modul 3 turunan fungsi

Download MODUL 3 TURUNAN FUNGSI

Post on 23-Feb-2016

319 views

Category:

Documents

4 download

Embed Size (px)

DESCRIPTION

MODUL 3 TURUNAN FUNGSI. TURUNAN FUNGSI. Turunan fungsi f ditulis f’ adalah fungsi lain yang didefinisikan oleh :. Notasi dan pengertian turunan fungsi. Gradien garis singgung. Kecepatan sesaat. jika limitnya ada. Laju massa per satuan waktu. y. f(x+h). - PowerPoint PPT Presentation

TRANSCRIPT

Slide 1

MODUL 3TURUNAN FUNGSIKalkulus PrayudiModul V : Turunan Fungsi1Kalkulus PrayudiModul V : Turunan Fungsi2TURUNAN FUNGSITurunan fungsi f ditulis f adalah fungsi lain yang didefinisikan oleh :

jika limitnya adaf(x)f(x+h)xx+hf(x+h)-f(x)hyxNotasi dan pengertian turunan fungsi

Gradien garis singgung

Kecepatan sesaat

Laju massa per satuan waktu

Laju perubahan panas per satuan waktu

Perubahan entalpi akibat perubahan temperatur

Perubahan tekanan akibat perubahan volumeKalkulus PrayudiModul V : Turunan Fungsi3Contoh Menghitung Turunan:

Jawab :Hitung f(x)f(x+h) = 3(x+h)2 4(x+h)+6 = 3x2 + 6xh + 3h2 4x 4h + 6 f(x+h)-f(x) = 6xh + 3h2 4h

= 6x - 4

Kalkulus PrayudiModul V : Turunan Fungsi4Menghitung TurunanGrafik fungsi f(x)

Y=4x-x2Y=4-2xY=2xY=2

Y=5-(x-3)2Y=1.5x24x+6Y=3x-4Y=-2(x-3)Kalkulus PrayudiModul V : Turunan Fungsi5Rumus Dasar Turunan Fungsi

y=uv y' = u' v + uv'

Contoh-contoh(1). y=5x4 + 5x - 10

(2). y = (x4 + 10)(x5 5)u=x4+10u=4x3v=x5 5v=5x4 y' = u' v + uv = (4x3)(x55)+(x4+10)(5x4)

u=x3+4u=3x2v=x4 + 3v=4x3

Kalkulus PrayudiModul V : Turunan Fungsi6Aturan RantaiMisalkan diberikan, y = (x4 + 3)6 xu=x4+3y=u6u=g(x)y=f(u)

Rumus Umum

y=f(u), u = g(x) y=f(g(x))

Kasus kedua, y = {4+3(x4+1)5}7xu=x4+1v=4+3u5y=v7u=g(x)v=h(u)y=f(v)

Rumus Umum

y=f(v), v = h(v), u = g(x) y=f{h[g(x)]}

Kalkulus PrayudiModul V : Turunan Fungsi7SOAL LATIHAN

Kalkulus PrayudiModul V : Turunan Fungsi8Dengan menggunakan rumus-rumus aturan rantai hitunglah, dy/dx

Kalkulus PrayudiModul V : Turunan Fungsi9Rumus Dasar Turunan Trigonometri

Contoh-contohHitunglah y dari : y=x4 sin 3xJawab u=x4, v=sin 3xu=4x3, v=3 cos 3xy = u v + uv = x4(3 cos 3x) + (4x3) sin 3xHitunglah y dari :Jawab u=x, v=x+sec2xu=1, v=1+2sec2x tan x

Kalkulus PrayudiModul V : Turunan Fungsi10Hitunglah y dari : y = cos4(x2 + 1)Jawab: y= [cos(x2+1)]4xu=x2+1v=cos uy=v4

= 4(cos u)3 {sin(x2+1) } (2x)= 4 [cos(x2+1)]3 {sin(x2+1)} (2x) Hitunglah y dari : y = cos(x2 + 1)4Jawab: xu=x2+1v=u4y=cos v

= (-sin u4){4(x2+1)3}(2x)= -sin(x2+1)4{4(x2+1)3}(2x)

Hitunglah y dari :Jawab:

x

v=u4w=sec vy=w3

Kalkulus PrayudiModul V : Turunan Fungsi11Dalam soal latihan hitunglah turunan dy/dx, untuk fungsi-fungsi berikut ini.

6. y = sin(2 3x + x3) 7. y = cos(4 8x + x6) 8. y = tan(x + sin x)y = sin(x2) cos2 x y = (1 + x2)5 sec(1 + x2) y = tan(x2 + 1)512. y = cot5(x3 + 1) 13. y = (x2 + sin2 x)5 14. y = sec5(tan7(1 + x2))y = (3x + x3)4 sin2 x y = sec3(2x x2)6 y = sin3[cos5(x 3x2)]18. y = sin3 x tan4 x 19. y = sec3 x tan2 x 20. y = cos3 x cot4 xKalkulus PrayudiModul V : Turunan Fungsi12Penurunan Secara ImplisitPersamaan fungsi Penulisan Menghitung Turunan Fungsi-------------------------------------------------------------------------------------------------(1). y = x3 sin 4x + 10 Eksplisit Gunakan rumus-rumus dasar (2). x3 + y3 3xy2 = 3x2y Implisit------------------------------------------------------------------------------------------------- Langkah-langkah untuk menghitung turunan fungsi secara implisit adalah :Terapkan aturan rantai pada setiap suku yang terlibat pada persamaan, Kumpulkanlah suku yang memuat turunan pada ruas kiri dan yang lain di ruas kanan, dan selesaikan persamaan turunan Contoh : Tentukan dy/dx dari x3 + y3 3xy2 = 3x2y Jawab :

Kalkulus PrayudiModul V : Turunan Fungsi13Turunan Orde-n / Tingkat TinggiTurunanNotasix5sin 2xPertamay 5x42 cos 2xKeduay 5(4x3)- 4 sin 2x Ketigay 20(3x2)- 8 cos 2xKeempaty(4) 60(2x)16 sin 2xKelimay(5)120 (1)32 cos 2xKe-ny(n)

Kalkulus PrayudiModul V : Turunan Fungsi14Dalam soal-soal berikut ini tentukan turunan pertama, kedua, dan ketiga dari :

Tentukan rumus turunan orde-n dari :

Kalkulus PrayudiModul V : Turunan Fungsi15Soal latihan Khususx+baySoal 1.Diketahui, tan y = (x+b)/a, hitung turunan pertama, kedua dan ketiga dari

x+baSoal 2.Hitung turunan pertama, kedua dan ketiga dari

Kalkulus PrayudiModul V : Turunan Fungsi16Deferensial dan HampiranDiferensial. Andaikan y = f(x) terdiferensialkan di x, dan andaikan bahwa dx diferensial dari variabel bebas x, yang menyatakan pertambahan sembarang dari x. Diferensial dari variabel tak bebas y ditulis dy didefinisikan oleh : dy = f (x) dxHubungan antara diferensial dan turunan adalah :1) Karena dy = f (x) dx, dengan membagi kedua ruas dengan dx, dihasilkan : Dari persamaan diatas, dapat ditafsirkan bahwa turunan merupakan hasil bagi dua diferensial.

Aturan diferensial diperoleh dari aturan turunan fungsi dan mengalikan dengan dx. Definisi dy berlaku juga dengan mengasumsikan bahwa variabel x dan y variabel bebas Kalkulus PrayudiModul V : Turunan Fungsi17HampiranPerhatikanlah sketsa berikut ini xx+xf(x)f(x+x)dyySoal-soalSebelum tangki berbentuk silinder dengan ujung-ujungnya berbentuk setengah bola. Silinder panjangnya 100 cm dan jari-jarinya 18 cm. Berapakah cat yang diperlukan untuk melapisi bagian luar tangki dengan ketebalan 1 milimeter.Semua sisi kotak baja berbentuk kubus tebalnya 0,25 inci, dan volume kotak sebelah dalam adalah 49 inci kubik. Gunakanlah diferensial untuk mencari aproksimasi volume baja yang digunakan untuk membuat kotak.Jika x mendapat tambahan x, maka y mendapatkan tambahan sebesar y, dimana dapat dihampiri oleh dy, dimana y = f(x + x) f(x). Jadi :

f(x + x) f(x) + dy = f(x) + f (x) x

Kalkulus PrayudiModul IX Fungsi Transendent18FUNGSI TRANSENDENTFUNGSI LOGARITMA ASLI

t=1t=xty

RMenurut definisi integral tentu :

A(R) = 0, jika x = 1A(R) > 0, jika x >1A(R) < 0, jika x < 1DefinisiFungsi logaritma asli ditulis ln adalah fungsi yang didefinisikan oleh,

Sifat-sifat Logaritma AsliApabila a dan b adalah bilangan-bilangan positif dan r sebuah bilangan rasional, maka :(1). ln 1 = 0(2). ln ab = ln a + ln b

Kalkulus PrayudiModul IX Fungsi Transendent19Turunan Fungsi Logaritma Asli Dengan menerapkan Teorema dasar Kalkulus dihasilkan

Jika u fungsi dari x yang diferensiabel dan u(x) > 0, maka

Contoh : Hitung dy/dx dari y = ln(x2 + 4x + 5)Jawab :Ambil, u = x2 + 4x + 5.

Contoh : Hitung dy/dx dari y = ln(1 + x2)(1 + x3)Jawab :Cara 1. Ambil u = (1 + x2)(1 + x3)

Cara 2. Dengan sifat logaritma y = ln(1 + x2)(1 + x3) = ln(1+ x2) + ln(1+x3)Maka :

Kalkulus PrayudiModul IX Fungsi Transendent20Grafik Fungsi Logaritma

sifat-sifat fungsi logaritma asli, yaitu :Fungsi kontinu si semua bilangan riil yang terletak pada daerah asal, x > 0 Grafik fungsinya naik pada seluruh daerah asal, karena f (x) = 1/x selalu positif atau lebih besar 0.Grafik fungsinya cekung terbuka kebawah untuk semua titik pada daerah asal, karena f (x) = 1/x2 selalu negatif atau lebih kecil dari 0 Asimtot grafik adalah sumbu y negatif, dan grafik fungsinya terketak pada kuadran keempat

Contoh grafik fungsi logaritmay=ln xy = x ln xyxKalkulus PrayudiModul IX Fungsi Transendent21

Contoh Grafik Y = 100 x2 ln x Kalkulus PrayudiModul IX Fungsi Transendent22Diferensial LogaritmikMenghitung turunan fungsi dengan menggunakan sifat-sifat logaritma dan penurunan fungsi secara implisit

Contoh : Hitunglah dy/dx dari y = x3 cos4x (1 + sin x)5 Jawab :ln y = ln{x3 cos4x (1 + sin x)5} = ln x3+ ln cos4x +ln(1 + sin x)5 = 3 ln x+4 ln cos x+5ln(1+sin x)Diferensial secara implisit

Contoh : Hitung dy/dx dari

Jawab

Diferensial secara implisit

Kalkulus PrayudiModul IX Fungsi Transendent23FUNGSI EKSPONENSIAL ASLIFungsi eksponensial asli ditulis exp(x) didefinisikan oleh :

y = exp(x) = ex x = ln y

Sifat-sifat eskponensial asli :(1). exp(ln x) = eln x = x, x > 0(2). ln(exp x) = ln(ex) = x, (3). e0 = 1(4). ln e = 1(5). ea eb = ea+b (6). (ea)b = eab

yy = ln xy=xy=exSketsa grafik Kalkulus PrayudiModul IX Fungsi Transendent24Rumus turunan

Contoh : Hitunglah dy/dx dariJawabMisalkan, u = x4 ln x, y = eu

Maka :

Contoh : Hitunglah turunan ketiga dari JawabDengan aturan rantai, dihasilkan

Kalkulus PrayudiModul IX Fungsi Transendent25Contoh : sketsa grafik fungsi, y = 4 x2 e0.5x

Soal-soal latihanHitunglah turunan pertama, kedua dan ketiga dari :

Kalkulus PrayudiModul IX Fungsi Transendent27Soal Latihan : Hitunglah dy/dx dari :

Kalkulus PrayudiModul IX Fungsi Transendent28FUNGSI INVERS FUNGSI TRIGONOMETRI

Definisi :(1). y = sin1x x = sin y(2). y = cos1x x = cos y(3). y = tan1x x = tan y (4). y = sec1x x = sec y (5). y = csc1x x = csc y(6). y = cot1x x = cot y

Catatan :(i). cos1x = arc cos x(ii). cos1x (cos x)1

Grafik Fungsi Invers Trigonometri

y=tan1 xy=sin1x yxKalkulus PrayudiModul IX Fungsi Transendent29Rumus Umum Turunan Fungsi Invers Trigonometri

Contoh Hitunglah turunan ketiga dari y=x2 sin1x + x Jawab :

Kalkulus PrayudiModul IX Fungsi Transendent30Contoh Hitunglah turunan ketiga dari y= 2x2 tan1x x ln(1+ x2 ) Jawab :

= 4x tan1x ln(1+ x2)

Contoh Hitunglah turunan dari

Jawab :

y = sec1v

Kalkulus PrayudiModul V : Turunan Fungsi31

SOAL-SOAL LATIHANTentukanlah turunan pertama kedua dan ketiga dari,