representasi turunan dan integral fraksional dari

ADLN – PERPUSTAKAAN UNIVERSITAS AIRLANGGA

SKRIPSI ANALISIS TURUNAN DAN… SYIFAUL JANAN

REPRESENTASI TURUNAN DAN INTEGRAL FRAKSIONAL DARI

FUNGSI HIPERBOLIK

SKRIPSI

SYIFAUL JANAN

PROGRAM STUDI S-1 MATEMATIKA

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS AIRLANGGA

2016


i SKRIPSI ANALISIS TURUNAN DAN… SYIFAUL JANAN


FUNGSI HIPERBOLIK

SKRIPSI

SYIFAUL JANAN

PROGRAM STUDI S-1 MATEMATIKA

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS AIRLANGGA

2016


ii SKRIPSI ANALISIS TURUNAN DAN… SYIFAUL JANAN


FUNGSI HIPERBOLIK

SKRIPSI

Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh

Gelar Sarjana Sains Bidang Matematika

Pada Fakultas Sains dan Teknologi

Universitas Airlangga

Disetujui oleh:

Pembimbing I, Pembimbing II,

Dr. Mohammad Imam Utoyo, M.Si Dr. Windarto, M.Si

NIP. 19640103 198810 1 001 NIP. 19771104 200312 1 001


iii SKRIPSI ANALISIS TURUNAN DAN… SYIFAUL JANAN

LEMBAR PENGESAHAN NASKAH SKRIPSI

Judul : Representasi Turunan dan Integral Fraksional dari

Fungsi Hiperbolik

Penyusun : Syifaul Janan

NIM : 081211231007

Pembimbing I : Dr. Mohammad Imam Utoyo, M.Si

Pembimbing II : Dr. Windarto, M.Si

Tanggal Seminar : 14 Maret 2016

Disetujui oleh:

Pembimbing I

Dr. Mohammad Imam Utoyo, M.Si

NIP. 19640103 198810 1 001

Pembimbing II

Dr. Windarto, M.Si

NIP. 19771104 200312 1 001

Mengetahui,

Ketua Departemen Matematika

Fakultas Sains dan Teknologi


Badrus Zaman, S.Kom., M.Cs

NIP . 19780126 200604 1 001

Koordinator Program Studi S-1 Matematika

Fakultas Sains dan Teknologi


Dr. Mohammad Imam Utoyo, M.Si

NIP . 19640103 198810 1 001


iv SKRIPSI ANALISIS TURUNAN DAN… SYIFAUL JANAN

PEDOMAN PENGGUNAAN SKRIPSI

Skripsi ini tidak dipublikasikan, namun tersedia di perpustakaan dalam

lingkungan Universitas Airlangga, diperkenankan untuk dipakai sebagai referensi

kepustakaan, tetapi pengutipan harus seizin Penulis dan harus menyebutkan

sumbernya sesuai kebiasaan ilmiah. Dokumen skripsi ini merupakan hak milik

Universitas Airlangga.


v SKRIPSI ANALISIS TURUNAN DAN… SYIFAUL JANAN

SURAT PERNYATAAN TENTANG ORISINALITAS

Yang bertanda tangan di bawah ini, saya:

Nama : Syifaul Janan

NIM : 081211231007

Program Studi : S1-Matematika

Fakultas : Sains dan Teknologi

Jenjang : Sarjana (S1)

Menyatakan bahwa saya tidak melakukan kegiatan plagiat dalam penulisan skripsi

saya yang berjudul :

Representasi Turunan dan Integral Fraksional dari Fungsi Hiperbolik

Apabila suatu saat nanti terbukti melakukan tindakan plagiat, maka saya akan

menerima sanksi yang telah ditetapkan.

Demikian surat pernyataan ini saya buat dengan sebenar-benarnya.

Surabaya, 28 Maret 2016

Syifaul Janan NIM. 081211231007

v


vi SKRIPSI ANALISIS TURUNAN DAN… SYIFAUL JANAN

KATA PENGANTAR

Puji syukur Penulis panjatkan kepada Allah SWT karena berkat limpahan,

rahmat dan karunia-Nya Penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul

“Representasi Turunan dan Integral Fraksional dari Fungsi Hiperbolik”. Shalawat

serta salam senantiasa tercurahkan kepada junjungan kita, Nabi Besar Muhammad

SAW, pemimpin sekaligus sebaik-baik suri tauladan bagi kehidupan umat

manusia.

Keberhasilan Penulis dalam menyelesaikan skripsi ini tentunya tidak lepas

dari dukungan berbagai pihak. Oleh karena itu, tak lupa Penulis ucapkan terima

kasih kepada semua pihak yang telah membantu dalam menyelesaikan skripsi ini.

Ucapan terima kasih Penulis sampaikan kepada:

1. Universitas Airlangga yang telah memberikan kesempatan kepada penulis

untuk menuntut ilmu.

2. Direktorat Jenderal Pendidikan Tinggi Kementerian Ristek dan Pendidikan

Tinggi yang telah memberikan Beasiswa Peningkatan Prestasi Akademik

(PPA) dan Bantuan Belajar Mahasiswa (BBM).

3. Badrus Zaman, S.Kom., M.Cs selaku Ketua Departemen Matematika Fakultas

Sains dan Teknologi Universitas Airlangga.

4. Dr. Mohammad Imam Utoyo, M.Si selaku Koordinator Program Studi S-1

Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Airlangga dan selaku


vii SKRIPSI ANALISIS TURUNAN DAN… SYIFAUL JANAN

dosen pembimbing I yang senantiasa penuh kesabaran dan keramahan dalam

memberikan bimbingan berupa ilmu, arahan, waktu, serta semangat.

5. Dra. Utami Dyah Purwati, M.Si selaku dosen wali yang selalu memberikan

masukan dan inspirasi untuk membuat rancangan perkuliahan.

6. Dr. Windarto, M.Si selaku dosen pembimbing II yang senantiasa penuh

kesabaran dan keramahan dalam memberikan bimbingan berupa ilmu, arahan,

waktu, serta semangat.

7. Dra. Suzyanna, M.Si selaku dosen penguji I yang telah memberikan koreksi

serta masukan demi perbaikan skripsi ini.

8. Dr. Herry Suprajitno, M.Si selaku dosen penguji II yang telah memberikan

koreksi serta masukan demi perbaikan skripsi ini.

9. Ahmadin, S.Si, M.Si dan Dr. Eridani, M.Si selaku inspirator dan motivator

Penulis selama kuliah di Prodi S-1 Matematika Fakultas Sains Teknologi

Universitas Airlangga.

10. Seluruh dosen di Universitas Airlangga, khususnya Departemen Matematika

yang telah menyampaikan ilmu dan motivasi kepada Penulis.

11. Rofiqohtul Hasanah dan Halili selaku kedua orang tua Penulis, Tuhfatul Janan

selaku kakak Penulis, serta keluarga besar yang selalu memberikan dukungan,

semangat, dan doa serta kasih sayangnya.

12. Evan, Gagan, Reza, Robert, Zen serta keluarga kost Mulyorejo Utara Gang 3

No. 10C yang telah memberikan dukungan dan semangat selama ini.

13. Mas Feri, Mbak Ninggar, Mbak Susi dan Mustakim yang telah membantu

dalam proses pengerjaan skripsi.


viii SKRIPSI ANALISIS TURUNAN DAN… SYIFAUL JANAN

14. Ayu, Adi Seran, Fandi, Ibnu, Rizki Azizia, Selva dan Suci yang merupakan

teman seperjuangan dalam menyelesaikan skripsi.

15. Adi Purwanto, Andri, Anik, Dani, Darma, Endra, Fani, Faidah, Icha, Ima,

Ilman, Irvayanto, Lutfan, Sukar, Taufik, Ubaid, Via dan Vio yang telah

mengajarkan arti kebersamaan selama kuliah.

16. Farah, Asa, Zahra, Yufan serta adik-adik tutorial kalkulus II yang telah

memberikan semangat dan motivasi selama ini.

17. Teman-teman seperjuangan mahasiswa Matematika angkatan 2012 atas

dukungan dan kebersamaannya selama ini.

18. Semua pihak yang tidak dapat Penulis sebutkan seluruhnya yang telah

membantu dalam penyusunan skripsi.

Penulis berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat sebagai bahan

pustaka dan penambah informasi khususnya bagi mahasiswa Universitas

Airlangga. Penulis menyadari bahwa dalam penulisan skripsi ini, masih terdapat

kekurangan sehingga saran dan kritik yang membangun sangat diharapkan untuk

penulisan berikutnya.

Surabaya, 28 Maret 2016

Syifaul Janan


ix SKRIPSI ANALISIS TURUNAN DAN… SYIFAUL JANAN

Syifaul Janan, 2016, Representasi Turunan dan Integral Fraksional dari

Fungsi Hiperbolik. Skripsi ini dibawah bimbingan Dr. Mohammad Imam Utoyo, M.Si dan Dr. Windarto, M.Si, Departemen Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Airlangga, Surabaya.

ABSTRAK

Definisi turunan fraksional suatu fungsi melibatkan operasi turunan dari

integral hasil kali fungsi tersebut dengan suatu variabel , sedangkan definisi integral fraksional suatu fungsi melibatkan operasi integral dari hasil kali fungsi tersebut dengan suatu variabel , sehingga pada umumnya sulit diintegralkan secara analitik. Salah satu cara untuk menyelesaikan hal ini adalah dengan menyajikan fungsi tersebut dalam bentuk deret kuasa.

Dalam skripsi ini, disajikan representasi turunan dan integral fraksional dari fungsi hiperbolik (sinus hiperbolik, cosinus hiperbolik, tangen hiperbolik, cotangen hiperbolik, secan hiperbolik dan cosecan hiperbolik). Hasil representasi tersebut disimulasikan dengan menggunakan software MATLAB. Diperoleh bahwa hanya turunan dan integral fraksional dari fungsi sinus hiperbolik dan cosinus hiperbolik yang menunjukkan bahwa jika orde turunan dan integral fraksional dari fungsi mendekati satu, maka grafik turunan dan integral fraksional masing-masing mendekati turunan pertama dan integral dari fungsi tersebut, sedangkan jika orde turunan dan integral fraksional dari fungsi mendekati nol, maka grafik turunan dan integral fraksional mendekati fungsi semula. Kata Kunci: Deret Kuasa, Fungsi Hiperbolik, Turunan Fraksional, Integral

Fraksional.


x SKRIPSI ANALISIS TURUNAN DAN… SYIFAUL JANAN

Syifaul Janan, 2016, Fractional Derivative and Integral Representation of

Hyperbolic Function. This undergraduate thesis is supervised by Dr. Mohammad Imam Utoyo, M.Si and Dr. Windarto, M.Si, Department of Mathematics, Faculty of Science and Technology, Airlangga University, Surabaya.

ABSTRACT

The fractional derivative definition of a function involves derivative operation of integral multiplication results of function with a variable , whereas the fractional integral definition of a function involves integral operation of multiplication results of function with a variable , as of common, it is difficult to be integrated analytically. One of accomplished methods is by presenting function in the power series form.

In this thesis, presented the fractional derivative and integral representation

of hyperbolic functions (hyperbolic sine, hyperbolic cosine, hyperbolic tangent, hyperbolic cotangent, hyperbolic secant and hyperbolic cosecant). The result of these representations is simulated by MATLAB software. Obtained that only fractional derivatives and integrals of hyperbolic sine and hyperbolic cosine functions which indicates that if order of fractional derivative and integral of function approaches to one, then each graph of the fractional derivative and integral approaches to the first derivative and integral of the function, whereas if order of fractional derivative and integral of function approaches to zero, then graph of fractional derivative and integral approaches to the original function. Keywords: Power Series, Hyperbolic Function, Fractional Derivative,

Fractional Integral.


xi SKRIPSI ANALISIS TURUNAN DAN… SYIFAUL JANAN

DAFTAR ISI

LEMBAR JUDUL ..................................................................................................... i

LEMBAR PERNYATAAN ....................................................................................... ii

LEMBAR PENGESAHAN NASKAH SKRIPSI ...................................................... iii

LEMBAR PEDOMAN PENGGUNAAN SKRIPSI .................................................. iv

SURAT PERNYATAAN TENTANG ORISINALITAS .......................................... v

KATA PENGANTAR ............................................................................................... vi

ABSTRAK ................................................................................................................. ix

ABSTRACT ............................................................................................................... x

DAFTAR ISI .............................................................................................................. xi

DAFTAR GAMBAR ................................................................................................. xiv

DAFTAR LAMPIRAN .............................................................................................. xv

BAB I PENDAHULUAN ................................................................................... 1

1.1 Latar Belakang ............................................................................... 1

1.2 Rumusan Masalah .......................................................................... 2

1.3 Tujuan ............................................................................................ 3

1.4 Manfaat .......................................................................................... 3

1.5 Batasan Masalah ............................................................................ 3

BAB II TINJAUAN PUSTAKA .......................................................................... 4

2.1 Deret Maclaurin ............................................................................. 4

2.2 Penjumlahan dan Perkalian Deret .................................................. 5

2.3 Representasi Fungsi Hiperbolik pada Deret Kuasa ....................... 5

2.3.1 Representasi Deret Maclaurin dari Fungsi Sinus

Hiperbolik .......................................................................... 5


xii SKRIPSI ANALISIS TURUNAN DAN… SYIFAUL JANAN

2.3.2 Representasi Deret Maclaurin dari Fungsi Cosinus

Hiperbolik .......................................................................... 5

2.4 Jari-Jari Konvergensi pada Deret Kuasa ........................................ 6

2.5 Selang Konvergensi untuk Fungsi Hiperbolik ............................... 6

2.5.1 Selang Konvergensi untuk Fungsi Sinus Hiperbolik ......... 6

2.5.2 Selang Konvergensi untuk Fungsi Cosinus Hiperbolik ..... 7

2.6 Turunan dan Integral dari Suatu Deret Pangkat ............................ 8

2.7 Turunan dan Integral Fraksional .................................................... 8

2.7.1 Definisi dan Teorema tentang Turunan dan Integral

Fraksional ........................................................................... 8

2.7.2 Sifat-Sifat dari Turunan dan Integral Fraksional ............... 10

2.8 Matlab ............................................................................................ 10

BAB III METODOLOGI PENELITIAN .............................................................. 11

BAB IV PEMBAHASAN ..................................................................................... 12

4.1 Representasi Turunan dan Integral Fraksional dari Fungsi

Hiperbolik ...................................................................................... 12

4.2 Software Matlab untuk Menentukan Turunan dan Integral

Fraksional dari Fungsi Hiperbolik ................................................. 21

4.2.1 Tampilan Software Matlab Turunan dan Integral

Fraksional ........................................................................... 21

4.2.2 Interpretasi Hasil dari Software Matlab Turunan dan

Integral Fraksional ............................................................. 22

BAB V PENUTUP ............................................................................................... 31

5.1 Kesimpulan .................................................................................... 31


xiii SKRIPSI ANALISIS TURUNAN DAN… SYIFAUL JANAN

5.2 Saran .............................................................................................. 33

DAFTAR PUSTAKA ................................................................................................ 34

LAMPIRAN


xiv SKRIPSI ANALISIS TURUNAN DAN… SYIFAUL JANAN

DAFTAR GAMBAR

Nomor Judul Gambar Halaman

4.1 Tampilan Software Matlab Turunan dan Integral Fraksional 21

4.2 Grafik dari 22

4.3 Grafik dari 23

4.4 Grafik dari 24

4.5 Grafik dari 24

4.6 Grafik dari 25

4.7 Grafik dari 26

4.8 Grafik dari 26

4.9 Grafik dari 27

4.10 Grafik dari 28

4.11 Grafik dari 28

4.12 Grafik dari 29

4.13 Grafik dari 30


xv SKRIPSI ANALISIS TURUNAN DAN… SYIFAUL JANAN

DAFTAR LAMPIRAN

Nomor Judul Lampiran

1. Kode Program pada Gui Matlab

2. Keterangan pada Software Matlab Turunan dan Integral Fraksional

3. Cara Pengoperasian Software Matlab Turunan dan Integral Fraksional

4. Kode Program Turunan Fraksional dari Fungsi Sinus Hiperbolik

5. Kode Program Turunan Fraksional dari Fungsi Cosinus Hiperbolik

6. Kode Program Turunan Fraksional dari Fungsi Tangen Hiperbolik

7. Kode Program Turunan Fraksional dari Fungsi Cotangen Hiperbolik

8. Kode Program Turunan Fraksional dari Fungsi Secan Hiperbolik

9. Kode Program Turunan Fraksional dari Fungsi Cosecan Hiperbolik

10. Kode Program Integral Fraksional dari Fungsi Sinus Hiperbolik

11. Kode Program Integral Fraksional dari Fungsi Cosinus Hiperbolik

12. Kode Program Integral Fraksional dari Fungsi Tangen Hiperbolik

13. Kode Program Integral Fraksional dari Fungsi Cotangen Hiperbolik

14. Kode Program Integral Fraksional dari Fungsi Secan Hiperbolik

15. Kode Program Integral Fraksional dari Fungsi Cosecan Hiperbolik

representasi turunan dan integral fraksional dari

Documents