MA1201 MATEMATIKA 2A

Hendra GunawanSemester II, 2019/2020

1 April 2020

Kuliah Hari Ini

12.1 Fungsi dua (atau lebih) peubah

12.2 Turunan Parsial

12.3 Limit dan Kekontinuan

12.4 Turunan fungsi dua peubah

12.5 Turunan berarah dan gradien

12.6 Aturan Rantai

12.7 Bidang singgung dan aproksimasi – Bag II

12.8 Maksimum dan minimum

12.9 Metode pengali Lagrange

4/2/2014 (c) Hendra Gunawan 2

12.9 METODE PENGALI LAGRANGEMA1201 MATEMATIKA 2A

4/4/2014 (c) Hendra Gunawan 3

1. Menggunakan Metode Lagrange untukmenentukan nilai ekstrim fungsi dua atautiga peubah dengan kendala tertentu

Mencari Nilai Ekstrim Fungsi padaSuatu Kurva/Permukaan

Ingat bagaimana kita mencari nilai ekstrimfungsi F(x,y) = xy pada lingkaran x2 + y2 = 1.

Demikian juga soal tentang ukuran kotak ber-volume 1 yang luas permukaannya minimum.

Kedua soal ini termasuk contoh masalah nilaiekstrim dengan kendala.

4/4/2014 (c) Hendra Gunawan 4

Masalah Nilai Ekstrim dengan Kendala

Masalah I:

Tentukan nilai ekstrim fungsi z = F(x,y) dengan kendala g(x,y) = 0.

Masalah II:

Tentukan nilai ekstrim fungsi w = F(x,y,z) dengan kendala g(x,y,z) = 0.

Catatan. Fungsi F disebut fungsi objektif, sedangkan fungsi g disebut fungsi kendala.4/4/2014 (c) Hendra Gunawan 5

Catatan

1. Pada soal tentang kotak, kita ingin mencarinilai minimum dari L = 2(xy + xz + yz) dengankendala xyz = 1. [Di sini, fungsi kendalanyaadalah g(x,y,z) = xyz – 1.]

Untuk soal ini, kita dapat mensubstitusikanz = 1/(xy) pada L, sehingga L menjadi fungsidari x dan y saja, lalu kita peroleh nilaiminimum dari L (dengan Uji Turunan Kedua).

4/4/2014 (c) Hendra Gunawan 6

Catatan

2. Pada soal kedua, kita ingin mencari nilaiekstrim dari F = xy dengan kendala x2 + y2 = 1. Untuk soal ini kita tidak mensubstitusikan y = ±(1 – x2)½ pada persamaan F = xy, tetapimelakukan parametrisasi lingkaran x = cos θdan y = sin θ, dan menyatakan F sebagaifungsi dari parameter θ, lalu kita peroleh nilaiekstrimnya.

4/4/2014 (c) Hendra Gunawan 7

Catatan

3. Nilai ekstrim dari F(x,y) = xypada lingkaran x2 + y2 = 1dapat pula diperoleh dgnmengamati peta kontur Fpd cakram tertutup C(O,1). Nilai ekstrim tercapai dititik-titik di mana kurvaketinggian bersinggungandengan lingkaran x2 + y2 = 1.

4/4/2014 (c) Hendra Gunawan 8

Catatan

3. (lanjutan) … Di titik-titiktersebut, kurva ketinggiandan kurva kendala mem-punyai vektor singgungyang sejajar! Jadi, di titik –titik tsb, vektor gradien dariF(x,y) sejajar dengan vektorgradien dari g(x,y), yakni

4/4/2014 (c) Hendra Gunawan 9

*).(*)( pgpF

Metode Lagrange

Untuk mencari nilai ekstrim dari F(p) dengankendala g(p) = 0, tentukan p dan λ yang memenuhi persamaan

Titik-titik p yang diperoleh merupakan titik kritisF yang memenuhi kendala g(p) = 0, dan bilanganλ disebut pengali Lagrange yang bersesuaian.

4/4/2014 (c) Hendra Gunawan 10

.0)()()( pgdanpgpF

Catatan

Metode Lagrange tidak memberikan kesimpulanapakah titik kritis tsb merupakan titik ekstrimatau bukan. Untuk menentukan apakah titik tsbmerupakan titik ekstrim atau bukan, kita harusmenggunakan argumentasi lainnya.

Jika hanya terdapat satu titik kritis, kesimpulanmudah diambil. Jika terdapat lebih dari satu titikkritis, kita dapat membandingkan nilai fungsi dititik-titik tersebut (sebagai contoh, nilai terbesarakan menjadi nilai maksimum).

4/4/2014 (c) Hendra Gunawan 11

Contoh 1Tentukan nilai maksimum dan nilai minimum dariF(x,y) = xy pada lingkaran x2 + y2 = 1.

Jawab: Di sini fungsi kendalanya adalah g(x,y) = x2 + y2 – 1. Dengan Metode Lagrange, kita cari x, y, dan λyang memenuhi

Dari persamaan pertama, kita peroleh y = 2λx dan x = 2λy. Eliminasi λ, kita dapatkan y2 = x2, sehingga y = ±x. Substitusikan ke persamaan kedua, kita peroleh2x2 = 1, sehingga x = ±½√2 dan y = ±½√2. Nilai makstercapai di ±(½√2,½√2), min tercapai di ±(½√2,-½√2). 4/4/2014 (c) Hendra Gunawan 12

.0),(),(),( yxgdanyxgyxF

Contoh 2Tentukan ukuran kotak tertutup dgn volume 1 dm3

yang luas permukaannya minimum.Jawab: Di sini fungsi objektifnya adalah L = 2(xy + xz+ yz) dan fungsi kendalanya adalah g(x,y,z) = xyz – 1.Dengan Metode Lagrange, kita peroleh persamaan

2y + 2z = λyz (1.a)2x + 2z = λxz (1.b)2x + 2y = λxy (1.c)

Eliminasi λ, kita dapatkan x = y = z. Substitusikan inike persamaan kedua, yaitu g(x,y,z) = 0, kita perolehx3 = 1, sehingga x = 1, dan dengan demikian y = z = 1 juga. Titik yg diperoleh, (1,1,1), merupakan titikminimum.4/4/2014 (c) Hendra Gunawan 13

12.9 METODE PENGALI LAGRANGEMA1201 MATEMATIKA 2A

4/4/2014 (c) Hendra Gunawan 14

2. Menggunakan Metode Lagrange untukmenentukan nilai ekstrim fungsi tigapeubah dengan dua kendala

Masalah Nilai Ekstrim Fungsi TigaPeubah dengan Dua Kendala

Untuk menentukan nilai maksimum/minimum dari fungsi F(x,y,z) dengan kendala g(x,y,z) = 0 dan h(x,y,z) = 0, kita selesaikan persamaan

Titik p = (x,y,z) yang diperoleh merupakan titikkritis F(x,y,z). Bilangan λ dan μ adalah pengaliLagrange yang bersesuaian.4/4/2014 (c) Hendra Gunawan 15

,0)(0)(

),()()(

phdanpg

phpgpF

Contoh

Tentukan nilai maksimum dan minimum dariF(x,y,z) = x + 2y + z pada kurva perpotongantabung x2 + y2 = 2 dengan bidang y + z = 1.

Jawab: Di sini fungsi kendalanya adalah g(x,y,z) = x2 + y2 – 2 dan h(x,y,z) = y + z – 1. PersamaanLagrange yang harus diselesaikan adalah

(1,2,1) = λ(2x,2y,0) + μ(0,1,1),

x2 + y2 = 2 dan y + z = 1.

Jadi… (sudah lihat videonya, belum?)4/4/2014 (c) Hendra Gunawan 16

Jadi…2𝜆𝑥 = 1 (1.a)2𝜆𝑦 + 𝜇 = 2 (1.b)𝜇 = 1 (1.c)

Dari (1.c), persamaan (1.b) menjadi 2𝜆𝑦 = 1 (1.d). Dari (1.a) dan (1.d), kita peroleh 𝑥 = 𝑦.Selanjutnya, persamaan 𝑥2 + 𝑦2 = 2 menjadi2𝑥2 = 2, sehingga 𝑥 = ±1 = 𝑦. Lalu, persamaan𝑦 + 𝑧 = 1 memberikan 𝑧 = 1 − 𝑦 = 1 − ±1 .Kita peroleh 2 titik kritis, yaitu

A(1,1,0) dan B(-1,-1,2).Di titik A, kita hitung F(1,1,0) = 3.Di titik B, kita hitung F(-1,-1,2) = -1.Nilai maksimum F adalah 3; nilai minimum F adl -1.4/2/2014 (c) Hendra Gunawan 17

Soal

Tentukan titik pada garis yang merupakan per-potongan bidang x + y + z = 8 dan 2x – y + 3z = 28 yang terdekat dari titik asal O(0,0,0).

Jawab: Di sini kita ingin mencari titik yang me-minimumkan F(x,y,z) = x2 + y2 + z2 dgn kendalag(x,y,z) = x + y + z – 8 = 0 dan h(x,y,z) = 2x – y + 3z – 28 = 0. Jadi… (lanjutkan sendiri ya!)

4/4/2014 (c) Hendra Gunawan 18