matriks dan operasinya

43
Pengenalan Matriks dan Operasinya

Upload: revidwi2

Post on 09-Oct-2015

285 views

Category:

Documents


7 download

DESCRIPTION

pengenalan operasi penghitungan matriks

TRANSCRIPT

  • Pengenalan Matriks dan Operasinya

  • Matriks Matriks adalah adalah bentuk penyajian bilangan yang disusun dalam

    baris-baris dan kolom-kolom yang secara umum dapat dituliskan sebagaiberikut :

    a11 a12.a1j a1na21 a22 a2j.a2n: : : :ai1 ai2 aij.. ain: : : :am1 am2amj. amn

    A = baris

    kolomNotasi:

    Matriks: A = [aij]

    Elemen: (A)ij = aij

    Ordo A: m x n

  • Matriks persegiMatriks persegi (bujur sangkar) adalah matriks yang jumlah baris dan jumlah kolom sama.

    1 2 4

    2 2 2

    3 3 3

    Trace(A) = 1 + 2 + 3

    Trace dari matriks adalah jumlahan elemen-elemen diagonal utama

    diagonal utama

  • Matriks nol dan identitasmatriks nol adalah matriks yang semua elemennya nol

    0 0 00 0

    0 0

    1 0

    0 1

    1 0 0

    0 1 0

    0 0 1

    1 0 0 0

    0 1 0 0

    0 0 1 0

    0 0 0 1

    I2 I3 I4

    matriks identitas adalah matriks persegi yang elemen diagonal utamanya 1 dan elemen lainnya 0

  • Kesamaan dua matriks Dua matriks sama jika ukuran sama dan setiap entri yang bersesuaian sama.

    1 2 4

    2 1 3A =

    1 2 4

    2 1 3B =

    1 2 2

    2 1 3C =

    2 1 2

    2 1 3D =

    1 2 4

    2 2 2E =

    x 2 4

    2 2 2F =

    2 2 2

    4 5 6

    9 0 7

    G = H =? ? ?

    ? ? ?

    ? ? ?

    A = B

    C D

    E = F jika x = 1

    G = H2 2 2

    4 5 6

    9 0 7

  • Jumlahan dan pengurangan dua matriks

    Contoh10 22

    1 -1A = 2 6

    7 5B =

    10+2 22+6

    1+7 -1+5A + B =

    12 28

    8 4=

    8 16

    -6 -6= A - B = 10-2 22-6

    1-7 -1-5

    Apa syarat agar dua matriks dapat dijumlahkan?Jawab: ordo dua matriks tersebut sama

    A = [aij] dan B = [bij] berukuran sama,

    A + B didefinisikan: (A + B)ij = (A)ij + (B)ij = aij + bij

    10+2 22+6

    1+7 (-1)+512 288 4

  • Latihan: Jumlahan dua matriks (lanjutan)

    5 6 1

    7 2 3C = 25 30 5

    35 10 15D =

    C + D = ? ? ?

    ? ? ?

    1 4 -93 7 05 9 -13

    K = 7 3 1-2 4 -59 -4 3

    L =

    K + L =

    ? ? ?

    ? ? ?

    ? ? ?

    D + C =

    L + K =

    Apa kesimpulanmu? Apakah jumlahan matriks bersifat komutatif?

  • Hasil kali skalar dengan matriks Contoh:

    5 6 1

    7 2 3A = 5A = 5x5 5x6 5x1

    5x7 5x2 5x3

    25 30 5

    35 10 15=

    250 300 50

    350 100 150H = H = 50A

    Catatan: Pada himpunan Mmxn, perkalian matriks dengan skalar bersifat tertutup (menghasilkan matriks dengan ordo yang sama)

    Diberikan matriks A = [aij] dan skalar c, perkalian skalar cA mempunyai entri-entri sebagai berikut:

    (cA)ij = c.(A)ij = caij

    Apa hubungan H dengan A?

  • Hasil kali skalar dengan matriks (lanjutan)

    K 3 x 3

    1 4 -93 7 05 9 -13

    K =

    5 20 -4515 35 025 45 -655K =

    4 16 -3612 28 020 36 -52

    4K =

  • Perkalian matriks

    2 3 4 5

    8 -7 9 -4

    1 -5 7 -8

    A =

    1 2

    7 -6

    4 -9

    11 3

    B =

    A B = 2.1 +3.7+4.4+5.11 -35

    -49 -35

    -94 -55

    94 -35

    -49 -35

    -94 -55

    =

  • Perkalian matriks (lanjutan)Definisi:

    Jika A = [aij] berukuran m x r , dan B = [bij] berukuran r x n, maka matriks

    hasil kali A dan B, yaitu C = AB mempunyai elemen-elemen yang

    didefinisikan sebagai berikut:r

    aikbkj = ai1b1j +ai2b2j+airbrjk = 1

    (C)ij = (AB)ij =

    2 3 4 5

    8 -7 9 -4

    1 -5 7 -8

    A = 1 2

    7 -6

    4 -9

    B = Tentukan AB dan BA

    A B ABm x r r x n m x n

    Syarat:

  • Perkalian matriks (lanjutan)

    2 3 4 5

    8 -7 9 -4

    1 -5 7 -8

    A =

    1 2

    7 -6

    4 -9

    11 3

    B =

    A B = 2.1 +3.7+4.4+5.11 -35

    -49 -35

    -94 -55

    94 -35

    -49 -35

    -94 -55

    =

    BA tidak didefinisikan

  • Perkalian matriks (lanjutan)1. Diberikan A dan B, AB dan BA terdefinisi. Apa kesimpulanmu?

    2. AB = O matriks nol, apakah salah satu dari A atau B pasti matriks nol?

    2 32 3A =

    3 -3-2 2B =

    0 00 0AB =

    B An x k m x n

    m = k

    ABmxm ABnxnAB dan BA matriks persegi

    AB matriks nol, belum tentu A atau B matriks nol

    A Bn x km x n

  • Perkalian dengan matriks identitasAB = A dan BA = A, apa kesimpulanmu?

    1 4 -93 7 05 9 -13

    1 4 -93 7 05 9 -13

    AB = A dan BA = A, maka B = I

    (I matriks identitas)

    1 0 00 1 00 0 1

    1 0 00 1 00 0 1

    =

    =

    1 4 -93 7 05 9 -13

    1 4 -93 7 05 9 -13

    A AII A= =

  • Inverse matriksB adalah inverse dari matriks A, jika AB = BA = I matriks identitas, ditulis B = A-1

    1 0 0

    0 1 0

    0 0 1

    4 2

    2 2

    -

    - 1

    4 2 1

    2 2 1

    3 3 1

    - 1

    - - 1

    0 3 -2

    1 0

    0 1

    Contoh

    A IA-1A-1 A= =

    4 2

    2 2

    -

    - 1= =

    A A-1 A-1 A I

    4 2 1

    2 2 1

    3 3 1

    - 1

    - - 1

    0 3 -2

    = =

    B B-1 B-1 B I

  • d -bab-cd ab-cd

    -c aab-cd ab-cd

    Inverse matriks 2x24 2

    2 2

    -

    - 1

    1 0

    0 1

    d -b

    -c a

    1

    ad - bc

    Jika ad bc = 0 maka A TIDAK mempunyai inverse.

    =

    A IA-1

    a b

    c d A-1

    1 0

    0 1=

    A-1 = =

  • Contoh: Inverse matriks 2x2

    3 2

    4 1A =

    I=

    1 -23.1-4.2 3.1-4.2

    3-43.1-4.2 3.1-4.2

    =A-1

    1 25 5

    345 5

  • Perpangkatan matriks Contoh:

    2 31 2A =

    A2 = 2 31 22 31 2

    A3 = A x A2 = 2 31 22 31 2

    2 31 2

    A0 = IAn =

    n faktor

    An+m = An Am

    A A A A

  • Transpose

    Definisi:Transpose mariks A adalah matriks AT kolom-kolomnya adalah baris-baris dari A, baris-barisnya adalah kolom-kolom dari A.

    4 2 6 7

    5 3 -9 7A = AT = A =

    4 5

    2 3

    6 -9

    7 7

    Jika A adalah matriks m x n, maka matriks transpose AT berukuran ..

    [AT]ij = [A]jin x m

  • Matriks Simetri

    Matriks A disebut simetris jika dan hanya jika A = AT

    4 2

    2 3A =

    4 2

    2 3A = A simetri

    1 2 3 42 5 7 03 7 8 2 4 0 2 9

    A = = AT

  • Matriks ortogonalMatriks A orthogonal jika dan hanya jika AT = A 1

    0 -1

    1 0A =

    0 1

    -1 0AT=

    B = 2 -2

    2 2 BT= 2 2

    -2 2

    Jika A adalah matriks orthogonal, maka (A-1)T = (AT)-1

    = A-1

    = B-1

    (A-1)T = (AT)-1A-1 AT

  • Sifat-sifat transpose matriks

    A AT (AT)T

    (AT )T = A1. Transpose dari A transpose adalah A:

    4 2 6 7

    5 3 -9 7

    4 5

    2 3

    6 -9

    7 7

    4 5

    2 3

    6 -9

    7 7

    = A

    Contoh:

  • Sifat-sifat transpose matriks3. (kA)T = k(A) T untuk skalar k

    kA

    (kA)T = k(A)T

    A

    T T

    k

  • Sifat-sifat transpose matriks2. (A+B)T = AT + BT

    A+B

    (A+B)T

    T

    BT

    B

    T

    A

    T

    AT

    =

    =

    +

    +

  • Sifat-sifat transpose matriks4. (AB)T = BT AT

    (AB)T

    AB

    T T

    AB

    T

    =

    AB = BTAT

  • Latihan Soal

    1. C + D =2. C + E = 3. A + B =

    3 -8 0

    4 7 2

    -1 8 4

    C = D = 3 7 2

    5 2 6

    -1 8 4

    E = 2 7 2

    5 2 6

    0 0 0

    0 0 0 A =

    0 0 0

    0 0 0B =

  • Latihan Soal: Perkalian matriks

    Tentukan hasil kalinya jika terdefinisi.

    A B = ?? AC = ?? BD = ?? CD = ?? DB = ??

    2 3 4 54 7 9 02 3 5 6

    A = 1 2

    -9 08 05 6

    B =

    7 -11 43 5 -6

    C = 1 8 9 5 62 5 6 -9 00 -4 7 8 9

    D =

  • Penyelesaian Susunan PersamaanLinier (SPL) dengan cara EliminasiGauss

  • Penyelesaian Susunan PersamaanLinier (SPL) Dengan Metode Matriks Dalam teknik sipil mempunyai problematik yang luas dapat dinyatakan dalam

    persamaan linier yang mengandung variabel. Metode matriks akan banyakmembantu dalam menyederhanakan persamaan linier yang banyakmengandung variabel.

    Secara umum n buah persamaan linier dengan n buah variabel dapat dituliskansebagai berikut:

  • Penyelesaian Susunan Persamaan Linier (SPL) Dengan Metode Matriks (lanjutan)

    SPL dalam bentuk:

    dapat disajikan dalam bentuk persamaan matriks:

    a11x1 + a12x2 + a13x3 +.. ..a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + a23x3 +.a2nxn = b2:am1x1 + am2x2 + am3x3 + amnxn = bm

    a11 a12...a1na21 a22 ..a2n: : : am1 am2 amn

    x1x2:

    xn

    =

    b1b2:

    bn

    A: matriks koefisien

    [A][x] = [b]

    x b

  • Lanjutan Dengan pengertian : [A] ialah matriks persegi yang menunjukkan koefisien persamaan linier [x] ialah matriks kolom dari variabel [b] ialah matriks kolom dari konstanta

  • Cara PenyelesaianSusunan Persamaan Linier Banyak metode untuk menyelesaikan persamaan linier ini, yang secara garis

    besar dapat dicantumkan sebagai berikut : a. Metode Inversi Matriks b. Metode Cramer c. Metode Gauss-Jordan d. Metode Eliminasi Gauss

  • Penyelesaian SPL dengan metodeEliminasi Gauss Penyelesaian dari persamaan linear secara simultan dengan eliminasi Gauss. Penyelesaian ini diarahkan pada pembentukan segitiga atas. a11x1 + a12x2 + a13x3 + a1nxn = c1 a21x1 + a22x2 + a23x3 + a2nxn = c2 a31x1 + a22x2 + a33x3 + a3nxn = c3 . . an1x1 + an2x2 + an3x3 + annxn = cn

  • persamaan di atas dirubah menjadi bentuk sebagai berikut : a11x1 + a12x2 + a13x3 + a1nxn = c1 0 + a22x2 + a23x3 + a2nxn = c2 0 + 0 + a33x3 + a3nxn = c3 . . 0 + 0 + 0 + annxn = cn

  • dari bentuk di atas ternyata persamaan ke-n memberikan jawaban xn xn = dengan memasukkan xn ke persamaan (n-1) dapat dicari xn-1 Begitu seterusnya dapat dilakukan ke atas

    ''

    anncn

  • Contoh : 4x1 + 2x2 + x3 = 15 (a) 20x1 + 5x2 7x3 = 0 (b) 8x1 3x2 + 5x3 =24 (c) a : 4 x1 + 0,5x2 + 0,25x3 = 3,75 (a) b 5a 0 - 5x2 - 12x3 = -75 (b) c 2a 0 - 7x2 + 3x3 = -6 (c) x1 + 0,5x2 + 0,25x3 = 3,75 (a) b : ( 5) 0 + x2 + 2,4x3 = 15 (b) c + 7b 0 + 0 + 19,8x3 = 99 (c)

  • dari persamaan c 19,8x3 = 99 x3 = 5 dari persamaan b x2 + 2,4.5 = 15 x2 = 3 dari persamaan a x1 + 0,5.3 + 0,25.5 = 3,75 x1 = 1

  • secara matriks dapat ditulis [A] {X} = {C} dimana [A] =

    {X} = =

    {C} = =

    5387520

    124

    321

    xxx

    321

    ccc

    531

    240

    15

  • Contoh

    83125123127135221232

    83251232

    73522232

    4321

    4321

    4321

    4321

    xxxxxxxx

    xxxxxxxx

    matriks input

  • Forward Elimination

    83125123127135221232

    32162

    19013140

    9212012

    11231

    '14

    '4

    '13

    '3

    '12

    '2

    1'1

    5

    22

    2

    RRRRRRRRR

    RR

    32162

    19013140

    9212012

    11231

    415994

    5001973002

    912110

    12112

    31

    '14

    '4

    '23

    '3

    2'2

    1'

    1

    2194

    2

    RRR

    RRR

    RR

    RR

  • Forward Elimination

    12572

    12143000

    319

    37100

    2912

    110

    12112

    31

    '34

    '4

    3'3

    2'2

    1'

    1

    45

    3RRR

    RR

    RRRR

    415994

    5001973002

    912110

    12112

    31

    12572

    12143000

    319

    37100

    2912

    110

    12112

    31

    1435721000

    319

    37100

    2912

    110

    12112

    31

    121434'

    4

    3'3

    2'2

    1'

    1

    RR

    RRRRRR

  • Back substitution

    4143

    5723

    193

    72

    92

    112

    12

    3

    4

    4

    43

    432

    4321

    x

    x

    xx

    xxx

    xxxx

  • Tugas di kelas Selesaikan persamaan simultan berikut dengan metode eliminasi Gauss:

    10154x3x2x1272x3x2516x1

    85x36x227x1

    102x3x22x12x3x22x1

    6x3x2x1

    2.

    72x3x23x143x3x22x1

    1-x33x22x1

    3.

    1.

    4. Tentukan inverse matriks berikut ini

    5 1

    1 2

    0 1

    0 2b.a.