turunan fungsi

Click here to load reader

Post on 30-Jan-2016

257 views

Category:

Documents

2 download

Embed Size (px)

DESCRIPTION

belajar matematika materi Turunan fungsi

TRANSCRIPT

Turunan Fungsi

1

TURUNAN FUNGSIA. TURUNAN SUATU FUNGSI

1. PENDAHULUAN TURUNAN

Turunan y = f(x) didefinisikan dengan

EMBED Equation.2

Contoh 1 : Tentukan turunan dari y = 5x + 2

Jawab: y = f(x) = 5x + 2

f(x+h) = ... = ....

EMBED Equation.2

=

...

=

...

= ...

LATIHAN SOAL ATentukan turunan dari fungsi berikut dengan menggunakan rumus y =

EMBED Equation.2

1. y = 5

7. y =

2. y = c

8. y =

3. y = 2x - 1

9. y =

4. y = 10x + 7

10. y =

5. y = cx + d

11. y =

6. y =

12. y =

2. TURUNAN

Dengan menggunakan definisi turunan y =

EMBED Equation.2 , kita mencoba menentukan turunan dari y = a, y = ax, y =

,

,

dan

,

maka akan diperoleh kesimpulan sebagai berikut :

Jika

maka

Contoh 1: Tentukan turunan dari :

a. y = 3

d.

b. y = 4xe. y =

c. y = 5x + 1

Jawab: a. y = ...d. y = ...

b. y = ...e. y = ...

c. y = ...

Contoh 2: Tentukan turunan dari :

a.

b.

c.

Jawab: a.

= .. maka y = ..

b.

= ..maka y = ...

c.

= .. maka y = ..

LATIHAN SOAL BTentukan turunannya dengan menggunakan rumus y =

1. y = 10

8. y =

2. y = 8x

9. y =

3. y = 4x + 310. y =

4. y =

11. y =

5. y =

12. y =

6. y =

13. y =

7. y =

3. RUMUS-RUMUS TURUNAN

Misalkan u dan v adalah fungsi-fungsi dalam x, maka :

1.Jika y = u

v maka y = u

v

2.Jika y = ku maka y = ku

3.Jika y = uv maka y = u v + uv

4.Jika y =

maka y =

5.Jika y =

maka y =

Di mana k dan n suatu konstanta.

Misal kita akan membuktikan salah satu rumus di atas, misalnya rumus ke-4 sbb :

y = uv atau lengkapnya y = f(x) = u(x)v(x)

y =

EMBED Equation.2

=

EMBED Equation.2

=

EMBED Equation.2

=

EMBED Equation.2

= u(x)v(x+0) + u(x)v(x)

= u(x)v(x) + u(x)v(x)

= uv + uv

Contoh 1: Tentukan turunan dari :

a. y =

d. y =

b. y = (2x-1)(3x+4)

c. y =

Jawab: a. y = ...

b. y = ...

c. y = ...

d. y = ...

LATIHAN SOAL CTentukan turunannya dengan menggunakan rumus-rumus turunan

1.

7. y =

2. y = (4x+2)(2x+5)8. y =

3. y = (-x+1)(3-x)9. y =

4. y =

10. y =

5. y =

11. y =

6. y =

12. y =

4. TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI

Kita akan mencoba menentukan turunan dari y = sin x dengan menggunakan rumus turunan .

y = f(x) = sin x

f(x+h) = sin(x+h)

y =

EMBED Equation.2

=

EMBED Equation.2

=

EMBED Equation.2

=

EMBED Equation.2

=

EMBED Equation.2

=

= cos x

Dengan cara yang sama akan di dapat jika y = cos x maka y = -sin x.

Jadi turunan fungsi sinus dan cosinus dapat digambarkan sbb:

Contoh 1: Tentukan turunan dari :

a. f(x) = 2 sin x - 3 cos xb. f(x) =

Jawab : a. f(x) = 2 sin x - 3 cos x

f (x) =

=

b. f(x) =

f (x) = . (gunakan rumus y = uv)

LATIHAN SOAL DTentukan turunannya dari :

1.f(x) = cos x + sin x9. f(x) = (4x+2) sin x

2. f(x) = -2 sin x + 5 cos x10. f(x) =

3.f(x) = 3 cos x - 2 sin x11. f(x) =

4.f(x) = cos x

12. f(x) =

5.f(x) =

13. f(x) =

6.f(x) = x sin x14. f(x) =

7.f(x) = sin x cos x15. f(x) =

8.f(x) =

B. TAFSIRAN GEOMETRIS TURUNAN

1. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG KURVA

Perhatikan gambar di bawah ini :

y = f(x)

Y g

f(x+h) Q

Garis g memotong kurva

y = f(x) di titik P dan Q

P

f(x)

0 x x+h X

Seperti kita ketahui, gradien garis g adalah m =

Jika garis g kita putar dengan titik P sebagai titik putarnya, sehingga titik Q yang memotong kurva y = f(x) bergerak. Pada saat h mendekati 0 (

, maka titik P dan Q akan berimpit sehingga akan di dapat suatu garis singgung di titik P.

Jadi gradien garis singgung pada y = f(x) di titik P adalah :

m =

EMBED Equation.2 atau m = f (x)

Contoh 1 : Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y =

di titik (3,4)

Jawab :

y = .

Gradiennya di titik (3,4) adalah m = f(3) = .

Persamaan garis singgung kurva dengan gradien 4 dan melalui titik (3,4) adalah :

.

.

Contoh 2 : Tentukan persamaan garis singgung kurva y =

yang tegak lurus garis y-2x = 1

Jawab : Gradien 2 garis yang saling tegak lurus adalah saling berlawanan berkebalikan

Atau

y - 2x = 1

y = 2x + 1 maka

Karena

maka (

gradien garis singgung)

sehingga y =

Jadi persamaan garis singgungnya :

..

..

LATIHAN SOAL E1. Tentukan gradien garis singgung pada kurva berikut di setiap titiknya :

a.

di titik (2,8)c.

dengan absis 2

b.

di titik (-1,2)

d.

dengan ordinat -9

2. Tentukan persaman garis singgung kurva :

a.

di titik (1,1)e.

di x = 3

b.

di titik (2,4)

f.

di x = 1

c.

di titik (4,2)

g.

di y = 5

d.

di titik

h.

di y = 3

3. Tentukan persamaan garis singgung

yang bergradien 5

4. Tentukan persamaan garis singgung

yang membentuk sudut

dengan

sumbu X

5. Tentukan persamaan garis singgung

yang sejajar garis 3x-y+1=0

6. Tentukan persamaan garis singgung

yang tegak lurus garis x+4y-5=0

2. FUNGSI NAIK DAN TURUN

Perhatikan gambar berikut ini :

Y

B

A

C

D

0 X

Untuk membaca sebuah kurva ada aturannya, yaitu dari kiri ke kanan. Pada gambar di atas, dari titik A ke titik B dikatakan kurva dalam keadaan naik, sedangkan dari titik B ke titik C kurva dalam keadaan turun

Kurva Naik

Pada kurva dalam keadaan naik dari kiri ke kanan, maka terlihat bahwa harga x semakin besar (

dan harga y juga semakin besar (

. Karena gradien (m) =

dan m = y maka

syarat kurva naik jika (karena )

Kurva Turun

Pada kurva dalam keadaan turun dari kiri ke kanan, maka terlihat bahwa harga x semakin besar (

dan harga y semakin kecil (

. Karena gradien (m) =

dan m = y maka syarat

kurva turun jika y < 0 (karena

Contoh 1 : Tentukan interval di mana fungsi f(x) =

a. naik

b. turun

Jawab :f(x) =

f(x) = ....

... = 0 (:3)

( ... )( ... ) = 0

x = ...atau x = ...

Dengan bantuan garis bilangan sebagai berikut :

+ - +

... ...

Berdasarkan gambar di atas disimpulkan :

Kurva naik pada interval ... atau ...

Kurva turun pada interval ...

LATIHAN SOAL F1. Tentukan interval kurva naik dan turun dari fungsi berikut :

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

2. Tunjukkan bahwa fungsi

selalu naik

3. Tunjukkan bahwa fungsi

tidak pernah naik

4. Tunjukkan bahwa fungsi

selalu turun

3. NILAI STASIONER

Perhatikan gambar berikut ini

Y A

Titik A dan B disebut titik-titik stasioner/

titik ekstrem/titik puncak.

B Titik A disebut titik balik maksimum

Titik C disebut titik balik minimum

C Titik B disebut titik belok/titik belok horisontal

0 X

Pada gambar di atas terlihat bahwa gradien pada titik-titik stasioner berupa garis lurus yang mendatar. Pada titik stasioner, keadaan ini kurva tidak naik dan juga tidak turun.

Jadi syarat titik stasioner pada kurva y = f(x) jika y = 0

Untuk menentukan jenis titik stasioner tersebut bisa digunakan uji kiri kanan pada titik stasioner tersebut, atau bisa juga dengan menggunakan turunan kedua.

Misal titik stasionernya

, maka:

I. Dengan uji kiri kanan titik stasioner

- jika + lalu - maka

titik balik maksimum

- jika - lalu + maka

titik balik minimum

- jika - lalu - atau + lalu + maka

titik belok

II. Dengan menggunakan turunan kedua

- jika f(

maka

titik balik minimum

- jika f(

maka

titik balik maksimum

- jika f(

maka

titik belok

Contoh 1 : Tentukan titik stasioner dan jenisnya dari f(x) =

Jawab : f (x) = 0

... = 0 (:3)

... = 0

( ... )( ... ) = 0

x = ...

maka y = ..., titik stasionernya (...,...)

x = ... maka y = ..., titik stasionernya (...,...)

Jenisnya :

Cara I

... ... ...

... ...

Jadi (...,...) merupakan ...

(...,...) merupakan ...

Cara II

f(x) =

f (x) = ...

f (x) = ...

Untuk x = 1 maka f (1) = ...

Untuk x = 3 maka f (3) = ...

Jadi (...,...) merupakan ...

(...,...) merupakan ...

LATIHAN SOAL GTentukan nilai stasioner dan jenisnya dari :

1.

6.

2.

7.

3.

8.

4.

9.

5.

10.

4. NILAI MAKSIMUM DAN MINIMUM PADA SELANG TERTUTUP

Perhatikan gambar berikut ini :

Y E

B

A

C

D

X

Pada gambar di atas terlihat, pada selang kurva mencapai nilai maksimum pada titik E dan mencapai nilai minimum pada titik D. Jadi dari gambar di atas, kita dapat menyimpulkan bahwa nilai stasioner pada selang tertutup belum tentu nilai ekstrimnya (maksimum/minimum).

Cara menentukan nilai maksimum dan minimum pada selang tertutup pada kurva y = f(x) adalah sebagai berikut :

1. Tentukan nilai-nilai ujung interval

2. Tentukan nilai-nilai stasionernya

3. Bandingkan masing-masing nilai untuk menentukan nilai maksimum dan minimum

Contoh 1 : Tentukan nilai maksimum dan minimum dari pada interval

Jawab :f(1) = ...

f(5) = ...

f (x) = 0

... = 0

...

...

x = ... maka y = ...

x = ... maka y = ...

Jadi nilai maksimum = ... dan nilai minimum = ...

LATIHAN SOAL HTentukan nilai maksimum dan minimum dari :

1.

untuk

6.

untuk

2.

untuk

7.

untuk

3.

untuk

8.

untuk

4.

untuk

9.

untuk

5.

untuk

10.

untuk

5. PENERAPAN NILAI MAKSIMUM DAN MINIMUM

Dalam kehidupan sehari-hari, sering kita menjumpai hal-hal yang berhubungan dengan nilai optimum (maksimum/minimum) untuk mencapai hasil optimal yang diinginkan.

Jika suatu persoalan dapat dinyatakan dalam suatu persamaan matematika berderajat lebih dari 1, maka tentu ada nilai ekstrim/stasioner dari kurva yang terbentukjnya.

Dengan menggunakan y = 0 maka persoalan di atas dapat diselesaikan.

Contoh 1 : Dua bilangan jumlahnya 8. Tentukan hasil kali maksimumnya !

Jawab : Misal kedua bilangan itu x dan y, maka :

x + y = 8

x = ...

Misal z = xy

Substitusi x = ... ke z = xy sehingga :

z = xy

z = ( ... ) y

= ...

z = 0

... = 0

y = ... maka z = ...

LATIHAN SOAL I1.Suatu persegi panjang kelilingnya 24 cm. Tentukan luas maksimum dan ukuran persegi panjang itu !

2.Dua bilangan selisihnya 4. Tentukan hasil kali minimumnya !

3. Tentukan nilai

terbesar jika x + y = 48

4. Ali memagari sepanjang tembok berbentuk persegi panjang dengan kawat. Jika panjang kawat 24 m, tentukan ukuran kandang yang harus dibuat agar luasnya maksimum, jika salah satu sisinya berupa tembok yang ada !

5. Suatu roket bergerak ke atas dengan persamaan gerak

. Tentukan tinggi maksimum yang dapat dicapai roket tersebut !

6. Ibu ingin membuat kotak tanpa tutup. Kotak itu berisi 4

. Jika alas kotak itu berupa persegi, tentukan ukuran kotak itu agar memerlukan karton seminimum mungkin !

7.Sehelai karton persegi panjang dengan panjang 8 cm dan lebar 5 cm. Pad keempat sudut karton itu dipotong bujur sangkar yang sisinya x cm. Tentukan ukuran kotak tanpa tutup itu agar isinya maksimum

8.Tentukan jarak terdekat dari garis y = 2x + 5 ke titik (4,3)

9. Y

Jika jari-jari lingkaran 10 cm, tentukan

luas maksimum persegi panjang yang

diarsir !

X

06. MENGGAMBAR KURVA SUKU BANYAK

Cara menggambar kurva suku banyak y = f(x) :

1. Tentukan titik potong dengan sumbu X syarat y = 0 (jika memungkinkan)

2. Tentukan titik potong dengan sumbu Y syarat x = 0

3. Tentukan titik-titik stasioner dan jenisnya

4. Gambar kurvanya (kalau perlu dengan menggunakan beberapa titik bantu)

Contoh 1 : Lukis kurva

Jawab : Titik potong dengan sumbu X

0 =

0 = ...

Titik potong dengan sumbu Y

y = ... = ....

Titik Stasioner dan jenisnya

y = 0

............... = 0

............... = 0

Jadi titik stasionernya (....,....) dan (....,....)

y = f(x) = ...

f(....) = ... = .... 0

f(....) = .... = .... 0

Jadi (....,...) berupa ....

(....,...) berrupa ....

Gambarnya :

Titik belok

y = 0

........... = 0

x = ... maka y = ...

Jadi (....,....) berupa titik belok

LATIHAN SOAL JLukis kurvanya !

1.

2.

3.

Tugas Kelas XI UPW dan RPL

_1008117324.unknown

_1010436040.unknown

_1010440479.unknown

_1124010669.unknown

_1213453220.unknown

_1213453244.unknown

_1213454448.unknown

_1229754269.unknown

_1213453304.unknown

_1213454034.unknown

_1213453343.unknown

_1213453291.unknown

_1213453237.unknown

_1213453240.unknown

_1213453224.unknown

_1212906778.unknown

_1212907842.unknown

_1213453204.unknown

_1213453213.unknown

_1213453216.unknown

_1213453209.unknown

_1213453196.unknown

_1212907781.unknown

_1124010723.unknown

_1124010740.unknown

_1124010767.unknown

_1124010689.unknown

_1010445529.unknown

_1013387742.unknown

_1013388166.unknown

_1013388960.unknown

_1013390300.unknown

_1013390934.unknown

_1013390980.unknown

_1013391102.unknown

_1013390491.unknown

_1013389982.unknown

_1013390069.unknown

_1013389035.unknown

_1013388555.unknown

_1013388815.unknown

_1013388195.unknown

_1013387914.unknown

_1013388095.unknown

_1013388139.unknown

_1013387958.unknown

_1013387844.unknown

_1013387882.unknown

_1013387797.unknown

_1013387431.unknown

_1013387516.unknown

_1013387573.unknown

_1013387632.unknown

_1013387661.unknown

_1013387607.unknown

_1013387544.unknown

_1013387490.unknown

_1013387309.unknown

_1013387410.unknown

_1010445606.unknown

_1010443236.unknown

_1010443371.unknown

_1010443729.unknown

_1010444110.unknown

_1010443479.unknown

_1010443307.unknown

_1010443349.unknown

_1010443272.unknown

_1010443075.unknown

_1010443152.unknown

_1010443208.unknown

_1010443117.unknown

_1010440683.unknown

_1010441699.unknown

_1010442924.unknown

_1010441680.unknown

_1010440549.unknown

_1010438765.unknown

_1010439533.unknown

_1010440148.unknown

_1010440285.unknown

_1010440353.unknown

_1010440173.unknown

_1010440073.unknown

_1010440112.unknown

_1010440044.unknown

_1010439209.unknown

_1010439359.unknown

_1010439437.unknown

_1010439286.unknown

_1010439133.unknown

_1010439174.unknown

_1010438914.unknown

_1010436623.unknown

_1010436847.unknown

_1010436941.unknown

_1010438466.unknown

_1010436886.unknown

_1010436763.unknown

_1010436819.unknown

_1010436675.unknown

_1010436328.unknown

_1010436483.unknown

_1010436568.unknown

_1010436405.unknown

_1010436437.unknown

_1010436219.unknown

_1010436253.unknown

_1010436092.unknown

_1010432772.unknown

_1010434881.unknown

_1010435396.unknown

_1010435934.unknown

_1010435984.unknown

_1010435663.unknown

_1010435090.unknown

_1010435333.unknown

_1010435032.unknown

_1010434151.unknown

_1010434369.unknown

_1010434459.unknown

_1010434187.unknown

_1010433710.unknown

_1010434025.unknown

_1010432818.unknown

_1008117618.unknown

_1010432606.unknown

_1010432702.unknown

_1010432735.unknown

_1010432660.unknown

_1010431930.unknown

_1010432387.unknown

_1010432432.unknown

_1010432510.unknown

_1010432071.unknown

_1008117784.unknown

_1008117471.unknown

_1008117537.unknown

_1008117553.unknown

_1008117477.unknown

_1008117385.unknown

_1008117391.unknown

_1008117336.unknown

_1008114891.unknown

_1008115996.unknown

_1008116846.unknown

_1008117078.unknown

_1008117267.unknown

_1008117290.unknown

_1008117113.unknown

_1008116954.unknown

_1008117015.unknown

_1008116923.unknown

_1008116368.unknown

_1008116481.unknown

_1008116743.unknown

_1008116770.unknown

_1008116801.unknown

_1008116630.unknown

_1008116439.unknown

_1008116121.unknown

_1008116137.unknown

_1008116026.unknown

_1008115479.unknown

_1008115838.unknown

_1008115930.unknown

_1008115941.unknown

_1008115869.unknown

_1008115546.unknown

_1008115578.unknown

_1008115509.unknown

_1008115144.unknown

_1008115342.unknown

_1008115367.unknown

_1008115198.unknown

_1008115045.unknown

_1008115074.unknown

_1008114985.unknown

_1008113499.unknown

_1008114118.unknown

_1008114381.unknown

_1008114553.unknown

_1008114691.unknown

_1008114802.unknown

_1008114834.unknown

_1008114737.unknown

_1008114629.unknown

_1008114449.unknown

_1008114304.unknown

_1008114328.unknown

_1008114277.unknown

_1008113716.unknown

_1008113856.unknown

_1008114030.unknown

_1008113794.unknown

_1008113572.unknown

_1008113627.unknown

_1008113513.unknown

_1008112977.unknown

_1008113254.unknown

_1008113318.unknown

_1008113344.unknown

_1008113299.unknown

_1008113200.unknown

_1008113226.unknown

_1008112997.unknown

_1008113162.unknown

_1008112753.unknown

_1008112817.unknown

_1008112855.unknown

_1008112772.unknown

_1008112583.unknown

_1008112733.unknown

_1008112552.unknown