1.pendahuluan matriks

7/23/2019 1.PENDAHULUAN MATRIKS

1/26

PENDAHULUAN MATRIKS


2/26

Pengertian dan Notasi Matriks

Matriks adalah susunan persegi panjang dariunsurunsur pada !e!erapa siste" alja!ar#Dengan de"ikian unsurunsur ini !isa !erupa!ilangan atau juga suatu peru!ah# Untuk

"en$atakan na"a "atriks !iasan$a digunakanhuru% !esar seperti A& '& (& dan se!again$a)sedangkan !ila unsur atau angg*ta +ele"en,dari "atriks !erupa huru% dituliskan dengan

huru% ke-il# Tanda + , ) . /) atau !iasan$a digunakan untuk "engurung ele"enele"en dari suatu "atriks# Tetapi $ang palingsering digunakan adalah tanda + ,


3/26

(*nt*h 0

(*nt*h "atriks1

= 543121

A

=ihgfed

cba

B5334

12

=C


4/26

Ele"enele"en "atriks pada garis h*ri2*ntal

dise!ut denganbaris& dan ele"enele"en pada

garis 3ertikal dise!ut dengan kolom# 'arisdin*"*ri dari atas ke !a4ah& sedangkan k*l*"

din*"*ri dari kiri ke kanan

Perhatikan ke"!ali "atriks A pd -*nt*h 01

terse!ut# +0 5 0, adalah !aris perta"a& dan+6 7 8, adalah !aris ke dua dari "atriks A#

Sedangkan dise!ut k*l*" perta"a&

k*l*" ke dua& dan adalah k*l*" ke tiga

dari "atriks A

=

543

121A

3

1

4

2

5

1


5/26

Dengan de"ikian "atriks A ini "e"pun$ai 5

!aris dan 6 k*l*"# 9adi ele"en 0 dise!ut

ele"en !aris perta"a k*l*" perta"a dari

"atriks A) ele"en 7 adalah ele"en !aris ke

dua k*l*" kedua dari "atriks A& ele"en 8

adalah ele"en !aris ke dua k*l*" ketiga dari

"atriks A& dan se!again$a# Dimensiatau *rd*+ukuran, dari "atriks ditentukan *leh !an$akn$a

!aris diikuti dengan !an$akn$a k*l*"#

Dikatakan !ah4a dimensiatau ordodari

"atriks A adalah 5:6 +!a-a 1 dua kali tiga,# 9adidari -*nt*h 0 terse!ut& "atriks ' "e"pun$ai

di"ensi 6:6& dan "atriks ( "e"pun$ai di"ensi

6:5#


6/26

Matriks juga dapat "un-ul se!agai k*e%isien dari suatusiste" persa"aan linear# Se!agai -*nt*h& untuk siste"persa"aan linear 1

5: 6$ ; 76: < $ ; 8&

"aka matriks koefisien$ang !erhu!ungan dengansiste" terse!ut adalah&

sedangkan matrik augmented+"atriks ta"!ahan,adalah#

Nantin$a akan di!ahas pen$elesaian dari siste" lineardapat di-ari dengan !antuan "atriks#

13

32

513

432


7/26

Notasi A = (aij)

Untuk "en$atakan suatu "atriks u"u"&

ele"enele"enn$a din$atakan denganhuru% ke-il dan di!eri indeks !aris diikuti

dengan indeks k*l*" sesuai dengan

kedudukan ele"en terse!ut pada "atriks#Ini !erarti !ah4a pen$e!utan di"ensi

"atriks juga selalu di"ulai !aris terle!ih

dahulu !aru diikuti k*l*"#


8/26

(*nt*h 51

(*nt*h dua !uah "atriks A dan ' !erikut1

Perhatikan !ah4a ele"en a05dari A !erartiadalah ele"en pada !aris perta"a k*l*" kedua)sedangkan ele"en a50!erarti adalah ele"en

pada !aris kedua k*l*" perta"a dari A#De"ikian haln$a untuk "atriks '& "aka !65!erarti adalah ele"en pada !aris ke tiga k*l*"ke dua& dan ele"en !76adalah ele"en pada !aris

ke e"pat k*l*" ketiga dari "atriks '

=

3231

2221

1211

aa

aa

aa

A

=

434241

333231

232221

131211

bbb

bbb

bbb

bbb

B


9/26

Matriks A di atas "e"pun$ai 6 !aris dua

k*l*"& di"ensi dari A adalah 6:5 ditulis

dengan A6:5dan !an$akn$a ele"en dari"atriks A adalah =& sedangkan di"ensi

dari "atriks ' adalah 7:6 dan ditulis '7:6&

!an$akn$a ele"en dari "atriks ' adalah05#


10/26

Pandanglah !entu "atriks u"u"1

Matriks A ini "e"pun$ai !an$akn$a !aris adalah "sedangkan !an$akn$a k*l*" adalah n# Dala" n*tasi $angle!ih singkat& A !iasan$a ditulis dengan 1

A ; +aij, di "ana i ; 0& 5& 6& ###& "

j ; 0& 5& 6& ###& n

'erarti n*tasi A ; +a ij, ini "engandung ":n !an$akn$aele"en dari "atriks A# Sehingga di"ensi dari A adalah":n) $ang !isa ditulis se!agai A":n#

Dala" n*tasi A ; +aij, ini& aij !isa !erupa !ilangan atau

%ungsi#


11/26

'e!erapa "atriks khusus sering han$a

"e"iliki satu baris sajadise!ut matriks

baris / vektor barissedangkan "atrikskhusus $ang han$a "e"iliki satu kolom

saja dise!ut matriks kolom / vektor

kolom# (*nt*h 61

( ; +5 6 7 0, adalah "atriks !aris

!erdi"ensi 0:7 D adalah "atriks k*l*" !er*rd* 6:0


12/26

Dengan k*nsep "atriks +3ekt*r, !arisatau "atriks +3ekt*r, k*l*" inise!enarn$a setiap "atriks !isa dipandang

se!agai susunan dari !e!erapa 3ekt*r!aris atau susunan dari !e!erapa 3ekt*rk*l*"#

9adi untuk "atriks A ;

"aka 3ekt*r !aris dari "atriks A adalah+0 5 0, dan +6 7 8,

sedangkan 3ekt*r k*l*" dari "atriks Aadalah

3

1

4

2

5

1


13/26

Matriks Persegi (Square Matrices)

Suatu "atriks A ; +aij, dise!ut "atriks persegi

+"atriks !ujur sangkar, !ila i ; j ; 0& 5& 6& ###n# Di"ensi dari A adalah n:n& atau An:n#

Sedangkan unsur atau ele"enele"en dari Asede"ikian hingga "e"pun$ai indeks $angsa"a +aii,& seperti a00& a55& a66& a77& danseterusn$a& dise!ut dengan elemen diagonal#

9u"lah dari se"ua ele"enele"en diag*naldari suatu "atriks dise!ut dengan trace# 9adi

jika A "atriks persegi !erdi"ensi n& "aka 1trace A = (a11+ a22+ a33+ + ann) =

aii

i

n

=1


14/26

(*nt*h 7 1

Matriks H;

adalah "atriks persegi !erdi"ensi 5:5+atau -ukup dise!ut "atriks persegi

!erdi"ensi 5,# Sedangkan unsurunsur

5 dan 7 adalah ele"enele"endiag*nal# 9adi tra-e H ; 5 < 7 ; =


15/26

M ;

adalah "atriks persegi !erdi"ensi 7&

sedangkan unsurunsur 6& >& 7& dan ?

dise!ut ele"en diag*nal dari "atriks M&

dan !erarti tra-e M ; 6 < +>, < +7, < ?; @#


16/26

!esamaan Matriks

Dua "atriks A ; +aij, dan ' ; +!ij, dise!ut

sa"a jika dan han$a jika 1

"e"pun$ai di"ensi $ang sa"a

unsurunsur $ang sep*sisi "e"pun$ai

nilai$ang sa"a) aij; !ijuntuk setiap i dan

j#


17/26

(*nt*h 81

Matriks 1

H; K;

"aka H ; K& se!a! dua "atriks ini

"e"pun$ai di"ensi $ang sa"a $aitu 5:6&dan se"ua ele"en $ang sep*sisi nilain$a

sa"a#

63

241

4

4

2

8


18/26

(*nt*h =

Diketahui "atriks ' ;

dan "atriks ( ;

9ika "atriks ' ; (& !erapakah nilai : dan $ S*lusi 1

Dengan "elihat ele"snele"en $angsep*sisi dari "atriks ' dan (& "aka 1 : ; 8dan $ ; 0

432

124

31 x

432

24

351

y


19/26

Matriks Nol (Zero Matrices)

Suatu "atriks $ang se"ua ele"enn$a adalah

n*l +@, dise!ut dengan "atriks n*l# Matriks n*l

!iasan$a dila"!angkan dengan B# Se!agai

-*nt*h B5:6; dan B5:5;#

00

00

000

000


20/26

"ati#an 1

0# Tulislah "atriks !erikut ini dengan ele"enele"en

tertentu atau u"u"& jika 1A !erdi"ensi 6:7

' !erdi"ensi 0:8

( !erdi"ensi 6:6

D !erdi"ensi 7:6

E !erdi"ensi 7:0

5# 'erapakah !an$akn$a angg*ta +ele"en, dari suatu"atriks $ang 1

+a, !erdi"ensi 6:5+!, !erdi"ensi 5:>

+-, !erdi"ensi 7:7

+d, !erdi"ensi 0:n

+e, !erdi"ensi n:6

+%, !erdi"ensi n:n


21/26

Diketahui "atriks"atriks C ; +0 6 0

5,&

; H; K ;

L ; I ;

4

3

2

375

214

203

2101

2544

1313

2112

1233

2111

3112

1000

0100

0010

0001


22/26

!erturutturut se!agai "atriks C ; %+ij,& ; +gij,& H ; +hij,& K; +kij,& L ; +lij,& dan I ; +iij,#

+a, Tentukan ele"en %06& g50& h65& k76& l67& dan i57#

+!, Untuk pasangan indeks i dan j $ang "ana unsur iij; @&iij@

+-, 'erapa !an$akn$a ele"en dari "atriks C& & H& I& K&dan L

+d, Tentukan di"ensi dari "atriks C& & H& I& K& dan Lterse!ut &

"ana $ang "erupakan "atriks persegi +!ujur sangkar ,

+e, Mana saja 3ekt*r !aris dari "atriks C& H& dan K

+%, Mana saja 3ekt*r k*l*" dari "atriks H& I& K& dan L


23/26

7# Tentukan di"ensi $ang "ungkin dari"atriks $ang !an$akn$a ele"en adalah 1

+a, ena"+!, tujuh

+-, sepuluh

+d, delapan !elas8# Dari "atriks s*al n*# 6 terse!ut di atas&

!erapakah 1

+a, tra-e H+!, tra-e K

+-, tra-e I


24/26

=# (arilah nilai p& F& dan r jika "atriks

;

># 'erapakah :& $& dan 2 jika "atriks

;

?# (arilah nilai : dan $ jika "atriks

;

p

q

21

03

rp

02

+

yxyx

2

2

4

3


25/26

G# 'erapakah nilai a dan ! jika

;

0@# Tentukan nilai a& !& dan - jika

;

00# (arilah nilai a& !& dan -& jika

;

+142

48a

b

a

22

43

+ 130001

102

c

a

100

001

11 ba


26/26

05# (arilah nilai :& $& 2& dan s jika "atriks

;

06# ; B& tentukan nilai :& $&

2& dan s

1.pendahuluan matriks

Documents