matriks dan vektor

BAB I

VEKTOR DAN MATRIKS

@copyright by Naniek - 2007 2

Kompetensi Vektor dan Matriks

Mahasiswa mampu:1. Memberikan contoh macam-macam vektor

dan Matriks2. Mengoperasikan jumlahan, pengurangan

dan perkalian vektor ataupun matriks


Pengantar

Untuk mengawali belajar Aljabar Linear dan Matriks perlu diingat kembali pengertian dari vektor serta matriks, macam-macam vektor serta matriks kemudian melakukan operasi aljabar atas vektor dan matriks. Vektor dan matriks melandasi dalam belajar Aljabar, karena permasalahan-permasalah yang ada dibawa dulu dalam bentuk vektor atau matriks, kemudian diselesaikan secara aljabar, misalnya dipakai untuk menyelesaikan Sistem Persamaan Linear, Transformasi Linear.

PENDAHULUAN

VEKTOR MATRIKS


Tidak secara lengkap terdefinisi sampai besar dan arahnya ditentukan• Contoh :

pergerakan angin menunjukkan laju dan arah Laju angin dan arah angin membentuk

besaran vektor yang disebut : KECEPATAN

Vektor dapat disajikan secara geometris sebagai ruas garis berarah atau panah


Ekor panah disebut ttk pangkal Arah panah menentukan

arah vektor Panjang panah menentukan

arah vektor Ujung panah disebut

ttk ujung Maka vektor v =

V = AB


VEKTOR EKUIVALEN

Vektor-vektor yang panjang dan arahnya sama

v = w = z


OPERASI VEKTOR

VEKTOR NOL• Vektor yang panjangnya nol• Dinyatakan dengan O

PENJUMLAHAN VEKTOR

+


VEKTOR NEGATIF Adalah vektor yang besarnya sama

tetapi arahnya terbalik/berlawanan


PENGURANGAN VEKTOR

Jika v dan w adalah 2 vektor sebarang, maka selisih w dari v didefinisikan sebagai :

v – w = v + (-w)

-


PERKALIAN VEKTOR

Jika v adalah suatu vektor tak nol dan k adalah suatu bilangan real tak nol (skalar), maka hasil kali kv didefinisikan sebagai vektor yang panjangnya (k*panjang v)dan yang arahnya sama dengan arah v jika k>0 dan berlawanan arah dengan v jika k< 0


MACAM-MACAM VEKTOR

Vektor adalah larik berdimensi satu Vektor a dengan cacah n elemen ditulis :

biasa disebut vektor kolom atau vektor sajadengan notasi ditulis:

a = (ai)

na

aa

a..2

1


MACAM-MACAM VEKTOR VEKTOR NOL

• adalah vektor dengan semua elemennya bernilai nol

VEKTOR BASIS• adalah vektor dengan

anggota ke I bernilai 1 dan elemen lainnya bernilai nol

0..00

a

00010

2e


SIFAT OPERASI VEKTOR

Jika u, v, dan w adalah vektor-vektor dalam ruang berdimensi 2 atau 3 dan k serta l adalah skalar, maka hubungan berikut ini berlaku :• u + v = v + u• (u + v) + w = u + (v + w)• u + 0 = 0 + u = u• U + (-u) = 0• k (lu) = (kl) u• K (u+v) = ku + kv• (k + l)u = ku + lu• 1.u = u


NORMA SUATU VEKTOR Panjang suatu vektor u sering disebut sebagai Norma u dan

dinyatakan dengan ||u||

Jika P1(x1,y1,z1) dan P2(x2,y2,z2) adalah 2 titik di dlm ruang berdimensi 3 maka jarak d antara kedua titik tersebut adalah norma vektor karena

22

21 uuu

21PP

212

212

212

12121221 ),,(

zzyyxxd

makazzyyxxPP


HASIL KALI TITIK Jika u, v, dan w adalah vektor-vektor dalam

ruang berdimensi 2 atau 3 dan θ adalah sudut antara u dan v, maka hasil kali titik atau hasil kali dalam Euclidean u.v didefinisikan sebagai :

00000cos

.vdanujikavdanujikavu

vu

2211. vuvuvuatau


MENCARI SUDUT ANTAR VEKTOR

Jika u dan v adalah vektor-vektor tak nol dan adalah sudut antara kedua vektor tersebut, maka• Θ lancip jika dan hanya jika u.v > 0• Θ tumpul jika dan hanya jika u.v < 0• Θ =π/2 jika dan hanya jika u.v = 0

vuvu..cos

MATRIKS

•Kompetensi• Macam-macam Matriks

• Operasi Matriks


Kompetensi

Mahasiswa mampu:• Mendefinisikan matriks• Memberikan contoh macam-macam matriks• Mengoperasikan jumlahan, pengurangan dan

perkalian matriks.


Pengantar

• Mengawali belajar aljabar linear dan matriks perlu diingatkan kembali pengertian matriks, macam-macam matriks, serta operasi aljabar atas matriks. Hal ini karena persoalan nantinya dibawa kedalam bentuk matriks, kemudian bagaimana menyelesaikannya.


MATRIKS

• Adalah larik berdimensi dua (karena mempunyai baris dan kolom)

• Susunan elemen-elemen yg disusun menurut baris & kolom serta merupakan satu kesatuan.

mnmm

n

n

aaa

aaaaaa

A

21

22221

11211

.....

.........

)( ijnxmaA

Baris=m

Kolom=n


MACAM-MACAM MATRIKS

• Matriks Nol– Adalah matriks dengan semua

elemennya bernilai nol.– O=(0)

• Matriks Bujur Sangkar– Adalah suatu matriks dimana cacah

baris dan cacah kolomnya sama– A = ( aij ) dengan i = 1, 2, 3, . . . n

j = 1, 2, 3, . . . n

000..........0..000..00

A

231030421

A


MACAM-MACAM MATRIKS

• Matriks Persegi Panjang– Adalah matriks dengan cacah baris dan cacah

kolom tidak sama.– A = (aij) dengan i = 1, 2, . . n

j = 1, 2, . . m

• Matriks Diagonal– Adalah matriks bujur sangkar dengan elemen-

elemen pada diagonal utama bernilai real dan elemen-elemen lainnya bernilai nol

– A = ( aij ) dengan aij = 0 untuk i ≠ j aij = real untuk i = j

321403123201

A

5000030000800001

A


MACAM-MACAM MATRIKS

• Matriks Satuan (identitas)– Adalah matriks bujursangkar dengan

elemen-elemen pada diagonal utama bernilai 1 dan elemen lainnya bernilai nol

– A = ( aij ) dengan aij = 1 untuk i = j aij = 0 untuk i ≠ j

• Matriks Segitiga Atas– Adalah matriks bujur sangkar dengan

elemen-elemen dibawah diagonal utama nol dan elemen-elemen lainnya bernilai real

– A = ( aij ), dengan aij = 0 untuk i > j aij = untuk i ≤ j, ε Real

100010001

A

50004300618052101

A


MACAM-MACAM MATRIKS

• Matriks Transpose– Adalah matriks dimana susunan

elemen-elemen berkebalikan antara posisi baris dan kolom

– A=(aij); AT =(aji)

• Matriks Simetris– Adalah matriks dimana susunan

elemen-elemen antara matrik dengan transpose nya sama

– A=AT; maka A adalah matriks simetris

8103656301

A

10974986376504301

A

8631050361

TA

10974986376504301

tA


OPERASI ALJABAR ATAS MATRIKS

• Operasi Perkalian Skalar• Operasi Penjumlahan• Operasi Pengurangan• Operasi Perkalian


PERKALIAN DENGAN SKALAR

K = 2

6321

A

k A

6321

2 =

12642


PENJUMLAHAN MATRIKS

A + B 1 2

6 3

2 4

6 3 A = B =

+ = 3 6

+ = 6 12


PENGURANGAN MATRIKS

A - B 1 2

6 3

2 4

6 3 A = B =

- = -1 -2

- = 00


PERKALIAN MATRIKS

CBAkxmkxnnxm

• A=(aij) dengan i=1,2,3,…,m dan j=1,2,3,…,n• B=(bjk) dengan j=1,2,3,…,n dan k=1,2,3,…,pMaka :

A x B = (aij) x (bjk)


PERKALIAN MATRIKS

1 3

5 0

0

1 2 A

B

2

4

1

2 1 0

= =

A x B =

-4

4

x + x + x = 9

1 3

5 0

2

4

1 3

5 0

2

4

0

1 2

1

2 1 0

-4

4

x + x + x = 16

x + x + x = 3

1 2 3

0 4 5

x x xx x xx x x

++++

++ =

==

13814

1

4

0

-4

2

1

1 2 3

0 4 5

0

1

2

0

1

2


Program MATLAB (1)>> a=[ 2 4 3 6; -12 9 -32 50; 1 4 8 12; 10 3 9 -12] %

membentuk matriks a = 2 4 3 6 -12 9 -32 50 1 4 8 12 10 3 9 -12>> b=diag(a) % Membentuk matriks diagonal dari matriks a b = 2 9 8 -12


>> I=eye(4) % Membentuk matriks satuan berukuran 4I = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1>> c=triu(a) % Membentuk matriks segitiga atas dari ac = 2 4 3 6 0 9 -32 50 0 0 8 12 0 0 0 -12

Program MATLAB (2)


>> d=tril(a) % Membentuk matriks segitiga bawah dari matriks a

d = 2 0 0 0 -12 9 0 0 1 4 8 0 10 3 9 -12>> e=a' % Membentuk transpose matrikse = 2 -12 1 10 4 9 4 3 3 -32 8 9 6 50 12 -12

Program MATLAB (3)


>> f=a+e % Mencari jumlahan matriksf = 4 -8 4 16 -8 18 -28 53 4 -28 16 21 16 53 21 -24

Program MATLAB (4)


>> g=a*f % Mencari perkalian matriksg = 84 290 70 163 552 3804 238 -1587 196 476 272 108 -140 -914 -152 796>> j=inv(a) % Mencari invers matriksj = -0.8878 0.1113 0.3557 0.3756 1.2050 -0.0991 -0.4995 -0.3100 0.0783 -0.0312 0.0344 -0.0566 -0.3799 0.0446 0.1973 0.1097

Program MATLAB (5)


Rangkuman• Dua buah matriks dapat di jumlahkan atau

dikurangkan jika matriks tersebut mempunyai ukuran sama.

• Matriks A dapat dikalikan dengan matriks B, jika jumlah kolom matriks A = dengan jumlah baris matriks B

• Jumlahan matriks berlaku hukum komutatif• Perkalian dua buah matriks belum tentu hukum

komutatif berlaku.• Operasi pembagian dalam matriks tidak ada definisi


Soal-soal (1)

1. Tulislah contoh matriks persegi panjang berukuran 5 x 3

2. Jika diketahui matriks bujur sangkar berukuran 5, berilah contoh matriks sbb:– Matriks bujur sangkar– Matriks diagonal– Matriks segitiga atas dan matriks segitiga

bawah3. Berilah dua buah contoh matriks simetris


Soal-soal (2)

4. Jika diketahui A = ; B = Hitunglah: A + BT; BT – A; AB; BA.

466295

1007381

162304

712321

matriks dan vektor

Documents