logika dan matriks
DESCRIPTION
Logika dan Matriks untuk SMKTRANSCRIPT
LOGIKA MATEMATIKA
• Kalimat Terbuka – Tertutup
• Negasi, Kata Penghubung
• Penarikan Kesimpulan
• Soal ‐ Soal
Disusun oleh:
Muhammad Irfan,S.Si
LOGIKA MATEMATIKA
Logika matematika meliputi: logika pernyataan atau proposisi
(propositional logic) suatu yang menelaah manipulasi antar
pernyataan dan logika penghubung atau predikat (predicate logic)
yang menelaah manipulasi hubungan relasioanal antara pernyataan
pertama dengan pernyataan kedua. Oleh karena itu logika
matematika adalah ilmu yang menelaah manipulasi antar pernyataan
matematik (mathematical Statement). Namun sebelum melangkah
lebih jauh, kita perlu memahami terlebih dahulu pengertian
pernyataan dan pengertian penghubung. Berikut ini diberikan
definisi suatu pernyataan :
A. Pengertian
Logika matematika adalah pola berpikir berdasarkan penalaran dan
dapat di uji kebenarannya secara matematika.
Sebuah pernyataan atau proposisi adalah sebuah kalimat deklaratif yang mempunyai tepat satu nilai kebenaran, yaitu: ” Benar ” (B) saja atau” Salah ” (S) saja, tetapi tidak sekaligus keduanya.
Logika Matematika 2010/2011
1. Kalimat terbuka
Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum dapat di tentukan nilai
kebenarannya. Atau dengan kata lain kalimat yang masih
bervariabel.
Contoh
a. 2x + 5 = 7
b. x2 + 1 = 10
c. Jarak kota A dan kota B 200 km
d. Usia A lebih muda dari B, dll.
2. Pernyataan
Jika variabel pada kalimat terbuka diganti maka akan menjadi
pernyataan. Dan pernyataan tersebut dapat bernilai salah atau benar.
Contoh pernyataan
a. 2 x 5 = 10
b. 20 : 2 = 6
c. Toni lebih muda dari Susi
Pernyataan a bernilai benar
Pernyataan b bernilai salah
Pernyataan c bisa benar atau salah
Latihan
1. Diantara kalimat-kalimat berikut ini tentukan manakah yang
merupakan pernyataan dan manakah yang merupakan
kalimat terbuka. Jika pernyataan tentukan nilai
kebenarannya.
a. x + 5 > 0.
b. x2 + 5 ≥ 0.
c. Satu windu sama dengan n tahun.
d. Bilangan asli merupakan himpunan bagian bilangan
bulat.
e. 2k + 1 merupakan bilangan ganjil, untuk k bilangan
cacah.
f. 2k merupakan bilangan genap, untuk k bilangan real.
g. Itu adalah benda cair.
h. Dua kali bilangan asli adalah bilangan genap
2. Diberikan kalimat terbuka berikut : x2 - 1 = 0 , x bilangan
real. Tentukan Himpunan x agar kalimat itu menjadi suatu
pernyataan.
B. Penghubung / Konektif (Connective)
Dalam logika matematika dikenal sebanyak 5 operator logika
(penghubung), yaitu: Negasi (Negation), Konjungsi (Conjunction),
Logika Matematika 2010/2011
Disjungsi (Disjunction), Implikasi (Implication) , Biimplikasi,
atau Ekuivalensi (Equivalence).
1. NEGASI
Negasi disebut juga ingkaran atau pengingkaran . Ingkaran dari
suatu pernyataan diperoleh dengan menambahkan” tidak benar”
di awal kalimat, atau dengan cara menyisipkan kata ” tidak” atau
” bukan” pada pernyataan tersebut.
Berikut adalah tabel kebenaran pernyataan negasi
p
B S
S B
Contoh
Pernyataan : p Negasi (ingkaran) :
Tiga puluh sembilan adalah Tiga puluh sembilan bukan
bilangan prima
(S)
bilangan prima
(B)
Semua binatang adalah
mahluk hidup
(B)
Tidak semua binatang
adalah mahluk hidup
(S)
2. KONJUNGSI
Pada bagian sebelumnya telah dipelajari suatu pernyataan
tunggal. Namun selanjutnya akan dipelajari dua atau lebih
pernyataan tunggal yang digabung dan disebut
denganpernyataan majemuk. Konjungsi merupakan kata
penyambung antar beberapa pernyataan yang biasanya berupa
kata “dan”. Kata penghubung “dan” pada perkataan majemuk
dilambangkan dengan “ ” yang disebut Konjungsi. Konjungsi
didefinisikan sebagai berikut :
Misalkan p adalah adalah pernyataan Negasi p adalah: Untuk sembarang pernyataan p, negasi dari p dilambangkan dengan ̂ dan dibaca “ bukan p” Suatu pernyataan yang bernilai salah (S ) jika p benar (B), dan bernilai benar (B ) jika p salah (S)
Konjungsi Pernyataan majemuk p dan q disebut Konjungsi dari p dan q dinyatakan dengan:
adalah sebuah pernyataan bernilai benar jika pernyataan p dan q keduanya bernilai benar, dan bernilai salah jika salah satu p atau q (keduanya) salah
Logika Matematika 2010/2011
Tabel Kebenaran Konjungsi
p q
B B B
B S S
S B S
S S S
Contoh
Pernyataan : p Pernyataan : q
SMK 1 Sragen berada di
Kabupaten Sragen (B)
Sragen termasuk ke
dalam wilayah Jawa
Tengah (B)
B
Jumlah sudut dalam
suatu segi tiga selalu
180o (B)
Besar sudut segitiga sama
sisi adalah 90o (S)
S
Dua adalah bilangan
ganjil (S)
Dua adalah bilangan
prima (B)
S
2 + 6 = 7 (S) 6 = 7 – 2 (S) S
3. DISJUNGSI
Disjungsi merupakan kata penghubung berupa kata “atau”
dalam menghubungkan dua pernyataan menjadi kalimat
majemuk. Kata penghubung “atau” pada pernyataan majemuk
dilambangkan dengan “ ” yang disebut Disjungsi. Disjungsi
didefinisikan sebagai berikut :
Tabel Kebenaran Disjungsi
p q
B B B
B S B
S B B
S S S
Disjungsi : Pernyataan majemuk p dan q disebut Disjungsi dari p dan q dinyatakan dengan:
” p V q ” adalah sebuah pernyataan bernilai benar jika pernyataan p dan q salah satu atau keduanya bernila benar, dan bernilai salah hanya jika keduanya bernilai salah
Logika Matematika 2010/2011
Contoh
Pernyataan : p Pernyataan : q
SMK 1 Sragen berada di
Kabupaten Sragen (B)
Sragen termasuk ke dalam
wilayah Jawa Tengah (B)
B
Jumlah sudut dalam suatu
segi tiga selalu 180o (B)
Besar sudut segitiga sama
sisi adalah 90o (S)
B
Dua adalah bilangan ganjil
(S)
Dua adalah bilangan prima
(B)
B
2 + 6 = 7 (S) 6 = 7 – 2 (S) S
4. IMPLIKASI (Proporsi Bersyarat)
Untuk memahami implikasi, perhatikan uraian berikut ini.
Misalkan Boby berjanji pada Togar “Jika saya dapat medali
olimpiade sains-matematika nasional tahun ini maka aku akan
membelikan kamu sepatu bola”. Janji Boby ini hanya berlaku
jika Boby mendapatkan medali olimpiade sains-matematika.
Kalimat yang diucapkan Boby pada Togar dalam bahasa logika
matematika dapat ditulis sebagai berikut :
Jika p : dapat medali olimpiade sains-matematika nasional.
Maka q : membelikan sepatu bola
Sehingga dapat dinyatakan sebagai “ Jika p maka q ” atau
dilambangkan dengan “ ” suatu pernyataan majemuk
yang disebut dengan Implikasi. Implikasi dari pernyataan p ke
pernyataan q dinyatakan dengan , ” ”, ialah sebuah
pernyataan yang bernilai salah jika dan hanya jika p bernilai
benar dan q bernilai salah. Pernyataan p disebut hipotesa
(premis) dan pernyataan q disebut kesimpulan (konklusi).
Selanjutnya Implikasi didefinisikan sebagai berikut :
Tabel Kebenaran Implikasi
p q
B B B
B S S
S B B
S S B
Implikasi: Pernyataan majemuk p dan q disebut implikasi (pernyataan bersyarat) adalah sebuah pernyataan majemuk yang dilambangkan :
” p → q ” bernilai salah hanya jika hipotesa p bernilai benar dan konklusi q bernilai salah. Untuk kasus lainnya bernilai benar.
Logika Matematika 2010/2011
Contoh
Pernyataan : p Pernyataan : q
SMK 1 Sragen berada di
Kabupaten Sragen (B)
Sragen termasuk ke dalam
wilayah Jawa Tengah (B)
B
Jumlah sudut dalam
suatu segi tiga selalu
180o (B)
Besar sudut segitiga sama
sisi adalah 90o (S)
S
Dua adalah bilangan
ganjil (S)
Dua adalah bilangan prima
(B)
B
2 + 6 = 7 (S) 6 = 7 – 2 (S) B
5. BIIMPLIKASI (EKUIVALENSI)
Pernyataan p dan q apabila dirangkai dengan menggunakan
hubungan “Jika dan hanya jika“ Sehingga menjadi suatu
kalimat yang dapat dinyatakan sebagai “p Jika dan hanya jika q
” atau dilambangkan dengan :
“ p ⇔ q ”
suatu pernyataan majemuk disebut dengan biimplikasi.
Pernyataan majemuk biimplikasi menyiratkan suatu gabungan
dari:
p ⇔q dan q⇔p
Oleh karena itu nilai kebenaran biimplikasi p ⇔q dikatakan
bernilai benar jika p dan q mempunyai nilai kebenaran yang
sama seperti yang diungkapkan pada definisi berikut ini :
Tabel Kebenaran Biimplikasi
p q
B B B
B S S
S B S
S S B
Biimplikasi: Pernyataan majemuk p dan q disebut biimplikasi (pernyataan bersyarat dua arah) adalah sebuah pernyataan majemuk yang dilambangkan :
” p ⇔ q ” bernilai benar jika p dan q mempunyai nilai kebenaran yang sama.
Logika Matematika 2010/2011
Contoh
Nyatakan pernyataan berikut dengan symbol dan tentukan
kebenarannya.
“ Irfan Bachdim adalah pemain Timnas dan tidak benar bahwa
Jakarta adalah ibukota Indonesia atau SMK N 1 Sragen terletak di
Kabupaten Sragen”
Penyelesaian:
Setiap pernyataan kita misalkan dengan symbol:
p : Irfan Bachdim adalah pemain Timnas (B)
q : Jakarta adalah ibukota Indonesia (B)
r : SMK N 1 Sragen terletak di Kabupaten Karanganyar (S)
Secara simbolik, pernyataan tersebut dapat dinyatakan sebagai
berikut:
Kemudian, untuk mencari nilai kebenaran dari pernyataan di atas
yaitu:
(p ∧ q ) ∨ r ⇔ (B ∧ B ) ∨ S
⇔ (B ∧ S ) ∨ S
⇔ S∨ S
⇔ S
Jadi, pernyataan di atas bernilai salah.
C. TABEL KEBENARAN (Truth Table)
Untuk mengevaluasi apakah sebuah pernyataan majemuk benar
atau salah kita perlu table kebenaran dari kalimat penghubung
yang ada dalam pernyataan tersebut. Untuk sembarang
pernyataan p dan q, rangkuman tabel kebenaran dari semua
penghubung adalah sebagai berikut:
p q
B B S S B S B B
B S S B S S S S
S B B S S S B S
S S B B S B B B
Nilai kebenaran
ABCD adalah persegi ABCD segi empat
yang sisinya sama
B
n adalah bilangan prima n habis dibagi 7 S
SMK 1 Sragen terletak di Jawa Tengah
Sragen adalah Kota yang ada di Yogyakarta
S
Grafik bukan garis lurus
adalah fungsi yang tidak linier
B
Logika Matematika 2010/2011
Contoh
Berikut ini beberapa contoh fungsi pernyataan dan himpunan
daerah asal :
1. n 2 + 2n adalah bilangan ganjil, dengan daerah asal
himpunan bilangan bulat.
2. x 2 - x - 6 = 0 , dengan daerah asal himpunan bilangan real.
3. Seorang pemain bisbol memukul bola melampaui 300 ft pada
tahun 1974, dengan daerah asal himpunan pemain bisbol.
Soal Latihan
1. Tentukan ingkaran atau negasi dari setiap kalimat berikut:
a. Dua ratus tujuh belas adalah bilangan prima.
b. Diagonal ruang pada suatu kubuas ada 4 buah
c. Pulau Madura termasuk wilayah propinsi Jawa Timur.
d. 49 adalah bilangan kuadrat.
2. Diberikan pernyataan sebagai berikut:
p : Dua garis sejajar mempunyai titik potong
q : Nilai maksimal sinus suatu sudut adalah 1
r : Syamsir Alam bukan pemain Tenis
Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan – pernyataan
berikut:
a.
b.
c.
d.
3. Periksalah nilai kebenaran dari Implikasi berikut, jika salah
berikan contoh kesalahannya.
a. Jika x=2 maka 2 5 2 0
b. Jika x = 90 maka sin cos 0
DEFINISI Misalkan P(x) merupakan sebuah pernyataan yang mengandung variabel x dan D adalah sebuah himpunan. Kita sebut P sebuah fungsi pernyataan (dalam D) jika untuk setiap x di D, P(x) adalah pernyataan. Kita sebut D daerah asal pembicaraan (domain of discourse) dari P.
Logika Matematika 2010/2011
D. KUANTOR
1. Kuantor Universal dan Kuantor Eksistensial
Jadi pernyataan yang menggunakan kata “ semua” atau
“setiap” disebut pernyataan kuantor universal (umum) ,
sedangkan pernyataan yang menggunakan kata “Beberapa”
atau “ada” kuantor eksistensial (khusus). Pernyataan untuk
setiap x, P(x) bernilai benar jika untuk setiap x D, maka P(x)
bernilai benar. Pernyataan untuk beberapa x, P(x) bernilai
benar jika terdapat sekurang kurangnya satu x D sehingga
P(x) bernilai benar.
Jadi untuk mengevaluasi sebuah pernyataan dalam bentuk
simbulik dan memuat penghubung, kita harus menetapkan
daerah asal dari setiap variabelnya dan memberikan
interpretasi (makna) terhadap fungsi dan penghubung yang
ada didalamnya.
2. Negasi dari Pernyataan berkuantor
Seperti yang telah diuraikan sebelumnya bahwa negasi adalah
ingkaran dari suatu pernyataan p yang dilambangkan dengan p
. Selanjutnya dapat dengan mudah dapat dirumuskan bahwa:
- Negasi dari sebuah kuantor universal pastilah kuantor
eksistesial.
- Negasi dari kuantor eksistensial adalah kuantor universal.
Contoh:
Tentukan negasi dari kalimat yang berkuantor berikut:
a. , 1 0
b. , 1 0
Jawab:
a. , 1 0 adalah pernyataan yang benar
Negasi dari pernyataan tersebut adalah:
DEFINISI Misalkan P(x) adalah fungsi pernyataan dengan daerah asal D.
1. Pernyataan ”untuk setiap x, P(x)” dikatakan sebagai pernyataan kuantor universal dan secara simbulik ditulis sebagai berikut " x; P(x) " Simbul ” ” disebut kuantor universal (universal quantifier).
2. Pernyataan ”untuk beberapa x, P(x)” dikatakan sebagai pernyataan kuantor eksistensial dan secara simbulik ditulis sebagai berikut " x; P(x) " Simbul ” ” disebut kuantor eksistensial (existensial quantifier).
Logika Matematika 2010/2011
, 1 0 , 1 0 bernilai
salah
b. , 1 0 adalah pernyataan yang salah
Negasi dari pernyataan tersebut adalah:
, 1 0 , 1 0 bernilai
benar
3. Hubungan Invers, Konvers, dan Kontraposisi
Untuk melihat hubungan antara implikasi dengan konvers,
invers dan kontraposisi perhatikan pernyataan implikasi
berikut ini :
i. Jika Nena seorang mahasiswa maka Nena lulus SMA
Dari pernyataan implikasi ini, dapat dibuat
pernyataan baru:
ii. Jika Nena lulus SMA, maka Nena seorang mahasiswa
iii. Jika Nena bukan seorang mahasiswa, maka Nena
tidak lulus SMA
iv. Jika Nena tidak lulus SMA, maka Nena bukan
seorang mahasiswa
Pernyataan – pernyataan i, ii, iii, dan iv dapat ditulis sebagai
berikut:
i. : disebut implikasi
ii. : disebut konvers dari implikasi
iii. : disebut invers dari implikasi
iv. : disebut kontraposisi dari implikasi
Berikut adalah table kebenaran dari Konvers, Invers, dan
Kontraposisi.
Komponen Implikasi Konvers Invers Kontraposisi
p q
B B S S B B B B
B S S B S B B S
S B B S B S S B
S S B B B B B B
Berdasarkan table kebenaran di atas, dapat disimpulkan
bahwa:
- Implikasi ekuivalen dengan kontraposisi
- Konvers ekuivalen dengan Invers
Logika Matematika 2010/2011
4. Dua Pernyataan Majemuk yang Ekuivalen
Perhatikan contoh kalimat berikut:
p : Markus tidak malas
q : Markus giat berlatih
Dari pernyataan di atas, akan dibuat kalimat majemuk sebagai
berikut:
a: Markus tidak malas maka Markus giat berlatih :
bernilai B
b: Markus malas atau Markus giat berlatih :
bernilai B
Dari pernyataan a dan b dapat dibentuk biimplikasinya:
Contoh
Dengan menggunakan tabel kebenaran, tunjukkanlah bahwa
pernyataan ekuivalen dengan pernyataan
Jawab:
p q
B B S B B B
B S S S S B
S B B B B B
S S B B B B
Dari tabel dapat disimpulkan bahwa
Coba kita perhatikan kolom ke-6 pada table tersebut. Pada
kolom tersebut selalu bernilai benar untuk setiap
kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan komponen
yang ada. Pernyataan majemuk tersebut disebut Tautologi
(benar logis). Tautologi yang berbentuk
disebut Ekuivalen Logis ditulis dengan lambang
dibaca (a ekuivalen b)
Sedangkan untuk setiap kemungkinan nilai kebenaran dari
pernyataan komponen yang bernilai salah pernyataan
majemuk tersebut disebut Kontradiksi.
Tautologi: Sebuah pernyataan dikatakan bernilai Tautologi (valid), jika pernyataan tersebut bernilai benar terhadap setiap pemberian nilai kebenaran bagi setiap variabelnya.
Logika Matematika 2010/2011
Kontradiksi: Sebuah pernyataan dikatakan bernilai Kontradiksi, jika pernyataan tersebut bernilai salah terhadap setiap pemberian nilai kebenaran bagi setiap variabelnya.
Contoh
Tunjukkan bahwa adalah tautology dan adalah
kontradiksi
Jawab
B S B S
S B B S
Dari table tersebut dapat kita simpulkan bahwa adalah
Tautologi dan adalah Kontradiksi.
Contoh
Tunjukkan bahwa pernyataan adalah
tautology
Jawab:
B B B S S B
B S S B B B
S B B S B B
S S B S B B
Dapat disimpulkan bahwa pernyataan adalah
tautology
Latihan
1. Tentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari
pernyataan berikut:
a. Jika Timnas juara AFF Cup, maka Timnas punya
piala.
b. Jika Ryan seorang mahasiswa, maka Ryan lulus
SMA.
c. Jika bilangan ganjil, maka 1 adalah
bilangan genap.
2. Tentukan negasi dari setiap pernyataan berkuantor
berikut ini:
a. Setiap bilangan bulat adalah bilangan real.
b. Terdapat bilangan real sehingga 4 0
Logika Matematika 2010/2011
c. Ada siswa di kelas ini yang suka bercanda.
d. Semua segitiga sama sisi mempunyai sudut 60 .
3. Tunjukkan bahwa pernyataan berikut adalah tautology:
a.
b.
c.
5. Silogisme, Modus Tollens, dan Modus Ponens
Silogisme Modus Ponens dan Modus Tollens adalah metode
atau cara yang digunakan dalam menarik kesimpulan. Proses
penarikan kesimpulan terbagi atas beberapa hipotesa yang
diketahui nilai kebenarannya yang kemudian dengan
menggunakan prinsip-prinsip logika diturunkan suatu
kesimpulan (konklusi). Penarikan kesimpulan ini disebut
dengan argumentasi.
Prinsip-prinsip logika yang digunakan untuk menarik suatu
kesimpulan adalah sebagai berikut :
i. Argumen dikatakan berlaku atau sah:
Jika konjungsi dari hipotesa-hipotesanya berimplikasi
dengan kesimpulan
ii. Misalkan hipotesa yang diketahui adalah a dan b
sedangkan kesimpulannya adalah c, Argumen yang
berlaku atau sah:
iii. Argumen dikatakan berlaku atau syah:
Jika hipotesa-hipotesanya benar maka kesimpulannya
juga benar.
iv. Argumen disusun dengan cara menuliskan hipotesa -
hipotesanya barus demi baris kemudian dibuat garis
B B B B B B B B
B B S B S S S B
B S B S B B S B
B S S S B S S B
S B B B B B B B
S B S B S B S B
S S B B B B B B
S S S B B B B B
Logika Matematika 2010/2011
mendatar dan kesimpulan diletakkan baris paling
bawah sebagai berikut :
a hipotesa 1
b hipotesa 2
kesimpulan
Tanda “ “ dibaca “Jadi c” atau “Oleh karena
itu…”.
1. Silogisme
Proses penarikan kesimpulan yang menggunakan sifat
menghantar dari pernyataan implikasi, yaitu dilakukan
dengan cara menyusun baris – baris:
hipotesa 1
hipotesa 2
kesimpulan
Dalam bentuk implikasi, silogisme dapat ditulis menjadi:
Silogisme dikatakan sah jika nilai dari bentuk implikasi
tersebut merupakan tautologi
Berikut ini adalah table kebenarannya.
Contoh
Tentukan kesimpulan dari argument berikut:
Hipotesa 1 : Jika n bilangan ganjil maka n2 ganjil.
Hipotesa 2 : Jika n2 ganjil maka n2+1 genap.
Jawab:
Hipotesa 1 : Jika n bilangan ganjil maka n2 ganjil. p q Hipotesa 2 : Jika n2 ganjil maka n2+1 genap. q r Kesimpulan: .
Jadi, kesimpulannya adalah: Jika n bilangan ganjil maka
n2+1 genap
2. Modus Ponens
Proses penarikan kesimpulan yang menggunakan sifat
menghantar dari pernyataan implikasi, yaitu dilakukan
dengan cara menyusun baris – baris:
hipotesa 1
hipotesa 2
kesimpulan
Dalam bentuk implikasi, modus ponens dapat ditulis
menjadi:
Logika Matematika 2010/2011
Modus Ponens dikatakan sah jika nilai dari bentuk
implikasi tersebut merupakan tautologi
Berikut ini adalah table kebenarannya.
B B B B B
B S S S B
S B B S B
S S B S B
Contoh
Tentukan kesimpulan dari argument berikut:
Hipotesa 1 : Jika n bilangan ganjil maka n2 ganjil.
Hipotesa 2 : n bilangan ganjil.
Jawab:
Hipotesa 1 : Jika n bilangan ganjil maka n2 ganjil. p q Hipotesa 2 : n bilangan ganjil. p Kesimpulan: .
Jadi, kesimpulannya adalah: n2 ganjil
3. Modus Tollens
Proses penarikan kesimpulan yang menggunakan sifat
menghantar dari pernyataan implikasi, yaitu dilakukan
dengan cara menyusun baris – baris:
hipotesa 1
hipotesa 2
kesimpulan
Dalam bentuk implikasi, modus tollens dapat ditulis
menjadi:
Modus Tollens dikatakan sah jika nilai dari bentuk
implikasi tersebut merupakan tautologi
Berikut ini adalah table kebenarannya.
B B S B S S B
B S B S S S B
S B S B S B B
S S B B B B B
Cara lain untuk menunjukkan sah atau tidaknya sebuah
Modus Tollens adalah dengan mengambil kontaposisi
dari argument sebagai berikut:
Logika Matematika 2010/2011
Kontraposisi:
Contoh
Tentukan kesimpulan dari argument berikut:
Hipotesa 1 : Jika n bilangan ganjil maka n2 ganjil.
Hipotesa 2 : n2 tidak ganjil.
Jawab:
Hipotesa 1 : Jika n bilangan ganjil maka n2 ganjil. p q Hipotesa 2 : n2 tidak ganjil. Kesimpulan: .
Jadi, kesimpulannya adalah: n bilangan tidak ganjil
Latihan
1. Tentukan kesimpulan dari argument berikut ini:
a. Hipotesa 1 : Jika kena hujan aku basah.
Hipotesa 2 : Aku basah
b. Hipotesa 1 : Jika Yongki mencetak gol maka Yongki
akan melakukan selebrasi.
Hipotesa 2 : Yongki tidak mencetak gol.
c. Hipotesa 1 : Jika 0 maka 0 .
Hipotesa 2 : Jika 0 maka . 0
d. Hipotesa 1 : Jika √ . √ √ maka √ . √ √ .
Hipotesa 2 : Jika √ . √ √ .maka 0
e. Hipotesa 1 : Jika 4 0 maka 0.
Hipotesa 2 : 0
2. Periksalah keabsahan dari setiap argument berikut:
a. hipotesa 1 c.
hipotesa 1
b. hipotesa 2
hipotesa 2
kesimpulan
hipotesa 3
kesimpulan
c. hipotesa 1
hipotesa 2
kesimpulan
Logika Matematika 2010/2011
Referensi:
Bandung Ary S.,dkk.2008. Matematika SMK Bisnis dan
Manajemen. Jakarta:Departemen Pendidikan
Nasional
Drs. Sukirman,M.Pd.2006.Logika dan
Himpunan.Yogyakarta:Hanggar Kreator
DEPDIKNAS.2003.Panduan Materi Matematika
SMK.Jakarta.Departemen Pendidikan Nasional
Drs. Markaban,M.Si.2004.Logika Matematika-Diklat
Instruktur/Pengembang Matematika SMA
Jenjang Dasar.Yogyakarta:PPPG Matematika
Matematika untuk SMK Akuntansi ‐ 2011
MATRIKS
• Macam – macam Matriks
• Operasi pada Matriks
• Determinan dan Invers pada Matriks
• Menyelesaikan Sistem Pers. Linier
• Soal ‐ Soal
Disusun oleh:
Muhammad Irfan,S.Si
A. Macam – macam Matriks
1. Pengertian Matriks
Matriks adalah susunan elemen – elemen yang berbentuk persegi
atau persegi panjang dengan dibatasi oleh tanda kurung “( )” atau
kurung siku “[ ]”. Elemen – elemen tersebut bias berbentuk bilangan
ataupun huruf. Nama suatu matriks dinotasikan dengan huruf capital,
sedangkan elemen – elemennya menggunakan huruf kecil.
adalah elemen pada baris pertama kolom pertama.
adalah elemen pada baris pertama kolom kedua.
adalah elemen pada baris kedua kolom pertama.
adalah elemen pada baris ke‐m kolom ke‐n.
Matriks adalah matriks A dengan m baris dan n kolom. Mxn
disebut juga dengan ukuran suatu matriks atau biasa dikenal dengan
nama ordo suatu matriks.
Contoh 1
Tentukan ordo dari matriks berikut:
1 32 4 , 2 1 2
Matriks A mempunyai ordo 2x2 karena mempunyai 2 baris dan 2
kolom. Sedangkan B ber‐ordo 1x3.
Matematika untuk SMK Akuntansi ‐ 2011
2. Macam – macam Matriks
a. Matiks Nol
Matriks Nol adalah matriks dimana semua elemennya bernilai nol.
Contoh 2
0 00 0 , 0 0 0
0 0 0
b. Matriks persegi (bujur sangkar)
Matriks persegi adalah matriks yang jumlah baris sama dengan
jumlah kolom.
Contoh 3
2 45 0 ,
2 1 46 4 29 7 8
c. Matriks persegi panjang
Matriks persegi panjang adalah matriks yang jumlah kolomnya
tidak sama dengan jumlah baris.
Contoh 4
2 3 74 1 9
d. Matriks Kolom
Matriks kolom adalah matriks yang hanya terdiri dari satu kolom.
Contoh 5
321
e. Matriks Baris
Matriks kolom adalah matriks yang hanya terdiri dari satu kolom.
Contoh 6
3 2 1
f. Matriks Diagonal
Matriks diagonal adalah matriks yang semua elemennya bernilai
nol kecuali pada diagonal utama tidak nol semuanya.
Contoh 7
00 ,
0 00 00 0
g. Matriks Identitas
Matriks identitas adalah matriks persegi yang elemen pada
diagonal utamanya bernilai 1 dan lainnya bernilai 0.
Contoh 8
00 ,
0 00 00 0
Matematika untuk SMK Akuntansi ‐ 2011
h. Matriks Segitiga
• Matriks Segitiga Atas
Matriks segitiga atas adalah matriks yang elemen‐elemen di
bawah diagonal utama seluruhnya nol.
Contoh 9
4 70 1 ,
1 8 100 6 50 0 11
• Matriks Segitiga Bawah
Matriks segitiga atas adalah matriks yang elemen‐elemen di
atas diagonal utama seluruhnya nol.
Contoh 10
4 010 1 ,
1 0 010 6 09 8 11
i. Matriks Transpose
Matriks transpose didapat dari menukar baris menjadi kolom dan
kolom menjadi baris.
Contoh 11
Tentukan
2 3 74 1 9 ,
2 1 46 4 29 7 8
2 43 17 9
2 6 91 4 74 2 8
3. Kesamaan Dua Buah Matriks
Dua matriks dikatakan sama, apabila mempunyai ordo sama dan
elemen‐elemen yang seletak (bersesuaian) dari kedua matriks
tersebut sama.
Contoh 12
4 010 1 , 4 0
10 1 , 0 41 10
Matriks A=B karena ordo dan elemen‐elemen seletak sama. A C
karena elemen – elemen seletaknya tidak sama.
Contoh 13
Tentukan nilai x, y dan z dari persamaan matriks beerikut!
2 62 , 8 6
2
Penyelesaian:
2 62
8 62
Didapatkan:
• 2 8 … pers.1
• 2
2 0
Matematika untuk SMK Akuntansi ‐ 2011
0 di substitusikan ke dalam pers.1 menjadi:
2 8
2 0 8
• 2
4 2
1. Tentukan nilai x, y, dan z dari persamaan matriks di bawah ini.
a. 2 3 62 5 30
3 23 30
b. 1 62 0
2 103 0
2. Tentukan nilai a, b, c, d, dan e dari persamaan matriks di bawah ini.
4 1 56 8
2 2 3
2 53 2 2 82 3
3. Jika 0 1 11 0 00 1 1
1 00 3
2 0 1
Tentukan w, x, y, dan z!
B. Operasi pada Matriks
1. Penjumlahan dan Pengurangan Matriks
Dua buah Matriks dapat dijumlahkan maupun dikurangkan jika kedua
buah matriks tersebut mempunyai ordo yang sama. Hasil jumlah
ataupun selisih didapat dengan cara menjumlahkan atau
mengurangkan elemen‐elemen yang seletak dari kedua matriks
tersebut.
Contoh 14
Diketahui:
5 4 21 6 1 , 2 5 5
6 5 3 , 3 14 1
5 2 4 5 2 51 6 6 5 1 3
3 9 75 11 4
5 2 4 5 2 51 6 6 5 1 3
7 1 37 1 2
tidak dapat dijumlahkan maupun dikurangkan, karena ordo
kedua matriks tersebut tidak sama.
LATIHAN
Apakah kita bisa untuk mengemban misi kita? Insya Allah kita bisa, karena Allah Mahatahu, Allah tahu sampai dimana potensi dan kemampuan kita. Jika kita tidak merasa mampu berarti kita
belum benar-benar mengoptimalkan potensi kita.
Matematika untuk SMK Akuntansi ‐ 2011
Sifat – sifat Penjumlahan dan Pengurangan Matriks
1. sifat assosiatif
2. sifat komutatif
3. sifat distributive
4.
5. terdapat matriks X sedemikian sehingga A+X=B.
2. Perkalian Matriks
a. Perkalian Matriks dengan scalar (k)
Misalkan A merupakan sebuah matriks dan k sebuah scalar, maka
kA adalah sebuah matriks yang didapat dengan cara mengalikan
setiap elemen matriks A dengan scalar k.
Contoh 15
Diketahui 1 36 2 maka
4 4.1 4. 34.6 4.2
4 1224 8
Contoh 16
Tentukan nilai a, b, c jika diketahui
2 41 0 , 2
4 , 4 21 8 sehingga
berlaku P‐2Q=R.
Penyelesaian:
2
2 41 0 2 2
44 21 8
2 24
4 21 8
2 41 0
24
12
2 62 8
24
1 31 4
Dari persamaan matriks di atas didapat:
1; 1; 2 3 1
Contoh 17
Tentukan matriks X yang memenuhi persamaan berikut:
2 7 59 1
3 15 1
Penyelesaian:
2 7 59 1
3 15 1
2 3 15 1
7 59 1
2 10 614 0
5 37 0
Matematika untuk SMK Akuntansi ‐ 2011
Untuk setiap matriks A dan B yang berordo sama dan untuk setiap
scalar k1 dan k2 dan AB terdefinisi, berlaku sifat – sifat perkalian
matriks dengan scalar sebagai berikut:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
b. Perkalian Matriks dengan Matriks
Dua buah matriks A dengan ordo mxn dan matriks B dengan ordo
pxq, hasil kali antara A dan B adalah sebuah matriks C = A.B yang
berordo mxq, dengan syarat n=p. Didapatkan dengan cara
mengalikan setiap elemen baris matriks A dengan elemen kolom
matriks B. Dua buah matriks tidak dapat dikalikan jika dan hanya
jika , mengakibatkan A.B tak terdefinisi.
Perhatikan gambar berikut:
Matriks A Matriks B
baris kolom baris kolom
Baris matriks A=kolom matriks B,matriks dapat dikalikan
Hasil kali kedua matriks dengan ordo baris matriks A x kolom matriks B
Contoh 18
Diketahui 1 12 0 dan 1 0 1
2 2 0 Tentukan A.B
Penyelesaian:
Matriks A berordo 2x2 dan B berordo 2x3, maka hasil kali A.B
adalah matriks yang berordo 2x3.
. 1 12 0
1 0 12 2 0
= 1.0 1 . 2 2 adalah elemen baris ke‐1 dan kolom
ke‐2 dari matriks A.B. Diperolah dengan cara mengalikan elemen –
elemen baris ke‐1 matriks A dengan elemen – elemen kolom ke‐2
matriks B, kemudian menjumlahkannya. Demikian seterusnya
untuk mengisi kotak kotak tersebut.
. 1 12 0
1 0 12 2 0
. 1.1 1 . 2 1.0 1 . 2 1. 1 1 . 02.1 0.2 2.0 0. 2 2. 1 0.0
. 1 2 12 0 2
Matematika untuk SMK Akuntansi ‐ 2011
Contoh 19
Diketahui 2 12 3 dan 2
2 serta 1 11 2 . Tentukan A.B
dan A.C serta C.A
Penyelesaian:
. 2 12 3
22
2.2 1 . 22.2 3. 2
62
. 2 12 3
1 11 2
2.1 1 . 1 2.1 1 . 22.1 3. 1 2.1 3.2
. 3 01 8
. 1 11 2
2 12 3
1.2 1.2 1. 1 1.31 . 2 2.2 1 . 1 2.3
. 4 22 7
Dari contoh di atas, dapat disimpulkan bahwa . . (perkalian tidak
komutatif)
Contoh 20
Ibu Fira berbelanja di Toko “ASA” sebanyak 5 kg beras dengan harga Rp.
7.000,‐ per kg, 4 kg terigu dengan harga Rp. 8.000,‐ per kg, dan 3 liter
minyak goreng dengan harga Rp. 9.000,‐ per liter. Sedangkan Ibu Ira
berbelanja di Toko yang sama dan barang yang sama dengan kuantitas 10
kg beras, 8 kg terigu, dan 2 liter minyak goreng.
Sederhanakan persoalan di atas dalam bentuk perkalian matriks dan
tentukan jumlah yang harus dibayar oleh ibu Fira dan Ira.
Penyelesaian:
Dari soal di atas, jika disajikan ke dalam benuk matriks sebagai berikut:
5 4 310 8 2
700080009000
ket: F = Ibu Fira, dan I = Ibu Ira.
Jumlah yang harus dibayarkan oleh Ibu Fira dan Ibu Ira adalah
5 4 310 8 2
700080009000
5.7000 4.8000 3.900010.7000 8.8000 2.9000
94.000152.000
Jadi, jumlah yang harus dibayar Ibu Fira adalah Rp. 94.000,‐ dan Ibu Ira
adalah Rp. 152.000,‐.
1. Diketahui 2 11 5 , 2 2
1 3 , 3 15 3
Tentukanlah:
a) .
b)
c)
d)
e) Tunjukkanlah bahwa . .
LATIHAN
Jadilah orang yang CERDAS. Comperhensive (think) Emphatic (heart) Religius (Views) Dicipline (time) Active (move on) Social (responbility)
Matematika untuk SMK Akuntansi ‐ 2011
2. Tentukanlah matriks X dari persamaan matriks berikut:
a. 4 3 55 4
1 37 12
b. 4 0 28 4 2 2 4
10 8
c. 4 6 7
2 6 40 2 2
20 4 32 0 5
8 2 4
3. Diketahui 4 31 2 , carilah 2 4 5 (I matriks
identitas)
4. Tentukan nilai a,b,c, dan d dari persamaan matriks berikut:
a. 3 2 13 2 2
2 13 2
0 34 5
b. 2 3 2 24 2
5 31 2 2 0 6
4 5
5. Diketahui 6 1 03 5 4 4 1
4
14 1721 2 Tentukanlah x,y, dan z!!!!
6. Kim membeli 8 buku dengan harga @Rp. 3.000,‐, 12 pensil dengan harga
@Rp. 2.500,‐, dan 5 pulpen dengan harga @Rp. 2.000,‐. Sedangkan Okto
membeli barang yang sama dengan kuantitas 1 lusin buku, 8 pensil, dan
2 pulpen. Sederhanakan persoalan di atas dalam bentuk perkalian
matriks dan tentukan jumlah uang yang harus dibayar oleh Kim dan
Okto.
C. Determinan Suatu Matriks
1. Determinan Matriks ordo 2x2
Misalkan , maka determinan matriks A adalah det
Contoh:
Tentukan determinan dari 2 14 3
Penyelesaian:
det 2 14 3 2. 3 1. 4
6 4 2
Contoh 21
Jika 29 5 2 1 . Tentukanlah nilai x.
Penyelesaian:
29 5 2 1
2 . 5 . 9 2 1
2 1
1
2. Determinan Matriks ordo 3x3
Misalkan maka
Matematika untuk SMK Akuntansi ‐ 2011
det | |
Ada banyak sekali cara untuk menghitung determinan matriks ordo
3x3. Akan tetapi, metode yang paling banyak digunakan adalah
dengan aturan Sarrus. Langkah‐langkahnya sebagai berikut:
a. Letakkan kolom pertama dan kedua di sebelah kanan garis vertikal
dari determinan.
b. Jumlahkan hasil kali unsur‐unsur yang terletak pada diagonal
utama dengan hasil kali unsur‐unsur yang sejajar diagonal utama
pada arah kanan, kemudian dikurangi dengan hasil kali unsur‐
unsur yang terletak sejajar dengan diagonal samping.
Perhatikan skema berikut:
det . . . . . . . .
. . . .
Contoh 22
Tentukan determinan 1 2 11 2 12 1 2
.
Penyelesaian:
| |1 2 11 2 12 1 2
1 21 22 1
| | 1.2.2 2.1.2 1.1.1 1.2.2 1.1.1 2.1.2
| | 4 4 1 4 1 4 0
Contoh 23
Jika diketahui determinan matriks 1 1 3
1 2 43 2 5
adalah 5. Tentukan
nilai X.
Penyelesaian:
| |1 1 3
1 2 43 2 5
1 11 2
3 2
| | 1 . 2.5 1.2.5 1. 4 . 3 3. 1 . 2 3.2.3
1 . 4 . 2 1. 1 . 5
| | 1 10 10 12 6 18 1 8 5
| | 12 19
| | 5
12 19 5
12 5 19
2412
2
Matematika untuk SMK Akuntansi ‐ 2011
3. Minor, Kofaktor, dan Adjoin
Jika A adalah matriks persegi, maka minor elemen aij dinyatakan oleh
Mij dan didefinisikan sebagai determinan submatriks yang tinggal
setelah baris ke‐I dan kolom ke‐j dicoret dari A. Bilangan (‐1)i+j Mij
dinyatakan oleh Cij yang disebut kofaktor elemen aij.
Jika A adalah sembarang matriks persegi dan Cij adalah kofaktor aij,
maka matriks
Disebut matriks kofaktor dari A. Transpose matriks ini disebut adjoin
dari A dan dinyatakan dengan Adj (A).
Contoh 24
Tentukan minor, matriks kofaktor, dan adj (A) dari 2 15 4 .
Penyelesaian:
Minor matriks A adalah
4 1
5 2
Kofaktor dari matriks A adalah
1 1 4 4
1 1 5 5
1 1 1 1
1 1 2 2
Matriks kofaktornya adalah
4 51 2
Adjoin dari matriks kofaktor adalah transpose dari matriks kofaktor,
sehingga
4 51 2
4 15 2
Contoh 25
Tentukan minor,matriks kofaktor, dan adjoin dari 1 2 12 1 22 1 1
Penyelesaian:
Minor matriks tersebut adalah:
1 21 1 1 . 1 2.1 3
2 22 1 2.2 2.1 2
2 12 1 2.1 2. 1 4
2 11 1 2.1 1.1 1
1 12 1 1.1 2.1 1
1 22 1 1.1 2.2 3
Matematika untuk SMK Akuntansi ‐ 2011
2 11 2 2.2 1 .1 5
1 12 2 1.2 2.1 0
1 22 1 1. 1 2.2 5
Kofaktor dari minor‐minor tersebut adalah:
1 3 1 4
1 2
1 1 1 3
1 1
1 5 1 5
1 0
Matriks kofaktornya adalah
3 2 41 1 3
5 0 5
Adjoin dari matriks kofaktor adalah transpose dari matriks kofaktor,
sehingga
3 2 41 1 3
5 0 5
3 1 52 1 0
4 3 5
D. Invers Suatu Matriks
Jika A dan B adalah matriks persegi yang berordo sama, sedemikian
sehingga hasil kali AB = BA = I, dengan I matriks identitas, maka B adalah
invers dari A dan sebaliknya, yaitu B = A‐1 atau A = B‐1.
Jika A adalah matriks persegi, maka invers dari matriks A adalah:
Contoh 26
Tentukan invers dari
Penyelesaian:
det | |
Minor A adalah
| | | |
| | | |
Kofaktor dari A adalah
Matriks kofaktor sedangkan matriks adjoin adalah
Jadi, invers matriks A adalah
Matematika untuk SMK Akuntansi ‐ 2011
Contoh 27
Tentukan invers dari
a. 2 21 2
b. 1 2 12 1 22 1 1
Penyelesaian:
a. Det(A) = 2.(‐2) ‐ 1.(‐2) = ‐4 – (‐2) = ‐2
1det
12
2 21 2
1 112
1
b. 1. 1 . 1 2.2.2 1.2.1 1. 1 . 2 1.2.1 2.2.1
1 8 2 2 2 4 5
1det
15
3 1 52 1 0
4 3 5
35
15
12
51
5 045
35
1
*) matriks adjoin A berasal dari contoh 25
Contoh 28
Dari 4 73 5 5 7
3 4 , tunjukkan bahwa kedua matriks
tersebut saling invers!
Penyelesaian:
. 4 73 5
5 73 4
20 21 28 2815 15 21 20
1 00 1
. 5 73 4
4 73 5
20 21 35 3512 12 21 20
1 00 1
Karena . . maka terbukti bahwa kedua matriks tersebut
saling invers.
Contoh 29
Manakah yang termasuk matriks singular dan nonsingular
2 43 6 4 1
2 3
Penyelesaian:
2.6 3.4 12 12 0 (matriks singular)
4.3 2.1 12 2 10 (matriks nonsingular)
NOTE:
a. Matriks yang mempunyai invers adalah matriks yang nilai
determinannya 0, matriks seperti ini disebut matriks
nonsingular. Sedangkan matriks yang harga
determinannya = 0 disebut matriks singular.
b. Invers suatu matriks jika ada dan tunggal, berlaku:
•
•
Matematika untuk SMK Akuntansi ‐ 2011
1. Tentukan determinan matriks berikut:
a. 1 22 3
b. 5 29 2
c. 2 80 5
d. √3 2√6 √3
e. 1 1 00 2 11 2 1
f. 1 2 31 0 43 2 4
g. 1 2 31 2 11 2 2
2. Tentukan nilai X dari persamaan berikut:
a. 0 1 22 3
b. 2 35 4 7
c. 1 2
2 1 14 0 5
2 5
d. 2
0 1 10 0 1
2
3. Tunjukkan bahwa kedua matriks di bawah ini saling invers.
a. 3 52 3
3 52 3
b. 3 74 9
9 74 3
c. 4 31 1
1 31 4
d. 6 55 4
4 55 6
4. Tentukan invers dari matriks di bawah ini:
a. 1 22 3
b. 5 29 2
c. 2 80 5
d. √3 2√6 √3
e. 1 1 00 2 11 2 1
f. 1 2 31 0 43 2 4
g. 1 2 31 2 11 2 2
5. Manakah yang termasuk matriks singular dan nonsingular!
a. 1 22 3
b. 2 21 2
c. 2 33 5
d. √3 3√2 √6
6. Diketahui 1 22 3 , 1 1
1 2 tentukan:
a.
b.
c.
d. .
e. Apakah . ?
f. Apakah . ?
LATIHAN
Matematika untuk SMK Akuntansi ‐ 2011
E. Menyelesaikan Sistem Persamaan Linier
Sistem persamaan linier dua ataupun tiga variable selain menggunakan
eliminasi dan substitusi juga dapat digunakan invers dan kaidah Cramer
untuk mencari himpunan penyelesaiannya. Langkah – langkah untuk
mencari himpunan penyelesaian system persamaan linier dengan
menggunakan invers adalah sebagai berikut:
• Ubahlah system persamaan ke dalam bentuk matriks.
• Nyatakan bentuk tersebut kedalam perkalian matriks koefisien
dengan matriks variabelnya.
Persamaan matriks A.X = C
• Kalikan kedua ruas dengan invers A:
. . .
. .
.
Contoh 30:
Tentukan nilai x dan y dari system persamaan
4 5 2
3 4 4
Penyelesaian:
Sistem persamaan 4 5 2
3 4 4 jika dibuat dalam bentuk matriks
menjadi 4 53 4
24 . Untuk mencari nilai X, maka:
.
14.4 3 . 5
4 53 4
11
4 53 4
4 53 4
4 53 4
24
8 206 16
1210
Jadi, himpunan penyelesaian dari system persamaan tersebut adalah
{12,10}.
Di samping menggunakan cara invers, dapat juga digunakan aturan
Cramer. Jika A.X = C adalah matriks system persamaan linier yang terdiri
atas n persamaan linier dan n variable yang tidak diketahui, sehingga
det 0, maka system tersebut mempunyai penyelesaian yang unik
(tunggal). Penyelesaian tersebut adalah:
det det
,det det
, … ,det det
Dimana adalah matriks yang didapat dengan cara mengganti elemen –
elemen di dalam kolom ke‐j dari A dengan elemen elemen di dalam
matriks .
Matematika untuk SMK Akuntansi ‐ 2011
Contoh 31:
Gunakan aturan Cramer untuk mencari himpunan penyelesaian dari
system persamaan berikut:
3 5 11
2 3
Penyelesaian:
Bentuk perkalian matriksnya adalah 3 52 1
113 , dari bentuk ini
didapat:
3 52 1 ; det 3.1 2. 5 13
11 53 1 ; det 11.1 5 . 3 26
3 112 3 ; det 3.3 2.11 13
Sehingga,
detdet
2613
2
det det
1313
1
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {2,‐1}.
Contoh 32:
Tentukan x, y, dan z dari system persamaan dengan aturan Cramer:
7
3 4 6 7
2 3 12
Penyelesaian:
Bentuk perkalian matriknya adalah 1 0 23 4 61 2 3
77
12 ,didapat:
1 0 23 4 61 2 3
, det 12 0 12 8 12 0 44
7 0 27 4 6
12 2 3, det 84 0 28 96 84 0 44
1 7 23 7 61 12 3
, det 21 42 72 14 72 63 88
1 0 73 4 71 2 12
, det 48 0 42 28 14 0 132
detdet
4444
1 ; detdet
13244
3
det det
8844
2
2 33 5 . 4 0
1 2
Tentukan matriks P dari persamaan:
*) gunakan .
Matematika untuk SMK Akuntansi ‐ 2011
Contoh 33:
Harga 3 baju dan 2 kaos adalah Rp. 280.000,‐. Sedangkan harga 1 baju
dan 3 kaos adalah Rp. 210.000,‐. Tentukan harga 5 kaos dan 6 baju.!!!
Penyelesaian:
Misalkan, harga baju adalah x dan harga kaos adalah y. diperoleh:
3 2 280.000
3 210.000
Dari system persamaan tersebut, jika dibuat dalam bentuk matriks:
3 21 3
280000210000
.
13.3 1.2
3 21 3
17
3 21 3
17
3 21 3
280000210000
17
3 280000 2 2100001 280000 3 210000
17
420.000350.000
60.00050.000
Harga 6 baju, dan 5 kaos = 6x60.000 + 5x50.000 = 550.000
Jadi, harga 6 baju dan 5 kaos adalah Rp. 550.000,‐.
1. Tentukan himpunan penyelesaian dengan menggunakan invers:
a. 3 8 7 ; 4 11
b. 8 2 ; 5 3 31
c. 4 19 ; 2 11
2. Gunakan kaidah Cramer untuk menentukan himpunan penyelesaian
berikut:
a. 8 2 ; 5 31 3
b. 3 8 ; 2 2 4
c. 3 10
2 4
4 3 5
d. 1
4
1
3. Tentukan matriks X yang memenuhi persamaan berikut:
a. 2 14 3 . 7
1
b. . 6 51 1
3 24 7
c. 2 13 2 . 1 4 0
2 3 5
d. 0 61 2 . 3 24
4. Carilah nilai x dan y berikut:
a. 2 14 3
21
257
b. 4 31 2
2 42
2010
5. Ashanty menjual dua jenis komoditas. Komoditas jenis pertama
merupakan campuran dari 10 kg kualitas A dan 30 kg kualitas B.
Komoditas jenis ke‐2 merupakan campuran dari 20 kg kualitas A dan
50 kg kualitas B. Harga komoditas jenis pertama adalah Rp. 100.000,‐
LATIHAN
Matematika untuk SMK Akuntansi ‐ 2011
dan harga komoditas jenis ke‐2 adalah Rp. 170.000,‐. Tentukan harga
masing masing kualitas per kilogramnya.
6. Lima meja dan delapan kursi berharga $115, sedangkan tiga meja dan
lima kursi berharga $70. Tentukan harga 10 meja dan 9 kursi.
DAFTAR PUSTAKA
Hamdy Taha. (1996). Riset Operasi. Jilid satu. Jakarta: Binarupa Aksara
To’ali. (2008). Matematika X SMK Kelompok Penjualan dan Akuntansi. Jakarta:
Depatemen Pendidikan Nasional
Did You Know??? OTAK
“Otak manusia, seperti mesin yang bisa melakukan perawatannya sendiri, ia bisa menyembuhkan dirinya dari segala kerusakan internal, sambil bergerak ke tingkat kinerja yang lebih tinggi”, Prof. Robert Oates and Gerald Swanson, Ph.D.
Tidak bisa dipungkiri bahwa otak merupakakn organ tubuh kita yang sangat penting. Setiap aktivitas kita, baik sadar maupun tidak sadar, pasti berawal dari otak kita. Para ilmuwan sudah menemukan bahwa otak dibagi menjadi dua ruang, yaitu otak kanan dan kiri. Kedua belah otak tersebut ternyata memiliki karakter yang berbeda.
OTAK KIRI OTAK KANAN• Pemikiran Analitis • Logika • Bahasa • Sains dan Matematika • Verbal, Proporsional • Fokus • Perbedaan • Bergantung Waktu • Segmental
• Pemikiran Holistika • Intuitif • Kreativitas • Seni dan Musik • Nonverbal, imaginative • Difus • Persamaan • Tak bergantung waktu • Global
Jika kemampuan otak kanan‐kiri seimbang, maka kemampuan dirinya pun akan optimal, akan tetapi jika otak kanan‐kiri tidak seimbang / tidak bisa bersatu maka seseorang dalam menjalani hidupnya akan dipenuhi berbagai prasangka. Jika keadaan seperti ini dibiarkan terus menerus, maka orang tersebut akan menyangka bahwa tidak ada hubungan dengan satu sama lain, saling mengalahkan untuk sukses. Akan sangat mirip dengan dunia binatang “survival of the fittest”.
“Tingkat kemampuan berfikir logis dan tingkat kemampuan “berperasaan” bervariasi antara individu (dan) manusia yang dapat mencapai keseimbangan antara keduanya akan berhasil hidup di dunia dan akhirat”,Prof.DR.Dr.H.M. Nurhalim Shahib (ahli Biokimia dan Biologi Molekuler dalam bukunya “Mengenal Allah dengan Mencerdaskan Otak Kanan”.
Oleh karena itu, kita harus selalu membiasakan otak kita untuk “belajar” agar bisa bekerja sama dengan baik antar otak kanan dan otak kiri. Untuk mencapai itu, kita telah diajarkan untuk mengembangkan diri, mau lebih berinteraksi antar satu sama lain.
*) sumber: Quantum Ikhlas: Erbe Sentanu.2007