materi matematika (matriks)
DESCRIPTION
matriksTRANSCRIPT
MATRIKS
Oleh :HIMMATUL ALIYAH
NPM : 12.1.01.05.106
MatriksPengertian Matriks
Invers Matriks
Operasi Matriks
Determinan Matriks
Kesamaan Dua Buah Matriks
Transpose Matriks
Macam-macam Matriks
Ordo Matriks
Operasi Penjumlahan
Operasi Pengurangan
Operasi Perkalian
Perpangkatan matriks persegi
Matriks adalah suatu susunan elemen-elemen atau entri-entri yang berbentuk
persegi panjang yang diatur dalam baris dan kolom. Susunan elemen ini diletakkan
dalam tanda kurung biasa ( ), atau kurung siku [ ]. Elemen-elemen atau entri-entri
tersebut dapat berupa bilangan atau berupa huruf. Matriks dinotasikan dengan huruf
kapital seperti A, B, C dan seterusnya. Sedangkan elemennya, jika berupa huruf, maka
ditulis dengan huruf kecil.
mnmmm
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
...
:::::
...
...
321
2232221
1131211
A=Baris ke-1
Baris ke-2
Baris ke-m
KolomKe- 1
KolomKe- 2
KolomKe- n
PENGERTIAN MATRIKS
ORDO MATRIKSOrdo adalah ukuran suatu matriks yang dinyatakan dalam banyaknya baris
kali banyaknya kolom.
Contoh :
523
401A =
Banyaknya baris matriks A adalah 2
Banyaknya kolom matriks A adalah 3
Ordo matriks A adalah 2 x 3 ditulis A 2x3
Secara umum:
Jika banyaknya baris matriks A adalah m dan banyaknya kolom n maka ordo matriks A
ialah m x n ditulis Amxn
Baris
Kolom
1) Matriks Baris Matriks baris hanya mempunyai satu baris saja., jumlah kolom bebas. Contoh: A = 2) Matriks Kolom Matriks kolom hanya mempunyai satu kolom saja, jumlah baris bebas. Contoh:
A =
3) Matriks Persegi Matriks yang mempunyai jumlah baris dan kolom yang sama. Contoh:
A =
532
2
5
4
1
20
34
MACAM-MACAM MATRIKS
a) Matriks Diagonal Matriks persegi yang mempunyai elemen padabpada diagonal utama atau pada diagonal kedua. Contoh: A3x3 = A3x3 =
800
000
003
Diagonal Utama
000
020
100
Diagonal kedua
b) Matriks Segitiga - Matriks Segitiga Atas Contoh: Matriks persegi yang mempunyai elemen A3x3 = dibawah diagonal utama nol semua, sedangkan di atas diagonal utama boleh ada elemen yang tidak nol.
- Matriks Segitiga Bawah Matriks persegi yang mempunyai elemen A3x3 = diatas diagonal utama nol semua, sedangkan di bawah diagonal utama boleh ada elemen yang tidak nol.
800
010
023
812
010
003
c) Matriks Identitas Matriks persegi mempunyai elemen pada diagonal utama angka 1, sedangkan elemen yang lain nol semua. Contoh: I3x3 =
d) Matriks Nol Matriks yang mempunyai elemen nol semua. Contoh: O2x2 =
100
010
001
00
00
e) Matriks Simetris Matriks persegi yang unsur pada baris ke-i dan kolom ke-j sama dengan unsur pada baris ke-j kolom ke-i. Contoh: A = , di mana a12 = a21 = 3; a13 = a31 = 1; dan a23 = a32 = 4
041
403
135
Dari suatu matriks, misalnya matriks A, dapat dibentuk matriks baru dengan ketentuan:
a. Baris pertama matriks A menjadi kolom pertama matriks baru.
b. Baris kedua matriks A menjadi kolom kedua matriks baru, dan seterusnya.
Matriks baru yang terbentuk itu disebut transpose matriks A dan ditulis A t
(dibaca transpose A)Contoh: A2x3 = (A t ) 3x2 =
520
314
53
21
04
TRANSPOSE MATRIKS
Dua buah matriks, A dan B, dikatakan sama (A = B) apabila matriks A dan matriks B
mempunyai ordo yang sama dan elemen yang seletak sama. Contoh: A = , B = C =
A ≠ B karena elemen yang seletak tidak sama
A = C karena elemen yang seletak sama
KESAMAAN DUA BUAH MATRIKS
60
313
60
313
60
313
OPERASI MATRIKS Operasi Penjumlahan
Dua buah matriks atau lebih dapat dijumlahkan apabila matriks yang dijumlahkan mempunyai ordo yang sama dengan cara menjumlahkan elemen-elemen yang seletak dari dua atau lebih matriks yang akan dijumlahkan.
Contoh:A2x2 = , B2x3 = , C2x2 =
Keterangan :Matriks A2x2 + B2x3 tidak bisa dijumlahkan karena ordo kedua matriks tidak
sama. (ordo matriks A ≠ ordo matriks B)Matriks A2x2 + C2x2 bisa dijumlahkan dengan cara menjumlahkan elemen
yang seletak
A2x2 + C2x2 = + =
Operasi PenguranganDua buah matriks atau lebih dapat dikurangkankan apabila matriks yang
dikurangkan mempunyai ordo yang sama dengan cara mengurangkan elemen-elemen yang seletak dari dua atau lebih matriks yang akan dikurangkan.
Contoh:A2x2 = , B2x3 = , C2x2 =
Keterangan :Matriks A2x2 – B2x3 tidak bisa dikurangkan karena ordo kedua matriks tidak
sama. (ordo matriks A ≠ ordo matriks B)
A2x2 – C2x2 = - =
Matriks A2x2 – C2x2 bisa dikurangkan dengan cara mengurangkan elemen yang seletak
Operasi Perkalian
1) Perkalian matriks Aixj dengan skalar k Skalar k dikalikan dengan elemen-elemen matriks Aixj
k . = . k
=
k . A = A . k
Dua buah matriks, S dan T, dapat dikalikan (S x T) apabila jumlah kolom pada
matriks S sama dengan jumlah baris pada matriks T. Cara mengalikan : Semua baris
pada matriks S dikalikan semua kolom pada matriks T.
Si x j x Tj x k = Ui x k
2) Perkalian Dua Buah Matriks
Diketahui matriks :
A = , B = , C = , D =
- Perkalian matriks A x B - Perkalian matriks C x D = x = x = =
Dua buah matriks, A dan B, berordo 3 x 3 dapat dikalikan dengan cara:
Semua baris pada matriks A dikalikan dengan semua kolom pada matriks B.
3) Perkalian dua buah matriks berordo 3 x 3
A=
AxB=
A=
A n = A x A n-1
A adalah suatu matriks persegi, maka :
A2 = A x A
A3 = A x A x A, dan seterusnya
Perpangkatan Matriks Persegi
DETERMINAN MATRIKS Determinan Matriks Berordo 2 x 2
Jika diketahui matriks A = , maka determinan matriks A ditulis .
|A|=ad −bc
Contoh:
Diketahui matriks A = . Tentukan nilai dari .
Penyelesaian:
= = (4 x 3) – (2 x 5)
= 12 – 10
= 2
Determinan Matriks Berordo 3 x 3
Mencari determinan matriks berordo 3 x 3 dengan menggunakan aturan Sarrus
A=
=a11.a22.a33 + a12.a23 .a31 + a13.a21.a32 – (a13 .a22.a31 + a11.a23 .a32 + a12.a21.a33 )
Contoh:Tentukan determinan matriks berordo 3 x 3 berikut.
A =
Penyelesaian :A =
= (1.2.0 + 3.(-2).(-1) + (-1).0.1) – ((-1).2.(-1) + 1.(-2).1 + 3.0.0)
= (0 + 6 + 0) – (2 + (-2) + 0)
= 6 – 0 = 6
INVERS MATRIKS Invers Matriks Berordo 2 x 2
Jika diketahui matriks A = , maka determinan matriks A dilambangkan A-1
A-1 =
A-1 =
Contoh:Tentukan invers dari matriks A =
Penyelesaian:A-1 = =
= =
=
DAFTAR PUSTAKA