buku ajar matriks

52
BUKU AJAR MATEMATIKA TEKNIK “MATRIKS” KELOMPOK VI DENDI VIDYA SAPUTRA (140534601865) DENI HARIANTO (140534601358) DEWI AISHA SUDIRO (140534606623)

Upload: dennyargupa

Post on 23-Dec-2015

87 views

Category:

Documents


12 download

DESCRIPTION

Re type from K A Stroud

TRANSCRIPT

Page 1: BUKU AJAR Matriks

BUKU AJAR

MATEMATIKA TEKNIK

“MATRIKS”

KELOMPOK VI

DENDI VIDYA SAPUTRA (140534601865)DENI HARIANTO (140534601358)DEWI AISHA SUDIRO (140534606623)DODDY SUPRATONO (140534601989)

S1 PENDIDIKAN TEKNIK ELEKTRO 2014

OFFERING A

Page 2: BUKU AJAR Matriks

KATA PENGANTAR

Berkat rahmat dan ridha Allah SWT buku ajar Matematika Teknik bab Matriks

ini dapat diselesaikan. Buku ajar ini disusun dengan tujuan untuk memenuhi tugas akhir

mata kuliah matematika teknik 2.

Terselesaikannya buku ajar ini tidak lepas dari dukungan dan bimbingan

berbagai pihak. Oleh karena itu kami mengucapkan banyak terima kasih kepada dosen

yang membimbing dan juga pengarahan dalam proses penyusunan buku ajar ini, serta

kepada kedua orang tua kami yang telah membantu baik moral maupun materiil dalam

penyusunan buku ajar ini.

Dalam buku ajar ini, kami sebagai penyusun masih merasa belum maksimal

dalam mengerjakan buku ajar ini. Maka dari itu kami mohon maaf apabila ada

kekurangan dalam buku ajar ini.

Malang, 20 Maret 2015

Penulis

i

Page 3: BUKU AJAR Matriks

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ..........................................................................................................

.............................................................................................................................................i

DAFTAR ISI ......................................................................................................................

.............................................................................................................................................ii

Definisi ...............................................................................................................................

.............................................................................................................................................1

Notasi Matriks.....................................................................................................................

.............................................................................................................................................2

Kesamaan Matriks ..............................................................................................................

.............................................................................................................................................2

Penjumlahan dan Pengurangan Matriks .............................................................................

.............................................................................................................................................3

Perkalian Matriks ................................................................................................................

.............................................................................................................................................3

Transpose Matriks ..............................................................................................................

.............................................................................................................................................7

Matriks – Matriks Khusus ..................................................................................................

.............................................................................................................................................7

Determinan Matriks Bujur Sangkar ....................................................................................

.............................................................................................................................................10

Adjoin Matriks Bujur Sangkar ...........................................................................................

.............................................................................................................................................12

Invers Matriks Bujur Sangkar .............................................................................................

.............................................................................................................................................13

Pemecahan Sistem Persamaan Linear ................................................................................

.............................................................................................................................................16

Metode Eliminasi Gauss .....................................................................................................

.............................................................................................................................................19

ii

Page 4: BUKU AJAR Matriks

Nilai Eigen dan Vektor Eigen .............................................................................................

.............................................................................................................................................23

RANGKUMAN ..................................................................................................................

.............................................................................................................................................30

iii

Page 5: BUKU AJAR Matriks

Definisi

Matriks adalah sekumpulan bilangan riil ( atau elemen ) atau kompleks yang disusun menurut baris dan kolom sehingga membentuk jajaran ( array ) persegi panjang.

Matriks yang mempunyai m baris dan n kolom disebut matriks m x n ( yaitu ‘m kali n’ ) atau matriks berorde m x n.

Suatu matriks ditunjukkan dengan menuliskan jajarannya diantara kurung siku,

misalnya [5 7 26 3 8 ] adalah matriks 2 x 3, yaitu mtriks ‘2 kali 3’ dengan 5,7,2,6,3,8

adalah elemen – elemennya.

Perhatikan bahwa dalam menyatakan matriks, yang pertama adalah banyaknya baris dan yang kedua adlah banyaknya kolom.

[5 6 42 −3 27 8 76 7 5

] adalah matriks berorde 4x3, yaitu matriks dengan 4 baris & 3 kolom.

Matriks hanyalah sekedar jajaran sekumpulan bilangan: tidak ada hubungan arismetis antar elemen – elemennya. Matriks berbeda dari determinan, karena tidak ada harga numerik suatu matriks yang diperoleh dari perkalian antar elemennya. Juga, pada umumnya baris dan kolom tidak dapat dipertukarkan seperti dalam determinan.

Matriks baris ( line matrix ): suatu matriks baris hanya terdiri dari satu baris saja.

Contoh, [ 4 3 7 2 ] adalah matriks berorde 1x4.

Matriks kolom ( column matrix ): suatu matriks kolom hanya terdiri dari satu kolom saja.

Contoh, [638] adalah matriks kolom berorde.

Untuk menghemat tempat, matriks kolom seringkali dituliskan dalam satu garis, tetapi diberi kurung kurawal. Contoh, {6 3 8} menyatakan matriks yang sama dengan matriks kolom berorde 3x1.

Untuk menyatakan Jkoordinat x dan y sebuah titik relative terhadap sumbu x dan y, kita menggunakan matriks baris sederhana, walaupun dalam hal ini biasanya kita menggunakan kurung biasa.J Sebagai contoh, jika P adalah titik koordinat (3, 5) maka angka 3 menyatakan koordinat x dan angka 5 menyatakan koordinat y. Tetapi dalam

1

Page 6: BUKU AJAR Matriks

matriks pada umumnya tanda koma yang memisahkan elemen – elemennya tidak dicantumkan.j

Matriks berelemen tunggal : sebuah matriks dapat dipandang sebagai matriks berukuran 1x1, yaitu matriks yang hanya mempunyai 1 baris dan 1 kolom saja.

Notasi dua indeks : Masing – masing elemen suatu matriks memiliki ‘alamat’ atau tempat yang dapat ditentukan dengan menggunakan system dua-indeks, indeks pertama menyatakan baris dan indeks kedua menyatakan indeks kolom. Dengan demikian :

[a11 a12

a21 a22

a31 a32

a13 a14

a23 a24

a33 a34]

a23 menunjukkan elemen yang terletak pada baris kedua dan kolom ketiga.

Notasi Matriks : Jika tidak menimbulkan keragu – raguan, keseluruhan matriks dapat dinyatakan dengan sebuah elemen umum yang dituliskan dalam kurung siku, atau dengan sebuah huruf yang dicetak tebal. Penulisan ini singkat dan rapih, dan juga menghemat banyak huruf dan tempat. Sebagai contoh,

[a11 a12

a21 a22

a31 a32

a13 a14

a23 a24

a33 a34] dapat dinyatakan dengan [a ij] atau [a] atau dengan A saja.

Serupa dengan itu, [ xi

x2

x3] dapat dinyatakan dengan [x ij] atau [x] atau dengan X saja.

Untuk menyatakan matriks (m x n) akan kita gunakan huruf besar tebal, misalnya A. Untuk matriks baris atau matriks kolom kita gunakan huruf kecil tebal, misalnya x. (Dalam tulisan tangan, cetak tebal dapat digantikan dengan garis bergelombang dibawah huruf yang bersangkutan, misalnya A atau x).

Kesamaan Matriks : menurut definisinya, dua matriks dikatakan sama jika semua elemen yang bersesuaian letak sama. Karena itu kedua matriks tersebut harus pula berorde sama.

Jadi, jika[a11 a12 a13

a21 a22 a23] = [4 6 5

2 3 7]

2

Page 7: BUKU AJAR Matriks

maka a11 = 4; a12 = 6; a13 = 5; a21 = 2; dan seterusnya.

Dengan demikian, jika [a ij] = [x ij] maka [a ij] = [x ij] untuk semua harga i dan j.

Penjumlahan dan Pengurangan matriks : agar dua matriks dapat dijumlahkan atau dikurangkan, maka orde keduanya haruslah sama. Selanjutnya jumlah atau selisihnya diperoleh dengan menambahkan atau mengurangkan elemen – elemennya yang bersesuaian.

Contoh :[4 3 25 7 6] + [1 8 9

3 5 4]= [4+1 2+8 3+95+3 7+5 6+4] [5 10 12

8 12 10]

dan [6 5 129 4 8 ] - [3 7 1

2 10 −5] = [6−3 5−7 12−19−2 4−10 8+5 ] = [3 −2 12

7 −6 13 ]

Perkalian Matriks :

a) Perkalian dengan skalar : Mengalikan matriks dengan sebuah bilangan (yaitu

skalar) berarti mengalikan masing – masing elemennya dengan bilangan

tersebut.

Contoh : 4 x [3 2 56 1 7] = [12 8 20

24 4 28] yaitu secara umum, k[a ij] =[ka ij]Kebalikannya juga berlaku, yaitu kita dapat mengeluarkan faktor yang sama dari setiap elemen, bukan hanya dari satu baris atau kolom dalam determinan.

Karena itu [10 25 4535 25 50 ] dapat dituliskan sebagai 5x [2 5 9

7 3 10]b) Perkalian dua buah matriks : Dua buah matriks dapat dikalikan, satu terhadap

yang lain, hanya jika banyaknya kolom dalam matriks yang pertama sama

dengan banyaknya baris dalam matriks yang kedua.

3

Page 8: BUKU AJAR Matriks

Contoh A = [a ij] = [a11 a12 a13

a21 a22 a23] dan b = [b i] = [b1

b2

b3]

maka A . b = [a11 a12 a13

a21 a22 a23] . [b1

b2

b3]

= [a11 b1+a12b2+a13 b3

a21 b1+a22 b2+a23 b3]

yaitu masing – masing elemen matriks A dalam baris yang atas dikalikan dengan elemen yang bersesuaian dalam kolom pertama matriks b dan kemudian semua hasil-kalinya dijumlahkan. Serupa dengan itu, baris kedua dari hasil-kali kedua matriks diperoleh dengan mengalikan masing – masing elemen dalam baris kedua matriks A dengan elemen yang bersesuaian dalam kolom pertama matriks b.

Contoh 1 :

[4 7 62 3 1] . [859] = [4.8+7.5+6.9

2.8+3.5+1.9 ] = [32+35+5416+15+9 ]=[121

40 ]

Serupa dengan itu, [2 34 6

5 10 7] . [342

9] = [6+12+10+9

12+6+0+7 ] = [3799]

Contoh 2 :

Jika A = [a ij] = [1 52 73 4] dan B = [b ij] = [8 4

2 53 18 6]

Maka A.B = [1 52 73 4]. [8 4

2 53 18 6]

4

Page 9: BUKU AJAR Matriks

= [ 1.8+5.21.4+5.5 1.3+5.8 1.1+5.62.8+7.22.4+7.5 2.3+7.8 2.1+7.63.8+4.2 3.4+4.5 3.3+4.83.1+4.6]

= [ 8+10 4+25 3+40 1+3016+14 8+356+56 2+4224+812+20 9+323+24 ]

= [18 2930 4332 32

43 3162 4441 27 ]

Perhatikan bahwa perkalian matriks ( 3 x 2 ) dengan matriks ( 2 x 4 ) menghasilkan matriks berorde ( 3 x 4 ).

Yaitu orde ( 3 x 2 ) x orde ( 2 x 4 ) orde ( 3 x 4 ).

(sama)

Secara umum, perkalian matriks ( l x m ) dengan ( m x n ) akan menghasilkan matriks berorde ( l x n ).

Jika A = [2 4 63 9 5] dan B = [ 7 1

−2 94 3 ]

A . B = [2 4 63 9 5]. [ 7 1

−2 94 3 ]

=[ 14 – 8+24 2+36+1821 – 18+20 3+81+15]

= [30 562 99]

Contoh 3 :

Jelaslah bahwa suatu matriks hanya dapat dikuadradkan jika matriks tersebut merupakan matriks bujur sangkar, yaitu matriks dengan banyak barisnya sama dengan banyak kolomnya.

5

Page 10: BUKU AJAR Matriks

Jika A = [4 75 2]

A2 = [4 75 2] . [4 7

5 2]= [16+35 28+14

20+10 35+4 ] = [51 4230 39 ]

Ingatlah bahwa perkalian hanya didefinisikan jika………

Benar. Jadi [1 5 94 9 7] . [2 3 5

6 7 1] tidak ada artinya

Jika A adalah matriks ( m x n )

maka perkalian A . B dan B . A keduanya mungkin dilakukan

dan B adalah matriks ( n x m )

Contoh :

Jika A = [1 2 34 5 6] dan B = [7 10

8 119 12]

maka A.B = [1 2 34 5 6] . [7 10

8 119 12]

= [ 7+16+27 10+22+3628+40+54 40+55+72] = [ 50 68

122 167]

6

Banyaknya kolom dalam matriks pertama = banyaknya baris dalam kolom kedua

Page 11: BUKU AJAR Matriks

dan B.A = . [7 108 119 12] . [1 2 3

4 5 6]

= [7+40 14+50 21+608+44 16+55 24+669+48 18+60 27+72 ]

= [47 64 8152 71 9054 78 99]

Perhatikan bahwa dalam perkalian matriks, A.B ≠ B.A, yaitu perkalian matriks non-komunitatif. Urutan factor dalam perkalian sangatlah penting !

Dalam perkalian A.B, B dikalikan-kiri ( pre-multiplied ) dengan A

dan A dikalikan-kanan ( post-multiplied ) dengan B

Transpose Matriks : Jika baris dan kolom suatu matriks dipertukarkan,

maksudnya : baris pertama menjadi kolom pertama

baris kedua menjadi kolom kedua

baris ketiga menjadi kolom ketiga, dan seterusnya

maka matriks baru yang terbentuk disebut transpose dari matriks semula. Jika matriks semula adalah A, maka transposenya dinyatakan dengan à atau AT . Kita akan

menggunakan notasi yang terakhir AT .

Jika A = [4 67 22 5 ] maka AT = [4 7 2

6 9 5]

Karena itu, jika diberikan

7

Page 12: BUKU AJAR Matriks

A =[2 7 63 1 5] dan B = [4 0

3 71 5]

Maka A . B = [35 7920 32] ; ( A . B ¿T = [35 20

79 32 ]

Matriks – Matriks Khusus :

a) Matriks bujur sangkar adalah matriks berorde m x m.

Contoh : [1 2 56 8 91 7 4] adalah matriks 3 x 3

Matriks bujur sangkar [a ij] disebut simetrik jika a ij = a ji

Contoh : [1 2 52 8 95 9 4] yaitu matriks tersebut simetris terhadap diagonal

utamanya

Perhatikan bahwa disini berlaku A = AT

Matriks bujur sangkar [a ij] disebut anti simetrik jika a ij = - a ji

contoh : [ 0 2 52 0 9

−5 −9 0 ]Dalam hal ini, A = AT

b) Matriks diagonal adalah matriks bujur sangkar yang semua elemennya sama

dengan nol, kecuali elemen pada diagonal utamanya, jadi,

[5 0 00 2 00 0 7 ]

c) Matriks satuan matriks diagonal yang semua elemen diagonal utamanya sama

dengan satu, yaitu,

8

Page 13: BUKU AJAR Matriks

[1 0 00 1 00 0 1 ]

Matriks satuan dinyatakan dengan I.

Jika A = [5 2 41 3 87 9 6] dan I = [1 0 0

0 1 00 0 1 ] maka A . I = [5 2 4

1 3 87 9 6]

Yaitu A . I = A

Serupa dengan itu, jika kita bentuk perkalian I . A kita peroleh

I . A = [1 0 00 1 00 0 1 ] . [5 2 4

1 3 87 9 6]

= [5+0+0 2+0+04+0+00+1+00+3+00+8+00+0+7 0+0+90+0+6]

= [5 2 41 3 87 9 6] = A

Jadi sifat matriks satuan I sangat mirip dengan bilangan satu dalam ilmu hitung dan aljabar biasa.

d) Matriks nol adalah matriks yang semua elemennya sama dengan nol.

Yaitu [0 0 00 0 00 0 0 ] dan dinyatakan dengan 0 atau cukup 0 saja

Jika A . B = 0, kita tidak dapat menarik kesimpulan bahwa A = 0 atau B = 0.

9

Page 14: BUKU AJAR Matriks

karena jika A = [2 1 −36 3 −9 ] dan B = [1 9

4 −62 4 ]

maka A . B = [2 1 −36 3 −9 ] . [1 9

4 −62 4 ]

= [ 2+4 – 6 18 –6 – 126+12 – 18 54 –18 – 36] = [0 0

0 0]Jelas bahwa A . B = 0, tetapi A ≠ 0 dan B ≠ 0.

Berikut ini adalah ulangan pendek. Kerjakan tanpa melihat lagi kedepan.

1. Jika A =[4 63 1

7 59 4 ] dan B=[2 8

5 23 −1

−4 6 ]Tentukan (a) A + B dan (b) A-B

2. Jika A =[4 32 76 1] dan B=[5 9 2

4 8 8]Tentukan (a) 5A; (b) A . B ; (c) B . A

3. Jika A =[2 65 74 1 ] dan B=[3 2

0 72 3] maka A . B = . . . . . .

4. Jika diberikan A = [4 2 61 8 7] maka tentukanlah (a) AT dan (b) A . AT

Determinan matriks bujur sangkar. Determinan matriks bujur sangkar adalah determinan yang mempunyai elemen – elemen yang sama dengan matriks tersebut. Sebagai contoh,

Determinan dari [5 2 10 6 38 4 7] adalah [5 2 1

0 6 38 4 7]

10

Page 15: BUKU AJAR Matriks

Dan harga determinan ini adalah

= 5(42-12) – 2(0-24) + 1(0-48)

= 5(30) – 2(-24) + 1(-48) = 150 + 48 – 48 = 150

Perhatikan bahwa matriks tranposenya adalah [5 0 82 6 41 3 7 ] dan determinan dari transpose

ini adalah [5 0 82 6 41 3 7 ] yang harganya sama dengan

5(42-12) – 0(14-4) + 8(6-6) = 5(30) = 150

Hal ini menunjukkan bahwa determinan suatu matriks bujur sangkar memiliki harga yang sama dengan determinan matriks transposenya.

Suatu matriks yang determinannya sama dengan nol disebut matriks singular.

Harga determinan matriks adalah [3 2 55 7 91 8 6] adalah .................

Dan harga determinan matriks diagonal [2 0 00 5 00 0 4]adalah ...............

Kofaktor. Jika A = [a i j ] adalah matriks bujur sangkar, kita dapat membentuk

determinan elemen – elemennya adalah

|a11 a12 a13

a21 a22 a23

⋯ a1 n

⋯ a2 n

a31 a32 a33

⋮ ⋮ ⋮an 1 an2 an 3

⋯ a3n

¿ ¿ann

¿|Masing – masing elemen memberikan kofaktor, yang tidak lain daripada minor elemen dalam deeterminan bersama – sama dengan ‘tanda tempat’-nya, yang rinciannya telah dijelaskan dalam progam sebelum ini.

Sebagai contoh , determinan matriks A = [2 3 54 1 61 4 0] adalah

11

Page 16: BUKU AJAR Matriks

Det A = |A| = |2 3 54 1 61 4 0| yang harganya sama dengan 45.

Minor elemen 2 adalah |1 64 0| = 0 – 24 = - 24

Tanda tempatnya +. Jadi kofakor elemen 2 adalah + (-24) yaitu -24

Serupa dengan itu, minor elemen 3 adalah|4 61 0| = 0 - 6 = -6

Tanda tempatnya -. Jadi kofaktor elemen 3 adalah – (6) = 6

Untuk masing – masing elemen, minornya diperoleh dengan menghilangkan baris yang muatan elemen yang bersangkutan dan kemudian dibentuk determinan dari masing – masing yang tersisa. Tanda tempat yang sesuai diberikan oleh

¿

Tanda plus dan minus bergantian, dimulai dengan tempat di sudut kiri atas yang

memuat tanda +. Jadi, dalam contoh diatas, minor elemen 6 adalah |2 31 4| yaitu 8 – 3 =

5. Tanda tempatnya -. Sehingga kofakkor elemen 6 adalah – 5.

Dengan demikian, untuk matriks [7 1 −26 5 43 8 9 ], kofaktor elemen 3 adalah ....... dan

kofaktor elemen 4 adalah ...............

Adjoin matriks bujur sangkar:

Jika kita mulai dengan A = [2 3 54 1 61 4 0] , determinannya adalah

12

Page 17: BUKU AJAR Matriks

Det A = |A| = |2 3 54 1 61 4 0| dari sini kita dapat membentuk matriks baru C yang elemen –

elemennya kofaktor

C = [ A11 A12 A13

A21 A22 A23

A31 A32 A33]

dengan A11 adalah kofaktor a11

Aij adalah kofaktor a ij dst.

A11 = + |1 64 0| = + (0 – 24) = -24

A12 = - |4 62 0| = - (0 – 6) = 6

A13 = + |4 11 4| = + (16 – 1) = 15

A21 = + |3 54 0| = - (0 – 20) = 20

A22 = - |2 51 0| = - (0 – 5) = +5

A23 = +|2 31 4| = + (8 – 3) = +5

A31 = + |3 51 6| = + (18 – 5) = 13

A32 = - |2 54 6| = - (12 – 20) = 8

A33= + |2 34 1| = + (2-12) = - 10

∴ Matriks kofaktornya adalah C = [−24 6 1520 −5 −513 8 −10]

13

Page 18: BUKU AJAR Matriks

Dan tranpose dari C, yaitu CT =[−24 20 136 −5 815 −5 −10]

Matriks ni disebut matriks adjoin dari matriks A semula dituliskan adj. A

Jadi, untuk memperoleh adjoin suatu matriks bujur sangkar A kita harus

(a) Membentuk matriks kofaktor C(b) Menuliskan transpose C, yaitu CT

Dengan demikian adjoin dari matriks [5 2 13 1 44 6 3 ] adalah ..........

Invers matriks bujur sangkar

Adjoin suatu matriks bujur sangkar sangatlah penting, karena matriks inimemungkinkan untuk membentuk invers matriks yang bersangkutan. Jika masing – masing elemen dari matriks adjoin A dibagi dengan harga determinan A yaitu |A|, (asal saja |A| ≠ 0), maka diperoleh matriks baru yang disebut invers dari matriks A dan dituliskan dengan A-1

.

Untuk matriks yang kita gunakan dalam bingkai yang lalu yaitu, A = [2 3 53 1 61 4 0],

Det A = |A| = [2 3 53 1 61 4 0] = 2(20 – 24) – 3(0 – 6) + 5(16 – 1) = 45

Matriks kofaktornya adalah C = [−24 6 1520 −5 −513 8 −10]

Dan matriks adjoin dari A, yaitu CT = [−24 20 136 −5 815 −5 −10]

Maka invers dari A diberikan oleh

14

Page 19: BUKU AJAR Matriks

A-1 = [−2445

2045

1345

645

−545

845

1545

−545

−1045

] = 1

45 [−24 6 15

20 −5 815 −5 −10]

15

Page 20: BUKU AJAR Matriks

Jadi, untuk membentuk invers dari matriks bujur sangkar A:

(a) Hitung determinan A, yaitu |A|(b) Bentuk matriks C yang elemen – elemennya adalah kofaktor alemen |A|(c) Tulislah transpose matriks C, yaitu CT untuk memperoleh adjoin A (d) Bagilah masing – masing elemen CT dengan |A|(e) Matriks terakhir yang diperoleh adalah matriks invers A-1 dari matriks A semula

Marilah kita lihat pelaksanaannya secara terinci melalui sebuah contoh.

Untuk memperoleh invers dari A =[1 2 34 1 56 0 2] ,

(a) Pertama – tama kita hitung determinan A, yaitu |A|. |A|= ..........

|A| = [1 2 34 1 56 0 2] = 1(2 – 0) – 2(8 – 30) + 3(0 – 6) = 28

(b) Sekarang kita bentuk matriks kofaktor . C = ......A11 = +(20-1)=2; A12 = -(8-30)=22; A13 = +(0-6)= -6A21 = -(2-0)=0;A22 = +(2-18)=-16; A23 = -(0-12)=12A31 = +(10-3)=7; A32= -(5-12)=7; A33 = +(1-8)=-7;

(c) Kemudian kita tuliskan transpose matriks C untuk memperoleh adjoin matriks A

Adj A = CT= [ 2 −4 722 −16 7−6 12 −7]

(d) Akhirnya, elemen – elemen adj A kita bagi dengan harga |A|, yaitu 28, untuk memperoleh A-1, invers matriks A.

A-1 = 128

[ 2 −4 722 −16 7−6 12 −7]

Sekarang marilah kita lihat beberapa penggunaan invers.Perkalian matriks bujur sangkar dengan inversnya.

Dari contoh sebelum ini telah kita lihat bahwa A = [1 2 34 1 56 0 2]

Maka A-1 = 1

28 [ 2 −4 722 −16 7−6 12 −7 ]

16

Page 21: BUKU AJAR Matriks

17

Page 22: BUKU AJAR Matriks

Sehingga A-1 . A= 1

28 [ 2 −4 722 −16 7−6 12 −7 ] [1 2 3

4 1 56 0 2]

=1

28 [ 2−16+24 4−4+0 6−20+14

22−24+42 44−14+0 66−80+14−6+48−42 −12+12+0 −18+60−14]

= 128

[28 0 00 28 00 0 28]

= [1 0 00 1 00 0 1 ]=I

∴ A-1 . A = I

Dan juga A . A-1 = [1 2 34 1 56 0 2] 1

28 [ 2 −4 722 −16 7−6 12 −7 ]

=1

28 [1 2 34 1 56 0 2] [ 2 −4 7

22 −16 7−6 12 −7]

= ................. Selesaikanlah

A . A-1 = 1

28 [28 0 0

0 28 00 0 28]= [1 0 0

0 1 00 0 1 ]=I

∴ A-1 . A = A . A-1 = I

Hasil ini memperlihatkan bahwa perkalian suatu matriks bujur sangkar dengan inversnya, dalam urutan bagaimanapun, akan menghsilkanm matriks satuan dalam orde yang sama dengan matriks yang semula.

18

Page 23: BUKU AJAR Matriks

Pemecahan sistem persamaan linierTinjaulah sistem persamaan linear

a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + . . . + a1n xn = b1

a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + . . . + a2n xn = b2

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮an 1 x1 + an 2 x2 + an 3 x3 + . . . + ann xn = bn

Dari bekal kita tentang perkalian matriks, sistem persamaan diatas dapat dituliskan dalam bentuk matriks

[a11 a12 a13

a21 a22 a23

⋯ a1 n

⋯ a2 n

⋮ ⋮ ⋮an 1 an 2 an 3

¿ ⋮¿

ann

¿ ] . [ x1

x2

⋮xn

] = [b1

b2

⋮bn

]Yaitu A . x = b

Dengan A = ¿; x = [ x1

x2

⋮xn

] ; dan b = [b1

b2

⋮bn

]Jika kedua kedua ruas persamaan matriks tersebut kita kaliakan dengan invers ini, maka kita akan peroleh

A-1 . A . x = A-1 . bTetapi A-1 . A = I ∴I . x = A-1 . b yaitu x = A-1 . b

Kita lihat bahw jika kita bentuk invers dari matrik koofisien dan matriks b kita kalikan kiri (pre-multiply) dengan matriks invers ini, maka akan kita peroleh matriks pemecahan x.

Contoh Pecahkan sistem persamaanx1 + 2 x2 + x3 = 43 x1 - 4 x2 - 2 x3 = 25 x1 + 3 x2 + 5 x3 = -1

Pertama – tama kita tuliskan sistem persamaan ini dalam bentuk maktriks, maka kita dapatkan

19

Page 24: BUKU AJAR Matriks

[1 2 13 −4 −25 3 5 ]. [ x1

x2

x3]=[ 4

2−1]

Yaitu A .x = b ∴x= A-1 . b

Langkah selanjutnya adalah mencari invers matriks A, dengan A adalah matriks koofisien x. Kita akan mengetahui bagaimana menentukan invers suatu matriks.

Karena |A|=|1 2 13 −4 −25 3 5 |=−14−50+29=29−64∴|A|=−35

Kofaktor

A11=+(−20+6 )=−14 ; A12=−(15+10 )=−25; A13=+(9+20 )=29

A21=− (10−3 )=−7 ; A22=+(5−5 )=0 ; A23=− (3−10 )=7

A31=+(−4+4 )=0 ; A32=−(−2−3 )=5 ; A33=+ (−4−6 )=10

∴C [−14 −25 29−7 0 70 5 −10]∴adj A=CT=[−14 −7 0

−25 0 529 7 −10]

Telah diperoleh |A|=−35∴ A−1=adj A|A| =−1

35 |−14 −7 0−25 0 529 7 −10|

∴ x=A−1 .b=−135 [−14 −7 0

−25 0 529 7 −10] . [ 4

2−1]=…………… .. kalikan

20

A−1=−135 [−14 −7 0

−25 0 529 7 −10]

x=−135 [ −70

−105140 ]=[ 2

3−4 ]

Page 25: BUKU AJAR Matriks

Sehingga akhirnya x=[x1

x2

x3]=[ 2

3−4]∴ x1=2 ; x2=3 ; x3=−4

Sekali anda telah mendapatkan inversnya, selanjutnya mudah, hanya tinggal menghitung perkalian

x=A−1 . b

Berikut ini diberikan satu contoh lagi, pecahkanlah dengan cara yang sama jika

2 x1−x2+3 x3=2

x1+3 x2−x3=11

2 x1−2 x2+5 x3=3

Maka x1=………… .. ; x2=………… .. ; x3=………… ..

Pokok – pokok langkah penyelesaiannya adalah sebagai berikut :

[2 −1 31 3 −12 −2 5 ] .[ x1

x2

x3]=[ 2

113 ] yaitu A . x=b∴ x=A−1 . b

det A=[ A ]=9

C=[ 13 −7 −8−1 4 2−8 5 7 ]∴adj A=CT=[ 13 −1 −8

−7 4 5−8 2 7 ]

A−1=CT

|A|=19 [ 13 −1 −8

−7 4 5−8 2 7 ]

21

x1=−1 ; x2=−5 ;x3=3;

Page 26: BUKU AJAR Matriks

x=A−1 . b=19 [ 13 −1 −8

−7 4 5−8 2 7 ] .[ 2

113 ]=1

9 [−94527 ]=[−1

53 ]

∴ x=[ x1

x2

x3]=[−1

53 ]∴ x1=−1 ; x2=5 ; x3=3

22

Page 27: BUKU AJAR Matriks

Metode Eliminasi Gauss untuk memecahkan sistem persamaan linier

[a11

a21

.

.

.an 1

a12 a13

a22 a23

.

.

.an 2

.

.

.an3

a… a1 n

a… a2 n

.

.

.a…

.

.

.ann

] .[x1

x2

.

.

.xn

]=[b1

b2

.

.

.bn

] yaitu A . x=b

Semua hal yang diperlukan untuk memecahkan sistem persamaan diatas dikandung oleh matriks koefisien A dan matriks kolom b. Jika elemen – elemen matriks b kita tuliskan dalam matriks A, maka kita peroleh matriks yang diperluas (augmented matrix) B untuk sistem persamaan tersebut.

yaitu B=[a11

a21

.

.

.an 1

a12 a13

a22 a23

.

.

.an2

.

.

.an3

a… a1 n

a… a2 n

.

.

.a…

.

.

.ann

]b1

b2

.

.

.bn

(a) Sekarang kita eliminasikan elemen – elemen dalam kolom pertama, kecuali elemen a11, dengan jalan mengurangi baris kedua dengan a21/a11kalibaris

pertama dan mengurangi baris dengan a31/a11 kali baris pertama, demikian seterusnya.

(b) Langkah ini menghasilkan matriks baru yang berbentuk

[a11

0...0

a12 a13

a22 a23

.

.

.an2

.

.

.an3

a… a1n

a… a2n

.

.

.a…

.

.

.ann

]b1

b2

.

.

.bn

Proses tersebut kita ulangi lagi mengeliminasi elemen kolom kedua c i 2 mulai dari baris ketiga kebawah.Barangkali dengan contoh langkah akan lebih jelas. Karena itu pindahlah ke bingkai selanjutnya.

23

Page 28: BUKU AJAR Matriks

24

Page 29: BUKU AJAR Matriks

Contoh pecahkanlah x1−2 x2−3 x3=3

2 x1−x2−x3=11

3 x1−2 x2+x3=−5

Persamaan ini dapat ditulis sebagai

[1 2 −32 −1 −13 2 1 ].[ x1

x2

x3] = [ 3

11−5]

Matriks yang diperluas menjadi

[1 2 −3 ⋮ 32 −1 −1 ⋮ 113 2 1 ⋮ −5 ]

Kurangi baris kedua dengan 21

kali baris pertama dan baris ketiga dengan 31

kali

baris pertama

Langkah ini memberikan

[1 2 −3 ⋮ 30 −5 5 ⋮ 50 −4 10 ⋮ −14]

Sekarang kurangi baris ketiga dengan −4−5

, yaitu 45

, kali baris kedua.

Matriksnya menjadi

[1 2 −3 ⋮ 30 −5 5 ⋮ 50 −0 6 ⋮ −18]

Dengan langkah ini matriks koefisien x telah direduksi menjadi matriks segitiga. Akhirnya, kita letakkan kolom kanan kembali ke posisinya semula.

[1 2 −30 −5 50 0 6 ].[ x1

x2

x3] = [ 3

5−18]

25

Page 30: BUKU AJAR Matriks

Dengan subtitusi mundur , mulai dengan baris yang paling bawah kita peroleh

6 x3=−18∴ x3=3 x3=−3

−5 x2+5 x3=5∴−5 x2=5+15=20∴ x2=5

x1+2 x2−3 x3=3∴ x1−8+9=3∴ x1=2

perhatikan bahwa dalam mengolah matriks yang diperluas, jika dikehendaki kita boleh

(a) Mempertukarkan dua baris(b) Mengalikan baris dengan faktor yang tidak nol (c) Menambahkan (atau mengurangakan) kelipatan salah satu baris dengan (atau

dari) baris lain.

Operasi ini diperkenankan karena kita menangani koefisien – koefisien dari kedua ruas persamaan.

Contoh pecahkanlah sistem persamaan berikut x1−4 x2−2x3=21

2 x1+x2+2 x3=3

3 x1+2 x2−x3=−2

Pertama – tama kita tuliskan persamaan diatas dalambentuk matriks, yaitu..............................

Matriks yang diperoleh .................................

26

[1 −4 −22 1 23 2 −1].[ x1

x2

x3] =

[123−4

12

−22

−1¿⋮⋮⋮

213

−2]

Page 31: BUKU AJAR Matriks

Sekarang kita dapat mengeliminasi koefisien x1 dari baris kedua dan ketiga dengan .................... dan...............

Sehingga matriksnya menjadi

[100−49

14

−265

¿⋮⋮⋮

−2139

−65]Selanjutnya kita kurangi baris ketiga dengan ..................kali baris kedua

Jika kita lakukan langkah ini, matriksnya menjadi

[100−490

−26

−4,33¿⋮⋮⋮

−2139

−4,33]Kembalikan ke dalam bentuk persamaan matriks

[1 −4 −20 9 60 0 −4,33 ].[ x1

x2

x3] = [ 21

−39−4,33]

Dengan mulai dari bawah, kita dapat memperoleh penyelesaiannya x1=……… x2=……… x3=………

Berikut ini kita akan membahas sesuatu hal yang agak berbeda.

27

Mengurangi baris kedua dengan 2 kali baris pertama

Dan baris ketiga 3kali baris pertama

149

x1=3 ; x2=−5 ; x3=1

Page 32: BUKU AJAR Matriks

Nilai eigen dan Vektor eigen

Seringkali dalam penerapan matriks untuk persoalan teknik yang menyangkut gandengan osilasi atau vibrasi, kita jumpai persamaan dalam bentuk

A . x=λx

Dengan A=[aij ] adalah matriks bujur – sangkar dan λ adalah bilangan (skalar). Jelas

bahwa x=0

Adalah solusi untuk berapa pun harga λ dan biasanya solusi ini tidak banyak gunanya. Untuk solusi non – trival, yaitu x≠ 0 ,harga λ yang memenuhi persamaan itu disebut nilai eigen, atau nilai kharakteristik, atau akar laten dari matriks A dan solusi yang bersesuaian dengan persamaan yang diberikan A . x=λx

Disebut vektor eigen atau vektor karakteristik dari A.

Bila persamaan diatas dinyatakan dalam bentuk sistem persamaan yang terpisah, kita peroleh

[a11

a21

.

.an 1

a12

a22

.

.an 2

⋯⋯..⋯

a1 n

a2 n

.

.ann

] . [ x1

x2

.

.xn

] ¿ λ [x1

x2

.

.xn

]Yaitu a11 x1+a12 x2+….+a1n xn= λ x1

a21 x1+a22 x2+….+a2n xn=λ x2

an x1+an 2 x2+….+ann xn=λ xn

Bila ruas kanan dipindahkan ke ruas kira, persamaannya menjadi

¿

Yaitu

¿

A . x=λx menjadi A . x−λx=0

Atau ( A−λI ) x=0

Perhatikan, kita sisipkan matriks satuan kedalam persamaannya karena matriks hanya dapat dikurangi dengan matriks lagi.

28

Page 33: BUKU AJAR Matriks

Agar sistem persamaan linier homogen ini (yaitu semua konstanta diruas kanan sama dengan nol). Mempunyai solusi non – trivial, maka haruslah |A−λI|=0.

|A−λI|=¿

|A−λI| disebut determinan karakteristik dari A dan |A−λI|=0 disebut persamaan

karakteristiknya. Dengan menjabarkan determinan tersebut, akan kita peroleh sebuah polinomial derajat n dan pemecahan persamaan karakteristiknya memberi harga λ, yaitu nilai eigen dari A.

Contoh 1. Mencari nilai eigen dari matriks A=[4 −12 1 ]

A . x=λx yaitu ( A−λI ) x=0

Determinan karakteristik |A−λI|=¿

Persamaan karakteristik

|A−λI|x=0

∴(4− λ) (1−λ )+2=0∴4−5 λ+λ2+2=0

∴ λ2−5 λ+6=0∴(λ−2) ( λ−3 )=0

∴ λ=2atau 3∴ λ1=2 ; λ2=3

Contoh 2. Mencari nilai eigen dari matriks A=[2 3 −21 4 −22 10 −5]

29

Page 34: BUKU AJAR Matriks

Determinan karakteristiknya adalah ..............................

Jabaran determinan ini memberikan

(2− λ ) {(4−λ ) (−5−λ )+20 }−3 {(−5−λ )+4 }−2 {10−2 ( 4−λ ) }

¿ (2− λ ) {−20+λ+ λ2+20 }+3(1+λ)−2(2+2 λ)

¿ (2− λ ) {λ2+λ }+3(1+λ)−4 (1+λ)

¿ (2− λ ) λ ( λ+1 )−(1+ λ )=(1+ λ ) (2 λ− λ2−1 )=−(1+ λ)(1−λ)2

Persamaan karakteristik :

(1+λ ) (1− λ )2=0∴ λ=−1;1 ;1

∴ x1=−1 ; x2=1; x3=1

Yang berikut ini untuk anda

Tentukan nilai eigen dari matriks A=[ 1 −1 01 2 1

−2 1 −1]Kerjakanlah menurut langkah – langkah yang sama seperti diatas.

λ=…………

Penyelesaiannya adalah sebagai berikut:

Persamaan karakteristik : |(1−λ) −1 01 (2−λ) 1

−2 1 (−1−λ)|=0

∴ (1−λ ) {(2− λ ) (−1−λ )−1}+1(−1−λ+2)+0=0

(1− λ ) {λ2− λ−3 }+1−λ=0

30

|(2−λ) 3 −21 (4−λ) −22 10 (−5− λ)|

x1=−1 ; x2=1; x3=2

Page 35: BUKU AJAR Matriks

∴1−λ=0atau λ2−λ−2=0

∴1−λ=0atau ( λ+1 ) ( λ−2 )=0 yaitu λ=−1 atau2

∴ x1=−1 ; x2=1; x3=2

Vektor eigen : untuk setiap nilai eigen yang diperoleh terdapat solusi x yang bersesuaian dengannya, yang disebut faktor eigen. Dalam bahasa matriks, istilah ‘vektor’ menyatakan matriks baris atau matriks kolom.

Contoh 1. Tinjaulah persamaan

A . x=λx dengan A=[4 13 2]

Persamaan karakteristiknya adalah |(4−λ) 13 (2−λ)| = 0

∴ ( 4−λ ) (2− λ )❑−3=0∴ λ2−6 λ+5=0

∴ ( λ+1 ) ( λ−5 )=0∴ λ=1 atau5

λ1=1; λ2=5

Untuk λ1=1 persamaan A . x=λxmenjadi

[4 13 2] .[ x1

x2]=1 .[ x1

x2]

4 x1+x2=x1

3 x1+2 x2=x2} Persamaan diatas yang mana pun akan memberikan x2=−3 x1

Hasil ini menyatakan bahwa berapa pun nilai x1 , nilai x2 selalu −3 kalinya. Dengan

demikian , vektor vektor eigen dalam bentuk x1=[ k−3 k ] merupakan bentuk umum dari

sekian banyak vektor eigen yang demikian. Vektor eigen yang paling sederhana adalah

x1=[ 1−3 ] .

Untuk λ2=5, akan diperoleh hasil yang serupa. Tentukanlah vektor eigennya dengan cara yang sama.

x2=…………

31

x2 = [kk ]adalah solusi umum ; x2 = [11] adalah salah satu solusi .

Page 36: BUKU AJAR Matriks

Karena, jika λ2=5 [4 13 2] . [ x1

x2]=5[ x1

x2]=[5 x1

5 x2]

∴4 x1+x2=5 x1 ∴ x1=x2 ∴ x2=¿ [11] adalah solusi

Jadi , x1=[ 1−3 ] adalah vektor eigen yang bersesuaian dengan λ1=1

Dan x2=[11] adalah vektor eigen yang bersesuaian dengan λ2=5

Contoh 2. Tentukan nilai eigen dan vektor eigen untuk persamaan

A . x=λx dengan A=[ 2 0 1−1 4 −1−1 2 0 ]

Persamaan karakteristiknya adalah|(2−λ) 0 1−1 (4−λ) −1−1 2 −λ| ¿0

∴ (2−λ ) {−λ (4−λ )+2 }+1{¿

∴ (2−λ ) {λ2−4 λ+2 }+(2−λ)=0

∴ (2−λ ) {λ2−4 λ+3 }=0 ∴ λ=… ………

Untuk λ1=1[ 1 0 1−1 3 −1−1 2 −1] .[ x1

x2

x3]=[000]

x1+ x3=0∴ x3=−x1

−x1+2 x2−x3=0∴−x1+2 x2+ x1=0∴ x2=0

32

λ=1 ,2,3

Page 37: BUKU AJAR Matriks

∴ x1=[ 10

−1] adalah vektor eigen yang bersesuaian dengan λ1=1.

Untuk λ2=2[ 0 0 1−1 2 −1−1 2 −2] .[ x1

x2

x3]=[000]

Jadi, vektor eigen yang bersesuaian dengan λ2=2adalah

x2 = [210]kerena x3= 0 dan –x1 + 2x2 – x3 = 0 ∴ x1 = 2x2.

Untuk λ3, vektor eigennya dapat dicari dengan jalan serupa, dan diperoleh

X3 = [121]Untuk λ3=3[−1 0 1

−1 1 −1−1 2 −3] . [x1

x2

x3]=[000]

∴−x1+ x3=0∴ x3=x1

−x1+ x2−x3=0∴−2 x1+x2=0∴ x2=2 x1

Bila kita kumpulkan kembali hasilnya, kita peroleh

x1 = [ 10

−1] adalah vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen λ1=1

x2 = [210] adalah vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen λ2=5

x3 = [121] adalah vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen λ3=3

33

Page 38: BUKU AJAR Matriks

Satu soal yang berikut adalah untuk anda kerjakan sendiri. Caranya sama seperti tadi.

Jika A . x = λ x dengan A = [ 1 −1 01 2 1

−2 1 −1] dan nilai eigennya

Diketahui ʎ1 = -1 , ʎ2 = 1 dan ʎ3 = 2, tentukanlah vector eigennya yang sesuai.

x1 = ……….. x2 = ………… x3 = …………

Dengan menggunakan [(1−ʎ ) −1 01 (2−ʎ ) 1

−2 1 (−1−ʎ )] . [x1

x2

x3]=[000 ]

dan dengan memasukkan harga ʎ berurutan serta mengetahui cara mengalikan matriks memberikan hasil seperti yang ditunjukkan diatas.

Seperti telah kita lihat , pengetahuan dasar mengenai matriks menyediakan jalan yang bersih dan singkat untuk memecahkan sistem persamaan liniear. Dalam prakteknya , koefesien –koefesien numeriknya tidak selalu merupakan bilangan sederhana ,demikian juga banyaknya persamaan tidak terbatas hanya sampai tiga. Untuk soal yang lebih rumit , bantuan alat-alat hitung akan sangat menolong , tetapi prinsip dasar penyelesaiannya tetap sama.

Sampai disini , hal yang masih harus anda kerjakan tinggallah memeriksa bagian rangkuman dan mengerjakan latihan ujian. Soal – soalnya tidak rumit dan didasarkan atas hal-hal yang dibahas . anda tidak akan mengalami kesulitan dalam menyelesaikannya.

34

Page 39: BUKU AJAR Matriks

Rangkuman

1. Matriks – jajaran bilangan (elemen) berbentuk persegi panjang.2. Orde – matrik berorde (m x n) memiliki m baris dan n kolom.3. Matriks baris – satu baris saja.4. Matriks kolom – satu kolom saja.5. Notasi dua indeks – a34 menyatakan elemen yang terletak pada baris ke-3 dan

kolom ke-46. Kesamaan matriks – elemen yang berkesesuaian letak sama.7. Penjumlahan dan pengurangan matriks – menjumlahkan atau mengurangkan

elemen – elemen yang bersesuaian letak. Jadi, untuk penjumlahan dan pengurangan orde matriksnya harus sama.

8. Perkalian matriks(a) Pengali skalar – setiap elemen dikalikan dengan bilangan yang sama yaitu

k [a ij]= [k a ij ].(b) Pengali matriks – perkalian A . B hanya mungkin jika banyaknya kolom A

sama dengan baris B.

[a b cd e f ] . [g j

h ki l ] = [ag+bh+ci aj+bk+cl

dg+eh+ fi dj+ek+ fl ]9. Matriks bujur sangkar – berorde (m x m)

(a) Simetrik Jika a ij = a ji, contoh [3 2 42 6 14 1 5 ]

(b) Anti-simetrik Jika a ij = −a ji, contoh [ 3 2 4−2 6 1−4 −1 5 ]

10. Matriks diagonal – semua elemennya sam dengan nol, kecuali yang terletak pada diagonal utama.

11. Matriks satuan – matriks diagonal dengan semua elemen pada diagonal utamanya sama dengan satu.

Yaitu [1 0 00 1 00 0 1 ] Matrik ini dinyatakan I

12. Matriks nol - semua elemennya sama dengan nol13. Transpose matriks – baris dan kolom dipertukarakan. Transpose A = AT

14. Kofaktor – minor elemen |A| beserta dengan ‘tanda tempat’ elemen yang bersangkutan.

15. Adjoin matriks bujur sangkar A – bentuk dahulu matriks kofaktor elemen – elemen |A| , yaitu C: maka adjoin matriknya A = CT, yaitu transpose dari C.∴ adj A = CT

16. Invers matriks bujur sangkar A

35

Page 40: BUKU AJAR Matriks

A-1 = adj A|A| = CT

|A|17. Perkalian matriks bujur sangkar dengan inversnya

A . A-1 = A-1 . A = I18. Pemecahan sistem persamaan linear

A . x = b x = A-1 . b19. Metode eleminasi Gauus – ubahlah matriks yang diperluas menjadi bentuk segitiga:

kemudian gunakan ‘subtitusi mundur’.20. Nilai eigen – harga λ yang memenuhi A . x = λ x21. Vektor eigen - solusi x yang bersesuaian dengan harga λ tertentu.

--- Selamat Belajar ---

36