bab 2. turunan parsial -...

36
15 BAB 2. TURUNAN PARSIAL 1.1 PENDAHULUAN Pada bagian ini akan dipelajari perluasan konsep turunan fungsi satu peubah ke turunan fungsi dua peubah atau lebih. Setelah mempelajari bab ini, anda akan dapat: - Menentukan turunan parsial fungsi dua peubah atau lebih - Menentukan diferensial total fungsi dua peubah atau lebih - Menemukan hampiran linier, persamaaan garis normal dan bidang singgung kurva - Menemukan turunan berarah - Menggunakan jacobian untuk menentukan turunan fungsi. 2.2 TURUNAN Pada kalkulus 1, bila dipunyai f sebagai fungsi dari satu variabel x , maka turunan pertama fungsi f hanya terhadap x , dinotasikan sebagai: () x f x f f = = ' ' Bila kita mempunyai fungsi f dari dua variabel, maka turunan pertama fungsi f dapat kita cari untuk kedua variabel tersebut. Masing-masing disebut sebagai turunan parsial. Definisi 2.1 : Jika f fungsi dua peubah, x dan y, maka: (i) Turunan parsial f terhadap x, dinotasikan dengan x y x f ) , ( atau f x (x,y), didefinisikan sebagai

Upload: truongtruc

Post on 05-Feb-2018

304 views

Category:

Documents


9 download

TRANSCRIPT

Page 1: BAB 2. TURUNAN PARSIAL - goresanpenaku.weebly.comgoresanpenaku.weebly.com/uploads/1/6/1/2/16120262/bab-2.-turunan... · Pada kalkulus 1, bila dipunyai f sebagai fungsi dari satu variabel

��������������� ���

15

BAB 2. TURUNAN PARSIAL

1.1 PENDAHULUAN

Pada bagian ini akan dipelajari perluasan konsep turunan fungsi satu

peubah ke turunan fungsi dua peubah atau lebih.

Setelah mempelajari bab ini, anda akan dapat:

- Menentukan turunan parsial fungsi dua peubah atau lebih

- Menentukan diferensial total fungsi dua peubah atau lebih

- Menemukan hampiran linier, persamaaan garis normal dan bidang

singgung kurva

- Menemukan turunan berarah

- Menggunakan jacobian untuk menentukan turunan fungsi.

2.2 TURUNAN

Pada kalkulus 1, bila dipunyai f sebagai fungsi dari satu variabel x , maka

turunan pertama fungsi f hanya terhadap x , dinotasikan sebagai:

( )x

fxff

∂== ''

Bila kita mempunyai fungsi f dari dua variabel, maka turunan pertama

fungsi f dapat kita cari untuk kedua variabel tersebut. Masing-masing

disebut sebagai turunan parsial.

Definisi 2.1 : Jika f fungsi dua peubah, x dan y, maka:

(i) Turunan parsial f terhadap x, dinotasikan dengan x

yxf

∂ ),( atau fx(x,y),

didefinisikan sebagai

Page 2: BAB 2. TURUNAN PARSIAL - goresanpenaku.weebly.comgoresanpenaku.weebly.com/uploads/1/6/1/2/16120262/bab-2.-turunan... · Pada kalkulus 1, bila dipunyai f sebagai fungsi dari satu variabel

��������������� ���

16

x

yxf

∂ ),( =

x

yxfyxxf

x ∆

−∆+

→∆

),(),(lim

0

(ii) Turunan parsial f terhadap y, dinotasikan dengan y

yxf

∂ ),( atau fy(x,y),

didefinisikan sebagai

y

yxf

∂ ),( =

y

yxfyyxf

y ∆

−∆+

→∆

),(),(lim

0

Contoh 2.1: Tentukan turunan parsial terhadap x dan turunan parsial

terhadap y fungsi yang dirumuskan dengan f(x,y) = x2y + x + y + 1.

Selanjutnya tentukan turunan parsial f terhadap x dan turunan parsial f

terhadap y di titik (1,2)

Penyelesaian:

x

yxf

∂ ),( =

x

yxfyxxf

x ∆

−∆+

→∆

),(),(lim

0

= x

yxyxyxxyxx

x ∆

+++−++∆++∆+

→∆

)1(1)()(lim

22

0

= x

yxyxyxxyxyxxyx

x ∆

+++−++∆++∆+∆+

→∆

)1(1)(..2lim

222

0

= x

xyxyxx

x ∆

∆+∆+∆

→∆

2

0

)(..2lim

= 2xy + 1

y

yxf

∂ ),( =

y

yxfyyxf

y ∆

−∆+

→∆

),(),(lim

0

= y

yxyxyyxyyx

y ∆

+++−+∆+++∆+

→∆

)1(1)(lim

22

0

Page 3: BAB 2. TURUNAN PARSIAL - goresanpenaku.weebly.comgoresanpenaku.weebly.com/uploads/1/6/1/2/16120262/bab-2.-turunan... · Pada kalkulus 1, bila dipunyai f sebagai fungsi dari satu variabel

��������������� ���

17

= y

yyx

y ∆

∆+∆

→∆

2

0lim

= x2 + 1

Sehingga turunan parsial f terhadap x di titik (1,2) adalah

x

f

∂ )2,1( = 2(1)(2) + 1 = 5 .

dan turunan parsial f terhadap y di titik (1,2) adalah

y

f

∂ )2,1( = 2

2 +1= 5.

Untuk selanjutnya, dalam menentukan turunan parsial dari fungsi dua

peubah f(x,y)maka dapat dilakukan hal berikut.

- Jika f diturunkan terhadap peubah x maka y dianggap

tetap/konstanta

- Jika f diturunkan terhadap peubah y maka x dianggap

tetap/konstanta.

Contoh 2.2:

Tentukan turunan parsial terhadap x dan turunan parsial terhadap y fungsi

yang dirumuskan dengan f(x,y) = 3x4y

2 + xy

2 + 4y.

Penyelesaian:

x

yxf

∂ ),( = 12x

3y

2 + y

2

y

yxf

∂ ),( = 6x

4y + 2xy + 4.

Page 4: BAB 2. TURUNAN PARSIAL - goresanpenaku.weebly.comgoresanpenaku.weebly.com/uploads/1/6/1/2/16120262/bab-2.-turunan... · Pada kalkulus 1, bila dipunyai f sebagai fungsi dari satu variabel

��������������� ���

18

Turunan Parsial tingkat tinggi

Turunan fungsi biasanya masih berupa fungsi yang dapat diturunkan lagi.

Jadi dari suatu fungsi kita dapat mencari turunan tingkat satu, turunan

tingkat dua dan seterusnya.

Turunan tingkat dua dinotasikan sebagai berikut:

.)(y

)(x

)(y

)(x

2

2

2

2

2

2

y

f

y

f

yff

yx

f

y

f

xff

xy

f

x

f

yff

x

f

x

f

xff

f

yyy

yxy

xyx

xxx

∂=

∂==

∂∂

∂=

∂==

∂∂

∂=

∂==

∂=

∂==

Contoh 2.3:

Tentukan semua turunan parsial order dua dari .yxyxw523 −=

Penyelesaian:

,523 43522yxyx

y

w,yyx

x

w−=

∂−=

,yxx

w

xx

w 2

2

2

6=���

����

∂=

,202 33

2

2

yxxy

w

yy

w−=��

����

∂=

Page 5: BAB 2. TURUNAN PARSIAL - goresanpenaku.weebly.comgoresanpenaku.weebly.com/uploads/1/6/1/2/16120262/bab-2.-turunan... · Pada kalkulus 1, bila dipunyai f sebagai fungsi dari satu variabel

��������������� ���

19

,56 422

yyxy

w

xyx

w−=��

����

∂=

∂∂

.56 422

yyxx

w

yxy

w−=��

����

∂=

∂∂

Contoh 2.4:

Diketahui fungsi 322 2),( yxyxyxf −+= . Carilah

xy

f

yx

f

y

f

x

f

y

f

x

f

∂∂

∂∂

∂ 22

2

2

2

2

,,,,,

Penyelesaian:

222 yxx

f+=

∂ , 2

2

2

=∂

x

f, y

xy

f4

2

=∂∂

234 yxyy

f−=

∂ , yy

y

f64

2

2

−=∂

∂, yf

yx

fyx 4

2

==∂∂

LATIHAN 2.2 :

Tentukan turunan parsial pertama dari

1. f(x,y) = 2x2y

3 – x

3y - y

2. f(x,y) = 3x2 – xy + cos (x

2 + y

2)

3. f(x,y) = 2xy2 – e

2xy + ln (x

2 + 2y)

4. ( , ) sin ,1

xf x y

y

� �= � �

+� �

5. ( )( , ) arctan ,f x t x t=

Page 6: BAB 2. TURUNAN PARSIAL - goresanpenaku.weebly.comgoresanpenaku.weebly.com/uploads/1/6/1/2/16120262/bab-2.-turunan... · Pada kalkulus 1, bila dipunyai f sebagai fungsi dari satu variabel

��������������� ���

20

6. ln( 2 3 ),w x y z= + +

Tentukan semua turunan kedua dari

7. ( ) 3 2 3 2, 2 .f x y x x y y= + −

8. z = x cos y – y cos x.

9. u = log (ax + by)

2.3 ATURAN RANTAI

Aturan rantai pada fungsi dua peubah merupakan peluasan dari aturan

rantai pada fungsi satu peubah.

Misalkan ),( u,vfz = dimana )( x,ygu = dan )(x,yhv =

maka

y

v

v

z

y

u

u

z

y

z

x

v

v

z

x

u

u

z

x

z

∂+

∂=

∂+

∂=

,

Contoh 2.5:

Jika z = f(u,v) =3u2 – v

2 dengan u = 2x + 7y dan v = 5xy

Carilah x

z

∂ dan

y

z

Misal F fungsi dari u, v dan w dengan u, v dan w fungsi-fungsi kontinu dua

peubah u = u(x,y), v = v(x,y) dan w = w(x,y) yang mempunyai turunan

parsial pertama dan semua turunan parsial pertama fungsi F kontinu, maka:

Page 7: BAB 2. TURUNAN PARSIAL - goresanpenaku.weebly.comgoresanpenaku.weebly.com/uploads/1/6/1/2/16120262/bab-2.-turunan... · Pada kalkulus 1, bila dipunyai f sebagai fungsi dari satu variabel

��������������� ���

21

x

w

w

F

x

v

v

F

x

u

u

F

x

F

∂+

∂+

∂=

∂ dan

y

w

w

F

y

v

v

F

y

u

u

F

y

F

∂+

∂+

∂=

Contoh 2.6 :

Jika u = f (x, y) dan x = r cos θ, y = r sin θ, tunjukkan bahwa

2

2

2221

��

���

∂+�

���

∂=��

����

∂+�

���

u

rr

u

y

u

x

u.

Penyelesaian

x = r cos θ, y = r sin θ

�.r�

y�,

r

y�,r

x�,

r

xcossinsincos =

∂=

∂−=

∂=

∂�

diperoleh

�y

u�

x

u

r

y

y

u

r

x

x

u

r

usincos

∂+

∂=

∂+

∂=

t

u�

x

u�

∂+

∂= sincos

Secara sama,

�)(ry

u�)r(

x

u

y

y

u

x

x

u

ucossin

∂+−

∂=

∂+

∂=

y

u�r

x

u�r

∂+

∂−= cossin

Dengan demikian terbukti bahwa

222

2

21

���

����

∂+�

���

∂=�

���

∂+�

���

y

u

x

u

u

rr

u

Page 8: BAB 2. TURUNAN PARSIAL - goresanpenaku.weebly.comgoresanpenaku.weebly.com/uploads/1/6/1/2/16120262/bab-2.-turunan... · Pada kalkulus 1, bila dipunyai f sebagai fungsi dari satu variabel

��������������� ���

22

Latihan 2.3

1. Jika G(u,v,w) =u3 + 2uvw + uw

2 dengan u = xy, v = x – y, dan w = x/y,

Carilah x

G

∂ dan

y

G

∂.

2. Jika 2 43 ,z x y xy= + dengan sin 2x t= dan cosy t= , Tentukan dz

dt

ketika 0.t =

3. Jika cos( 4 )z x y= + 45 ,x t= dan1

yt

= , Tentukandz

dt.

4. Jika 2 ,w xy yz= + t

x e= , sinty e t= , dan cos ,t

z e t= Tentukan .dw

dt

5. Jika 4 2 3,u x y y z= + dengan ,tx rse= 2 t

y rs e−= , dan 2 sin ,z r s t=

Tentukan u

s

∂ ketika 2,r = 1,s = dan 0.t =

6. Jika ( ) ( )2 2 2 2, , ,g s t f s t t s= − − dan f terdiferensial, tunjukkan bahwa

0.g g

t ss t

∂ ∂+ =

∂ ∂

7. Jika 2 2u r s= + dengan cosr y x t= + dan sins x y t= + , Tentukan

,u

x

u

y

∂,

danu

t

∂ .

8. Jika u = f (x, y) dan ,x

zt,

z

ys,

y

xr === tunjukkan bahwa

.0=∂

∂+

∂+

z

uz

y

uy

x

ux

Page 9: BAB 2. TURUNAN PARSIAL - goresanpenaku.weebly.comgoresanpenaku.weebly.com/uploads/1/6/1/2/16120262/bab-2.-turunan... · Pada kalkulus 1, bila dipunyai f sebagai fungsi dari satu variabel

��������������� ���

23

9. Jika ,z

y,

z

xfv �

���

�= tunjukkan

0=∂

∂+

∂+

z

vz

y

vy

x

vx

2.4. TURUNAN FUNGSI IMPLISIT

Selain fungsi eksplisit, kita juga mengenal bentuk fungsi implisit. Fungsi

implisit dua variabel, dilambangkan dengan ( )zyxF ,, . Dalam mencari

turunan parsial terhadap x ataupun terhadap y dari fungsi implicit ini,

dikenal dua metode, yaitu:

a. Cara langsung

Turunan parsial terhadap x , x

z

∂ .

Persamaan yang ada berturut-turut diturunkan terhadap x dan z ,

dengan mengganggap variabel y sebagai konstanta. Khusus ketika

diturunkan terhadap z , hasilnya selalu dikalikan denganx

z

∂.

Turunan parsial terhadap y , y

z

Persamaan yang ada berturut-turut diturunkan terhadap y dan z ,

dengan mengganggap variabel x sebagai konstanta. Khusus ketika

diturunkan terhadap z , hasilnya selalu dikalikan dengany

z

∂.

Page 10: BAB 2. TURUNAN PARSIAL - goresanpenaku.weebly.comgoresanpenaku.weebly.com/uploads/1/6/1/2/16120262/bab-2.-turunan... · Pada kalkulus 1, bila dipunyai f sebagai fungsi dari satu variabel

��������������� ���

24

b. Cara tidak langsung

Dalam cara tidak langsung, pertama-tama persamaan diturunkan

terhadap x diperoleh x

F

∂, kemudian diturunkan terhadap y diperoleh

y

F

∂,

dan terakhir diturunkan terhadap z diperoleh z

F

∂.

Selanjutnya dihitung:

z

Fx

F

x

z

∂∂

−=∂

∂ dan

z

F

y

F

y

z

−=∂

Contoh 2.7:

Misal dipunyai fungsi implisit )sin(xzxyz = . Carilah turunan parsial

pertama terhadap x dan y

Penyelesaian:

a. Cara langsung

Untuk fungsi diatas, diperoleh:

( )x

zxzxxzz

x

zxyyz

∂+=

∂+ )cos(cos

( ) yzxzzx

zxzx

x

zxy −=

∂−

∂cos)cos(

( ))cos(

cos

xzxxy

yzxzz

x

z

−=

Dengan cara yang sama diperoleh: )sin(xzxyz =

y

zxzx

y

zxyxz

∂=

∂+ )cos( .

Page 11: BAB 2. TURUNAN PARSIAL - goresanpenaku.weebly.comgoresanpenaku.weebly.com/uploads/1/6/1/2/16120262/bab-2.-turunan... · Pada kalkulus 1, bila dipunyai f sebagai fungsi dari satu variabel

��������������� ���

25

xzy

zxzx

y

zxy −=

∂−

∂)cos( .

)cos(xzxxy

xz

y

z

−−=

a. Cara Tidak Langsung

)cos(xzzyzx

F−=

∂, xz

y

F=

∂, dan xzxxy

z

Fcos−=

∂. Diperoleh:

)cos(

)cos(

xzxxy

xzzyz

z

Fx

F

x

z

−−=

∂∂

−=∂

∂ dan

)cos(xzxxy

xz

z

F

y

F

y

z

−−=

−=∂

LATIHAN 2.4 :

Carilah turunan pertama dari fungsi-fungsi berikut ini:

1. 0104423 222 =−−+−+− yzzxzyxyx

2. 0432 =−+− xyyzxzxyz

3. )cos(yzxyz =

4. yxyz =

5. )cos()sin(2yzxzxyz +=

6. xyxz =

7. sin( ) 2 3 .xyz x y z= + +

2.5 BIDANG SINGGUNG DAN HAMPIRAN LINIER

Page 12: BAB 2. TURUNAN PARSIAL - goresanpenaku.weebly.comgoresanpenaku.weebly.com/uploads/1/6/1/2/16120262/bab-2.-turunan... · Pada kalkulus 1, bila dipunyai f sebagai fungsi dari satu variabel

��������������� ���

26

Bidang Singgung

Misalkan suatu permukaan mempunyai persamaan ( , )z f x y= dan f

mempunyai turunan parsial pertama yang kontinu, maka persamaan bidang

singung pada permukaan ( , )z f x y= di titik 0 0 0( , , )P x y z dinyatakan oleh:

0 0 0 0 0 0 0( , )( ) ( , )( )x yz z f x y x x f x y y y− = − + − .

Persamaan bidang singgung ini adalah linierisasi dari sautu permukaan.

Contoh 2.8 :

Tentukan persamaan bidang singgung terhadap paraboloid eliptik 2 22z x y= + di titik (1,1,3).

Penyelesaian :

Dalam hal ini f (x,y) = 2 22z x y= + , sehingga

4)11( ; 4)( == ,fxx,yf xx

2)1(1 ; 2)( == ,fyx,yf yy

Maka persamaan bidang singgung di titik ( 1,1,3) adalah

.324

atau

)1(2)1(43

−+=

−+−=−

yxz

yxz

Hampiran Linier

Perhatikan bahwa pesamaan bidang singgung pada suatu permukaan di titik

����� ��� ��� dinyatakan oleh

0 0 0 0 0 0 0( , )( ) ( , )( )x yz z f x y x x f x y y y− = − + −

Dengan memperhatikan bahwa �� ���� ��� diperoleh

� ���� ��� � ����� ����� ��� � ����� ����� ���

Page 13: BAB 2. TURUNAN PARSIAL - goresanpenaku.weebly.comgoresanpenaku.weebly.com/uploads/1/6/1/2/16120262/bab-2.-turunan... · Pada kalkulus 1, bila dipunyai f sebagai fungsi dari satu variabel

��������������� ���

27

yang merupakan linierisasai permukaan � ��� �� di titik ���� ��� ��� .

Fungsi di ruas kanan persamaan ini merupakan linierisasi dari ��� �� di

titik ���� ���, dan biasa ditulis dengan

���� �� ���� ��� � ����� ����� ��� � ����� ����� ���� Dalam hal ini fungsi f merupakan fungsi yang terdiferensial di ���� ���, yaitu fungsi yang turunan parsialnya, �� dan ��� ada di sekitar ���� ��� dan

kontinu di ���� ���.

Contoh 2.9 :

Tunjukkan bahwa fungsi ��� �� ��� terdiferensial di titik (1,4) dan

carilah hampiran liniernya di titik tersebut, kemudian gunakan hasilnya

untuk mendekati nilai������ �����. Penyelesaian:

Turunan parsialnya adalah

���� �� �������� ������� �

���� �� ��������� � �������

��

Jelas bahwa �� dan ��� ada di sekitar ����� dan kontinu di �����, jadi

f terdiferensial di (1,4). Linierisasinya adalah

���� �� ����� � �������� �� � �������� �� � � ��� �� � �

� �� �� �� � ��� ��

Jadi ��� � �� � ��� �, sehingga ������ ����� � ������� �

�������������� ������ � ���

Bandingkan ini dengan nilai sebenarnya,����������� ���������������������� �������

Page 14: BAB 2. TURUNAN PARSIAL - goresanpenaku.weebly.comgoresanpenaku.weebly.com/uploads/1/6/1/2/16120262/bab-2.-turunan... · Pada kalkulus 1, bila dipunyai f sebagai fungsi dari satu variabel

��������������� ���

28

Untuk fungsi tiga peubah ��� �� �� , maka pendekatan linier di titik

0 0 0( , , )P x y z dinyatakan dengan:

( ) ( )

( )0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0

( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )

( , , )

x y

z

L x y z f x y z f x y z x x f x y z y y

f x y z z z

= + − + − +

Diferensial

Ingat kembali untuk fungsi satu peubah, ( ),y f x= differensial dari y

didefinisikan dengan '( ) dy f x dx= . Perbedaan antara dy dan �y dapat

dilihat pada ilustrasi gambar berikut.

Selanjutnya perhatikan fungsi dua peubah ( , ).z f x y= Diferensial dari z,

ditulis dz , didefinisikan dengan

z zdz dx dy

x y

∂ ∂= +

∂ ∂.

Diferensial dari z sering dinotasikan dengan df , sering disebut juga

dengan Diferensial Total.

�� ��� �����

Page 15: BAB 2. TURUNAN PARSIAL - goresanpenaku.weebly.comgoresanpenaku.weebly.com/uploads/1/6/1/2/16120262/bab-2.-turunan... · Pada kalkulus 1, bila dipunyai f sebagai fungsi dari satu variabel

��������������� ���

29

Contoh 2.10: Jika z = xy , tentukan diferensial dz dan gunakan untuk

memperkirakan perubahan z jika ( , )x y berubah dari (2,3) ke (2.05,2.96).

Bandingkan dz dengan �z.

Penyelesaian :

0.072.(-0,04)(0,05) . 3 =+=

+=∂

∂+

∂= y�xx�ydy

y

zdx

x

zdz

Disisi lain yxy�yx�xz� −++= )()(

y�x�x�yy�x ++=

= 2 (-0,04) + 3 (0,05) + (0,05)(-0,04)

= 0,068.

Perhatikan bahwa perubahan z adalah 0,068. Sedangkan perkiraannya

perubahan tersebut menggunakan diferensial adalah 0,07. Dengan

� ������ �����

Page 16: BAB 2. TURUNAN PARSIAL - goresanpenaku.weebly.comgoresanpenaku.weebly.com/uploads/1/6/1/2/16120262/bab-2.-turunan... · Pada kalkulus 1, bila dipunyai f sebagai fungsi dari satu variabel

��������������� ���

30

demikian terdapat kesalahan (error) sebesar 002,0−==− y�x�dzz�

.

Contoh 2.11 :

Gunakan diferensial untuk memperkirakan nilai 3 102127 .

Penyelesaian:

Yang kita tahu adalah

.101000,525 3 ==

Kita bentuk fungsi

3121 //yxy)(x,f =

Akan dilihat kenaikan jika terjadi perubahn dari x = 25, y = 1000

ke x = 27, y = 1021.

Diferensial f adalah

dyy

fdx

x

fdf

∂+

∂=

diperoleh dyyxdxyxdf//// 32213121

3

1

2

1 −− +=

dengan memasukkan x = 25, y = 1000, dx = 2, dy = 21,

maka

35,2)21()1000()25(3

1)2()1000()25(

2

1 32213121 =+= −− ////df

Dengan demikian diperoleh

.35.5235.2100025100027 33 =+≈

Page 17: BAB 2. TURUNAN PARSIAL - goresanpenaku.weebly.comgoresanpenaku.weebly.com/uploads/1/6/1/2/16120262/bab-2.-turunan... · Pada kalkulus 1, bila dipunyai f sebagai fungsi dari satu variabel

��������������� ���

31

LATIHAN 2.5

1. Tunjukkan bahwa ��� �� ����� terdiferensial di ����� dan

temukan pendekatan linier di titik tersebut. Selanjutnya gunakan

untuk mendekati nilai � ��������. 2. Tentukan pendekatan linier dari ��� �� �� �� � � � � di

(3,4,2) , kemudian gunakan untuk mendekati nilai

��!���� � �!��"� � ������ .

3. Gunakan diferensial untuk menghampiri nilai .15125 4

4. Tentukan perubahan volume yang terjadi jika ukuran tinggi tabung

berubah dari 12 cm menjadi 12.1 cm dan jari-jarinya turun dari 6 cm

menjadi 5.8 cm.

2.6. TURUNAN BERARAH (The Directional Derivative)

Ingat kembali bahwa

arah dalam ),( titik di ),(perubahan Laju ),(),(

xbayxfx

zbaf

ba

x =∂

∂=

arah dalam ),( titik di ),(perubahan Laju ),(

),(

ybayxfy

zbaf

ba

y =∂

∂=

Selanjutnya akan ditentukan laju perubahan dalam arah

sembarang

Misalkan u = < a, b > adalah vektor satuan (unit vektor , yaitu vektor

dengan panjang satu) pada bidang x-y, yang menunjukkan arah perubahan.

Maka didefinisikan turunan berarah:

Definisi : Turunan berarah

Turunan berarah dari fungsi z = f (x, y) dalam arah vektor satuan u = <

a, b >, dinyatakan dengan ),(u yxfD , didefinisikan sebagai berikut:

��

Page 18: BAB 2. TURUNAN PARSIAL - goresanpenaku.weebly.comgoresanpenaku.weebly.com/uploads/1/6/1/2/16120262/bab-2.-turunan... · Pada kalkulus 1, bila dipunyai f sebagai fungsi dari satu variabel

��������������� ���

32

byxfayxfyxfD yx ),(),(),(u +=

θ

Dalam definisi ini :

1. Secara Geometri, turunan berarah digunakan untuk menghitung

gradient dari permukaan z = f (x, y), yaitu untuk menghitung gradient

permukaan di titik ),,( 000 zyx , dengan ),( 000 yxfz = , Dengan

demikian :

Gradien dari permukaan di titik ),,( 000 zyx dalam arah vektor satuan

# $ %� & '�adalah

byxfayxfyxfD yx ),(),(),( 000000u +=

2. Vektor u = < a, b > harus merupakan vektor satuan. Jika akan

ditentukan turunan berarah dari suatu fungsi dalam arah vektor v dan

v bukan vektor satuan, maka dicari vektor satuan yang searah

dengan vektor v, yaitu

��

)0,,( 00 yx �

0x �

0y �

),( yxfz ==== �

),,( 000 zyx �

arah

dalamperubahan Laju ),( 00

x

yxf x =�

��������������� arah dalam

perubahan Laju )0,0(

y

yxyf =�

arah dalam

perubahanLaju ),( 00

u

yxDu =�

, >>>>=<=<=<=< bau �

��������

Page 19: BAB 2. TURUNAN PARSIAL - goresanpenaku.weebly.comgoresanpenaku.weebly.com/uploads/1/6/1/2/16120262/bab-2.-turunan... · Pada kalkulus 1, bila dipunyai f sebagai fungsi dari satu variabel

��������������� ���

33

vv|v|

vu

||

1======== .

3. Arah vektor satuan u dapat dinyatakan dalam bentuk sudut θ , sudut

antaravektor u dan sumbu x. Dalam hal ini, >=< ��,u sincos (

perhatikan bahwa u adalah vektor satuan, karena

11sincos 22 ==+= ��|u| ) dan turunan berarah dapat dinyatakan

dengan

θθ sin),(cos),(),(u yxfyxfyxfD yx += .

4. Turunan berarah menyatakan laju perubahan fungsi f dalam arah

vektor satuan u.

Contoh 2.12: Tentukan turunan berarah dari xxyyyxf 643),( +−= di

titik (1, 2) dalam arah vektor satuan yang membentuk sudut 3

πθ ==== .

Penyelesaian:

Contoh 2.13: Tentukan turunan berarah dari fungsi xxyyyxf 643),( +−= di

titik (-3, -4) dalam arah vektor j3i2v +−= .

Penyelesaian:

Turunan parsial f adalah

64),( +−= yyxfx ; xyxf y 43),( −=

Vektor v bukan vektor satuan dan vektor satuan yang searah dengan vektor v

adalah

)32(13

1)32(

94

11ji -ji - v

|v| u +=+

+==

Jadi turunan berarah f dalam arah vektor satuan u adalah

Page 20: BAB 2. TURUNAN PARSIAL - goresanpenaku.weebly.comgoresanpenaku.weebly.com/uploads/1/6/1/2/16120262/bab-2.-turunan... · Pada kalkulus 1, bila dipunyai f sebagai fungsi dari satu variabel

��������������� ���

34

)13

3)(43()

13

2)(64(),( xyyxfu −+

−+−=

Turunan berarah di titik ( -3, - 4) adalah

.13

1)

13

3))(3(43()

13

2)(6)4(4()4,3( =−−+

−+−−=−−uf

Gradien Fungsi

Diberikan fungsi dua peubah z = f (x, y), vektor gradien, dinyatakan dengan

),( yxf∇ , adalah vektor di bidang x-y yang dinyatakan dengan

j ),(i ),(),( yxfyxfyxf yx +=∇

Catatan

1. Turunan berarah fungsi z = f (x, y) dalam arah vektor satuan u = < a, b >

dapat dituliskan dalam bentuk dot product, yaitu,

byxfayxf

bayxfyxf

bayxfyxf

yxfyxfD

yx

yx

yx

),(),(

,),(),,(

)ji(j) ),(i ),((

u),(),(u

+=

><⋅>=<

+⋅+=

⋅∇=

2. Vektor gradien ),( yxf∇ menunjukkan arah perubahan maksimum dari

permukaan z = f (x, y). Panjang vektor gradien adalah nilai maksimum dari

turunan berarah, yaitu laju perubahan maksimum dari f. Jadi Nilai

maksimum turunan berarah f adalah |),(| yxf∇

3. Sedangkan ),( yxf∇− adalah nilai minimum turunan berarah f

Contoh 2.14: Diberikan fungsi )cos(),( yxyyxf −= .

a. Tentukan gradient f

Page 21: BAB 2. TURUNAN PARSIAL - goresanpenaku.weebly.comgoresanpenaku.weebly.com/uploads/1/6/1/2/16120262/bab-2.-turunan... · Pada kalkulus 1, bila dipunyai f sebagai fungsi dari satu variabel

��������������� ���

35

b. Tentukan gradien di titik P )0,3

.

c. Gunakan gradient untuk menentukan turunan berarah f dalam arah vektor

>−=<5

4,

5

3u , kemudian tentukan laju perubahan f di P dalam arah

vektor u.

d. Tentukan laju perubahan maksimumnya di P dan dalam arah manakah saat

perubahan itu terjadi.

Turunan berarah dan gradien untuk fungsi 3 peubah

Turunan berarah fungsi 3 peubah f (x, y, z) dalam arah vektor satuan

u = < a, b, c >, dinyatakan dengan ),,( zyxfDu , didefinisikan dengan:

czyxfbzyxfazyxfzyxfD zyx ),,(),,(),,(),,(u ++=

Vektor gradient, ),,( zyxf∇∇∇∇ , dinyatakan sebagai

k ),,(j ),,(i ),,(),,( zyxfzyxfzyxfzyxf zyx ++=∇

Contoh 2.15: Tentukan gradien dan turunan berarah dari

xyzxyxzyxf +−= 35),,( 2 di P(1, 2, 4) dalam arah dari titik P ke titik Q(-

3, 1, 2).

Penyelesaian:

Terlebih dahulu dicari turunan parsial terhadap x, y, and z, yaitu

yzyxyzyxzyxfx +−=+−= 310)1()1(310),,(

xzxxzxzyxf y +−=+−= 3)1()1(30),,(

xyxyzyxfz =+−= )1(00),,( .

Diperoleh gradien:

Page 22: BAB 2. TURUNAN PARSIAL - goresanpenaku.weebly.comgoresanpenaku.weebly.com/uploads/1/6/1/2/16120262/bab-2.-turunan... · Pada kalkulus 1, bila dipunyai f sebagai fungsi dari satu variabel

��������������� ���

36

k j )3(i )310(

k ),,(j ),,(i ),,(),,(

xyxzxyzyx

zyxfzyxfzyxfzyxf zyx

++−++−=

++=∇

Sehingga gradient di titik P(1, 2, 4) adalah

>=<++=

++−++−=∇

2 1 12k 2ji 12

k )2)(1(j ))4)(1()1(3(i ))4)(2()2(3)1(10()4,2,1(

,,

f

Selanjutnya untuk mencari turunan berarah, pertama ditentukan vektor

satuan u , yang searah dengan vektor dari titik P(1, 2, 4) ke titik Q(-3, 1,

2).

Perhatikan bahwa vektor >>>>−−−−−−−−−−−−>=<>=<>=<>=<−−−−−−−−−−−−−−−−=<=<=<=<====→→→→

2,1,442,21,13PQv dan v

bukan vektor satuan. Vektor satuan yang searah dengan vektor v adalah

( )*+*

>−−−>=<−−−<=

>−−−<−+−+−

=

21

2

21

1

21

4214

21

1

214)2()1()4(

1

222

,,,

,,

Dengan demikian diperoleh turunan berarah di titik P(1,2,4) yang searah

dengan vektor sataun u

21

53

21

4

21

1

21

48

)21

2(2)

21

1)(1()

21

4)(12(

21

2,

21

1,

21

42 ,1 ,12

u)4,2,1()4,2,1(u

−=

−−−=

−+−+−=

>−−−<⋅>=<

⋅∇= ffD

Page 23: BAB 2. TURUNAN PARSIAL - goresanpenaku.weebly.comgoresanpenaku.weebly.com/uploads/1/6/1/2/16120262/bab-2.-turunan... · Pada kalkulus 1, bila dipunyai f sebagai fungsi dari satu variabel

��������������� ���

37

Contoh 2.16: Tentukan laju perubahan maksimum dari fungsi

xyzxyxzyxf +−= 35),,( 2 di titik (1, 2, 4) dan arah saat perubahan itu

terjadi.

Garis Normal terhadap Permukaan

Perhatikan kembali bahwa grafik fungsi z = f (x, y) akan berupa luasan

permukaan di ruang 3D .

Selanjutnya persamaan dapat kita tulis dalam bentuk

zyxfzyxF −= ),(),,( = 0.

Selanjutnya, misalkan titik ),,( 000 zyx pada permukaan, maka gradien F

di titik tersebut, yaitu

k ),,(j ),,(i ),,(),,( 000000000000 zyxFzyxFzyxFzyxF zyx ++=∇

merupakan vektor orthogonal (normal) terhadap permukaan ),( yxfz = .

��

��

��

),( yxfz ==== �

),,( 000 zyxF∇∇∇∇ �

),,( 000 zyx �

Page 24: BAB 2. TURUNAN PARSIAL - goresanpenaku.weebly.comgoresanpenaku.weebly.com/uploads/1/6/1/2/16120262/bab-2.-turunan... · Pada kalkulus 1, bila dipunyai f sebagai fungsi dari satu variabel

��������������� ���

38

Contoh 2.17 : Tentukan vektor normal satuan terhadap permukaan

422 =+ zxyx di titik (2, − 2, 3).

Penyelesaian :

Permukaan 422 =+ zxyx dapat dinyatakan sebagai

042),,( 2 =−+= zxyxzyxF .

Maka vektor normal terhadap permukaan tersebut adalah

)42()42( )42( 222 −+∂

∂+−+

∂+−+

∂=∇ zxyx

z

fkzxyx

yjzxyx

xiF

kxjxizyx 2)22( 2 +++=

Di (2, − 2, 3), F∇ (2, − 2, 3) kji 442 ++−=

616164|| )3,2,2( =++=∇ −F

Jadi vektor normal satuan terhadap permukaan F adalah

k.jikji3

2

3

2

3

1442(

6

1++−=++−= )

Page 25: BAB 2. TURUNAN PARSIAL - goresanpenaku.weebly.comgoresanpenaku.weebly.com/uploads/1/6/1/2/16120262/bab-2.-turunan... · Pada kalkulus 1, bila dipunyai f sebagai fungsi dari satu variabel

��������������� ���

39

Bidang Singgung

Menggunakan gradien, kita dapat menemukan persamaan bidang singgung

dan garis normal terhadap permukaan permukaan.

Untuk memperoleh persamaan bidang, diperlukan titik pada bidang tersebut

dan sebuah vektor normal. Karena

>=<∇ ),,(),,,(),,,(),,( 000000000000 zyxFzyxFzyxFzyxF zyx

menyatakan vektor normal terhadap permukaan (dan bidang singgung),

Komponen-komponennya dapat digunakan dalam menentukan persamaan

bidang singgung di titik ),,( 000 zyx . Persamaan bidang singgung dinyatakan

dalam:

0))(,,())(,,())(,,( 000000000000 =−+−+− zzzyxFyyzyxFxxzyxF zyx .

����),( yxfz ==== �

���),,( 000 zyxF∇∇∇∇ �

),,( 000 zyx �

Page 26: BAB 2. TURUNAN PARSIAL - goresanpenaku.weebly.comgoresanpenaku.weebly.com/uploads/1/6/1/2/16120262/bab-2.-turunan... · Pada kalkulus 1, bila dipunyai f sebagai fungsi dari satu variabel

��������������� ���

40

Persamaan parameter untuk garis normal di titik ),,( 000 zyx dinyatakan

dengan

tzyxFxx x ),,( 0000 += , tzyxFyy y ),,( 0000 += , tzyxFzz z ),,( 0000 +=

atau

),,(),,(),,( 000

0

000

0

000

0

zyxF

zz

zyxF

yy

zyxF

xx

zyx

−=

−=

Contoh 2.18: Carilah persamaan bidang singgung dan garis normal

terhadap permukaan 22

),( yxeyxf

−−= di titik )1

,1,0(e

.

Penyelesaian:

Perhatikan bahwa 22

),( yxeyxf

−−= dapat ditulis sebagai 22

yxez

−−=

atau

zezyxfzyxFyx −=−= −− 22

),(),,( .

Selanjutnya akan dicari vektor gradient di titik )1

,1,0(e

.

Dengan mengingat vektor gradient di titik ),,( 000 zyx ,

k ),,(j ),,(i ),,(),,( 000000000000 zyxFzyxFzyxFzyxF zyx ++=∇ ,

pertama kita cari turunan parsialnya, yaitu

2222

202),,( yxyxx xexezyxF

−−−− −=−−=

2222

202),,( yxyxy yeyezyxF −−−− −=−−=

110),,( −=−=zyxFz

di titik )1

,1,0(),,( 000e

zyx = diperoleh

Page 27: BAB 2. TURUNAN PARSIAL - goresanpenaku.weebly.comgoresanpenaku.weebly.com/uploads/1/6/1/2/16120262/bab-2.-turunan... · Pada kalkulus 1, bila dipunyai f sebagai fungsi dari satu variabel

��������������� ���

41

0)0(2)1

,1,0(),,(22 )1()0(

000 =−== −−ee

FzyxF xx ,

eee

eFzyxF yy

22)1(2)

1,1,0(),,( 1)1()0(

000

22

−=−=−== −−− , dan

1)1

,1,0(),,( 000 −==e

FzyxFz ,

Sehingga vektor gradien F di titik )1

,1,0(e

adalah

k j k j i eee

F11

)1(0)1

,1,0( ++++====++++++++====∇∇∇∇

Selanjutnya akan dicari persamaan garis singgung

0))(,,())(,,())(,,( 000000000000 =−+−+− zzzyxFyyzyxFxxzyxF zyx

Di titik )1

,1,0(),,( 000e

zyx = , diperoleh

0)1

)(1

,1,0()1)(1

,1,0()0)(1

,1,0( =−+−+−e

ze

Fye

Fxe

F zyx

atau

0)1

)(1()1)(2

()0)(0( =−−+−−+−e

zye

x

atau

0)1

()1(2

=−−−−e

zye

atau

0122

=+−+−e

ze

ye

Page 28: BAB 2. TURUNAN PARSIAL - goresanpenaku.weebly.comgoresanpenaku.weebly.com/uploads/1/6/1/2/16120262/bab-2.-turunan... · Pada kalkulus 1, bila dipunyai f sebagai fungsi dari satu variabel

��������������� ���

42

Atau

032

=+−−e

zye

. (ini adalah bidang siggung)

Sedangkan persamaan garis normalnya

tzyxFxx x ),,( 0000 += , tzyxFyy y ),,( 0000 += , tzyxFzz z ),,( 0000 +=

dengan )1

,1,0(),,( 000e

zyx = , diperoleh

0)1

,1,0(),,( 000 ==e

FzyxF xx , ee

FzyxF yy

2)

1,1,0(),,( 000 −== , dan

1)1

,1,0(),,( 000 −==e

FzyxFz .

Jadi persamaan garis normalnya adalah

tx )0(0 += , te

y )2

(1 −+= , te

z )1(1

−+=

atau

0=x , te

y2

1−= , te

z −=1

Dengan menyelesaikan untuk t diperoleh persamaan garis normal

1

/1

/2

1

−=

− ez

e

y.

LATIHAN 2.6

1. Tentukan turunan berarah dari 2 3( , ) 4f x y x y y= − di titik (2, 1)

dalam arah vector v= < 2,5 >

Page 29: BAB 2. TURUNAN PARSIAL - goresanpenaku.weebly.comgoresanpenaku.weebly.com/uploads/1/6/1/2/16120262/bab-2.-turunan... · Pada kalkulus 1, bila dipunyai f sebagai fungsi dari satu variabel

��������������� ���

43

2. Jika ( , ) ,yf x y xe= tentukan laju perubahan f di titik (2,0)P dalam

arah dari P ke titik 1

,2 .2

Q� �� �� �

3. Misalkan suhu di titik ( , , )x y z dalam ruang diberikan oleh

2 2 2

80( , , )

1 2 3T x y z

x y z=

+ + +, dengan T diukur dalam derajar

Celsius dan , ,x y z dalam meter. Dalam arah manakah suhu naik

tercepat di titik (1, 1,2)?− Tentukan laju perubahan maksimumnya!

4. Tentukan vektor normal satuan terhadap permukaan

9222 =++ zyx di titik (2, 1, 2)

5. Carilah persamaan bidang singgung dan garis normal terhadap

permukaan 4arctan( )x z yz− = di titik (1 , 1, 1).π+

6. Carilah persamaan bidang singgung dan garis normal terhadap

permukaan 9222 ====++++++++ zyx di titik (2, 1, 2).

2.7. JACOBIANS

Pada bagian ini akan dibahas tentang Jacobian. Jacobian nantinya akan

sangat bermanfaat ketika kita berbicara mengenai integral lipat,

khususnya dalam penggantian variable

Jika x = g (u, v) dan y = h (u, v) terdiferensial, maka Jacobian x dan

y yang bersesuaian dengan (terhadap) u dan v, dinyatakan dengan

)(

)(

vu,

yx,

∂, didefinisikan sebagai

Page 30: BAB 2. TURUNAN PARSIAL - goresanpenaku.weebly.comgoresanpenaku.weebly.com/uploads/1/6/1/2/16120262/bab-2.-turunan... · Pada kalkulus 1, bila dipunyai f sebagai fungsi dari satu variabel

��������������� ���

44

v

y

u

y

v

x

u

x

vu,

yx,

∂∂

=∂

)(

)(

Jika )()()( wv,u,jz,wv,u,hy,wv,u,gx === terdiferensial,maka

Jacobian yang diperoleh dari transformasi dari daerah U di ruang u v

w ke daerah W dalam ruang x y z, didefinisikan sebagai

w

z

v

z

u

z

w

y

v

y

u

y

w

x

v

x

u

x

w)v, (u,

z)y, (x,

∂∂

∂∂

=∂

∂,

)(

)(

wv, u,

zy, x,

∂ sering ditulis dengan .

wv, u,

zy, x, J ��

����

Sifat :

Jika ,),(

),(dan

),(

),(

vu

yxJ

yx

vuJ

∂=

∂= ∗

Maka 1.=∗JJ

Bukti :

MIsalkan )(dan)( yx,�vyx,�u == . Selanjutnya kita dapat

menyelesaikan x, y dalam u dan v sehingga diperoleh

).(dan)( 11 vu,�yvu,�u ==

diperoleh

dyy

udx

x

udu

∂+

∂=

dan dyy

vdx

x

vdv

∂+

∂= .

Page 31: BAB 2. TURUNAN PARSIAL - goresanpenaku.weebly.comgoresanpenaku.weebly.com/uploads/1/6/1/2/16120262/bab-2.-turunan... · Pada kalkulus 1, bila dipunyai f sebagai fungsi dari satu variabel

��������������� ���

45

Dengan demikian didapatkan

0dan101 =∂

∂=

∂=

∂=

u

v

v

v,

v

u,

u

u

sehingga u

y

y

u

u

x

x

u

u

u

∂+

∂==

∂1

v

y

y

u

v

x

x

u

v

u

∂+

∂==

∂0

v

y

y

v

v

x

x

v

v

v

∂+

∂==

∂1

u

y

y

v

u

x

x

v

u

v

∂+

∂==

∂0

Diperoleh

v

y

u

y

v

x

u

x

y

v

x

v

y

u

x

u

JJ

∂∂

×

∂∂

=∗

(Dengan mengingat ABBA = , diperoleh

JJ

v

y

y

v

v

x

x

v

u

y

y

v

u

x

x

v

v

y

y

u

v

x

x

u

u

y

y

u

u

x

x

u

∂+

∂+

∂∂

∂+

∂+

=

110

01==

Sifat

Jika # #�,� -� dan . .�,� -� dan , ,��� ����- -��� �� , maka

Page 32: BAB 2. TURUNAN PARSIAL - goresanpenaku.weebly.comgoresanpenaku.weebly.com/uploads/1/6/1/2/16120262/bab-2.-turunan... · Pada kalkulus 1, bila dipunyai f sebagai fungsi dari satu variabel

��������������� ���

46

),(

),(

),(

),(

),(

),(

yx

qp

qp

vu

yx

vu

∂=

Bukti

Karena u dan v fungsi dari p dan q,maka

dqq

udp

p

udu

∂+

∂=

dqq

vdp

p

vdv

∂+

∂=

dan

x

q

q

u

x

p

p

u

x

u

∂+

∂=

y

q

q

u

y

p

p

u

y

u

∂+

∂=

x

q

q

v

x

p

p

v

x

v

∂+

∂=

y

q

q

v

y

p

p

v

y

v

∂+

∂=

Dengan memperhatikan

y

q

x

q

y

p

x

p

q

v

p

v

q

u

p

u

yx,

qp,

qp,

vu,

∂∂

×

∂∂

=∂

∂×

)(

)(

)(

)(

y

q

q

v

y

p

p

v

x

q

q

v

x

p

p

v

y

q

q

u

y

p

p

u

x

q

q

u

x

p

p

u

∂+

∂+

∂∂

∂+

∂+

=

Page 33: BAB 2. TURUNAN PARSIAL - goresanpenaku.weebly.comgoresanpenaku.weebly.com/uploads/1/6/1/2/16120262/bab-2.-turunan... · Pada kalkulus 1, bila dipunyai f sebagai fungsi dari satu variabel

��������������� ���

47

)(

)(

yx,

vu,

y

v

x

v

y

u

x

u

∂=

∂∂

=

diperoleh

)(

)(

)(

)(

)(

)(

yx,

qp,

qp,

vu,

yx,

vu,

∂×

∂=

Sifat

Jika u dan v fungsi dari x dan y sedemikian sehingga

f (u, v) = 0, maka 0.),(

),(=

yx

vu

Bukti :

Karena f (u, v) = 0, maka

0=∂

∂+

x

v

v

f

x

u

u

f

dan .0=∂

∂+

y

v

v

f

y

u

u

f

Eliminasi v

f,

u

f

∂ diperoleh

0=

∂∂

y

v

y

ux

v

x

u

yaitu, .

y

v

x

v

y

u

x

u

0=

∂∂

dengan pertukaran baris dan kolom dari determinan.

Page 34: BAB 2. TURUNAN PARSIAL - goresanpenaku.weebly.comgoresanpenaku.weebly.com/uploads/1/6/1/2/16120262/bab-2.-turunan... · Pada kalkulus 1, bila dipunyai f sebagai fungsi dari satu variabel

��������������� ���

48

Dengan demikian diperoleh, .yx,

vu,0

)(

)(=

Contoh 2.18 :

JIka x = r cos θ, y = r sin θ, z = z, tentukan .(

(

z)�,r,

z)y,x,

Penyelesaian:

100

0cossin

0sincos

)(

)(�r�

�r�

z

z

z

r

zz

y

y

r

yz

x

x

r

x

z�,r,

zy,x,−

=

∂∂

∂∂

=∂

r)sin(cosr)sinr(cosr 2222 =+=−−= θθθθ

Turunan parsial menggunakan jacobian

Diberikan persamaan:

/��� �� #� .� �

0��� �� #� .� �

dengan memperhatikan u dan v sebagai fungsi dari x da y, maka:

1#1�

1�/� 0�1��� .�1�/� 0�1�#� .�

�����1#1� 1�/� 0�1��� .�1�/� 0�1�#� .�

1.1�

1�/� 0�1�#� ��1�/� 0�1�#� .�

�����1.1� 1�/� 0�1�#� ��1�/� 0�1�#� .�

Contoh:

Page 35: BAB 2. TURUNAN PARSIAL - goresanpenaku.weebly.comgoresanpenaku.weebly.com/uploads/1/6/1/2/16120262/bab-2.-turunan... · Pada kalkulus 1, bila dipunyai f sebagai fungsi dari satu variabel

��������������� ���

49

Jika

�# � � . �

�#� �. � �� �

Tentukan 232�,�242�.

Penyelesaian:

1#1�

1�/� 0�1��� .�1�/� 0�1�#� .�

5 # � . � � �55�#� ��� �5

# � . � � �#� � �� �

1.1�

1�/� 0�1�#� ��1�/� 0�1�#� .�

5�#� # �� . � �55�#� ��� �5

�#�. � "#� �# � �#� � �� �

LATIHAN 2.7 :

1. Jika x = r cos θ, y = r sin θ, Tentukan ),(

),(and

),(

),(

yx

r

r

yx

θ∂

θ∂

∂ dan

tunjukkan bahwa .yx,

�r,.

�r,

yx,1

)(

)(

)(

)(=

2. Jika x = r sin θ cos φ, y = r sin θ sin φ, z = r cos θ, tentukan

.��,r,

zy,x,

)(

)(

3. Jika ,3

213

2

132

1

321

x

xxy,

x

xxy,

x

xxy === Tentukan

)(

)(

321

321

x,x,x

y,y,y

∂ dan

)(

)(

321

321

y,y,y

x,x,x

∂.

Page 36: BAB 2. TURUNAN PARSIAL - goresanpenaku.weebly.comgoresanpenaku.weebly.com/uploads/1/6/1/2/16120262/bab-2.-turunan... · Pada kalkulus 1, bila dipunyai f sebagai fungsi dari satu variabel

��������������� ���

50

4. Jika w,vuzv,uzyz,yxu ==+++= tentukan )(

)(

wv,u,

zy,x,

dan .(

(

z)y,x,

w)v,u,

5. Tentukan 232� �

232� �

242� �

242� dari fungsi:

��# � �6 #. �

#. �. � �� ��