matriks dan operasinya
DESCRIPTION
pengenalan operasi penghitungan matriksTRANSCRIPT
-
Pengenalan Matriks dan Operasinya
-
Matriks Matriks adalah adalah bentuk penyajian bilangan yang disusun dalam
baris-baris dan kolom-kolom yang secara umum dapat dituliskan sebagaiberikut :
a11 a12.a1j a1na21 a22 a2j.a2n: : : :ai1 ai2 aij.. ain: : : :am1 am2amj. amn
A = baris
kolomNotasi:
Matriks: A = [aij]
Elemen: (A)ij = aij
Ordo A: m x n
-
Matriks persegiMatriks persegi (bujur sangkar) adalah matriks yang jumlah baris dan jumlah kolom sama.
1 2 4
2 2 2
3 3 3
Trace(A) = 1 + 2 + 3
Trace dari matriks adalah jumlahan elemen-elemen diagonal utama
diagonal utama
-
Matriks nol dan identitasmatriks nol adalah matriks yang semua elemennya nol
0 0 00 0
0 0
1 0
0 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
I2 I3 I4
matriks identitas adalah matriks persegi yang elemen diagonal utamanya 1 dan elemen lainnya 0
-
Kesamaan dua matriks Dua matriks sama jika ukuran sama dan setiap entri yang bersesuaian sama.
1 2 4
2 1 3A =
1 2 4
2 1 3B =
1 2 2
2 1 3C =
2 1 2
2 1 3D =
1 2 4
2 2 2E =
x 2 4
2 2 2F =
2 2 2
4 5 6
9 0 7
G = H =? ? ?
? ? ?
? ? ?
A = B
C D
E = F jika x = 1
G = H2 2 2
4 5 6
9 0 7
-
Jumlahan dan pengurangan dua matriks
Contoh10 22
1 -1A = 2 6
7 5B =
10+2 22+6
1+7 -1+5A + B =
12 28
8 4=
8 16
-6 -6= A - B = 10-2 22-6
1-7 -1-5
Apa syarat agar dua matriks dapat dijumlahkan?Jawab: ordo dua matriks tersebut sama
A = [aij] dan B = [bij] berukuran sama,
A + B didefinisikan: (A + B)ij = (A)ij + (B)ij = aij + bij
10+2 22+6
1+7 (-1)+512 288 4
-
Latihan: Jumlahan dua matriks (lanjutan)
5 6 1
7 2 3C = 25 30 5
35 10 15D =
C + D = ? ? ?
? ? ?
1 4 -93 7 05 9 -13
K = 7 3 1-2 4 -59 -4 3
L =
K + L =
? ? ?
? ? ?
? ? ?
D + C =
L + K =
Apa kesimpulanmu? Apakah jumlahan matriks bersifat komutatif?
-
Hasil kali skalar dengan matriks Contoh:
5 6 1
7 2 3A = 5A = 5x5 5x6 5x1
5x7 5x2 5x3
25 30 5
35 10 15=
250 300 50
350 100 150H = H = 50A
Catatan: Pada himpunan Mmxn, perkalian matriks dengan skalar bersifat tertutup (menghasilkan matriks dengan ordo yang sama)
Diberikan matriks A = [aij] dan skalar c, perkalian skalar cA mempunyai entri-entri sebagai berikut:
(cA)ij = c.(A)ij = caij
Apa hubungan H dengan A?
-
Hasil kali skalar dengan matriks (lanjutan)
K 3 x 3
1 4 -93 7 05 9 -13
K =
5 20 -4515 35 025 45 -655K =
4 16 -3612 28 020 36 -52
4K =
-
Perkalian matriks
2 3 4 5
8 -7 9 -4
1 -5 7 -8
A =
1 2
7 -6
4 -9
11 3
B =
A B = 2.1 +3.7+4.4+5.11 -35
-49 -35
-94 -55
94 -35
-49 -35
-94 -55
=
-
Perkalian matriks (lanjutan)Definisi:
Jika A = [aij] berukuran m x r , dan B = [bij] berukuran r x n, maka matriks
hasil kali A dan B, yaitu C = AB mempunyai elemen-elemen yang
didefinisikan sebagai berikut:r
aikbkj = ai1b1j +ai2b2j+airbrjk = 1
(C)ij = (AB)ij =
2 3 4 5
8 -7 9 -4
1 -5 7 -8
A = 1 2
7 -6
4 -9
B = Tentukan AB dan BA
A B ABm x r r x n m x n
Syarat:
-
Perkalian matriks (lanjutan)
2 3 4 5
8 -7 9 -4
1 -5 7 -8
A =
1 2
7 -6
4 -9
11 3
B =
A B = 2.1 +3.7+4.4+5.11 -35
-49 -35
-94 -55
94 -35
-49 -35
-94 -55
=
BA tidak didefinisikan
-
Perkalian matriks (lanjutan)1. Diberikan A dan B, AB dan BA terdefinisi. Apa kesimpulanmu?
2. AB = O matriks nol, apakah salah satu dari A atau B pasti matriks nol?
2 32 3A =
3 -3-2 2B =
0 00 0AB =
B An x k m x n
m = k
ABmxm ABnxnAB dan BA matriks persegi
AB matriks nol, belum tentu A atau B matriks nol
A Bn x km x n
-
Perkalian dengan matriks identitasAB = A dan BA = A, apa kesimpulanmu?
1 4 -93 7 05 9 -13
1 4 -93 7 05 9 -13
AB = A dan BA = A, maka B = I
(I matriks identitas)
1 0 00 1 00 0 1
1 0 00 1 00 0 1
=
=
1 4 -93 7 05 9 -13
1 4 -93 7 05 9 -13
A AII A= =
-
Inverse matriksB adalah inverse dari matriks A, jika AB = BA = I matriks identitas, ditulis B = A-1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
4 2
2 2
-
- 1
4 2 1
2 2 1
3 3 1
- 1
- - 1
0 3 -2
1 0
0 1
Contoh
A IA-1A-1 A= =
4 2
2 2
-
- 1= =
A A-1 A-1 A I
4 2 1
2 2 1
3 3 1
- 1
- - 1
0 3 -2
= =
B B-1 B-1 B I
-
d -bab-cd ab-cd
-c aab-cd ab-cd
Inverse matriks 2x24 2
2 2
-
- 1
1 0
0 1
d -b
-c a
1
ad - bc
Jika ad bc = 0 maka A TIDAK mempunyai inverse.
=
A IA-1
a b
c d A-1
1 0
0 1=
A-1 = =
-
Contoh: Inverse matriks 2x2
3 2
4 1A =
I=
1 -23.1-4.2 3.1-4.2
3-43.1-4.2 3.1-4.2
=A-1
1 25 5
345 5
-
Perpangkatan matriks Contoh:
2 31 2A =
A2 = 2 31 22 31 2
A3 = A x A2 = 2 31 22 31 2
2 31 2
A0 = IAn =
n faktor
An+m = An Am
A A A A
-
Transpose
Definisi:Transpose mariks A adalah matriks AT kolom-kolomnya adalah baris-baris dari A, baris-barisnya adalah kolom-kolom dari A.
4 2 6 7
5 3 -9 7A = AT = A =
4 5
2 3
6 -9
7 7
Jika A adalah matriks m x n, maka matriks transpose AT berukuran ..
[AT]ij = [A]jin x m
-
Matriks Simetri
Matriks A disebut simetris jika dan hanya jika A = AT
4 2
2 3A =
4 2
2 3A = A simetri
1 2 3 42 5 7 03 7 8 2 4 0 2 9
A = = AT
-
Matriks ortogonalMatriks A orthogonal jika dan hanya jika AT = A 1
0 -1
1 0A =
0 1
-1 0AT=
B = 2 -2
2 2 BT= 2 2
-2 2
Jika A adalah matriks orthogonal, maka (A-1)T = (AT)-1
= A-1
= B-1
(A-1)T = (AT)-1A-1 AT
-
Sifat-sifat transpose matriks
A AT (AT)T
(AT )T = A1. Transpose dari A transpose adalah A:
4 2 6 7
5 3 -9 7
4 5
2 3
6 -9
7 7
4 5
2 3
6 -9
7 7
= A
Contoh:
-
Sifat-sifat transpose matriks3. (kA)T = k(A) T untuk skalar k
kA
(kA)T = k(A)T
A
T T
k
-
Sifat-sifat transpose matriks2. (A+B)T = AT + BT
A+B
(A+B)T
T
BT
B
T
A
T
AT
=
=
+
+
-
Sifat-sifat transpose matriks4. (AB)T = BT AT
(AB)T
AB
T T
AB
T
=
AB = BTAT
-
Latihan Soal
1. C + D =2. C + E = 3. A + B =
3 -8 0
4 7 2
-1 8 4
C = D = 3 7 2
5 2 6
-1 8 4
E = 2 7 2
5 2 6
0 0 0
0 0 0 A =
0 0 0
0 0 0B =
-
Latihan Soal: Perkalian matriks
Tentukan hasil kalinya jika terdefinisi.
A B = ?? AC = ?? BD = ?? CD = ?? DB = ??
2 3 4 54 7 9 02 3 5 6
A = 1 2
-9 08 05 6
B =
7 -11 43 5 -6
C = 1 8 9 5 62 5 6 -9 00 -4 7 8 9
D =
-
Penyelesaian Susunan PersamaanLinier (SPL) dengan cara EliminasiGauss
-
Penyelesaian Susunan PersamaanLinier (SPL) Dengan Metode Matriks Dalam teknik sipil mempunyai problematik yang luas dapat dinyatakan dalam
persamaan linier yang mengandung variabel. Metode matriks akan banyakmembantu dalam menyederhanakan persamaan linier yang banyakmengandung variabel.
Secara umum n buah persamaan linier dengan n buah variabel dapat dituliskansebagai berikut:
-
Penyelesaian Susunan Persamaan Linier (SPL) Dengan Metode Matriks (lanjutan)
SPL dalam bentuk:
dapat disajikan dalam bentuk persamaan matriks:
a11x1 + a12x2 + a13x3 +.. ..a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + a23x3 +.a2nxn = b2:am1x1 + am2x2 + am3x3 + amnxn = bm
a11 a12...a1na21 a22 ..a2n: : : am1 am2 amn
x1x2:
xn
=
b1b2:
bn
A: matriks koefisien
[A][x] = [b]
x b
-
Lanjutan Dengan pengertian : [A] ialah matriks persegi yang menunjukkan koefisien persamaan linier [x] ialah matriks kolom dari variabel [b] ialah matriks kolom dari konstanta
-
Cara PenyelesaianSusunan Persamaan Linier Banyak metode untuk menyelesaikan persamaan linier ini, yang secara garis
besar dapat dicantumkan sebagai berikut : a. Metode Inversi Matriks b. Metode Cramer c. Metode Gauss-Jordan d. Metode Eliminasi Gauss
-
Penyelesaian SPL dengan metodeEliminasi Gauss Penyelesaian dari persamaan linear secara simultan dengan eliminasi Gauss. Penyelesaian ini diarahkan pada pembentukan segitiga atas. a11x1 + a12x2 + a13x3 + a1nxn = c1 a21x1 + a22x2 + a23x3 + a2nxn = c2 a31x1 + a22x2 + a33x3 + a3nxn = c3 . . an1x1 + an2x2 + an3x3 + annxn = cn
-
persamaan di atas dirubah menjadi bentuk sebagai berikut : a11x1 + a12x2 + a13x3 + a1nxn = c1 0 + a22x2 + a23x3 + a2nxn = c2 0 + 0 + a33x3 + a3nxn = c3 . . 0 + 0 + 0 + annxn = cn
-
dari bentuk di atas ternyata persamaan ke-n memberikan jawaban xn xn = dengan memasukkan xn ke persamaan (n-1) dapat dicari xn-1 Begitu seterusnya dapat dilakukan ke atas
''
anncn
-
Contoh : 4x1 + 2x2 + x3 = 15 (a) 20x1 + 5x2 7x3 = 0 (b) 8x1 3x2 + 5x3 =24 (c) a : 4 x1 + 0,5x2 + 0,25x3 = 3,75 (a) b 5a 0 - 5x2 - 12x3 = -75 (b) c 2a 0 - 7x2 + 3x3 = -6 (c) x1 + 0,5x2 + 0,25x3 = 3,75 (a) b : ( 5) 0 + x2 + 2,4x3 = 15 (b) c + 7b 0 + 0 + 19,8x3 = 99 (c)
-
dari persamaan c 19,8x3 = 99 x3 = 5 dari persamaan b x2 + 2,4.5 = 15 x2 = 3 dari persamaan a x1 + 0,5.3 + 0,25.5 = 3,75 x1 = 1
-
secara matriks dapat ditulis [A] {X} = {C} dimana [A] =
{X} = =
{C} = =
5387520
124
321
xxx
321
ccc
531
240
15
-
Contoh
83125123127135221232
83251232
73522232
4321
4321
4321
4321
xxxxxxxx
xxxxxxxx
matriks input
-
Forward Elimination
83125123127135221232
32162
19013140
9212012
11231
'14
'4
'13
'3
'12
'2
1'1
5
22
2
RRRRRRRRR
RR
32162
19013140
9212012
11231
415994
5001973002
912110
12112
31
'14
'4
'23
'3
2'2
1'
1
2194
2
RRR
RRR
RR
RR
-
Forward Elimination
12572
12143000
319
37100
2912
110
12112
31
'34
'4
3'3
2'2
1'
1
45
3RRR
RR
RRRR
415994
5001973002
912110
12112
31
12572
12143000
319
37100
2912
110
12112
31
1435721000
319
37100
2912
110
12112
31
121434'
4
3'3
2'2
1'
1
RR
RRRRRR
-
Back substitution
4143
5723
193
72
92
112
12
3
4
4
43
432
4321
x
x
xx
xxx
xxxx
-
Tugas di kelas Selesaikan persamaan simultan berikut dengan metode eliminasi Gauss:
10154x3x2x1272x3x2516x1
85x36x227x1
102x3x22x12x3x22x1
6x3x2x1
2.
72x3x23x143x3x22x1
1-x33x22x1
3.
1.
4. Tentukan inverse matriks berikut ini
5 1
1 2
0 1
0 2b.a.