modul 3 turunan fungsi

31
MODUL 3 TURUNAN FUNGSI Kalkulus Prayudi Modul V : Turunan Fungsi 1

Upload: rich

Post on 23-Feb-2016

366 views

Category:

Documents


4 download

DESCRIPTION

MODUL 3 TURUNAN FUNGSI. TURUNAN FUNGSI. Turunan fungsi f ditulis f’ adalah fungsi lain yang didefinisikan oleh :. Notasi dan pengertian turunan fungsi. Gradien garis singgung. Kecepatan sesaat. jika limitnya ada. Laju massa per satuan waktu. y. f(x+h). - PowerPoint PPT Presentation

TRANSCRIPT

Page 1: MODUL 3 TURUNAN FUNGSI

MODUL 3TURUNAN FUNGSI

Kalkulus Prayudi Modul V : Turunan Fungsi 1

Page 2: MODUL 3 TURUNAN FUNGSI

Kalkulus Prayudi Modul V : Turunan Fungsi 2

TURUNAN FUNGSITurunan fungsi f ditulis f’ adalah fungsi lain yang didefinisikan oleh :

h)x(f)hx(flim)x(f

0h

jika limitnya ada

f(x)

f(x+h)

x x+h

f(x+h)-f(x)

h

y

x

Notasi dan pengertian turunan fungsi

dxdyy Gradien garis singgung

dtdstv )( Kecepatan sesaat

dtdmm Laju massa per satuan

waktu

dtdqq Laju perubahan panas

per satuan waktu

dTdh Perubahan entalpi

akibat perubahan temperatur

dVdP Perubahan tekanan

akibat perubahan volume

Page 3: MODUL 3 TURUNAN FUNGSI

Kalkulus Prayudi Modul V : Turunan Fungsi 3

Contoh Menghitung Turunan:

643)( 2 xxxf

Jawab :

Hitung f’(x)

f(x+h) = 3(x+h)2 – 4(x+h)+6 = 3x2 + 6xh + 3h2 – 4x – 4h + 6

f(x+h)-f(x) = 6xh + 3h2 – 4h

hxfhxfxf

h

)()(lim)(0

hhhxh

h

436lim2

0

)436(lim0

hxh

= 6x - 4

32)(

xxxf

3)(2)(

hxhxhxf

323)(2)()(

xx

hxhxxfhxf

)322)(32()322())(32(

hxx

hxxhxx

)322)(32(3

hxxh

)322)(32(3lim)(

0

hxxhhxf

h

2)32(

3

x

Page 4: MODUL 3 TURUNAN FUNGSI

Kalkulus Prayudi Modul V : Turunan Fungsi 4

Menghitung Turunan

Grafik fungsi f(x)

Y=4x-x2

Y=4-2xY=2x

Y=2

4)x(flim2x

ada tidak )2(f

4)x(flim2x

2 )2(f

Y=5-(x-3)2Y=1.5x2–4x+6

Y=3x-4

Y=-2(x-3)

Page 5: MODUL 3 TURUNAN FUNGSI

Kalkulus Prayudi Modul V : Turunan Fungsi 5

Rumus Dasar Turunan Fungsi

0)( ).1( kdxd

1)( ).2( nn nxxdxd

dxdukku

dxd )( ).3(

dxdv

dxduvu

dxd )( ).4(

dxdvu

dxduvuv

dxd )( ).5(

2 ).6(v

dxdvu

dxduv

vu

dxd

y=uv y' = u' v + uv'

2v

vuvuyvuy

Contoh-contoh(1). y=5x4 + 5x - 10

0)1(5)x4(5

)10(dxd)x(

dxd5)x(

dxd5y

3

4

(2). y = (x4 + 10)(x5 – 5)

u=x4+10u′=4x3

v=x5 – 5v′=5x4

y' = u' v + uv‘ = (4x3)(x5–5)+(x4+10)(5x4)

3

4 ).3( 4

3

xxy u=x3+4

u′=3x2v=x4 + 3v′=4x3

24

3324

)3(

)4)(4()3)(3(

x

xxxxy

Page 6: MODUL 3 TURUNAN FUNGSI

Kalkulus Prayudi Modul V : Turunan Fungsi 6

Aturan RantaiMisalkan diberikan, y = (x4 + 3)6

x u=x4+3 y=u6u=g(x) y=f(u)

34xdxdu

5u6

dudy

)x4)(u6(dxdu

dudy

dxdy 35

)x4()3x(6dxdy 354

Rumus Umum

y=f(u), u = g(x) y=f(g(x))

dxdu

dudy

dxdy

Kasus kedua, y = {4+3(x4+1)5}7

x u=x4+1 v=4+3u5 y=v7u=g(x) v=h(u) y=f(v)

3x4dxdu 4u15

dudv 6v7

dvdy

)x4)(u15)(v7(dxdu

dudv

dvdy

dxdy 346

)x4}()1x(15}{)u34(7{ 34465

)x4}()1x(15}{)]1x[34(7{ 344654 Rumus Umum

y=f(v), v = h(v), u = g(x) y=f{h[g(x)]}

dxdu

dudv

dvdy

dxdy

Page 7: MODUL 3 TURUNAN FUNGSI

Kalkulus Prayudi Modul V : Turunan Fungsi 7

SOAL LATIHAN

25

344

56

43

532

54

34

344/3

3/44/5-4

2/3-4/53

2/34

10

x

1xx

43x)1().10(

x

65xx

34x y).9(

)4)(43)(x(x y).8(

)24)(x2(3x y).7(

)103)(4(2x y).6(

10x x

5 - x

2 y (5).

10x 5x 3x y ).4(

10x 4x- 2x y ).3(

10x 5x -2x y (2).

4x 3x y(1).

xy

x

xx

xx

2)1)(x(x

1x y(15).

1x

x)1)(x(x y(14).

2x

1)1)(x(x y(13).

2x

4x(12).y

2x

3x y(11).

22

3

3

32

2

32

4

2

2

3

Page 8: MODUL 3 TURUNAN FUNGSI

Kalkulus Prayudi Modul V : Turunan Fungsi 8

Dengan menggunakan rumus-rumus aturan rantai hitunglah, dy/dx

3

3 3

2

2

22

5723

753

534

84

x

1x(22).y

1x

x(21).y

1xx y(20).

])3x(2x[6 y(19).

]2)(x[4 y(18).

3)2x(x y(17).

2x)(x y(16).

32

22

4

3

3

2442

)1(

)1(x(25).y

1

1 y(24).

)1(2)(x y(23).

x

x

x

x

Page 9: MODUL 3 TURUNAN FUNGSI

Kalkulus Prayudi Modul V : Turunan Fungsi 9

Rumus Dasar Turunan Trigonometri

dxdu ucos)u(sin

dxd ).1(

dxdu usin)u(cos

dxd ).2(

dxdu usec)u(tan

dxd ).3( 2

dxdu utan usec)u(sec

dxd ).4(

dxdu ucot ucsc)u(csc

dxd ).5(

dxdu ucsc)u(cot

dxd ).6( 2

Contoh-contoh

Hitunglah y′ dari : y=x4 sin 3xJawab u=x4, v=sin 3xu′=4x3, v′=3 cos 3xy′ = u v′ + u′v = x4(3 cos 3x) + (4x3) sin 3x

Hitunglah y′ dari :Jawab u=x, v=x+sec2xu′=1, v′=1+2sec2x tan x

)xsecx(

xy 2

22

22

)xsecx(

)xtanxsec21(x1)xsecx(y

Page 10: MODUL 3 TURUNAN FUNGSI

Kalkulus Prayudi Modul V : Turunan Fungsi 10

Hitunglah y′ dari : y = cos4(x2 + 1)Jawab: y= [cos(x2+1)]4

x u=x2+1 v=cos u y=v4

x2dxdu usin

dudv 3v4

dvdy

)x2)(usin)(v4(dxdy 3

= 4(cos u)3 {–sin(x2+1) } (2x)= 4 [cos(x2+1)]3 {–sin(x2+1)} (2x)

Hitunglah y′ dari : y = cos(x2 + 1)4

Jawab: x u=x2+1 v=u4 y=cos v

x2dxdu

34ududv

vsindvdy

= (-sin u4){4(x2+1)3}(2x)= -sin(x2+1)4{4(x2+1)3}(2x)

)x2)(u4)(vsin(dxdy 3

Hitunglah y′ dari :Jawab:

3443

1xxsec

1xxsecy

x1x

xu

v=u4 w=sec v y=w3

2)1x(

1dxdu

3u4

dudv

vtanvsecdvdw

2w3dwdy

dxdu

dudv

dvdw

dwdy

dxdy

Page 11: MODUL 3 TURUNAN FUNGSI

Kalkulus Prayudi Modul V : Turunan Fungsi 11

Dalam soal latihan hitunglah turunan dy/dx, untuk fungsi-fungsi berikut ini.

3

2

2

3

6

5

4

2cos).5(

4sin).4(

6sec)2().3(

4 tan)1(x y(2).

3x cosx(1).y

x

xxy

xx

xy

xxy

x

6. y = sin(2 – 3x + x3) 7. y = cos(4 – 8x + x6) 8. y = tan(x + sin x)9. y = sin(x2) cos2 x 10. y = (1 + x2)5 sec(1 + x2)11. y = tan(x2 + 1)5

12. y = cot5(x3 + 1) 13. y = (x2 + sin2 x)5 14. y = sec5(tan7(1 + x2))15.y = (3x + x3)4 sin2 x16. y = sec3(2x – x2)6

17. y = sin3[cos5(x – 3x2)]18. y = sin3 x tan4 x 19. y = sec3 x tan2 x 20. y = cos3 x cot4 x

Page 12: MODUL 3 TURUNAN FUNGSI

Kalkulus Prayudi Modul V : Turunan Fungsi 12

Penurunan Secara ImplisitPersamaan fungsi Penulisan Menghitung Turunan Fungsi-------------------------------------------------------------------------------------------------(1). y = x3 – sin 4x + 10 Eksplisit Gunakan rumus-rumus dasar (2). x3 + y3 – 3xy2 = 3x2y Implisit------------------------------------------------------------------------------------------------- Langkah-langkah untuk menghitung turunan fungsi secara implisit adalah :(1)Terapkan aturan rantai pada setiap suku yang terlibat pada persamaan, (2)Kumpulkanlah suku yang memuat turunan pada ruas kiri dan yang lain di

ruas kanan, dan selesaikan persamaan turunan

Contoh : Tentukan dy/dx dari x3 + y3 – 3xy2 = 3x2y Jawab :

)yx(dxd3)xy(

dxd3)y(

dxd)x(

dxd 2233

dxdyxxy23

dxdyxy2y3

dxdyy3x3 2222

22

22

xxy2y

yxxy2dxdy

Page 13: MODUL 3 TURUNAN FUNGSI

Kalkulus Prayudi Modul V : Turunan Fungsi 13

Turunan Orde-n / Tingkat Tinggi

Turunan Notasi x5 sin 2x

Pertama y 5x4 2 cos 2x

Kedua y 5(4x3) - 4 sin 2x

Ketiga y 20(3x2) - 8 cos 2x

Keempat y(4) 60(2x) 16 sin 2x

Kelima y(5) 120 (1) 32 cos 2x

Ke-n y(n)

dxdy

2

2

dx

yd

3

3

dx

yd

4

4

dx

yd

5

5

dx

yd

n

n

dx

yd

3x21

2)3x2(

2)1(

3

2

)3x2(

2)2)(1(

4

33

)3x2(

2)! 3()1(

5

44

)3x2(

2)! 4()1(

6

55

32251

)()! ()(

x

1n

nn

)3x2(

2)! n()1(

Page 14: MODUL 3 TURUNAN FUNGSI

Kalkulus Prayudi Modul V : Turunan Fungsi 14

Dalam soal-soal berikut ini tentukan turunan pertama, kedua, dan ketiga dari :

ba

b

a

b

b

b

xxy

axy

bxy

axy

axxy

axxy

)1().16(

cos ).15(

sin ).14(

sec ).13(

sin ).12(

cos ).11(

Tentukan rumus turunan orde-n dari :

2

3

)(

1 ).5(

).4(

).3(

cos ).2(sin ).1(

baxy

bxay

baxy

bxybxy

xy

xxy

xy

xy

xxy

xxy

xxy

xy

xxy

xxy

4

4

3

3

3

4 34

53

43

4

24

sec)10(

3cos)9(

tan)8(

cos)7(

5sin)6(

)28(

1)5(

)14()25()4(

)2()3(

34)2(

103)1(

Page 15: MODUL 3 TURUNAN FUNGSI

Kalkulus Prayudi Modul V : Turunan Fungsi 15

Soal latihan Khusus

x+b

ay

Soal 1.Diketahui, tan y = (x+b)/a, hitung turunan pertama, kedua dan ketiga dari

2

22

aabxbxyy

)()(tansec

x+b a

Soal 2.Hitung turunan pertama, kedua dan ketiga dari

22 abx

bxy

)(

)(sec

Page 16: MODUL 3 TURUNAN FUNGSI

Kalkulus Prayudi Modul V : Turunan Fungsi 16

Deferensial dan Hampiran

Diferensial. Andaikan y = f(x) terdiferensialkan di x, dan andaikan bahwa dx diferensial dari variabel bebas x, yang menyatakan pertambahan sembarang dari x. Diferensial dari variabel tak bebas y ditulis dy didefinisikan oleh : dy = f (x) dx

Hubungan antara diferensial dan turunan adalah :1) Karena dy = f (x) dx, dengan membagi kedua ruas dengan dx, dihasilkan :

Dari persamaan diatas, dapat ditafsirkan bahwa turunan merupakan hasil bagi dua diferensial.

dxdy)x(f

2) Aturan diferensial diperoleh dari aturan turunan fungsi dan mengalikan dengan dx.

3) Definisi dy berlaku juga dengan mengasumsikan bahwa variabel x dan y variabel bebas

Page 17: MODUL 3 TURUNAN FUNGSI

Kalkulus Prayudi Modul V : Turunan Fungsi 17

HampiranPerhatikanlah sketsa berikut ini

x x+x

f(x)

f(x+x)

dy

y

Soal-soal1) Sebelum tangki berbentuk

silinder dengan ujung-ujungnya berbentuk setengah bola. Silinder panjangnya 100 cm dan jari-jarinya 18 cm. Berapakah cat yang diperlukan untuk melapisi bagian luar tangki dengan ketebalan 1 milimeter.

2) Semua sisi kotak baja berbentuk kubus tebalnya 0,25 inci, dan volume kotak sebelah dalam adalah 49 inci kubik. Gunakanlah diferensial untuk mencari aproksimasi volume baja yang digunakan untuk membuat kotak.

Jika x mendapat tambahan x, maka y mendapatkan tambahan sebesar y, dimana dapat dihampiri oleh dy, dimana y = f(x + x) – f(x). Jadi :

f(x + x) f(x) + dy = f(x) + f (x) x

Page 18: MODUL 3 TURUNAN FUNGSI

Kalkulus Prayudi Modul IX Fungsi Transendent 18

FUNGSI TRANSENDENTFUNGSI LOGARITMA ASLI

t=1 t=xt

y

t1y

R

Menurut definisi integral tentu :

x

1dt

t1)R(A

A(R) = 0, jika x = 1A(R) > 0, jika x >1A(R) < 0, jika x < 1

DefinisiFungsi logaritma asli ditulis ln adalah fungsi yang didefinisikan oleh,

x

1dt

t1xln

Sifat-sifat Logaritma AsliApabila a dan b adalah bilangan-bilangan positif dan r sebuah bilangan rasional, maka :(1). ln 1 = 0(2). ln ab = ln a + ln b

alnraln).4(

blnalnbaln).3(

r

Page 19: MODUL 3 TURUNAN FUNGSI

Kalkulus Prayudi Modul IX Fungsi Transendent 19

Turunan Fungsi Logaritma Asli Dengan menerapkan Teorema dasar Kalkulus dihasilkan

x1dt

t1

dxd)x(ln

dxd x

1

Jika u fungsi dari x yang diferensiabel dan u(x) > 0, maka

dxdu

u1)u(ln

dxd

Contoh : Hitung dy/dx dari y = ln(x2 + 4x + 5)Jawab :Ambil, u = x2 + 4x + 5. 4x2

dxdu

)4x2(5x4x

1dxdy

2

Contoh : Hitung dy/dx dari y = ln(1 + x2)(1 + x3)Jawab :Cara 1. Ambil u = (1 + x2)(1 + x3)

)x3)(x1()x1)(x2(dxdu 223

)x1)(x1(

)x1(x3)x1(x2dxdy

32

223

Cara 2. Dengan sifat logaritma y = ln(1 + x2)(1 + x3) = ln(1+ x2) + ln(1+x3)Maka :

)x1)(x1(

)x1(x3)x1(x2

x1

x3

x1

x2dxdy

32

223

3

2

2

Page 20: MODUL 3 TURUNAN FUNGSI

Kalkulus Prayudi Modul IX Fungsi Transendent 20

Grafik Fungsi Logaritma

sifat-sifat fungsi logaritma asli, yaitu :

(1)Fungsi kontinu si semua bilangan riil yang terletak pada daerah asal, x > 0

(2)Grafik fungsinya naik pada seluruh daerah asal, karena f (x) = 1/x selalu positif atau lebih besar 0.

(3)Grafik fungsinya cekung terbuka kebawah untuk semua titik pada daerah asal, karena f (x) = –1/x2 selalu negatif atau lebih kecil dari 0

(4)Asimtot grafik adalah sumbu y negatif, dan grafik fungsinya terketak pada kuadran keempat

Contoh grafik fungsi logaritma

y=ln x

y = x ln xy

x

Page 21: MODUL 3 TURUNAN FUNGSI

Kalkulus Prayudi Modul IX Fungsi Transendent 21

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

Contoh Grafik Y = 100 x–2 ln x

Page 22: MODUL 3 TURUNAN FUNGSI

Kalkulus Prayudi Modul IX Fungsi Transendent 22

Diferensial LogaritmikMenghitung turunan fungsi dengan menggunakan sifat-sifat logaritma dan penurunan fungsi secara implisit

Contoh : Hitunglah dy/dx dari y = x3 cos4x (1 + sin x)5 Jawab :ln y = ln{x3 cos4x (1 + sin x)5} = ln x3+ ln cos4x +ln(1 + sin x)5

= 3 ln x+4 ln cos x+5ln(1+sin x)Diferensial secara implisit

xsin1xcos5

xcos)xsin(4

x3

dxdy

y1

xsin1xcos5

xcosxsin4

x3y

dxdy

Contoh : Hitung dy/dx dari

3

3 24

)xtanx(

)xcos2(xy

Jawab

)xtanxln(3)xcos2ln(32xln4

)xtanxln()xcos2ln(xln

)xtanx(

)xcos2(xlnyln

33/24

3

3 24

Diferensial secara implisit

xtanx)xsec1(3

)xcos2(3)xsin2

x4

dxdy

y1 2

xtanx)xsec1(3

)xcos2(3xsin2

x4y

dxdy 2

Page 23: MODUL 3 TURUNAN FUNGSI

Kalkulus Prayudi Modul IX Fungsi Transendent 23

FUNGSI EKSPONENSIAL ASLIFungsi eksponensial asli ditulis exp(x) didefinisikan oleh :

y = exp(x) = ex x = ln y

Sifat-sifat eskponensial asli :(1). exp(ln x) = eln x = x, x > 0(2). ln(exp x) = ln(ex) = x, (3). e0 = 1(4). ln e = 1(5). ea eb = ea+b (6). (ea)b = eab

bab

ae

e

e).7(

y

y = ln x

y=xy=ex

Sketsa grafik

Page 24: MODUL 3 TURUNAN FUNGSI

Kalkulus Prayudi Modul IX Fungsi Transendent 24

Rumus turunan

dxduee

dxd

aeedxdee

dxd

uu

axaxxx

)().3(

)()2()().1(

Contoh : Hitunglah dy/dx dariJawabMisalkan, u = x4 ln x, y = eu

xlnx4ey

33 xxlnx4dxdu

Maka :

)xxlnx4(e

dxdue

dxdy

33xlnx

u

4

Contoh : Hitunglah turunan ketiga dari JawabDengan aturan rantai, dihasilkan

2xey

2xxe2dxdy

2

22

x2

xx2

2

e)x42(

)x2(xe2e2dx

yd

2

22

x3

x2x3

3

e)x8x12(

)x2(e)x42(xe8dx

yd

Page 25: MODUL 3 TURUNAN FUNGSI

Kalkulus Prayudi Modul IX Fungsi Transendent 25

Contoh : sketsa grafik fungsi, y = 4 x2 e–0.5x

-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Page 26: MODUL 3 TURUNAN FUNGSI

Soal-soal latihanHitunglah turunan pertama, kedua dan ketiga dari :

32

4

3

24

43

34

43

2332

44

34

3

)10(

3cos)9(

4sin)8(

)7(

)6(

)1(

)1(ln)5(

)1()1ln()4(

)1ln()1()3(

)68ln()2(

)46ln()1(

x

x

x

x

x

ey

xey

xey

exy

exy

x

xy

xxy

xxy

xxy

xxy

bx

ax

bxa

ba

b

a

eaxy

ebxy

exy

xxy

xaxy

xbxy

cos )16(

sin )15(

)14(

)(ln )13(

)lnsin( )12(

)lncos( )11(

Page 27: MODUL 3 TURUNAN FUNGSI

Kalkulus Prayudi Modul IX Fungsi Transendent 27

Soal Latihan : Hitunglah dy/dx dari :

a

ba

bxx

ba

ba

bx

x

xa

bxax

bxxy

xaxy

xx

bxxxy

x

bxy

xxy

b

a

b

)tan(sec

)cos()5(

)(sin)4(

tansin

)sec()3(

)(tan )2(

)sec( )1(

cos

cos

Page 28: MODUL 3 TURUNAN FUNGSI

Kalkulus Prayudi Modul IX Fungsi Transendent 28

FUNGSI INVERS FUNGSI TRIGONOMETRI

Definisi :(1). y = sin–1x x = sin y(2). y = cos–1x x = cos y(3). y = tan–1x x = tan y (4). y = sec–1x x = sec y (5). y = csc–1x x = csc y(6). y = cot–1x x = cot y

Catatan :(i). cos–1x = arc cos x(ii). cos–1x (cos x)–1

xsecxcos

1)x).(cosiii( 1

Grafik Fungsi Invers Trigonometri

y=tan–1 x

y=sin–1x

y

x

Page 29: MODUL 3 TURUNAN FUNGSI

Kalkulus Prayudi Modul IX Fungsi Transendent 29

Rumus Umum Turunan Fungsi Invers Trigonometri

dxdu

1uu

1ucscdxd ).6(

dxdu

1uu

1usecdxd ).5(

dxdu

1u

1ucotdxd ).4(

dxdu

1u

1utandxd ).3(

dxdu

u1

1ucosdxd ).2(

dxdu

u1

1usindxd ).1(

21

21

21

21

21

21

Contoh Hitunglah turunan ketiga dari y=x2 sin–1x + x Jawab :

2

21

x1

xxsinx2dxdy

2

22

x1

xx1

21 x1xsinx2

21

2

2

x1

xxsin2dx

yd

2/32

2

2/32

2

23

3

)x1(

x23

)x1(

x

x1

3

dx

yd

21 x

Page 30: MODUL 3 TURUNAN FUNGSI

Kalkulus Prayudi Modul IX Fungsi Transendent 30

Contoh Hitunglah turunan ketiga dari y= 2x2 tan–1x – x ln(1+ x2 ) Jawab :

2

21

x1

x2xtanx4dxdy

2

22

x1

x2)x1ln(

= 4x tan–1x – ln(1+ x2)

21

2

2

x1

x2xtan4dx

yd

22

2

22

2

23

3

)x1(

x26

)x1(

x4

x1

6

dx

yd

Contoh Hitunglah turunan dari

Jawab : 1x

xsecy2

1

1x

xu 2

2

22 )1x(

x2dxdu

uv u2

1dudv

y = sec–1v1vv

1dvdy

2

dxdu

dudv

dvdy

dxdy

1vv

12

u2

122 )1x(

x2

Page 31: MODUL 3 TURUNAN FUNGSI

Kalkulus Prayudi Modul V : Turunan Fungsi 31

)ln()/(tan2)5(

))ln(()(tan)(2)4(

)(sec)()3(

)/(sin)2(

)ln()/(cos )1(

2212

2212

2212

2212

2212

axaxxaxy

baxaxbb

axaxy

baxbb

axaxy

axaxaxy

axxaxxaxy

SOAL-SOAL LATIHANTentukanlah turunan pertama kedua dan ketiga dari,