MATRIKS DAN DETERMINAN

Teknik InformatikaUniversitas Brawijaya

PENGERTIAN Definisi: Matrik adalah susunan bilangan

atau fungsi yang diletakkan atas baris dan kolom serta diapit oleh dua kurung siku.

Bilangan atau fungsi tersebut disebut entri atau elemen matrik.

Lambang matrik dilambangkan dengan huruf besar, sedangkan entri (elemen) dilambangkan dengan huruf kecil.

Matrik mempunyai ukuran yang disebut Ordo yang menyatakan banyak baris x banyak kolom

Lambang Matrik

mnmm

n

n

aaa

aaaaaa

A

21

22221

11211

ijaA

Secara umum sebuah matrik dapat ditulis:

atau penulisan yang lebih singkat :

dengan i=1, 2, ..., m dan j=1, 2, ..., n.Indek pertama (i) menyatakan baris ke-i dan indeks kedua (j) menyatakan kolom ke-j.

Berapa Ordo Matriks A dan B ?A=

B=

Dalam contoh di atas ordo(A)= 2x5 dan ordo(B)=2x2a23= 1032b23= tidak adab21= sin x

138010320423451,022

73

13

2

sinln21xexxx

Jenis Matriks (1/7) Matrik Bujursangkar banyak baris = banyak kolom

Matrik Segitiga Atas,Matrik bujursangkar yang semua entri di bawah diagonal utama bernilai nol

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

A

Diagonal Utama

nn

n

n

a

aaaaa

00

0 222

11211

1000940063708126

Jenis Matriks (2/7) Matrik Segitiga Bawah,

matrik bujursangkar yang semua entri di atas diagonal utama bernilai nol

Matrik Diagonal, matrik bujursangkar yang semua entri di luar diagonal utama bernilai nol

nnnn aaa

aaa

21

2221

11

000

170062300430009

95

nna

aa

00

0000

22

11

1000060000400009

5

Jenis Matriks (3/7) Matrik Satuan,

matrik diagonal yang entri pada diagonal utama bernilai satu, lambang: In, n menyatakan ordo matrik satuan

Matrik skalar, matrik diagonal yang semua entri pada diagonal utama bernilai sama, asalkan tidak nol. atau c0. Efek dari perkalian sebarang matrik dengan matrik skalar adalah seperti mengalikan matrik sebarang tersebut dengan skalar c.

I4=

1000010000100001

I3=

100010001

I2=

1001

Jenis Matriks (4/7)

Matrik Nol, matrik yang semua entrinya nol. Dengan lambang: O jika ordo dipentingkan ditulis O53 untuk menyatakan matrik nol dengan ordo 5x3

c

cc

00

0000

100

010001

=c = cIn

000000

000000000000000

O23= O53=

Jenis Matriks (5/7) Matrik Invers,

matrik bujursangkar A disebut mempunyai invers, jika terdapat matrik B, sehingga memenuhi BA=AB=I, lambang: invers matrik B biasanya dinyatakan oleh A-1

dbca

ab

cdbcad

1

Untuk matrik berordo 2x2, telah diberikan rumus pencariannya, yaitu:

, maka A-1 = A=

4332

23

343.34.2

1

23

34A= , maka A-1 = =

Jenis Matrik (6/7)

Untuk mencari invers matrik bujur sangkar dengan ordo lebih dari 2, akan dibicarakan pada bagian berikutnya. Metode yang digunakan ada dua, yaitu: menggunakan matrik elementer (eliminasi Gauss-Jordan) dan menggunakan determinan bersama dengan matrik adjoin.

Namun dasar untuk menghitungnya tetap harus memperhatikan eliminasi Gauss dan definisi determinan.

Contoh

Apakah matrik di bawah ini termasuk: matriks segitiga atas, segitiga bawah, diagonal, ataukah skalar?

0000000000000000

Jawab

Termasuk matrik segitiga atas Termasuk matrik segitiga bawah Termasuk matrik diagonal Bukan matrik skalar, karena entry

pada diagonal utama nol semua, walaupun sama semua

Jenis Matriks (7/7) Matrik Simetri, yaitu

matriks bujursangkar yang memenuhi sifat A = AT

Matrik Skew-Simetri, matrik bujur sangkar yang memenuhi syarat AT = -A.

042451213

LATIHANJika matrik A di bawah ini termasuk matrik skew-simetri, tentukan a, b, dan c

A =

Jawab:

AT = = = -A

Sehingga didapat persamaan-persamaan: a = -1, b = 0, c = -2, 1= -a, 0 = -b, 2 = -c, berarti: a = -1, b = 0, dan c = -2

02001

0cba

020

010

cba

020010

cba

Operasi Matriks

Penjumlahan Matrik Perkalian Matrik dengan Skalar Transpos Matrik Perkalian Dua Matrik Trase Matrik

Penjumlahan matrik

Jika A=[aij], dan B=[bij]

Jumlah matrik A dan B ditulis: C = A + B Syarat: ordo A = ordo BAturan: cij=aij+bij {entri yang seletak dijumlahkan}

CONTOH

A= , B= , C=

Hitung: A+B, B+CJawab:

A+B= + =

A+B=

B+C=tidak terdefinisi, karena ordo C ≠ ordo B

1047

52

53

21

1047

52

53

21

713

423 21

2234

713

423 21

)7(10143745)2(23

53

21

21

3510103

53

back

Perkalian dengan Skalar

A=[aij] dan k skalar, maka:kA=[kaij] {semua entri dikalikan dengan k}

(-4) = =

Akibat:-A = (-1)A, sehingga A – B = A + (-B)

713

423 21

)7).(4(1).4(3).4(

4).4()2).(4().4( 27

2841216814

back

Transpos matrik

A=[aij], i=1, 2, ..., n ; j=1, 2, ..., m Jika B=AT , dan B=[bji], maka

bji = aji { kolom matrik A menjadi baris matrik AT }

A =

AT =

4533

72

437532

back

Perkalian dua MatrikA =[aij], i=1, 2, ..., n dan j=1, 2, ..., m

B=[bjk], k=1, 2, ..., p {banyak kolom A=banyak baris B}

C=ABcik=ai1b1k + ai2b2k + …+aimbmk=

vektor baris ke-i dari matrik A vektor kolom ke-k dari matrik B

entri matrik C adalah: cik =

m

jjkijba

1

ia

kb

ia

kb

Contoh Perkalian Matrik (1/ 2)A= , B= , dan C=AB

c23=

c21=

c13=

512

413

762141230

512

712

512

210

413

712

= 4 – 1 – 35 = -32

= 0 – 1 + 10 = 9

= -6 + 1 + 28 = 23

Contoh Perkalian Matrik (2/2)

c12= = -9 + 4 – 24 = -29

C=AB = =

512

413

762141230

32329

23297

back

413

643

HITUNG !!!

6650

2214

3021

AB

22

1143021

2214

BA

Sehingga: ABBA

Apakah AB=BA??? BuktikanJika:

2214

B 3021

A

Trase matrik

A=[aij], i=1, 2, ..., n dan j=1, 2, ..., n

{harus matrik bujur sangkar}Trase(A)=a11 + a22 + …+ ann

{penjumlahan dari seluruh entri pada diagonal utama}

A = ,

trase(A)= 2 – 2 + 1 = 1

114523302

Sifat-sifat Operasi Matrik (1/4)Terhadap operasi penjumlahan dan perkalian denganskalar

1. A+B=B+A {sifat komutatif}2. (A+B)+C=A+(B+C) {sifat asosiatif}3. A+O=O+A=A {sifat matrik nol, identitas penjumlahan}4. A+(-A)= -A+A=O {sifat negatif matrik}5. k(A+B)=kA+kB {sifat distributif terhadap skalar k}6. (k+l)A=kA+lA {sifat distributif terhadap skalar k dan l}7. (kl)A=k(lA) {sifat asosiatif terhadap perkalian skalar}8. 1A=A {sifat perkalian dengan skalar 1 (satu)}

Kedelapan sifat ini, nantinya akan dinyatakan sebagai aksioma (kebenaran tanpa perlu dibuktikan) sebagai syarat berlakunya Ruang Vektor

Sifat-sifat Operasi Matrik (2/4)

9. ABBA {tidak berlaku komutatif perkalian}10. (AB)C=A(BC) {sifat asosiatif}11. AI=IA=A {sifat matrik satuan, identitas

perkalian}12. AO=OA=O {sifat matrik nol} 13. (A+B)T = AT + BT {sifat transpos matrik terhadap

penjumlahan}14. Jika AB=O, tidak dijamin berlaku: A=O atau B=O

atau BA=O 15. (kA)B=k(AB)=A(kB)

Contoh AB=0

0201

A

43

00B

4300

0201

AB

0000

= , berarti AB=O

0201

4300

BA

05

00

Tetapi

= , berarti BAO

Sifat-sifat Operasi Matrik (3/4)

16. trase(A+B) = trase(A) + trase(B)17. trase(AT) = trase(A)18. trase(kA) = k trase(A)19. trase(Inxn) = n

Sifat-sifat Operasi Matrik (4/4)20. (A+B)C=AC+BC21. C(A+B)=CA+CB22. (AB)T = BTAT {urutan operasi dibalik}23. (kA)T=kAT

24. An = AA … A, jika n 0, dan I, jika n=0

25. ArAs=Ar+s, jika r dan s bilangan asli

26.

kn

k

k

k

d

dd

D

00

0000

2

1

Sebanyak n

Contoh Tambahan (1/3)

3112

2714

T

1806

1086

31

12

2174

1086

T

52541

54251

31

12

2174

131129

Jika A = , dan B =

(A + B)T = =

AT + BT = + =

(AB)T = =

ATBT = =

2174

31

12

54251BTAT = =

Contoh Tambahan (2/3)T

1

2

27

21

1

2

21

27

2174

1

2

21

27

62

24

20

02

3112

62

24

(½B)T = =

½ BT = ½ =

–2 A =

–2IA = =

3112

2714

A = , dan B =

Contoh Tambahan (3/3)

1806

trase(A) = 2 + 3 = 5trase(B) = 4 + (-2) = 2

trase(A+B) = trase( ) = 6 + 1 = 7

3112

3112

8553

8553

3112

1918181

A2 = AA= =

A3 = A2A = =

3112

2714

A = , dan B =

Determinan

Determinan Matriks Persegi Berordo 2

Matriks A =

dcba

Determinan matriks A adalah hasil kali elemen-elemen diagonal utama dikurangi hasil kali elemen-elemen diagonal samping.

Notasi determinan matriks A adalah A atau det A = ad – bc

Contoh

Jika A =

43

21maka det A =

4321

= ( 1)(4) – (2)(-3) = 4 +6

= 10

Determinan

Determinan Matriks Persegi Berordo 3

Matriks A =

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

Cara menentukan det A sebagai berikut :

det A = 3231

222113

3331

232112

3332

232211 aa

aaa

aaaa

aaaaa

a

312232211331233321123223332211 ... aaaaaaaaaaaaaaa

Determinan

Menggunakan aturan Saurrus

det A =

3231333231

2221232221

1211131211

aaaaaaaaaaaaaaa

+ + +---

332112322311312213322113312312332211 ............ aaaaaaaaaaaaaaaaaa