tugasan 2 matematik

8/18/2019 TUGASAN 2 MATEMATIK

1/29

TUGASAN 2

Perkembangan Pelbagai Idea Matematik Adalah Hasil Dari Usaha-Usaha Ahli

Matematik Sepanjang Zaman.Dalam Tugasan Ini,Anda Perlu Mengulangi Usaha-

Usaha eberapa !rang Ahli Matematik Dalam Men"iasat Dan Memperkembangkan

Idea-Idea #alkulus erikut$

IDEA 2: PENENTUAN LUAS BULATAN OLEH ARCHIMEDES

Ar%himedes merupakan salah se&rang ahli matematik berbangsa 'unani "ang

paling terkenal semasa (aman purba. an"ak hasil kerja beliau telah hilang seperti

pen"elidikann"a dan pen%iptaan hebat beliau. Akan tetapi masih ada "ang erja"a

ditinggal iaitu salah satun"a tentang pengukuran luas bulatan "ang dikaitkan

dengan .

Dalam pr&ses menentukan luas bulatan "ang tepat, Ar%himedes telah

menetapkan ) prinsip asas iaitu$

a* +uas p&lig&n dengan sisi n n-g&n* "ang dilukis dalam unit bulatan

menghampiri suatu nilai iaitu pi * apabila nilai n meningkat.

b* +uas p&lig&n "ang dilukis dalam bulatan menghampiri luas bulatan apabila


2/29

bilangan sisi p&lig&n meningkat.

%* Perimeter p&lig&n semakin menghampiri lilitan bulatan apabila bilangan sisi

p&lig&n meningkat.

Dengan memenuhi ketiga-tiga prinsip asas ini, luas bulatan "ang di%ari akan

menjadi lebih relean dan tepat. Selain itu, Ar%himedes memastikan penentuan luas

bulatan tidak terpes&ng dengan &rmula asas bulatan iaitu . eliau

men"impulkan baha/a luas bulatan merupakan had kepada luas p&lig&n dalam

bulatan dengan bilangan sisi kepada ininiti *. Pr&ses penentuan luas bulatan

Ar%himedes ini dinamakan sebagai ‘exhaustion’ . Pr&ses penentuan luas bulatan ini

menggunakan kaedah 0s1uaring the %ir%le2 iaitu mengenalpasti p&lig&n "ang

men"amai luas bulatan dengan jejari r*.

Dalam usaha menentukan luas bulatan, Ar%himedes melakukan seban"ak tiga kali

per%ubaan sehinggalah per%ubaann"a mendapat hasil "ang semakin menghampiri

nilai pi *.

PERCUBAAN PERTAMA


3/29

3. Ar%himedes menggunakan segi empat sama "ang dilukis dalam bulatan.

eliau memastikan segi empat tersebut sepadan dan bu%u men"entuh

bulatan seperti dalam rajah 3.

Rajah 1: +akaran segi empat sama pada bulatan

4. Ar%himedes melabelkan A5 sebagai diameter iaitu 4r*. manakala panjang A

dan 5 sama kerana A5 membentuk segi tiga sama kaki.

). Ar%himedes meneruskan pen"elidikann"a dengan menggunakan te&rem

Ph"tag&ras bagi men"elesaikan pengiraan tersebut.

6. erikut adalah hukum asas bagi te&rem Ph"tag&ras$

7. 8adikan A 9 5 9 a manakala 5 9 4r. :ilai a di%ari menggunakan te&rem

Ph"tag&ras.


4/29

;. Di dapati panjang A dan 5 ialah . Maka luas segi empat pada bulatan

tersebut ialah$

.


5/29

Rajah 2: +akaran heksag&n "ang dibahagi kepada segi tiga.

4. Untuk menentukan penghampiran luas bulatan dengan heksag&n,

Ar%himedes telah membahagikan heksag&n kepada enam bahagian segi tiga.

+uas heksag&n han"a b&leh dikira apabila luas segi tiga berja"a diper&lehi.

). Merujuk kepada ?ajah 4, panjang A 9 r. Untuk mengira luas heksag&n, luas

6. segi tiga perlu di%ari terlebih dahulu. 8adikan tinggi sebagai h.

7. 8alan pengiraan ini masih lagi menggunakan te&rem Ph"tag&ras seperti

dalam per%ubaan pertama.

;. Setelah mendapat nilai tinggi segi tiga iaitu , maka luas heksag&n

dalam bulatan dapat ditentukan$


6/29

@antikan ke dalam persamaan$


7/29

meningkatkan lagi sisi p&lig&n. Ini relean dengan prinsip Ar%himedes "ang

men"atakan =+uas p&lig&n dengan sisi n n-g&n* "ang dilukis dalam unit

bulatan menghampiri suatu nilai iaitu pi * apabila nilai n meningkat>.

4. eliau menentukan luas bulatan menggunakan p&lig&n dengan bilangan

sisin"a ditingkatkan sehingga menjadi sisi n.

). 5&nt&h gambaran per%ubaan ketiga Ar%himedes seperti dalam ?ajah ).

Rajah 3: +akaran sisi p&lig&n "ang ditingkatkan

6. Seperti dalam per%ubaan kedua, luas p&lig&n ini b&leh dikira apabila nilai segi

tiga berja"a diper&leh. Maka, Ar%himedes membahagikan lakaran p&lig&n

tersebut kepada segi tiga seperti dalam ?ajah 6.


8/29

Rajah 4: Segi tiga hasil daripada p&lig&n pada bulatan

7. +uas bagi p&lig&n bersisi n adalah n kali luas satu segi tiga. Ia dirumuskan

seperti berikut$

;. ?umus bagi luas p&lig&n bersisi n ini berlaku sedikit perubahan apabila

bilangan n-sisi bertambah. Perubahann"a adalah seperti berikut$


9/29

. Selain itu, Ar%himedes juga membuat pen%erapan baha/a sekiran"a p&lig&n

tersebut mempun"ai sisi n, maka setiap segi tiga dikira sebagai daripada

lilitan bulatan. Tambahan daripada itu, tinggi segi tiga, h, juga menghampiri

jejari bulatan, r.

3C.Hasil daripada pen%erapan tersebut, Ar%himedes telah dapat menentukan

luas bulatan seperti berikut$

33. Dalam penentuan luas bulatan, Ar%himedes melibatkan nilai tetap "ang

mana /ujud sebagai nisbah lilitan bulatan kepada diameter bulatan iaitu

.

Hasil daripada ketiga-tiga per%ubaan "ang dilakukan &leh Ar%himedes ini,

beliau dapat men"impulkan baha/a semakin bertambah bilangan segi tiga,

luas p&lig&n akan menghampiri dan memenuhi luas bulatan. Selain itu juga,

kita dapat tahu baha/a penggunaan pi dalam menentukan luas bulatan

sangat berkait rapat di samping penggunaan p&lig&n dan segi tiga. Semakin

meningkat sisi p&lig&n pada bulatan, maka nilai luas semakin menghampiri

nilai sebenar luas bulatan iaitu ).364r 4.


10/29

IDEA 3 PARADOKS ZENO DAN PENYELESAIANNYA

Parad&ks Zen& ini dipel&p&ri &leh ahli alsaah @reek iaitu Zen& & la 6C-6)C

SM*. Zen& dilahirkan di Itali dan merupakan sahabat serta pelajar kepada ahli

alsaah Parmenides "ang berusia 47 tahun lebih tua darin"a. Zen& disiatkan

sebagai se&rang ahli alsaah dan ahli l&gikal, bukann"a se&rang ahli matematik.

Pada a/aln"a Zen& telah menulis satu buku parad&ks "ang "ang men"&k&ng

alsaah Parmenide. :amun demikian, buku tersebut tidak dapat bertahan dan

len"ap begitu sahaja kerana idea-idea tersebut bukan berasal daripada

dirin"a sendiri. Hal ini kerana selepas Zen& membuat penemuam ini,ahli alsaah

@reek iaitu Pr&%lus dan Simpli%ius telah memberi k&men dan kritikan terhadap buku

tersebut. Selepas itu, Zen& telah menulis bukun"a "ang bertajukpi%heiremata dan

men"erang pihak-pihak "ang tidak bersependapat dengan gurun"a Parmenides.

Zen& amat dikenali dengan parad&ks-parad&ksn"a. Parad&ks ialah perkara "ang

dianggap benar atau betul tetapi sebenarn"a salah dalam dunia realiti. Pada asaln"a

terdapat sekurang-kurangn"a 6C parad&ks "ang dihasilkan &leh Zen& tetapi han"a


11/29

lapan sahaja "ang berkekalan. Zen& telah men%ipta parad&ks-parad&ksn"a kerana

ahli alsaah lain ban"ak mengemukakan parad&ks "ang bertentangan dengan idea

Parmenides. #esemua idea "ang dikemukan adalah untuk membela idea-idea

gurun"a. Parmenides per%a"a baha/a dunia realiti han"alah satu dan tidak berubah.

Pergerakan, perubahan,masa dan pluraliti semuan"a dianggap han"a sebagai ilusi.

#eper%a"aan ini telah memba/a kepada ban"ak kritikan.

Parad&ks ini dinamakan sebagai Dik&t&mi kerana ia melibatkan pengulangan

pembahagian kepada dua. Parad&ks ini bermula apabila Zen& telahmengambil

keputusan untuk berjalan ke sebuah taman setelah penat berikirtentang masalah

"ang dihadapin"a. Di dalam parad&ks dik&t&mi, Zen& memberi hujah baha/a

sesuatu &bjek akan sampai ke jarak tertentu sebelum sampai ke destinasi. Hal ini

disebabkan &leh, beliau mesti sampai 3E4 jarak terlebih dahulu untuk sampai ke

taman. :amun, apabila sampai 3E4 jarak, Zen& masih perlu men"eberangi separuh

baki jarak untuk ke destinasi.Tetapi setelah men"eberangi separuh baki jarak, beliau

mesti meliputi separuh daripada baki baru, dan seterusn"a.

Idea berkenaan dengan parad&ks dik&t&mi ini diterbitkan kerana Zen&

menghadapi masalah untuk mentukan jumlah jarak "ang perlu dilaluin"a untuk

sampai ke destinasi. Setelah berjalan dan berikir berkenaan dengan pergerakan

dan jarak "ang telah dilalui &leh beliau, Zen& telah men"atakan pendapat beliau

tentang jumlah jarak untuk sampai ke destinasin"a adalah tidak terhingga.


12/29

Sebagai %&nt&h, jika jarak daripada rumah Zen& ke taman "ang ditujuin"a

adalah 3 batu, beliau mesti meliputi jarak 3E4 batu, 3E6 batu, 3EB batu, 3E3; batu

3E)4 batu, 3E;6 batu dan seterusn"a sehingga jarak tidak terhingga.

8umlah 8arak 9 3E4 batu F 3E6 batu F 3EB batu F 3E3; batu F 3E)4 batu F...9 ininit"

PARADOKS DIKOTOMI

Masalah sesuatu &bjek sampai ke destinasi b&leh dilihat dari perspekti

"ang berbe(a. Menurut ersi regresi daripada parad&ks dik&t&mi, sese&rang

pejalan kaki atau pelari tidak dapat mengambil langkah pertama. Hal ini kerana,

sebelum mengambil langkah penuh, pelari mesti mengambil langkah 3E4, tetapi

sebelum itu dia mesti mengambil langkah 3E6, tetapi sebelum itu satu langkah

3EB, dan sebagain"a. !leh itu, Zen& men"atakan baha/a semua pergerakan

adalah mustahil. uktin"a, jika &bjek b&leh dibahagikan, maka ia sebenarn"a

tidak /ujud.Pern"ataan berkenaan dengan jarak dan pergerakan "ang telah

din"atakan &leh Zen& mengakibatkan Arist&tle iaitu ahli alsaah i(ik menentang

pendapat beliau. Menurut Arist&tle, dik&t&mi adalah mustahil bagi sesuatu &bjek

kerana apabila &bjek bergerak, ia semakin menghampiri destinasi dan masa

"ang diperlukan untuk sampai ke destinasi juga semakin berkurang. !leh itu,

Arist&tle telah men"angkal hujah "ang telah din"atakan &leh Zen& baha/a

sesuatu &bjek tidak dapat men%apai matlamat akhir kerana jumlah jarak "ang

tidak terhingga. #en"ataan ini merupakan satu kesalahan dalam Dik&t&mi.


13/29

Arist&tle memberi pendapat baha/a jumlah masa "ang diperlukan untuk sampai

ke destinasi adalah terhingga.Selain itu, ahli Matematik dan alsaah M&den telah

mengemukakan hujah "ang dapat men"angkal prad&ks Zen& ini. Antara hujah "ang

men"angkal pendapat Zen& ini adalah $

a* Urutan 3, 3E4, 3E6, 3EB, dan lain-lain mempun"ai had kepada C.

b* Urutan C.,C..C. dan seterusn"a mempun"ai had "ang menghampiri 3.

%* Apabila kita menulis C.... Ian"a bermaksud had n&mb&r adalah

sehingga ininiti, maka C....G 3.

d* Dalam erti kata lain urutan "ang sebenarn"a akan menghampiri had "ang

kita kehendaki.

8adi realitin"a, jarak "ang terhad memerlukan jumlah masa "ang terhad untuk

bergerak.Pern"ataan "ang telah diberikan &leh Zen& dalam parad&ks dik&t&mi ini

jelas bertentangan dengan dunia realiti. !leh itu, terdapat beberapa ahli alsaah

dan ahli matematik telah mengeluarkan hujah mereka untuk menentang dik&t&mi.

Hujah "ang telah diberikan &leh ahli Matematik dan ahli alsaah ini dapat

diaplikasikan dalam dunia realiti. Sebagai %&nt&h, idea "ang telah dikemukakan

&leh ahli matematik ini dapat dilihat apabila kita ingin menjatuhkan b&la "ang

berada pada ketinggian B meter ke atas lantai. Apabila b&la dijatuhkan, ia akan

memantul pada ketinggian tertentu. &la memantul dengan s"arat r,

Cr3.Dalam situasi ini, nilai r tidak mungkin negati karena tidak mungkin b&la


14/29

menembusi lantai. Tambahan pula, nilai r tidak mungkin 3 atau lebih dari 3

kerana akan melanggar hukum dasar i(ik tentang kekekalan tenaga. Pergerakan

b&la untuk sampai ke lantai dapat dibuktikan melalui situasi "ang din"atakan ini $

i. 8umlah gerak maju tak terhingga memberikan rumus seperti berikut $S 9 aE3 r*

i.ii. Te&ri limit rn 9 C jika n menuju tak terhingga dapat kita buktikan dengan

situasi ini.

iii. Perhatikan rumus umum jumlah gerak maju ge&metri.

S 9 a3 rn*E3 r*

i. andingkan dengan kedua-dua rumus gerak maju.

S 9 aE3 r* 9 a3 rn*E3 r*

. Maka 3 9 3 rn rn 9 C Terbukti*.

erdasarkan rumus tersebut, pantulan b&la iaitu r akan menghampiri C. Apabila

Pantulan b&la menghampiri C,b&la tersebut terbukti dapat men%apai matlamatn"a

iaitu men%e%ah lantai.

PARADOKS ACHILLES DAN KURA-KURA

Parad&ks ini men%eritakan hubungan antara jarak dengan masa.Parad&ks ini

ter%etus melalui kisah perlumbaan antara A%hilles dan #ura-kura.A%hilles

merupakan se&rang pahla/an perang (aman 'unani #un& "ang

diagungkan dan menjadi kegilaan ramai /anita. #ura-kura pula sentiasa

dianggap sebagai hai/an "ang sangat lambat pergerakann"a.Dalam perlumbaan ini,


15/29

A%hilles berusaha untuk menandingi kura-kura "ang telah merangkak jauh darin"a.

Pada a/al perlumbaan, A%hilles telah membenarkan kura-kura untuk memulakan

perlumbaan dengan jarak jauh, %&nt&hn"a 3CC meter dari dirin"a.

#edua-duan"a berlumba dalam satu jarak "ang lurus dan kelajuan "ang sekata.

A%hilles perlu sampai ke tempat permulaan kura-kura untuk mengejar kura-kura

tersebut. :amun begitu, apabila A%hilles sampai ke tempat permulaan kura-kura,

kura-kura telah pun bergerak ke hadapan. Sebagai %&nt&hn"a, apabila A%hilles telah

berlari sejauh 3CC meter tempat permulaan kura-kura*, kura-kura telah bergerak ke

hadapan dengan jarak "ang lebih pendek, %&nt&hn"a 3C meter.!leh itu, A%hilles

perlu berlari 3C meter lagi untuk sampai ke destinasi kura-kura "ang baharu. Perkara

"ang sama berlaku, iaitu apabila A%hilles sampai ke titik 3C meter tersebut, kura-kura

telah pun bergerak ke tempat baharu "ang jauh lebih ke depan.

?ajah 6 @ambaran perlumbaan antara A%hilles dan #ura-kura


16/29

Melalui gambaran tersebut, Zen& mengatakan selepas 3 saat, A%hilles telah pun

sampai ke tempat permulaan kura-kura tetapi kura-kura telah pun berada 7 meter di

hadapan. A%hilles terus mengejar kura-kura sehingga tempat kedua kura-kura tetapi

sekali lagi kura-kura telah bergerak ke hadapan tetapi dengan jarak 4.7 meter ke

hadapan pula. erikutn"a A%hilles masih mengejar untuk sampai ke tempat kura-

kura "ang seterusn"a tetapi kura-kura telah pun bergerak 3.47 meter maju ke

hadapan. Perlumbaan ini berterusan dan setiap kali A%hilles sampai ke tempat kura-

kura, kura-kura telah pun maju ke hadapan dan terus kekal berada di hadapan

A%hilles.

!leh hal demikian, Zen& men"iatkan baha/a A%hilles tidak akan pernah dapat

untuk mengejar kura-kura. Disebabkan &leh bilangan titik "ang perlu A%hilles sampai

adalah ininiti, maka A%hilles tidak berja"a untuk mengejar mahu pun menandingi

kura-kura. Jalaupun jarakn"a semakin menge%il, Zen& tetap mengatakan A%hilles

tidak akan berja"a memintas kura-kura. Dalam parad&ks ini Zen& ingin membuktikan

baha/a ruang dan /aktu adalah berterusanK dan jika ada pergerakan, pergerakan

tersebut adalah seragam.Parad&ks ini turut mendapat perhatian Arist&tle "ang

men"impulkan baha/a =In a ra%e, the 1ui%kest runner %an neer &ertake the

sl&/est, sin%e the pursuer must irst rea%h the p&int /hen%e the pursued started, s&

that the sl&/er must al/a"s h&ld a lead>.

erdasarkan %erita parad&ks "ang dikemukakan, maka Zen& telah membuat


17/29

generalisasi hubungan antara masa dan jarak seperti berikut.

8adual tersebut menunjukkan jarak antara A%hilles dan kura-kura "ang

semakin menge%il. =n> dalam persamaan tersebut me/akili tidak terhingga

ininit", L*. Apabila =n> me/akili tidak terhingga maka jarakn"a akan semakin

menghampiri siar. Pern"ataan ini kelihatan benar tetapi jika dibangdingkan

dengan realit" ia adalah tidak l&gik. Hal ini kerana dalam dunia n"ata pasti

A%hilles dapat mengalahkan kura-kura dengan mudah. !leh hal demikian

parad&ks ini dikatakan gagal dibuktikan &leh &rang-&rang 'unani. Parad&ks ini

juga dianggap tidak l&gik.

:amun begitu,kehadiran Isaa% :e/t&n telah membantu untuk men"elesaikan

masalah parad&ks ini. :e/t&n telah membuktikann"a denganmenggunakan kaedah

had limit*. !leh itu, pengiraan dapat dilakukan sehingga =n> men%apai bilangan tidak

terhingga. Persamaan a/al menunjukkan baha/a


18/29

Disebabkan persamaan tersebut tidak memb&lehkan kita men%ari limit, maka ia

dimanipulasikan dengan membahagikan masa dengan 4.

!leh itu dikurangkan dengan 4 dengan %ara$

8adi, dengan menggunakan had =n> ialah tidak terhingga,


19/29

:&mb&r 4 apabila dibahagi dengan tidak terhingga akan mendekati siar, C.

8adiK

Daripada pengiraan tersebut, dapat disimpulkan baha/a A%hilles mampu

menandinggi kura-kura pada saat "ang kedua. Hal ini kerana A%hilles berlari dengan

kelajuan 3C meter per saat 3Cms-3*, maka selepas dua saat A%hilles akan berada

pada jarak 4C meter. #ura-kura pula bergerak dengan kelajuan 7 meter per saat

7ms-3*. #ura-kura akan bergerak sejauh 3C meter dalam masa dua saat. :amun

begitu, pada a/aln"a kura-kura telah berada 3C meter di hadapan A%hilles.

Pengiraan ini membuktikan baha/a pada saat kedua, A%hilles dan kura-kura berada

pada kedudukan "ang sama. Hal ini bersesuaian dengan dunia n"ata baha/a

A%hilles sememangn"a mudah untuk mengalahkan kura-kura.

PARADOKS ANAK PANAH

Parad&ks Anak Panah ini memerihalkan perkaitan antara ruang pergerakan dengan

masa. Zen& berpendapat baha/a ruang dan masa adalah dua perkara "ang


20/29

berjalan seiringan dan tidak b&leh dipisahkan. eliau menegaskan baha/a apabila

terdapat satu &bjek "ang sedang terbang atau bergerak, &bjek tersebut selalun"a

menepati ruang "ang sama besarn"a dengan &bjek tersebut.Zen& berpendirian

baha/a pergerakan bagi sesuatu &bjek itu adalah mustahil. Hal ini kerana, beliau

per%a"a baha/a semua &bjek adalah pegun dan statik pada satu tempat.

5&nt&hn"a, pada suatu ketika, apabila ada satu anak panah sedang dilepaskan

daripada busur dan terbang kearah sasaran, ian"a masih tidak dapat dibe(akan

dengan anak panah lain "ang dalam keadaan rehat atau statik pada kedudukan

"ang sama. Hal ini kerana masa anak panah itudalam keadaan terbang dipanggil

=/aktu sekarang> m&ment & n&/*.Zen& tegas memberikan pendapat dalam

parad&ksn"a baha/a anak panah "ang dilepaskan dari busur untuk menepati

sasarann"a adalah tidak bergerak. Anak panah han"a berhenti setiap saat pada

setiap kedudukann"a.Zen& men"impulkan baha/a anak panah "ang sedang

terbang itu sebenarn"a tidak bergerak melainkan dalam keadaan diam pada setiap

masa di setiap tempat anak panah itu berada. Pergerakan "ang dilihat han"alah ilusi

mata sahaja.


21/29

?ajah 7 Perjalanan antara masa dan jarak anak panah "ang sedang terbang.

?ajah menunjukkan anak panah "ang telah dilepaskan dari busur. P ialah garis

permulaan dimana anak panah dilepaskan dari busur manakala adalah garisan

penamat dimana sasaran diletakkan. Selepas anak panah dilepaskan,l&gikn"a, anak

panah akan terbang dari P ke . :amun, Zen& men"atakanbaha/a anak panah

berada dalam keadaan berhenti di setiap tempat anak panah itu berada. Masa A

menunjukkan tempat di mana anak panah bermula.Masa pula menunjukkan

baha/a anak panah sedang berada pada kedudukan N dalam keadaan pegun.

egitu juga dengan pada masa 5, anak panah beradadi kedudukan ', pada masa D

berada di kedudukan Z dan terakhir sekali pada masa anak panah berada di ,

kesemuan"a dalam keadaan pegun.Idea Parad&ks Anak Panah ini diterbitkan

adalah untuk me"angkal perkaitan antara ruang pergerakan dengan masa "ang

diterima umum sebagai berasingan. Zen& "ang bersetuju dengan pendapat gurun"a,


22/29

melihat baha/a ruang pergerakan dengan masa adalah tidak b&leh dipisahkan.

eliau per%a"a baha/a satu &bjek tidak b&leh berada di dua tempat pada satu masa

"ang sama.8ika anak panah itu sedang terbang, anak panah tersebut mestilah

berada pada satu tempat pada satu masa sahaja. 8ika anak panah itu berada pada

satu tempat, anak panah itu mestilah berada dalam keadaan pegun atau tidak

bergerak. Sesuatu &bjek "ang dalam keadaan pegun mempun"ai kelajuan CmEs atau

tiada kelajuan.

Tegas Zen&, se%ara l&gikn"a, apabila anak panah berada di satu tempat pada satu

masa tertentu dalam keadaan pegun, maka pergerakan itu tidak terjadi. erdasarkan

alasan ini, Zen& berpendapat baha/a masa dan ruang itu adalah sama dan tidak

b&leh dipisahkan dan masa itu adalah sesuatu "ang han"a berlaku dalam ikiran

sahaja sebagai satu ilusi manusia.#ajian demi kajian telah dilakukan untuk men%ari

kebenaran tentang Parad&ks Anak Panah "ang telah diperkenalkan &leh Zen&.

Mereka %uba untuk berikir %ara Zen& berikir untuk men%ari l&gik mengapa Zen&

menerbitkan idea parad&ks ini. !leh itu, ada langkah pengiraan "ang telah

ditunjukkan bagi membuktikan kebenaran parad&ks ini.

#atakan purata kelajuan anak panah$

Apabila Os dikatakan sebagai jarak "ang terhingga, melalui jangka masa

"ang terhingga, maka tiada jarak "ang dilalui semasa jangka masa ini. !leh itu,


23/29

Dengan kata lain, nilai jarak tidak dapat diper&lehi, kerana persamaan "ang

ditunjukkan mempun"ai pen"elesaian "ang unik. !leh kerana itulah Zen&

men"atakan baha/a anak panah itu sebenarn"a berada dalam keadaan pengun di

setiap tempat dan tidak mempun"ai jarak dan masa perjalanan dan ruang

pergerakan dan masa itu berjalan seiringan, tidak b&leh dipisahkan.

Parad&ks ialah satu idea "ang dianggap benar se%ara l&gik namun tidak

se%ara realitin"a. Pengaplikasian idea ini terhadap kehidupan sebenar b&leh

dibuat berdasarkan hujah dan akta idea "ang membuktikan baha/a Parad&ks

Anak Panah ini tidak benar. Hukum "ang membuktikan baha/a pandangan Zen&

terhadap ruang pergerakan dan masa adalah sesuatu "ang tidak dapat dipisahkan

b&leh disangkal melalui$

Distant d* 9 el&%it" * Q Time t*

?ealitin"a, ruang dan masa adalah berasingan. Ini b&leh dibuktikan

melalui pengiraan berikut$

#atakan anak panah "ang terbang pada jarak, d 9 4Cm dalam masa, t 9 6s.

Halaju anak panah$ el&%it" * 9 distant d*


24/29

time t* 9 4Cm

6s9 7mEs

Anak panah "ang sedang terbang pada masa 3 saat sebenarn"a

mempun"ai jarak "ang b&leh dikira.distantd* 9 el&%it"* Q timet*

9 7mEs* 3s*

9 7m

Melalui pengiraan "ang ditunjukkan jarak anak panah dalam masa 3 saat

ialah 7 m. Ini sekali gus men"angkal pendapat (en& "ang mengatakan anak

panah "ang sedang terbang itu han"a diam pada setiap tempat anak panah itu

berada dan tidak mempun"ai jarak. Rakta dalam dunia realiti adalah apabila

sesuatu &bjek itu bergerak, pastin"a ada jarak, masa "ang diambil juga kelajuan

&bjek itu bergerak. Pandangan Zen& terhadap ruang dan masa tidak b&leh

dipisahkan han"alah parad&ks semata-mata.

Hukum "ang ditunjukkan adalah berkaitan dengan jarak, kelajuan dan

masa. Untuk men%ari jarak sesuatu &bjek "ang terbang atau bergerak, kelajuan

&bjek itu perlu didarabkan dengan masa "ang diambil untuk &bjek itu sampai ke

destinasin"a. Melalui hukum ini, jelas dibuktikan baha/a masa dan ruang itu

adalah dua benda "ang terpisah. #ita perlu men%ari sekurang-kurangn"a dua

nilai untuk mendapatkan satu nilai "ang di%ari, seperti "ang ditunjukkan dalam

%&nt&h s&alan "ang diberikan. Pengaplikasian hukum ini membuktikan baha/a


25/29

anak panah bergerak menuju ke sasaran dalam jarak "ang tertentu, dengan

kelajuan dan masa "ang tertentu. Anak panah bukanlah memenuhi ruang

pergerakan dan diam di setiap tempat anak panah itu berada seperti dak/aan

Zen& dalam parad&ksn"a.

PARADOKS STADIUM / STADION

Parad&ks ini membi%arakan berkenaaan pergerakan &bjek "ang berkedudukan

selari "ang b&leh diilustrasikan sebagai barisan A, dan 5. Zen&

memberikan pendapatn"a baha/a ruang dan masa b&leh dibahagikan jika ada

jumlah "ang pasti. Zen& memberikan bukti baha/a separuh daripada masa

adalah sama dengan dua kali masa. ?ealitin"a adalah ruang dan masa tidak

b&leh dibahagikan. ?ajah diba/ah menunjukkan dengan lebih jelas lagi

mengapa Zen& membuat pen"ataan tersebut dan bagaimana bukti didapati &leh

beliau.

?ajah ;


26/29

Pergerakan tiga baris selari A. dan 5.

?ajah 3 menunjukkan tiga baris A, dan 5 sebelum disusun, manakala

?jah dua menunjukkan ketiga-tiga baris A, dan 5 "ang telah bergerak dan

tersusun se%ara selari. ?ajah 3 menunjukkan baha/a baris A adalah dalam

keadaan pegun iaitu tidak bergerak, baris dan 5 bergerak mengikut arah anak

panah dalam keadaan bertentangan antara satu sama lain. Pergerakan baris

dan 5 ini akan men"ebabkan kedudkan ketiga-tiga baris adalah sama dan selari

seperti "ang b&leh dilihat pada ?ajah 4.

Idea ini diterbitkan untuk men"angkal akta baha/a masa dan ruang tidak

b&leh dibahagikan. Zen& berpendapat, ruang dan masa b&leh dibahagikan

melalui pr&ses pergerakan tiga barisan "ang selari dan pengiraan "ang telah

dilakukann"a. Menurut Zen&, untuk kedua-dua baris dan 5 bergerak untuk

berada pada kedudukan seperti "ang ditunjukkan pada ?ajah 4, bahagian

hadapan barisan mestilah melintasi satu bahagian barisan A. Satu bahagian

bermaksud satu jarak dan satu jarak berlaku pada satu unit masa. !leh itu, untuk

barisan perlu bergerak satu jarak ke hadapan untuk men"amakan kedudukan

dengan barisan A. aris 5 pula, perlu melintasi dua bahagian atau jarak baris

untuk men"amakan kedudukan dengan aris A.

!leh itu, melalui pergerakan "ang berlaku antara baris A, dan 5, dapat


27/29

disimpulkan baha/a$

Halaju menuju A $ 3s mEs

Halaju 5 menuju A $ 3s mEs

Halaju 5 menuju $ 4s mEs

8arak untuk menghabiskan pergerakan$ 4D m 4 jarakEunit*

!leh itu, /aktu "ang diperlukan untuk menghabiskan pergerakan,

9 4D m

4s mEs

9Dm

s mEs

9 3 unit /aktu s*


28/29

Zen& mengemukakan hujahn"a berkenaan dengan ruang dan masa b&leh

dibahagikan melalui pengiraan "ang telah ditunjukkan. ukti separuh daripada

masa adalah sama dengan dua kali masa telah ditunjukkan melalui rajah

pergerakan tiga barisan A, dan 5 supa"a tersusun se%ara selari. ?ealitin"a,

umum menerima baha/a ruang dan masa tidak b&leh dibahagikan.

Pendapat "ang telah din"atakan &leh Zen& iaitu ruang dan masa b&leh

dibahagikan terbukti bertentangan dengan realiti sebenar. Hal ini kerana dalam

dunia sebenar jelas terbukti baha/a ruang dan masa tidak b&leh dibahagikan.

!leh hal demikian, parad&k stadium ini tidak dapat diaplikasikan dalam

kehidupan sebenar kerana ia bertentangan dengan realiti "ang sebenar.


29/29

TUGASAN 1

Satu tugasan pr&jek "ang memerlukan pelajar mengumpul,memba%a dan menganalisa

maklumat berkaitan tajuk #&d #lasik dan 5ipher

Seterusn"a pelajar perlu menghasilkan satu ringkasan eksklusi dalam bentuk br&sur

bagi salah satu subtajuk-subtajuk berikut$

4. #aedah Penggantian

i* 5aesar

ii* M&n&alphabeti%

iii* P&l"alphabeti%

i* Pig-pen

* Atbash

tugasan 2 matematik

Documents