MATRIKS

DEFINISI

MATRIKS

Bentuk umum

A=(aij) ,i= 1,2,...m

J=1,2,...m

a11 a12……a1n baris 1

a21 a22…..a2n baris 2

Am1 am2…amn baris m

Kolom n

Kolom 2

Kolom 1

Matriks di atas mempunyai m buah baris dan n buah

kolom maka dikatakan ukuran matriks tersebut adalah

(mxn).

Matriks adalah himpunan skalar (bilangan riil/kompleks) yang disusun secara empat persegi panjang (menurut baris dan kolom)

Kesamaan dua matriks

Dua buah matriks A=(aij) dan B=(bij) dikatakan sama A=B, jika ukurannya sama (mxn) dan berlaku aij=bij.

1 2 4

2 1 3 A =

1 2 4

2 1 3 B =

1 2 2

2 1 3 C =

2 1 2

2 1 3 D =

1 2 4

2 2 2 E =

x 2 4

2 2 2 F =

2 2 2

4 5 6

9 0 7

G = H =

? ? ?

? ? ?

? ? ?

A = B

C ≠ D

E = F jika x = 1

G = H

2 2 2

4 5 6

9 0 7

Contoh penjumlahan matriks:

Operasi pada Matriks

1. Penjumlahan / Pengurangan Syarat = kedua matriks tersebut berukuran sama

A + B

1 2

6 3

2 4

6 3

A = B =

+ = 3 6

+ = 6 12

PENGURANGAN MATRIKS

A - B

1 2

6 3

2 4

6 3

A = B =

- = -1 -2

- = 0 0

2. Perkalian scalar terhadap matriks Jika λ suatu scalar dari A=(aij)

maka λ A diperoleh dengan mengalikan

semua elemen matriks A dengan λ

Contoh:

1/2-03/2

7/22/32A

2

1

3-09

219123A maka

1-03

734A

3. Perkalian Matriks Dua buah matriks A&B dapat dikalikan jika:

Jumlah kolom matriks pertama (A) sama dengan jumlah baris matriks kedua (B).

Misal. A(mxn) dan B(nxp), C=AxB maka C(mxp).

CBApxmpxnnxm

A=(aij) dengan i=1,2,3,…,m dan j=1,2,3,…,n

B=(bjk) dengan j=1,2,3,…,n dan k=1,2,3,…,p

C=(cik) dengan i=1,2,3,…,m dan k=1,2,3,…,p

Maka :

A x B = (aij) x (bjk)=(cik)

Contoh:

1 3

5 0

0

1 2 A

B

2

4

1

2 1 0

= =

A x B =

-4

4

x + x + x = 9

1 3

5 0

2

4

1 3

5 0

2

4

0

1 2

1

2 1 0

-4

4

x + x + x = 16

x + x + x = 3

1 2 3

0 4 5

x x x

x x x

x x x

+

+

+ +

+

+ =

=

=

13

8

14

1

4

0

-4

2

1

1 2 3

0 4 5

0

1

2

0

1

2

Jika A,B,C adalah matriks-matriks yang memenuhi syarat-syarat yang di perlukan, maka:

A(B+C)=AB+AC

A(BC)=(AB).C

Perkalian matriks tidak komutatif = AB≠BA tetapi ada beberapa matriks yang berlaku AB=BA

Bila AB=AC , belum tentu B=C

Bila AB=0(matriks nol)

Maka kemungkinan-kemungkinan:

1. A=0 & B=0

2. A=0 atau B=0

3. A≠B dan B≠0

Transpose

Definisi:

Transpose mariks A adalah matriks AT dimana kolom-kolomnya

adalah baris-baris dari A, baris-barisnya adalah kolom-kolom

dari A.

4 2 6 7

5 3 -9 7

A = AT = A’ =

4 5

2 3

6 -9

7 7

Jika A adalah matriks m x n, maka matriks transpose AT berukuran ……

[AT]ij = [A]ji n x m

Sifat-sifat transpose matriks

A AT (AT)T

(AT )T = A 1. Transpose dari A transpose adalah A:

4 2 6 7

5 3 -9 7

4 5

2 3

6 -9

7 7

4 5

2 3

6 -9

7 7

= A

Contoh:

Sifat-sifat transpose matriks 2. (A+B)T = AT + BT

A+B

(A+B)T

T

BT

B

T

A

T

AT

=

=

+

+

Sifat-sifat transpose matriks

3. (kA)T = k(A) T untuk skalar k

kA

(kA)T = k(A)T

A

T T

k

Sifat-sifat transpose matriks

4. (AB)T = BT AT

(AB)T

AB

T T

A B

T

=

AB = BTAT

Jenis Matriks Khusus

1. Matriks bujur sangkar

Adalah suatu matriks dengan banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom

Contoh

elemen diagonal utama

3x3 2x2

012

1-31

210

, 21

02

2. Matriks Nol

Adalah matriks yang semua elemennya nol

2x2 3x3

3. Matriks Diagonal

Adalah matriks yang semua elemen diluar diagonal utama adalah nol

Contoh:

400

020

001

000

000

00

00

4. Matriks Identitas

Adalah matriks diagonal yang elemen diagonal utamanya semua=1

Contoh:

5. Matriks Skalar

Adalah matriks diagonal dengan semua elemen diagonal utama=K

Contoh:

6. Matriks Segitiga Bawah

Adalah matriks bujur sangkar yang semua elemen diatas diagonal utama=0

Contoh:

3I

100

010

001

200

020

002

311

022

001

7. Matriks Segitiga Atas

Adalah matriks bujur sangkar yang semua elemen dibawah diagonal utama=0

Contoh:

8. Matriks Simetris

Adalah matriks yang transfosenya sama dengan dirinya sendiri.(A=AT).

Contoh:

1000

3300

2010

1121

340

412

021

A

340

412

021

A T

9. Matriks Anti Simetris

Adalah matriks yang transfosenya adalah negatifnya.

Contoh:

10. Matriks Hermitian

Adalah matriks yang transfose hermitiannya sama dengan dirinya sendiri

Contoh:

0142

1031-

43-01

211-0

A ,

0142

103-1

4-301-

2-1-10

A T

42

23A ,

42

23A T

i

i

i

i

11. Matriks Invers

Misal A(nxn), B(nxn) dan berlaku AB=BA=I maka dikatakan B

invers dari A→B=A-1 atau A invers dari B→A=B-1

Contoh:

12. Matriks Komutatif

Jika A dan B matriks-matriks bujur sangkar dan berlaku

AB=BA, maka A dan B dikatakan berkomutatif satu sama lain.

Contoh:

IBxAAxB

101

011

32-6

B ,

421

331

321

A

75

57

31

13

21

12AxB

75

57

21

12

31

13BxA

31

13B ,

21

12A

Transformasi Elementer

Yang di maksud Transformasi Elementer pada matriks adalah operasi sbb:

1. Bij : Pergantian baris ke i dengan baris ke j

2. Kij : Pergantian kolom ke i dengan kolom ke j

3. Bi(λ) : Elemen-elemen baris ke i masing-masing dikalikan

dengan skalar λ≠0

4. Ki(λ) : Elemen-elemen kolom ke j masing-masing dikalikan dengan

skalar λ≠0

5. Bij(λ) : Elemen-elemen baris ke i masing-masing ditambah dengan λ

kali baris ke j

6. Kij(λ) : Elemen-elemen kolom ke i masing-masing ditambah dengan λ

kali kolom ke j

Contoh:

Di ketahui matriks , maka:

103

112

413

B

123

112

473

B)(K ,

516

112

413

B)(B

1-03

1-12

4-13

B)(K ,

103

112

826

(B)B

)2(

23

)1(

31

)1(

3

)2(

1

Matriks Ekivalen

Dua matriks A dan B dikatakan ekivalen(A ~B) jika matriks yang satu dapat di peroleh dari matriks yang lain dengan transformasi baris dan atau kolom.

Contoh:

B1203

1315B

1315

1203

K2303

1215K

2314

1203A

~12

~

)1(

42~

)1(

12

1203

1315Bdan

2314

1203A

Adalah ekivalen

karena:

Matriks Eselon

Setiap matriks yang bukan matriks nol dapat dirubah

menjadi matriks eselon dengan menggunakan

“Transformasi Elementer”.

Matriks yang memenuhi bahwa elemen-elemen yang

sekolom dengan setiap elemen tidak nol terkiri

semuanya nol (kecuali elemen 1 terkirinya) disebut

“ Matriks Eselon “.

Kondisi-kondisi matriks bentuk eselon baris dan eselon baris tereduksi:

1. Elemen pertama yang

tidak nol adalah 1 (satu

utama)

2. Satu utama baris

berikutnya berada lebih

kanan dari baris

sebelumnya

3. Baris nol berada di paling

bawah

4. Elemen di atas satu

utama nol semua

1 0 2 4

0 1 3 6

0 0 1 0

1 0 2 4

0 0 1 6

0 1 0 0

1 0 2 4

0 1 3 6

0 0 1 0

0 1 6 0 0 1

0 0 0 1 0 6

0 0 0 0 1 5

0 0 0 0 0 0

1 0 2 4

0 0 0 0

0 1 6 0

1 0 2 4

0 1 6 0

0 0 0 0

1 0 2 4

0 3 1 6

0 0 1 0

1 0 2 4

0 0 1 6

0 0 0 1

Ya Tidak

Matriks dalam bentuk eselon baris (eb) dan eselon baris tereduksi (ebt)

Matriks yang memenuhi kondisi 1, 2, 3 disebut matriks berbentuk eselon baris.

Jika matriks memenuhi kondisi 1, 2, 3, 4, maka matriks dalam bentuk eselon baris tereduksi.

* *

* * *

* *

1 utama

Sembarang nilai

Nol

* *

* * *

*

eselon baris. eselon baris tereduksi

Rank Matriks Setiap matriks dapat dijadikan matriks

eselon atau eselon tereduksi dengan menggunakan transformasi elementer.

Jumlah elemen satu terkiri pada matriks eselon atau jumlah baris yang tidak sama dengan nol (tidak dapat di nolkan) pada matriks eselon disebut Rank Matriks.

462

231

321

~

)1(

21H

~

)2(

31H

220

110

321

~

)2(

32H

000

110

321

Contoh :

Tentukan rank matriks di bawah ini :

Jawab :

2

matrik eselon

Jadi rank matriks diatas adalah 2

462

231

321