(
)4)(43)(x(x y).8(
)24)(x2(3x y).7(
)103)(4(2x y).6(
10x x
5 - x
2 y (5).
10x 5x 3x y ).4(
10x 4x- 2x y ).3(
10x 5x -2x y (2).
4x 3x y(1).
xy
x
xx
xx
2)1)(x(x
1x y(15).
1x
x)1)(x(x y(14).
2x
1)1)(x(x y(13).
2x
4x(12).y
2x
3x y(11).
22
3
3
32
2
32
4
2
2
3
Kalkulus Prayudi Modul V : Turunan Fungsi 8
Dengan menggunakan rumus-rumus aturan rantai hitunglah, dy/dx
3
3 3
2
2
22
5723
753
534
84
x
1x(22).y
1x
x(21).y
1xx y(20).
])3x(2x[6 y(19).
]2)(x[4 y(18).
3)2x(x y(17).
2x)(x y(16).
32
22
4
3
3
2442
)1(
)1(x(25).y
1
1 y(24).
)1(2)(x y(23).
x
x
x
x
Kalkulus Prayudi Modul V : Turunan Fungsi 9
Rumus Dasar Turunan Trigonometri
dxdu ucos)u(sin
dxd ).1(
dxdu usin)u(cos
dxd ).2(
dxdu usec)u(tan
dxd ).3( 2
dxdu utan usec)u(sec
dxd ).4(
dxdu ucot ucsc)u(csc
dxd ).5(
dxdu ucsc)u(cot
dxd ).6( 2
Contoh-contoh
Hitunglah y′ dari : y=x4 sin 3xJawab u=x4, v=sin 3xu′=4x3, v′=3 cos 3xy′ = u v′ + u′v = x4(3 cos 3x) + (4x3) sin 3x
Hitunglah y′ dari :Jawab u=x, v=x+sec2xu′=1, v′=1+2sec2x tan x
)xsecx(
xy 2
22
22
)xsecx(
)xtanxsec21(x1)xsecx(y
Kalkulus Prayudi Modul V : Turunan Fungsi 10
Hitunglah y′ dari : y = cos4(x2 + 1)Jawab: y= [cos(x2+1)]4
x u=x2+1 v=cos u y=v4
x2dxdu usin
dudv 3v4
dvdy
)x2)(usin)(v4(dxdy 3
= 4(cos u)3 {–sin(x2+1) } (2x)= 4 [cos(x2+1)]3 {–sin(x2+1)} (2x)
Hitunglah y′ dari : y = cos(x2 + 1)4
Jawab: x u=x2+1 v=u4 y=cos v
x2dxdu
34ududv
vsindvdy
= (-sin u4){4(x2+1)3}(2x)= -sin(x2+1)4{4(x2+1)3}(2x)
)x2)(u4)(vsin(dxdy 3
Hitunglah y′ dari :Jawab:
3443
1xxsec
1xxsecy
x1x
xu
v=u4 w=sec v y=w3
2)1x(
1dxdu
3u4
dudv
vtanvsecdvdw
2w3dwdy
dxdu
dudv
dvdw
dwdy
dxdy
Kalkulus Prayudi Modul V : Turunan Fungsi 11
Dalam soal latihan hitunglah turunan dy/dx, untuk fungsi-fungsi berikut ini.
3
2
2
3
6
5
4
2cos).5(
4sin).4(
6sec)2().3(
4 tan)1(x y(2).
3x cosx(1).y
x
xxy
xx
xy
xxy
x
6. y = sin(2 – 3x + x3) 7. y = cos(4 – 8x + x6) 8. y = tan(x + sin x)9. y = sin(x2) cos2 x 10. y = (1 + x2)5 sec(1 + x2)11. y = tan(x2 + 1)5
12. y = cot5(x3 + 1) 13. y = (x2 + sin2 x)5 14. y = sec5(tan7(1 + x2))15.y = (3x + x3)4 sin2 x16. y = sec3(2x – x2)6
17. y = sin3[cos5(x – 3x2)]18. y = sin3 x tan4 x 19. y = sec3 x tan2 x 20. y = cos3 x cot4 x
Kalkulus Prayudi Modul V : Turunan Fungsi 12
Penurunan Secara ImplisitPersamaan fungsi Penulisan Menghitung Turunan Fungsi-------------------------------------------------------------------------------------------------(1). y = x3 – sin 4x + 10 Eksplisit Gunakan rumus-rumus dasar (2). x3 + y3 – 3xy2 = 3x2y Implisit------------------------------------------------------------------------------------------------- Langkah-langkah untuk menghitung turunan fungsi secara implisit adalah :(1)Terapkan aturan rantai pada setiap suku yang terlibat pada persamaan, (2)Kumpulkanlah suku yang memuat turunan pada ruas kiri dan yang lain di
ruas kanan, dan selesaikan persamaan turunan
Contoh : Tentukan dy/dx dari x3 + y3 – 3xy2 = 3x2y Jawab :
)yx(dxd3)xy(
dxd3)y(
dxd)x(
dxd 2233
dxdyxxy23
dxdyxy2y3
dxdyy3x3 2222
22
22
xxy2y
yxxy2dxdy
Kalkulus Prayudi Modul V : Turunan Fungsi 13
Turunan Orde-n / Tingkat Tinggi
Turunan Notasi x5 sin 2x
Pertama y 5x4 2 cos 2x
Kedua y 5(4x3) - 4 sin 2x
Ketiga y 20(3x2) - 8 cos 2x
Keempat y(4) 60(2x) 16 sin 2x
Kelima y(5) 120 (1) 32 cos 2x
Ke-n y(n)
dxdy
2
2
dx
yd
3
3
dx
yd
4
4
dx
yd
5
5
dx
yd
n
n
dx
yd
3x21
2)3x2(
2)1(
3
2
)3x2(
2)2)(1(
4
33
)3x2(
2)! 3()1(
5
44
)3x2(
2)! 4()1(
6
55
32251
)()! ()(
x
1n
nn
)3x2(
2)! n()1(
Kalkulus Prayudi Modul V : Turunan Fungsi 14
Dalam soal-soal berikut ini tentukan turunan pertama, kedua, dan ketiga dari :
ba
b
a
b
b
b
xxy
axy
bxy
axy
axxy
axxy
)1().16(
cos ).15(
sin ).14(
sec ).13(
sin ).12(
cos ).11(
Tentukan rumus turunan orde-n dari :
2
3
)(
1 ).5(
).4(
).3(
cos ).2(sin ).1(
baxy
bxay
baxy
bxybxy
xy
xxy
xy
xy
xxy
xxy
xxy
xy
xxy
xxy
4
4
3
3
3
4 34
53
43
4
24
sec)10(
3cos)9(
tan)8(
cos)7(
5sin)6(
)28(
1)5(
)14()25()4(
)2()3(
34)2(
103)1(
Kalkulus Prayudi Modul V : Turunan Fungsi 15
Soal latihan Khusus
x+b
ay
Soal 1.Diketahui, tan y = (x+b)/a, hitung turunan pertama, kedua dan ketiga dari
2
22
aabxbxyy
)()(tansec
x+b a
Soal 2.Hitung turunan pertama, kedua dan ketiga dari
22 abx
bxy
)(
)(sec
Kalkulus Prayudi Modul V : Turunan Fungsi 16
Deferensial dan Hampiran
Diferensial. Andaikan y = f(x) terdiferensialkan di x, dan andaikan bahwa dx diferensial dari variabel bebas x, yang menyatakan pertambahan sembarang dari x. Diferensial dari variabel tak bebas y ditulis dy didefinisikan oleh : dy = f (x) dx
Hubungan antara diferensial dan turunan adalah :1) Karena dy = f (x) dx, dengan membagi kedua ruas dengan dx, dihasilkan :
Dari persamaan diatas, dapat ditafsirkan bahwa turunan merupakan hasil bagi dua diferensial.
dxdy)x(f
2) Aturan diferensial diperoleh dari aturan turunan fungsi dan mengalikan dengan dx.
3) Definisi dy berlaku juga dengan mengasumsikan bahwa variabel x dan y variabel bebas
Kalkulus Prayudi Modul V : Turunan Fungsi 17
HampiranPerhatikanlah sketsa berikut ini
x x+x
f(x)
f(x+x)
dy
y
Soal-soal1) Sebelum tangki berbentuk
silinder dengan ujung-ujungnya berbentuk setengah bola. Silinder panjangnya 100 cm dan jari-jarinya 18 cm. Berapakah cat yang diperlukan untuk melapisi bagian luar tangki dengan ketebalan 1 milimeter.
2) Semua sisi kotak baja berbentuk kubus tebalnya 0,25 inci, dan volume kotak sebelah dalam adalah 49 inci kubik. Gunakanlah diferensial untuk mencari aproksimasi volume baja yang digunakan untuk membuat kotak.
Jika x mendapat tambahan x, maka y mendapatkan tambahan sebesar y, dimana dapat dihampiri oleh dy, dimana y = f(x + x) – f(x). Jadi :
f(x + x) f(x) + dy = f(x) + f (x) x
Kalkulus Prayudi Modul IX Fungsi Transendent 18
FUNGSI TRANSENDENTFUNGSI LOGARITMA ASLI
t=1 t=xt
y
t1y
R
Menurut definisi integral tentu :
x
1dt
t1)R(A
A(R) = 0, jika x = 1A(R) > 0, jika x >1A(R) < 0, jika x < 1
DefinisiFungsi logaritma asli ditulis ln adalah fungsi yang didefinisikan oleh,
x
1dt
t1xln
Sifat-sifat Logaritma AsliApabila a dan b adalah bilangan-bilangan positif dan r sebuah bilangan rasional, maka :(1). ln 1 = 0(2). ln ab = ln a + ln b
alnraln).4(
blnalnbaln).3(
r
Kalkulus Prayudi Modul IX Fungsi Transendent 19
Turunan Fungsi Logaritma Asli Dengan menerapkan Teorema dasar Kalkulus dihasilkan
x1dt
t1
dxd)x(ln
dxd x
1
Jika u fungsi dari x yang diferensiabel dan u(x) > 0, maka
dxdu
u1)u(ln
dxd
Contoh : Hitung dy/dx dari y = ln(x2 + 4x + 5)Jawab :Ambil, u = x2 + 4x + 5. 4x2
dxdu
)4x2(5x4x
1dxdy
2
Contoh : Hitung dy/dx dari y = ln(1 + x2)(1 + x3)Jawab :Cara 1. Ambil u = (1 + x2)(1 + x3)
)x3)(x1()x1)(x2(dxdu 223
)x1)(x1(
)x1(x3)x1(x2dxdy
32
223
Cara 2. Dengan sifat logaritma y = ln(1 + x2)(1 + x3) = ln(1+ x2) + ln(1+x3)Maka :
)x1)(x1(
)x1(x3)x1(x2
x1
x3
x1
x2dxdy
32
223
3
2
2
Kalkulus Prayudi Modul IX Fungsi Transendent 20
Grafik Fungsi Logaritma
sifat-sifat fungsi logaritma asli, yaitu :
(1)Fungsi kontinu si semua bilangan riil yang terletak pada daerah asal, x > 0
(2)Grafik fungsinya naik pada seluruh daerah asal, karena f (x) = 1/x selalu positif atau lebih besar 0.
(3)Grafik fungsinya cekung terbuka kebawah untuk semua titik pada daerah asal, karena f (x) = –1/x2 selalu negatif atau lebih kecil dari 0
(4)Asimtot grafik adalah sumbu y negatif, dan grafik fungsinya terketak pada kuadran keempat
Contoh grafik fungsi logaritma
y=ln x
y = x ln xy
x
Kalkulus Prayudi Modul IX Fungsi Transendent 21
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-30
-20
-10
0
10
20
30
40
50
Contoh Grafik Y = 100 x–2 ln x
Kalkulus Prayudi Modul IX Fungsi Transendent 22
Diferensial LogaritmikMenghitung turunan fungsi dengan menggunakan sifat-sifat logaritma dan penurunan fungsi secara implisit
Contoh : Hitunglah dy/dx dari y = x3 cos4x (1 + sin x)5 Jawab :ln y = ln{x3 cos4x (1 + sin x)5} = ln x3+ ln cos4x +ln(1 + sin x)5
= 3 ln x+4 ln cos x+5ln(1+sin x)Diferensial secara implisit
xsin1xcos5
xcos)xsin(4
x3
dxdy
y1
xsin1xcos5
xcosxsin4
x3y
dxdy
Contoh : Hitung dy/dx dari
3
3 24
)xtanx(
)xcos2(xy
Jawab
)xtanxln(3)xcos2ln(32xln4
)xtanxln()xcos2ln(xln
)xtanx(
)xcos2(xlnyln
33/24
3
3 24
Diferensial secara implisit
xtanx)xsec1(3
)xcos2(3)xsin2
x4
dxdy
y1 2
xtanx)xsec1(3
)xcos2(3xsin2
x4y
dxdy 2
Kalkulus Prayudi Modul IX Fungsi Transendent 23
FUNGSI EKSPONENSIAL ASLIFungsi eksponensial asli ditulis exp(x) didefinisikan oleh :
y = exp(x) = ex x = ln y
Sifat-sifat eskponensial asli :(1). exp(ln x) = eln x = x, x > 0(2). ln(exp x) = ln(ex) = x, (3). e0 = 1(4). ln e = 1(5). ea eb = ea+b (6). (ea)b = eab
bab
ae
e
e).7(
y
y = ln x
y=xy=ex
Sketsa grafik
Kalkulus Prayudi Modul IX Fungsi Transendent 24
Rumus turunan
dxduee
dxd
aeedxdee
dxd
uu
axaxxx
)().3(
)()2()().1(
Contoh : Hitunglah dy/dx dariJawabMisalkan, u = x4 ln x, y = eu
xlnx4ey
33 xxlnx4dxdu
Maka :
)xxlnx4(e
dxdue
dxdy
33xlnx
u
4
Contoh : Hitunglah turunan ketiga dari JawabDengan aturan rantai, dihasilkan
2xey
2xxe2dxdy
2
22
x2
xx2
2
e)x42(
)x2(xe2e2dx
yd
2
22
x3
x2x3
3
e)x8x12(
)x2(e)x42(xe8dx
yd
Kalkulus Prayudi Modul IX Fungsi Transendent 25
Contoh : sketsa grafik fungsi, y = 4 x2 e–0.5x
-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Soal-soal latihanHitunglah turunan pertama, kedua dan ketiga dari :
32
4
3
24
43
34
43
2332
44
34
3
)10(
3cos)9(
4sin)8(
)7(
)6(
)1(
)1(ln)5(
)1()1ln()4(
)1ln()1()3(
)68ln()2(
)46ln()1(
x
x
x
x
x
ey
xey
xey
exy
exy
x
xy
xxy
xxy
xxy
xxy
bx
ax
bxa
ba
b
a
eaxy
ebxy
exy
xxy
xaxy
xbxy
cos )16(
sin )15(
)14(
)(ln )13(
)lnsin( )12(
)lncos( )11(
Kalkulus Prayudi Modul IX Fungsi Transendent 27
Soal Latihan : Hitunglah dy/dx dari :
a
ba
bxx
ba
ba
bx
x
xa
bxax
bxxy
xaxy
xx
bxxxy
x
bxy
xxy
b
a
b
)tan(sec
)cos()5(
)(sin)4(
tansin
)sec()3(
)(tan )2(
)sec( )1(
cos
cos
Kalkulus Prayudi Modul IX Fungsi Transendent 28
FUNGSI INVERS FUNGSI TRIGONOMETRI
Definisi :(1). y = sin–1x x = sin y(2). y = cos–1x x = cos y(3). y = tan–1x x = tan y (4). y = sec–1x x = sec y (5). y = csc–1x x = csc y(6). y = cot–1x x = cot y
Catatan :(i). cos–1x = arc cos x(ii). cos–1x (cos x)–1
xsecxcos
1)x).(cosiii( 1
Grafik Fungsi Invers Trigonometri
y=tan–1 x
y=sin–1x
y
x
Kalkulus Prayudi Modul IX Fungsi Transendent 29
Rumus Umum Turunan Fungsi Invers Trigonometri
dxdu
1uu
1ucscdxd ).6(
dxdu
1uu
1usecdxd ).5(
dxdu
1u
1ucotdxd ).4(
dxdu
1u
1utandxd ).3(
dxdu
u1
1ucosdxd ).2(
dxdu
u1
1usindxd ).1(
21
21
21
21
21
21
Contoh Hitunglah turunan ketiga dari y=x2 sin–1x + x Jawab :
2
21
x1
xxsinx2dxdy
2
22
x1
xx1
21 x1xsinx2
21
2
2
x1
xxsin2dx
yd
2/32
2
2/32
2
23
3
)x1(
x23
)x1(
x
x1
3
dx
yd
21 x
Kalkulus Prayudi Modul IX Fungsi Transendent 30
Contoh Hitunglah turunan ketiga dari y= 2x2 tan–1x – x ln(1+ x2 ) Jawab :
2
21
x1
x2xtanx4dxdy
2
22
x1
x2)x1ln(
= 4x tan–1x – ln(1+ x2)
21
2
2
x1
x2xtan4dx
yd
22
2
22
2
23
3
)x1(
x26
)x1(
x4
x1
6
dx
yd
Contoh Hitunglah turunan dari
Jawab : 1x
xsecy2
1
1x
xu 2
2
22 )1x(
x2dxdu
uv u2
1dudv
y = sec–1v1vv
1dvdy
2
dxdu
dudv
dvdy
dxdy
1vv
12
u2
122 )1x(
x2
Kalkulus Prayudi Modul V : Turunan Fungsi 31
)ln()/(tan2)5(
))ln(()(tan)(2)4(
)(sec)()3(
)/(sin)2(
)ln()/(cos )1(
2212
2212
2212
2212
2212
axaxxaxy
baxaxbb
axaxy
baxbb
axaxy
axaxaxy
axxaxxaxy
SOAL-SOAL LATIHANTentukanlah turunan pertama kedua dan ketiga dari,