1

MATRIKS

NAMA KELOMPOK

Akbar Budi Prasetyo

Indra Yusrianto Putra

M. Syahrizal Fajri

Nastia Aulia Rahman

Ninda Prastiwi H

Nur Amelia Anggreyeni

Nurida Septianingsih

Siti Yuliya Sari

Syita Astila

Yosa Lisca

XII IPA 2

i

KATA PENGANTAR

Assalamualaikum warahmatullahi wabarakatuh

Puji dan syukur kami panjatkan kehadirat Allah SWT yang telah memberikan

rahmat dan karunia-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan makalah dengan

judul “MATRIKS”.

Dalam penyusunannya, penulis memperoleh banyak bantuan dari berbagai

pihak, karena itu penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar besarnya kepada:

Ibu Hastati, selaku guru pembimbing pelajaran matematika yang dengan

setia telah mengajarkan kami materi tentang matriks

Orang tua dan teman sekalian yang telah memberikan dukungan

Pihak perpustakaan

Meskipun penulis berharap makalah ini bebas dari kekurangan dan kesalahan.

Namun pada kenyataannya makalah ini jauh dari sempurna. Oleh karena itu

diharapkan kritik dan saran yang dapat membangun bagi penulis untuk lebih baik.

Akhir kata, penulis perharap makalah ini dapat bermanfaat bagi pembaca.

Simpang Empat, 15 Desember 2014

Penulis

ii

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR ..................................................................................... i

DAFTAR ISI .................................................................................................... ii

BAB I PENDAHULUAN ................................................................................ 1

1.1 Latar Belakang .......................................................................................... 1

1.2 Batasan Masalah ....................................................................................... 2

1.3 Rumusan Masalah ..................................................................................... 2

1.4 Tujuan ....................................................................................................... 2

1.5 Manfaat ..................................................................................................... 3

BAB II PEMBAHASAN ................................................................................. 4

2.1 Pengertian Matriks, Notasi, Ordo, dan Jenis Matriks ............................... 4

2.2 Operasi Matriks ......................................................................................... 7

2.3 Determinan Matriks Persegi ...................................................................... 10

2.4 Invers Matriks Persegi .............................................................................. 13

2.5 Aplikasi Matriks dalam Menyelesaikan SPL ............................................ 14

2.6 Kegunaan Matriks dalam kehidupan......................................................... 15

BAB III PENUTUP ......................................................................................... 16

3.1 Kesimpulan ............................................................................................... 16

3.2 Saran.......................................................................................................... 16

DAFTAR PUSTAKA ...................................................................................... 17

1

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 LATAR BELAKANG

Dalam kehidupan sehari – hari kita sering berhadapan dengan persoalan

yang apabila kita telusuri ternyata merupakan masalah matematika. Sebagai

contoh, bila kita menonton siaran olahraga sepak bola di TV pada Liga Italia

Seri-A, sering dijumpai klasemen sementara hasil pertandingan. Daftar hasil

pertandingan itu telah mengikuti aturan pada matriks yaitu yang diatur pada

baris dan kolom. Dengan mengubah persoalan kedalam bahasa atau

persamaan matematika maka persoalan tersebut lebih mudah diselesaikan.

Tetapi terkadang suatu persoalan sering kali memuat lebih dari dua

persamaan dan beberapa variable, sehingga kita menjadi kesulitan mencari

hubungan antara variable – variabelnya. Bahkan di negara maju sering

ditemukan model ekonomi yang harus memecahkan suatu system persamaan

dengan puluhan atau ratusan variable yang nilainya harus ditentukan.

Matriks, pada dasarnya merupakan suatu alat atau instrument yang

cukup ampuh untuk memecahkan persoalan tersebut. Dengan menggunakan

matriks memudahkan kita untuk membuat analisa – analisa yang mencakup

hubungan variable – variable dari suatu persoalan. Pada awalnya matriks

ditemukan dalam sebuah studi yang dilakukan oleh seorang ilmuan yang

berasal dari Inggris yang bernama Arthur Cayley (1821-1895) yang mana

studi yang dilakukan untuk meneliti persamaan linier dan transformasi linier,

awal dari semua ini matrix dianggap sebagai sebuah permainan karena matrix

dapat diaplikasikan, sedangkan pada tahun 1925 matriks digunakan sebagai

kuantum dan pada perkembangannya matriks digunakan dalam berbagai

bidang.

Oleh karena itu, kami membuat makalah ini untuk membahas lebih

lanjut mengenai matriks.

2

1.2 Batasan Masalah

Berdasarkan uraian diatas, batasan masalah dalam makalah ini ialah sebagai

berikut :

1. Apa pengertian atau definisi dari matriks, notasi, ordo dan jenis matriks

2. Bagaimana pengoperasian matriks

3. Apa yang dimaksud dengan determinan matriks persegi

4. Apa yang dimaksud dengan invers matriks persegi

5. Bagaimana aplikasi matriks dalam menentukan penyelesaian sistem

persamaan linear

6. Apa saja manfaat matriks dalam kehidupan sehari – hari

1.3 Rumusan Masalah

Berdasarkan uraian diatas, kami menemukan permasalahan sebagai

berikut :

1. Apa pengertian atau definisi dari matriks, notasi, ordo, dan jenis matriks?

2. Bagaimana pengoperasian matriks?

3. Apa yang dimaksud dengan determinan matriks persegi?

4. Apa yang dimaksud dengan invers matriks persegi?

5. Bagaimana aplikasi matriks dalam menentukan penyelesaian sistem

persamaan linear?

6. Apa saja manfaat matriks dalam kehidupan sehari – hari?

1.4 Tujuan

Adapun tujuan dari pembuatan makalah ini ialah:

1. Untuk mengetahui pengertian dari matriks, notasi, ordo, dan jenis

matriks

2. Untuk mengetahui operasi matriks

3. Untuk mengetahui determinan matriks persegi

4. Untuk mengetahui invers matriks persegi

3

5. Untuk mengetahui aplikasi matriks dalam menentukan penyelesaian

sistem persamaan linear

6. Untuk mengetahui manfaat matriks dalam kehidupan sehari – hari

1.5 Manfaat

Adapun manfaat dari pembuatan makalah ini ialah:

1. Dapat mengetahui pengertian dari matriks, notasi, ordo, dan jenis

matriks

2. Dapat mengetahui operasi matriks

3. Dapat mengetahui determinan matriks persegi

4. Dapat mengetahui invers matriks persegi

5. Dapat mengetahui aplikasi matriks dalam menentukan penyelesaian

sistem persamaan linear

6. Dapat mengetahui manfaat matriks dalam kehidupan sehari – hari

4

BAB II

PEMBAHASAN

2.1 Pengertian Matriks, Notasi, Ordo, dan Jenis Matriks

Matriks adalah suatu susunan elemen – elemen (bilangan atau huruf)

berbentuk persegi atau persegi panjang yang diatur pada baris dan kolom serta

ditempatkan dalam tanda kurung (kurung biasa atau kurung siku)

Suatu matriks biasanya diberi nama dengan huruf capital seperti A, B,

C,… atau yang lainnya. Matriks yang mempunyai i baris dan j kolom ditulis

A=(aij ), artinya suatu matriks A yang elemen-elemennya aij dimana indeks I

menyatakan baris ke i dan indeks j menyatakan kolom ke j dari elemen

tersebut. Banyaknya baris dan kolom matriks disebut ordo matriks. Secara

umum, matriks A mempunyai i baris dan j kolom dapat ditulis dalam bentuk

umum berikut ini

ijiii

j

j

j

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

...

:...:::

...

...

...

3.2.1.

.33.32.31.3

.23.22.21.2

.13.12.11.1

1.1a elemen matriks pada baris 1, kolom 1

2.1a elemen matriks pada baris 1, kolom 2

3.1a elemen matriks pada baris 1, kolom 3

.

.

.

jia . elemen matriks pada baris i, kolom j

5

Jenis Matriks

Menurut ordonya terdapat berbagai jenis matriks, antara lain.

a. Matriks Persegi

Yaitu matriks yang berordo nxn atau banyaknya baris sama dengan

banyaknya kolom.

Contoh: B2x2 = [2 43 7

]

Pada suatu matriks persegi ada yang dinamakan sebagai diagonal utama

dan diagonal sekunder. Komponen-komponen yang terletak pada diagonal

utama pada matriks tersebut adalah 2 dan 7 yang berasal dari kiri atas ke

kanan bawah. Sebaliknya, komponen-komponen yang terletak pada

diagonal sekunder berasal dari kiri bawah ke kanan atas.

b. Matriks Baris

Yaitu matriks yang berordo 1xn atau hanya memiliki satu baris.

Contoh: A1x2 = 1 4

c. Matriks Kolom

Yaitu matriks yang hanya memiliki satu kolom.

Contoh C2x1= 23

d. Matriks Tegak

Yaitu matriks yang berordo mxn dengan m>n

`Contoh: Q = 4 42 63 1

, Q berordo 3x2 sehingga matriks Q tampak tegak.

e. Matriks Datar

Yaitu matriks yang berordo mxn dengan m<n

Contoh: H= 2 3 1

65 6 3 , H berordo 2x3 sehingga matriks F tampak datar.

Berdasarkan elemen-elemen penyusunnya terdapat jenis matriks, antara lain

a. Matriks Nol

Yaitu matriks yang semua elemen penyusunnya adalah nol dan dinotasikan

sebagai O.

6

Contoh: O2x2 = [0 00 0

]

b. Matriks Diagonal

Yaitu matriks persegi yang semua elemen diatas dan dibawah diagonal

utamanya adalah nol.

Contoh: F2x2 = [1 00 3

]

c. Matriks Skalar

Yaitu matriks diagonal yang semua elemen pada diagonalnya sama dan

elemen-elemen selain diagonal utama adalah 0.

Contoh: F2x2 = [3 00 3

]

d. Matriks Simetri

Yaitu matriks persegi yang setiap elemennya selain elemen diagonal

adalah simetri terhadap diagonal utama, atau matriks dimana susunan

elemen-elemen antara matriks dengan transposenya sama. C=CT; maka C

adalah matriks simetris

Contoh: C3x3 = 1 2 32 2 53 5 3

e. Matriks Simetri Miring

Yaitu Matriks simetri yang elemen-elemennya selain elemen diagonal

saling berlawanan.

Contoh: W3x3 = 1 −2 32 2 5

−3 −5 3

f. Matriks Identitas (satuan)

Yaitu matriks diagonal yang semua elemen pada diagonal utamanya

adalah satu dan elemen yang lain adalah nol dan dinotasikan sebagai I.

Contoh: I3x3 = [1 0 00 1 00 0 1

]

g. Matriks Segitiga Atas

Yaitu dikatakan segitiga atas jika aij = 0 untuk i>j dengan kata lain matriks

persegi yang elemen-elemen di bawah diagonal utamanya adalah nol.

7

Contoh: K3x3 = [2 3 30 1 10 0 8

]

h. Matriks Segitiga Bawah

Yaitu dikatakan segitiga bawah jika aij = 0 untuk i<j dengan kata lain

matriks persegi yang elemen-elemen di atas diagonal utamanya adalah nol.

Contoh: V3x3 = [2 0 02 1 03 1 8

]

i. Matriks Transpose yaitu matriks yang diperoleh dari memindahkan

elemen-elemen baris menjadi elemen pada kolom atau sebaliknya.

Transpose suatu matriks dilambangkan dengan …T, misal transpose

matriks B dilambangkan dengan BT

Contoh: B2x3 = 1 2 30 3 4

, maka BT = 1 02 33 4

Perhatikan bahwa ordo dari BT adalah 3x2. Sehingga pada matriks

transpose baris menjadi kolom dan sebaliknya, kolom menjadi baris.

2.2 Operasi Matriks

1. Kesamaan dua Matriks

Dua matriks dikatakan sama jika, keduanya mempunyai ordo yang sama

dan elemen-elemen yang seletak juga sama.

Contoh :

A = B

45

32 =

45

39

36

Contoh : Tentukan nilai a dan b dari kesamaan matriks berikut

a.

59

412

52

43

b

a

8

3a = -12 2b = 9

a = -12/3 b = 9/2

a = -4 b = 4,5

b

32

231

354

161

a

b

a

a

4a + 5 = 2a

4a – 2a = -5

2a = -5

a = -5/2

6a – 1 = 3b + 2

6(-5/2) – 1 = 3b + 2

-15 – 1 = 3b + 2

-16 = 3b + 2

3b = 18

b = 6

2. Penjumlahan Dua Matriks

Dua matriks dapat dijumlahkan, jika keduanya berordo sama, dengan cara

menjumlahkan elemen-elemen yang seletak.

Contoh :

112

03

65

41

53

42

9

3. Pengurangan Dua Matriks

Dua matriks dapat dikurangkan, jika keduanya beorodo sama, dengan cara

mengurangkan elemen-elemen yang seletak.

Contoh :

2105

143

742

531

563

472

4. Perkalian Matriks dengan Skalar (k)

Jika k adalah suatu bilangan skalar dan A=(aij ) maka matriks kA=(kaij )

yaitu suatu matriks kA yang diperoleh dengan mengalikan semua elemen

matriks A dengan k. Mengalikan matriks dengan skalar dapat dituliskan di

depan atau dibelakang matriks. Misalnya [C]=k[A]=[A]k dan (cij ) = (kaij )

Contoh :

Pada perkalian skalar berlaku hukum distributif dimana k(A+B)=kA+kB.

Contoh :

A= B= dengan k=2, maka

K(A+B) = 2(A+B) = 2A+2B

2(A+B) = 2 + = 2 =

2A+2B = 2 + 2 =

1 2 3

0 -1 5

2x 1 2x2 2x 3

2x 0 2x-1 2x5

0 1

2 -1

3 4

1 1

0 1

2 -1

3 4

1 1

3 5

3 0

6 10

6 0

0 1

2 -1

3 4

1 1

6 10

6 0

10

5. Perkalian Dua Matriks

Dua matriks dapat dikalikan jika banyaknya kolom matriks sebelah kiri

sama dengan banyaknya matriks sebelah kanan.

Am x n . Bp x q = Cm x q

n = p

Contoh :

1.

2004)3(

)15(0)3(2

5.40.31.4)1.(3

5).3(0.21).3()1.(2

51

01.

43

32

=

201

155

2.

8

17

08

152

3.02.4

3.52.1

3

2.

04

51

3.

541

13113

323110

949230

331

210.

11

32

4.

126

84

42

42.

3

2

1

2.3 Determinan Matriks Persegi

Untuk setiap matriks persegi terdapat suatu bilangan tertentu yang

disebut determinan. Determinan matriks adalah jumlah semua hasil perkalian

elementer yang bertanda dari A dan dinyatakan dengan det(A) atau |A|

(Howard Anton, 1991 : hal 67). Yang diartikan dengan sebuah hasil perkalian

elementer bertanda dari suatu matriks A adalah sebuah hasil perkalian

elementer pada suatu kolom dengan +1 atau -1. Untuk mengetahui tanda +1

atau -1dalam menentukan determinan suatu matriks yaitu dengan

menggunakan permutasi sesuai besar peringkat matriks tersebut dan ada atau

11

tidaknya invers pada hasil permutasi peringkat matriks tersebut. Invers terjadi

pada suatu permutasi jika terdapat bilangan yang lebih besar mendahului

bilangan yang lebih kecil pada kolom. Jika banyak invers genap dan nol maka

tanda +1 dan jika banyak invers ganjil maka tanda -1.

Contoh untuk determinan ordo 2x2

[𝑎11 𝑎12𝑎21 𝑎22

] permutasi dari bilangan bulat 1 dan 2 diambil bersama adalah

2! = 2 yaitu 1 2 dan 2 1 (untuk kolom) sedangkan baris menjadi patokan dan

selalu berurut. Sehingga determinan dari matriks berordo 2x2 adalah

+1(a11.a22)-1(a12.a21) = a11.a22 – a12.a21. jika matriks dalam bentuk [𝑎 𝑏𝑐 𝑑

]

maka untuk mencari determinannya lebih dikenal dengan bentuk ad – bc.

Contoh:

Jika matriks A = [2 14 3

] maka det (A) = |A| = (2x3) – (1x4) = 6 – 4 = 2

Contoh untuk determinan ordo 3x3

Maka bentuk matriks seperti [𝑎11 𝑎12 𝑎13𝑎21 𝑎22 𝑎23𝑎31 𝑎32 𝑎33

], permutasi dari bilangan

bulat 1, 2 dan 3 diambil bersama adalah 3! = 6 yaitu 123, 132, 213, 231, 312,

dan 321 (untuk kolom) sedangkan baris menjadi patokan dan selalu berurut.

Sehingga determinan dari matriks berordo 3x3 adalah +1(a11.a22.a33)-

1(a11.a23.a32)-1(a12.a21.a31)+1(a12.a23.a31)+1(a13.a21.a32)-1(a13.a22.a31).

Untuk mempermudah dalam mencari determinan maka berlaku :

a) Metode Sarrus

Misal matriks A = [𝑎 𝑏 𝑐𝑑 𝑒 𝑓𝑔 ℎ 𝑖

]

𝑎 𝑏𝑑 𝑒𝑔 ℎ

- - - + + +

Maka |A| = aei + bfg + cdh – ceg – afh – bdi.

Cara ini hanya berlaku pada matriks berordo 3x3.

Contoh: D = [1 2 23 1 21 2 3

]

12

Maka det (D) = |D| adalah [1 2 23 1 21 2 3

]1 23 11 2

|D| = (1x1x3) + (2x2x1) + (2x3x2) – (2x1x1) – (1x2x2) – (2x3x3)

= 3 + 4 + 12 – 2 – 4 – 12 = 0

b) Metode Minor dan Kofaktor

Minor suatu matriks A dilambangkan dengan Mij adalah matriks bagian

dari A yang diperoleh dengan cara menghilangkan elemen-elemennya

pada baris ke-i dan elemen-elemen pada kolom ke-j.

Contoh:

A= [1 2 10 2 12 0 2

] maka :

M11 = [1 2 10 2 12 0 2

] =[2 10 2

]

M12 = [1 2 10 2 12 0 2

] = [0 12 2

]

M13 = [1 2 10 2 12 0 2

] = [0 22 0

]

M11, M12 dan M13 merupakan submatriks hasil ekspansi baris ke-1 dari

matriks A. Kofaktor suatu elemen baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks

A dilambangkan dengan α ij = (-1)i+j |Mij|, dari matriks A tersebut

kofaktor a11 dilambangkan dengan α11 yaitu

(-1)i+j |Mij|

Untuk mencari det(A) dengan metode minor dan kofaktor cukup

mengambil satu ekspansi saja misal ekspansi baris ke-1atau kolom ke-

1.

Contoh :

H = [1 2 10 2 12 0 2

], untuk mencari |H| dengan metode minor dan kofaktor

adalah harus mencari determinan minornya terlebih dahulu yang

13

diperoleh dari ekspansi baris ke-1, yaitu det(M11), det(M12), det(M13),

maka,

|M11| = (2x2)-(1x0) = 4

|M12| = (0x2)-(1x2) = -2

|M13| = (0x0)-(2x2) = -4

|H| = h11α11 + h12α12 + h13α13

= h11.(-1)1+1|M11| + h12.(-1)1+2|M12| + h13.(-1)1+3|M13|

= (1.4) + (2.(-1.-2)) + (1.-4)

= 4 + 4 – 4 = 4

2.4 Invers Matriks Persegi

Invers matriks A dinyatakan dengan notasi A-1 =

ac

bd

bcad

1

Jika ad – bc = 0, maka matriks tidak mempunyai invers disebut matriks

singular.

Jika ad – bc 0, maka matriks mempunyai invers disebut matriks non

singular.

Contoh :

Diketahui A =

31

52, Tentukan determinan dan invers matriks A.

Det A = ad – bc

= 2.3 – 5.1

= 6 – 5

= 1

A-1 =

ac

bd

bcad

1

A-1 =

21

53

1

1=

21

53

14

Persamaan Matriks Berbentuk AX=B dan XA=B

1. A.X = B

A-1.A.X = A-1.B

I.X = A-1.B

X = A-1.B

Jadi jika A.X = B, maka X = A-1.B

2. X.A = B

X.A.A-1 = B.A-1

X.I = B.A-1

X = B.A-1

Jadi jika X.A = B, maka X = B.A-1

2.5 Aplikasi Matriks dalam Menentukan Penyelesaian Sistem Persamaan Linear

1. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Penyelesaian SPLDV dapat ditentukan dengan metode determinan

matriks. Metode ini dikenal sebagai aturan Cramer. Penurunan aturan

Cramer diperoleh dengan memperhatikan penyelesaian SPLDV secara

eliminasi-subtitusi.

Contoh :

Tentukan penyelesaian dari SPLDV dibawah ini dengan aturan Cramer!

4x – 5y = 10

3x + 7y = 14

Jawab :

[4 −53 7

] [𝑥𝑦

] = [1014

]

∆ = |4 −53 7

| = 28 + 15 = 43

∆𝑥 = |10 −514 7

| = 70 + 70 = 140

∆𝑦 = |4 103 14

| = 56 – 30 = 26

15

𝑥 = Δ𝑥

Δ =

140

43

𝑦 = Δ𝑦

Δ=

26

43

𝑗𝑎𝑑𝑖, 𝐻𝑝 = {𝑥, 𝑦} = {140

43 ,

26

43}

2. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

SPLTV dapat diselesaikan dengan cara Sarrus. Sebagai contoh:

x + y – z = 5

2x – 3y + 6z = -6

x + 4y – 3z = 9

jawab :

∆ = |1 1 −12 −3 61 4 −3

|1 12 −31 4

= 9 + 6 − 8 − 3 − 24 + 6 = −14

∆𝑥 = |5 1 −1

−6 −3 69 4 −3

|5 1

−6 −39 4

= 45 + 54 + 24 − 27 − 120 − 18 = −42

∆𝑦 = |1 5 −12 −6 61 9 −3

|1 52 −61 9

= 18 + 30 − 18 − 6 − 54 + 30 = 0

∆𝑧 = |1 1 52 −3 −61 4 9

|1 12 −31 4

= −27 − 6 + 40 + 45 + 15 + 24 − 18 = 28

x = 3, y = 0, z = -2

jadi, HP = {3, 0, −2}

2.6 Kegunaan Matriks dalam Kehidupan Sehari – hari

Kegunaan matriks ialah:

1. Memudahkan dalam membuat analisis mengenai suatu masalah ekonomi

yang mengandung berbagai macam variable

2. Digunakan dalam memecahkan masalah operasi penyelidikan, misalnya

masalah operasi penyelidikan sumber – sumber minyak bumi dan

sebagainya

3. Dikaitkan dengan penggunaan program linear, analisis input output, baik

dalam ekonomi, statistik, maupun dalam bidang pendidika, manajemen,

kimia, dan bidang – bidang teknologi lainnya.

16

BAB III

PENUTUP

3.1 Kesimpulan

Pada dasarnya dalam kehidupan sehari – hari kita sering berhadapan

dengan persoalan yang apabila kita telusuri ternyata merupakan masalah

matematika. Dengan kata lain, kita selalu bersentuhan dengan persoalan –

persoalan yang berkaitan dengan matematika, entah itu kita sadari ataupun

tidak. Agar mudah dipahami maka persoalan tersebut diubah kedalam bahasa

atau persamaan matematika supaya persoalan tersebut lebih mudah

diselesaikan. Tetapi terkadang suatu persoalansering kali memuat lebih dari

dua persamaan sehingga kita mengalami kesulitan untuk memahami

hubungan antar variabelnya. Adapun matriks adalah suatu susunan elemen –

elemen (bilangan atau huruf) berbentuk persegi atau persegi panjang yang

diatur pada baris dan kolom serta ditempatkan dalam tanda kurung (kurung

biasa atau kurung siku).

3.2 Saran

Matematika merupakan salah satu mata pelajaran yang paling tidak

disukai oleh siswa. Kenyataan dilapangan membuktikan cukup banyak siswa

yang tidak menyukai bahkan membenci matematika. Dalam benak mereka,

matematika merupakan pelajaran yang sangat sulit dimengerti bahkan

membosankan. Oleh karena itu, penulis berharap pembelajaran matematika

tidak selalu monoton hanya dengan panduan guru dan buku. Untuk itu

diharapkan bagi pendidik dapat mengembangkan metode pembelajaran

matematika sesuai dengan pola piker siswa yang cenderung ingin bermain.

Dengan ini, salah satu upaya yang dapat dilakukan oleh pendidik ialah dengan

menggunakan alat peraga dalam menjelaskan materi, sehingga peserta didik

akan menganggap bahwa matematika merupakan suatu permainan yang

mengasyikkan, bukan suatu pelajaran yang membosankan.

17

DAFTAR PUSTAKA

Sukino. 2007. Matematika SMA. Jakarta : Erlangga

Tim penyusun soal. 2008. Detik-detik ujian nasional. Klaten: Intan Pariwara

Matriks(online). (www.belajar-matematika.com, diakses 15 Desember 2014)

Menyelesaikan Persamaan Linear dengan Matriks.

(www.mademathika.blogspot.com, diakses 15 Desember 2014)