FUNGSI:FUNGSI:| Mempermudah perhitungan yang kompleks

DEFINISI:Matriks adalah suatu kumpulan angka-angkayang disusun menurut baris dan kolom atau lajursehingga berbentuk segiempat panjang dimanagg g p p j gpanjang dan lebarnya ditunjukan oleh banyaknyakolom dari baris.

Angka-angka tadi disebut elemen-elemen. Apabilasuatu matriks A terdiri m baris dan n kolom, maka

ik bi di limatriks bisa ditulis :

naaa .......1211

n

n

aaa ....... 222211211

A mxn232221

131211

aaaaaaA2x3 m = 2

n = 3

mnmm aaa .........21

232221

1211 aa 532221

aa

aaB3x2

762453

C3x2

3231 aa 76

VEKTORVEKTOR

[V V V ]

kk1

[V1, V2,..Vm ]

1 x m

kM

2n x 1

Mnk

MATRIKS YANG KHASMATRIKS YANG KHAS

M t ik S i (b j k )

2101Matriks Segi (bujur sangkar):

643

104

Matriks Setangkup (simetris):

10 34

541

4 10 5

Matriks Diagonal : 0001Matriks Diagonal :

050000300001

40000500

0003

Matriks Skalar :

300003000030

Matriks identitas : 00100001

Matriks identitas :

10000100

001Matriks Tanda

+

+

1 0 0 0 10 0 0 1

Matriks Miring Setangkup06360232 0

063

0002

Matriks Segitiga Atas

6525043600140002

6525

732Matriks Segitiga Bawah

400210732

0324

964543

Matriks Tegak

855603

4107385964

2434 xx BA

Matriks Datar00140002

000Matriks Nol

000000000

000110

Matriks Satu Nol

0 01101000

34xA

Matriks I

111111111

7421

111

Matriks Sekatan

3 2575 1637 421

Setelah disekat matriks A dapat ditulis

163 421

57 [ ]3257 163 5 [ ]3 257

KESAMAAN DUA BUAH MATRIKSKESAMAAN DUA BUAH MATRIKS

1022yx + 52x= 4141

y

=

15 y1 2

TuliskanTuliskan dalamdalam bentukbentuk matriksmatriks persamaanpersamaan berikutberikut ::

3x1 + 2x2 + 6x3 = 14 2x1 + 4x2 + 2x3 = 18 4x1 3x2 + 5x3 = 20

PENJUMLAHAN

=

+

dba

1231

4332

dc1243

iterdefinistidak=

+

83

4322

PENGURANGAN

=

dba

2231

4313

dc2243

PERKALIANPERKALIAN

kbkaba

k 1

=

186623

kdkcdck 1

= 93313

2121

BA 4334 BA

2

++

=107)4(2)2(1)3(2)1(1

4321

3421

AB

=

++++=

2013107

)4(3)2(4)3(3)1(4)4(2)2(1)3(2)1(1

021112

522331021

504431112

BA 522504

A X B = AB

895021112

=

251814

291912522331

504431AB

TRANPOSE

322212

312111

33232221

131211

33 ' xxaaaaaaaaa

Aaaaaaaaaa

A

2332

332313333231

'504321

xx BB

aaaaaa

504

41

53

02' 23xB

TERAS (TRACE) MATRIKSTERAS (TRACE) MATRIKS

112 8332

304531 =++=

AtA r

MATRIKS SEKATAN (PARTISI MATRIKS)( )

121114131211 AA

aaaa

2221

1211

34333231

24232221

AAaaaaaaaaaaaa

A

=

1413

121211

11

44434241

aaaa

Aaaaa

A

aaaa

4443

343322

4241

323121

24232221

aaaa

Aaaaa

A

aaaa

,,,

1211

22211211

44434241

AA

SubmatriksdisebutAAAA

tan2221

1211 SekaMatriksAA

A =

DETERMINANDETERMINAN

| Determinan hanya menyangkut matriks bujury y g jsangkar yang berukuran/berorde nxn. Determinan sebuah matriks bujur sangkar A ditulis dengan symbol |A| atau detAditulis dengan symbol |A| atau detA.

| Definisi :

dcba

A x22

742535423 ==

= xxAAbcadA54

DETERMINAN 3 X 3DETERMINAN 3 X 3

741

528

741A

396

1.2.3 + 8.9.7 + 6.5.4 - 7.2.6 - 5.9.1 3.8.4 6 504 120 -84 - 45 - 96 630 -225

A = 630 225 = 405A = 630 225 = 405

kji aaaaaaaaa

A 321232221131211 == j

aaa 333231

124124

528741

A

413502

413502

528741

396528

++

A

741 4 2 12 0 5 3 1 4

396528

++

396528 4 2 1

2 0 5

)2)(2(4)4)(1(5)3)(0(1)5)(2(3)1)(1(2)4)(0(4A1.2.3 + 8.9.7 + 6.5.4 - 7.2.6 - 5.9.1 3.8.4 6 504 120 -84 - 45 - 96 630 -225 A = A = 630 225 = 405

4162003020

)2)(2(4)4)(1(5)3)(0(1)5)(2(3)1)(1(2)4)(0(4

=++=++=A

A = A = 630 225 = 405

INVERSINVERS

Matrik 2 x 2

bdd 111

==

acbcad

AadjA

A 111

== bcadA determinan

=acbd

Aadj

INVERS bdAdjA 111

==

acbcad

AadjA

A 1

1. A

2358

A = 8x2 5x3 = 1

A-1 =

=

8352

8352

11

2. B

3524

2)5)(2()3(4 ==B B-1 =

=

2/1/

4523

21

25

23

IINVERSNVERS 3 3 XX 33

232221

131211

cccccc

C = CadjC

C 11 =333231 ccc C

Kij = (-1)i+j ijM

131211

KKKKKK

K

j ( ) ij

=333231

232221 KKK

KKKK

131312121111 KCKCKCC ++=

'KCd 'KCadj =

1 1 1

131211 KKK

1 2 31KKOFAKTOROFAKTOR

=122202C

=333231

232221 KKK

KKKK2

3

Kij = (-1)i+j ijM

2)42(122

)1()1(

4)4(0(112

20)1()1(

321

211

1111

====

==

==

+

+

xMK

xMK

4)04(122

02)1()1(

2)42(112

)1()1(

413

3113

1212

==

==

====

+ xMK

xMK

1)21(111

)1()1(

3)21(112

11)1()1(

422

321

1221

=+=

==

+

+

MK

xMK

1)21(112

)1()1( 42222

22 ====+ xMK

1 1 1

131211 KKK

=122202C

=333231

232221 KKK

KKKK

Kij = (-1)i+j ijC

11

0)22(12211

)1()1(

413

523

3223

==

==

+

+ xMK

0)22(122

11)1()1(

2)02(120

)1()1(

532

2332

431

1331

==

==

==

==

+

+

xMK

xMK

2)20(102

11)1()1(

)(22

)()(

633

3333

3232

==

==

+ xMK

424=

= '

202413424

KCadjK

012234

'

202

KCadj 202

1 1 1C

==

2)4(1)2(1)4(1

244012

C

KCadj

=122202C

=++=1/12334

1

2)4(1)2(1)4(1

21

C

=

=122

0/1244

01221

211C

PERSAMAAN LINIERPERSAMAAN LINIER

ax1 + bx2 = pax1 + bx2 = pax1 + bx2 = q

pxba 1A X Y

=

qp

xx

dcba

2

1

X = A-1 Y

2 + 3 72x1 + 3x2 = 7 x1 - x2 = 1

732 1x

=

17

1132

2

1

xx

X = A-1 Y

2131

51

2131

)3(1)1(211A

=

=

2153

51

1A

=

17

215

35

155

2

1

xx

=

3253

57)1(

53)7(

51

15

25

1

1

2

x

x

+=+=

1132

27)1(2)7(1

25

10

2

1

x

x

=

+=

==

155

55)(

5)(

5

2

2

x

==

{ })1,2(12

2

1 JawabGugusxx

=

CONTOH PENGGUNAAN MATRIKS DALAMCONTOH PENGGUNAAN MATRIKS DALAMPETERNAKAN