matriks einstein2
DESCRIPTION
matriks einstein elektrodinamikaTRANSCRIPT
MATRIKS EINSTEINKelompok 2
1. Clara sinta saragih2. Rita deby
3. Intan sahyati4. Erni simbolon
5. Marnala A manurung6. ANDY IMANUEL MAHA
7. GORDON SILALAHI8. Nila Yosefa
@copyright by Naniek - 2007 2
OPERASI DASAR ATAS MATRIKS
• Operasi Perkalian Skalar• Operasi Penjumlahan• Operasi Pengurangan• Operasi Perkalian
@copyright by Naniek - 2007 3
PERKALIAN DENGAN SKALAR
K = 2
6321
A
k A
6321
2 =
12642
@copyright by Naniek - 2007 4
PENJUMLAHAN MATRIKS
A + B 1 2
6 3
2 4
6 3 A = B =
+ = 3 6
+ = 6 12
@copyright by Naniek - 2007 5
PENGURANGAN MATRIKS
A - B 1 2
6 3
2 4
6 3 A = B =
- = -1 -2
- = 00
@copyright by Naniek - 2007 6
PERKALIAN MATRIKS
CBAkxmkxnnxm
• A=(aij) dengan i=1,2,3,…,m dan j=1,2,3,…,n• B=(bjk) dengan j=1,2,3,…,n dan k=1,2,3,…,pMaka :
A x B = (aij) x (bjk)
@copyright by Naniek - 2007 7
PERKALIAN MATRIKS
1 3
5 0
0
1 2 A
B
2
4
1
2 1 0
= =
A x B =
-4
4
x + x + x = 9
1 3
5 0
2
4
1 3
5 0
2
4
0
1 2
1
2 1 0
-4
4
x + x + x = 16
x + x + x = 3
1 2 3
0 4 5
x x xx x xx x x
++++
++ =
==
13814
1
4
0
-4
2
1
1 2 3
0 4 5
0
1
2
0
1
2
Penjumlahan Konvensi Einstein
Secara umum penulisan vektor dalam hal basis vektor satuan sebagai berikut
Namun dalam penjumlahan konvensi eistein dapat kita tulis
dimana komponen-komponennya yaitu (Ax, Ay, Az) yang ditulis ulang sebagai dan vektor basis menjadi
kAyAiAA zyxˆˆˆ
332211 ˆˆˆ eAeAeAA
321 ,, AAAkyi ˆ,ˆ,ˆ 321 ˆ,ˆ,ˆ eee
Misalnya dalam 2 dimensi akan ditulis
Sedangkan untuk menulis 5 dimensi akan ditulis
332211 ˆˆˆ eAeAeAA
5544332211 ˆˆˆˆˆ eAeAeAeAeAA
Namun jika komponennya lebih banyak akan sedikit susah kita menuliskannya. Misalnya untuk 10 dimensi kita harus menuliskan 10 komponen. Maka lebih mudah jika kita tulis sebagai berikut
di mana N adalah jumlah dimensi. Perhatikan dalam formula ini bahwa indeks i terjadi dua kali dalam ekspresi . Einstein melihat ini selalu terjadi dan sehingga setiap kali indeks diulang dua kali dia hanya hanya menuliskan seperti di atas
N
i iieAA ˆ
Jadi penjumlahan konvensi Einstein adalah didefinisikan secara umum sebagai berikut
N
i iiii yxyx
Contoh
1. Tuliskan lah dalam bentuk 2 dimensi Penyelesaian
iiBA
2211
2
1
BABA
BABAi iiii
Persamaan bergandeng dan matriks
Perhatikan 2 persamaan simultan berikut ini
yang memiliki solusi x = 1 dan y = 1. Sebuah cara yang berbeda menulis persamaan ini dalam bentuk matriks, yaitu sebagai berikut :
0
211
11yxyx
yx
Perhatikan bagaimana dua matriks di sisi paling kiri bisa dikalikan bersama. Aturan perkalian mungkin lebih jelas jika kita tulis
Jika kita memiliki 3 persamaan simultan
dycxbyax
yx
dcba
4224
zxzyxzyx
Dapat kita tulis
Jadi notasi matriks adalah sebuah cara menuliskan persamaan simultan. Di sisi paling kiri persamaan di atas. kita memiliki matriks persegi dengan mengalikan matriks kolom. Persamaan itu juga dapat ditulis sebagai
424
02102111111
zyzzyxzyx
zyx
BXA
kkXAB
XAXABdan
XAXABatau
BB
XAXAXAXA
XX
AAAA
11
2221212
2121111
2
1
222221
112111
2
1
2221
1211
Dapat di singkat dalam bentuk
Yaitucarasingkat untuk menulisbentukperkalianmatriks. catatanjika xkmemiliki 1 indeksdanvektor. Dengandemikianvektordapatditulisx = xi + yjatauhanyaIniadalahcarapenulisanMatriks vektor
Kadang-kadang kita ingin mengalikan dua matriks persegi bersama-sama. Aturanuntuk melakukan hal ini adalah
Jadimisalnya, C11 = A11B11 + A12 B22 and C21 = A21B11 + A22B21 yang dapat ditulis dalam bentuk sebagai berikut
= Yang merupakanrumusperkalianmatriksuntukmatrikspersegi.
(𝐴11 𝐴12
𝐴21 𝐴22)(𝐵11 𝐵12
𝐵21 𝐵22)=( 𝐴11𝐵11 𝐴12 𝐵12
𝐴21𝐵21 𝐴22 𝐵22)=(𝐶11 𝐶12
𝐶21 𝐶22)
Determinan Matriks
Jika suatu matriks adalah matriks bujur sangkar maka mempunyai nilai determinannya
Determinan matriks A di dinotasikan dengan | A |
Cara menghitung determinan tergantung ordo matriks tersebut
Determinan matriks ordo 2 x 2
A =
det.A = |A| = a11a22 - a21a12
a11 a12
a11 a12
Determinan matriks ordo 3 x 3
A = a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
Determinan matrik A ( 3 x 3 ) dihitung menggunakan metode SARRUS:
| A | = a11 a22a33 + a12 a23a31 + a13 a21a32
- a31 a22a13 - a32 a23a11 - a33 a21a12
Matriksidentitas [ I] adalahuntukmatriks orde 2 X 2atauuntukmatriksorde 3 x3dansebagainya. I adalah sifat sebenarnya dari identitas, yaitu
IB BI B
Dimana B adalah sebuah matriks
Menentukan matrik invers
Menggunakan metode Adjoin:
A- 1 = Adjoin A
Det. A
Det. A 0
Adjoin A adalah transpose dari matrik kofaktor-kofaktor dari matrik A
Adjoin A =
A11
A12
.
.A1n
... An1
An2
.
.Ann...
Ai j adalah kofaktor dari elemen ai j dimana :Ai j = ( - 1 )i+ j | Mi j |
Mi j adalah submatrik dari A yang diperoleh dengan jalan menghilangkan baris ke – i dan kolom ke – j pada A
Sifat-sifat matrik invers
( A B ) – 1 = B – 1 A – 1
( k A ) – 1 = 1/k A – 1
(A – 1) – 1 = A
Invers sebenarnya dihitung dengan menggunakan objek yang disebut kofaktor [3]. Pertimbangkan matrik tersebut
𝐴=(𝐴11 𝐴12 𝐴13
𝐴21 𝐴22 𝐴23
𝐴31 𝐴32 𝐴33) Kofaktordarielemenmatriksu
ntukcontohdidefinisikansebagai:
𝑐𝑜𝑓 (𝐴¿¿21)≡¿¿
Cara untukmendapatkanelemenmatriks yang munculdalamdeterminaninihanyadenganmengalikanbarisdankolom di manabagiandalammatriks A danunsur-unsur yang tersisamasukkekofaktor.