tugasan matematik sept 2013

Upload: alicius-lucas

Post on 19-Oct-2015

212 views

Category:

Documents


3 download

DESCRIPTION

Tugasan OUM

TRANSCRIPT

FAKULTI PENDIDIKAN DAN BAHASA

SMP PPG SEPT 2013

HBMT2203 V2

TEACHING OF ELEMENTARY MATHEMATICS PART II

NAMA PELAJAR:ALICIUS LUCASNO. MATRIKULASI : 780926125297001NO. KAD PENGENALAN: 780926125297NO. TELEFON: 019-8003700E-MEL: [email protected]

NAMA TUTOR :EN. KHAIROL BIN JUMAT PUSAT PEMBELAJARAN: OUM SANDAKAN

HBMT2203 V2

1

ISI KANDUNGAN

Perkara Muka surat

1.0:Pendahuluan21.1: Pengenalan21.2: Algoritma Lazim (Standard Written Algorithms)21.3:Algoritma Alternatif31.4:Pengiraan Mental (Mental Calculation)4

2.0:Algoritma Lazim.42.1: Operasi Asas Penambahan42.1.1:Algoritma Lazim bagi Penambahan52.2:Operasi Asas Penolakan82.2.1:Algoritma Lazim bagi Penolakan92.3:Operasi Asas Pendaraban 122.3.1:Algoritma Lazim bagi Pendaraban 132.4:Operasi Asas Pembahagian 172.4.1:Algoritma Lazim bagi Pembahagian 19

3.0:Algoritma alternatif yang sesuai digunakan dalam kurikulum Matematik Tahun 3. 213.1: Tolak menggunakan kaedah Trade-first Subtraction 213.2: Bahagi melibatkan prosedur tolak berulang (subtraction procedure). 224.0: Kesimpulan dan penutup 23

Rujukan 25

1.0:Pendahuluan

1.1: PengenalanSelama beberapa dekad, murid-murid di sekolah rendah telah diajar satu prosedur standard untuk setiap satu daripada empat operasi asas aritmetik. Prosedur tersebut adalah seperti operasi penambahan dan penolakan melibatkan pengumpulan semula, pendaraban dan algoritma pembahagian panjang. Selain daripada algoritma lazim, terdapat juga algoritma alternatif yang digunakan sebagai pilihan kedua kepada algoritma lazim. Penggunaan algoritma alternatif yang lebih berkesan sesuai digunakan untuk memudahkan dan meningkatkan kefahaman murid-murid.

1.2: Algoritma Lazim

Menurut wikipedia, algoritmaialah tatacara langkah demi langkah dalam penyelesaian masalah dalam masa yang terhingga. Proses algoritma telah diasaskan oleh seorang tokoh matematik Islam yang dikenali sebagaiAl-Khawarizmi. Oleh itu algoritma sesetengah negara, ia dikenali sebagai Alkhawarizmi.

Laman web mathworld.wolfram.com pula merujuk algoritma sebagai satu set tertentu arahan untuk menjalankan prosedur atau menyelesaikan masalah, biasanya dengan syarat bahawa prosedur tamat pada satu ketika.

Berdasarkan kepada dua definisi algoritma di atas, kita boleh menyimpulkan algoritma sebagai satu set kumpulan urutan perintah yang menentukan operasi-operasi tertentu yang diperlukan untuk menyelesaikan sesuatu masalah ataupun mengerjakan suatu tugas tertentu. Dengan erti kata lain, algoritma merupakan urutan langkah arahan yang logik. Setiap langkah arahan mengerjakan suatu tindakan aksi. Apabila suatu aksi dilaksanakan, maka operasi atau sejumlah operasi yang bersesuaian dengan aksi itu dilakukan oleh pemproses. Bila data yang digunakan benar, maka algoritma akan selalu berhenti dengan memberikan hasil yang benar pula.

Bagi algoritma lazim, terdapat beberapa pendapat yang dikemukakan oleh pengkaji-mengkaji pengajaran matematik. Karen Fuson dan Sybilla Beckmann, dalam "Algoritma Lazim Bersama Pernyataan Standard Teras", merujuk algoritma lazim sebagai langkah-langkah, dan bukan dengan cara langkah-langkah tersebut direkodkan secara bertulis. Hyman Bass, dalam artikelnya yang bertajuk Pengajaran Matematik Kanak-kanak, pula bersetuju bahawa algoritma terdiri daripada urutan tepat yang menyatakan langkah-langkah yang akan membawa kepada satu penyelesaian yang lengkap untuk sesuatu masalah pengiraan.

1.3: Algoritma AlternatifBerdasarkan penyelidikan yang dibuat terhadap keberkesanan penggunaan algoritma lazim dalam mengajar operasi asas matematik, terdapat sebilangan besar murid-murid sukar untuk menguasai fakta asas operasi matematik. Oleh yang demikian, para pengkaji mulai mengalihkan perhatian kepada kajian-kajian ke atas algoritma alternatif. Guru-guru telah mangambil inisiatif dengan menyelitkan algoritma alternatif dalam algoritma lazim untuk meningkatkan keberkesanana pengajaran. Contoh beberapa algoritma alternatif adalah di bawah:

Algoritma penambahan separa Algoritma hasil separa 2 6 8 6 7 + 4 8 3 x 5 3 1. Tambah ratus 6 0 050 x 60 30002. Tambah puluh 1 4 050 x 7 3503. Tambah sa 1 13 x 60 1804. Tambah separa _____3 x 7 21 7 5 1 3551

Algoritma alternatif bagi empat operasi asas matematik adalah seberti dalam jadual 1 di bawah.

Operasi AsasAlgoritma alternatif

PenambahanHasil tambah separa (Partial Sums)

PenolakanPinjam/Jual dahulu (Trade First)

PendarabanHasil separa (Partial Products)Kaedah Lattice (Lattice Method)

PembahagianHasil bahagi separa (Partial Quotients)

Jadual 1: Algoritma alternatif1.4: Pengiraan Mental (Mental Calculation)

Pengiraan mental merupakan pengiraan aritmetik yang mana hanya melibatkan penggunaan otak manusia, tanpa bantuan daripada kalkulator, komputer, atau alat tulis seperti pen dan kertas. Pengiraan mental juga tidak terikat kepada algoritma. Kita menggunakan pengiraan mental apabila alat / mesin pengiraan tidak boleh didapati atau digunakan. Kaedah pengiraan ini adalah lebih pantas daripada cara pengiraan lain (sebagai contoh, kaedah konvensional seperti yang diajar secara formal di sekolah). Ciri-ciri asas pengiraan mental adalah seperti berikut:

i. Nombor difahami sebagai suatu perkaitan antara kuantiti dan bukannya digit.ii. Pengiraan yang kelihatan serupa boleh diselesaikan dengan menggunakan pelbagai strategi

Terdapat beberapa kelebihan apabila menggunakan pengiraan mental. Antara kelebihan tersebut adalah murid dapat memahami perkaitan nombor dengan lebih baik. Murid juga dapa memahami nilai tempat dengan lebih jelas dan kukuh. Selain daripada itu, murid lebih yakin dengan nombor dan sistem nombor.

2.0:Algoritma Lazim.

2.1: Operasi Asas PenambahanPenambahan ialah operasi yang mencantumkan dua nombor untuk menghasilkan nombor ketiga yang dinamakan jumlah atau hasil tambah. Sebagai contoh, 3 + 2 = 5. Fakta asas tambah merupakan kombinasi penambahan (termasuk songsangannya) yang setiap sebutan ialah nombor 1 digit. Menguasai fakta asas tambah sangat penting kerana fakta asas ini merupakan asas kepada pengendalian algoritma penambahan dengan cekap dan tepat. Kepelbagaian aktiviti akan membantu murid dalam menguasai pembentukan konsep fakta asas tambah dengan lebih berkesan di samping latihan untuk peneguhan.

Operasi tambah secara konkrit perlu didedahkan terlebih dahulu untuk mengembangkan kefahaman murid tentang penambahan. Kemudian, strategi yang berkesan (strategi berfikir) diperkenalkan berdasarkan prinsip-prinsip tertentu. Akhirnya murid dikehendaki mengingat dan menghafal semua fakta asas tambah.Murid akan mampu menyatakan semua fakta asas tambah dengan cepat dan tepat sekiranya diajar dengan cara yang berkesan. Seseorang guru mestilah memastikan muridnya telah mempunyai konsep penambahan yang mantap (termasuk simbol yang terlibat) sebelum meminta mereka mengingati fakta asas tambah.

Seseorang murid boleh didedahkan dengan operasi penambahan, sebaik sahaja mereka telah menguasai nombor bulat, nilai tempat serta fakta asas tambah. Murid akan didedahkan dengan kemahiran menambah nombor 2 digit dengan nombor 1 digit, dan menambah nombor 2 digit dengan nombor 2 digit. Murid juga akan dibiasakan dengan kemahiran menulis ayat matematik dan penyelesaian masalah matematik dalam bentuk lazim. Operasi tambah ini akan didedahkan secara berperingkat iaitu operasi tambah dalam lingkungan 10, operasi tambah dalam lingkungan 18 tanpa/dengan mengumpul semula, operasi tambah dalam lingkungan 50 tanpa/dengan mengumpul semula dan operasi tambah dalam lingkungan 100 tanpa/dengan mengumpul semula.

2.1.1:Algoritma Operasi Tambahan

Melalui operasi tambah, digit-digit dengan nilai tempat yang sama akan dijumlahkan. Sebagai contoh, digit sa ditambah dengan digit sa, digit puluh ditambah dengan digit puluh, digit ratus ditambah dengan digit ratus dan seterusnya. Proses membawa satu digit ke lajur nilai tempat yang lebih tinggi dinamakan pengumpulan semula.

Terdapat 2 jenis algoritma bagi operasi tambah dengan menggunakan kaedah Kertas dan Pensel. Algoritma tersebut ialah Algoritma Terkembang (Expanded Algorithm) dan Algoritma Lazim (Standard Written Algorithms). Kedua-dua algoritma ini diguna pakai dan diajar kepada murid-murid kerana terdapat segelintir murid yang lebih mudah memahami kaedah algoritma terkembang daripada algoritma lazim.

Algoritma Terkembang (Expanded Algorithm) Penambahan

Algoritma terkembang bagi penambahan wujud apabila semua nombor yang mempunyai nilai tempat yang sama ditambah dan kemudian dikumpul semula mengikut mengikut nilai tempat.

Contoh:1 3 2+2 5 33 8 5

Tambah ratus: 100 + 200 = 300Tambah puluh: 30 + 50 = 80 Tambah sa: 2 + 3 = 5

Tambah ratus, puluh, sa:300 80 + 5385

Hasil tambah:385

Melalui kaedah algoritma ini, penambahan nombor boleh dilakukan tanpa mengikut tertib kerana setiap kali penambahan dibuat, hasil tambah separa akan direkodkan/dicatat.

Algoritma Lazim (Standard Algorithm) Penambahan

Algoritma lazim (Standard Algorithm) bagi penambahan bermula dari kanan ke kiri dengan menambah nilai sa dan mengumpul semula. Jika nilai sa ialah 10 atau lebih, 10 sa akan dikumpul semula sebagai 1 puluh dan kemudian ditambah kepada lajur puluh. Jika tambahan lajur puluh mempunyai 10 puluh atau lebih, ia akan dikumpul semula menjadi 1 ratus dan kemudian ditambah ke lajur ratus. Contoh: 357 + 86 = ?

Langkah-langkah Penyelesaian:

Ratus Puluh Sa 3 5 7 8 6 Ratus Puluh Sa 3 5 7 8 6 3 Ratus Puluh Sa 3 5 7 8 6 4 3 Ratus Puluh Sa 3 5 7 8 6 4 4 3

7 sa + 6 sa = 13 sa, iaitu 1 puluh 3 sa. 1115 puluh + 8 puluh + 1 puluh = 14 puluh, iaitu 1 ratus 4 puluh. 13 ratus + 1 ratus = 4 ratus.Tulis 3 kepada lajur sa. Bawa 1 puluh ke lajur puluh.Tulis 4 kepada lajur puluh. Bawa 1 ratus ke lajur ratus.1Susun nombor ikut susunan sa, puluh, ratus dan seterusnya.

Oleh yang demikian, 357 + 86 = 4432.2:Operasi Asas Penolakan

Operasi tolak biasanya diajar selepas operasi tambah. Ini kerana operasi tambah melibatkan penggabungan atau penyatuan dua set, sedangkan operasi tolak pula merujuk kepada pengasingan atau pengurangan sesuatu set kepada set-set yang kecil. Dengan erti kata lain, operasi tolak merupakan proses songsangan (menterbalikkan) bagi operasi tambah. Terdapat beberepa konsep dalam operasi tolak yang perlu difahami seperti pengasingan semula, perbandingan dua objek, perbezaan dan lain-lain.

Pengasingan

Operasi ini bermula dengan sesuatu set.Kemudian mengeluarkan satu subset daripada set tersebut. Sebagai contoh, di dalam sebuah kotak, terdapat 5 biji guli. 2 biji guli dikeluarkan dari kotak tersebut. Berapa biji guli yang tinggal di dalam kotak?

Membandingkan

Kaedah membanding melibatkan dua set / kumpulan benda.Dua set yang berasingan diberi kepada murid. Kemudian murid diminta menyusun semula serta padankan set pertama dengan set kedua. Ahli yang tidak ada pasangannya dikenali baki atau beza. Contoh ayat bagi membandingkan adalah seperti berikut. Dalam sebuah kebun, terdapat 8 ekor tupai dan 5 buah rambutan. Berapa banyakkah tupai daripada buah rambutan di dalam taman itu?

Konsep tolak sebagai songsangan tambah.

Dalam konsep tambah, dua set objek dicantumkan untuk menghasilkan satu set yang lebih besar, kemudian bilangan objek dalam set baru ditentukan. Jika kita bermula dengan set yang besar dan mengasingkannya kepada dua set serta mencari berapa banyak objek dalam setiap set itu, inilah operasi tolak. Proses yang terlibat disini ialah songsangan proses untuk tambah. Maka bagi setiap ayat Matematik bagi tambah terdapat dua ayat matematik bagi tolak. Sebagai contoh:4 + 5 = 9, 9 - 4 = 5, 9 - 5 = 4.Konsep tolak sebagai penyekatan.

Berdasarkan konsep ini, ahli-ahli dalam sesuatu set tidak dikeluarkan tetapi perlu diubahsuaikan kedudukannya untuk menepati sesuatu syarat. Konsep set pelengkap biasanya dikaitkan dengan model ini. (Objek tidak diasingkan, tidak dibandingkan dan tidak ditambah). Objek dalam set berkekalan tetapi boleh dikumpulkan mengikut sesuatu yang diberi. Selepas itu murid perlu mengira pelengkap set.

Sebagai contoh, dalam sebuah bakul terdapat 8 biji buah-buahan. 3 biji daripada buah-buahan tersebut adalah buah rambutan dan selebihnya adalah buah manggis. Berapakah biji buah manggis yang terdapat di dalam bakul tersebut? Contoh kedua ialah Ahmad mempunyai 5 buah buku cerita. Ali pula ada 3 buah buku cerita. Ahmad ada berapa buah buku cerita lebih daripada Ali?2.2.1:Algoritma Operasi Penolakan

Penolakan ialah satu operasi bagi mencari beza atau baki bagi dua nombor. Beza atau baki ini dinamakan hasil tolak. Simbol bagi penolakan ialah ( ) dan disebut tolak. Operasi tolak tidak banyak berbeza dengan operasi tambah. Dalam suatu penolakan, digit-digit dengan nilai tempat yang sama ditolakkan. Misalnya, digit sa ditolak dengan digit sa, digit puluh ditolak dengan digit puluh, digit ratus ditolak dengan digit ratus dan seterusnya. Apabila nilai digit yang hendak menolak tidak cukup untuk ditolak, pengumpulan semula perlu dilakukan.

Seperti penambahan, operasi tolak juga mempunyai 2 jenis algoritma dengan menggunakan kaedah kertas dan pensil. Algoritma tersebut ialah Algoritma Terkembang (Expanded Algorithm) dan Algoritma Lazim (Standard Written Algorithms).

Algoritma Terkembang (Expanded Algorithm) Penolakan

Algoritma Terkembang Expanded Algorithm bagi penolakan dimulakan dengan nilai terbesar dan penolakan dilakukan berulang melibatkan pengiraan mental sebelum dipindahkan dari kiri ke kanan.

Contoh:457 235=

4 5 7-2 3 52 2 2

Digit yang ditolak (235) dibahagikan kepada (200 + 30 + 5).457 - 200 = 257257 - 30 = 227227 - 5 = 222

Operasi bagi algoritma terkembang, penolakkan boleh dimulakan dengan sebarang nilai tempat kerana tertib penolakan tidak akan mengubah hasil tolak.

Algoritma Lazim (Standard Algorithms) Penolakan

Algoritma lazim Standard Algorithm bagi penolakan bermula dengan menolak nilai sa dan seterusnya menolak dengan mengumpul semula, iaitu daripada kanan ke kiri. Jika sa yang sedia ada tidak mencukupi untuk ditolak, kita kumpul semula 1 puluh sebagai 10 sa dan kemudian tolak sa. Begitu juga jika puluh tidak mencukupi untuk ditolak, kita kumpul semula 1 ratus menjadi 10 puluh dan lakukan penolakan.Contoh: 474 - 97 = ?Langkah-langkah penyelesaian:

Ratus Puluh Sa 4 7 4 9 7 Ratus Puluh Sa 4 7 4 9 7 7 Ratus Puluh Sa 4 7 4 9 7 7 7 Ratus Puluh Sa 4 7 4 9 7 3 7 74 sa yang sedia ada tidak cukup untuk tolak 7 sa. Pinjam 10 sa dari lajur puluh.14 sa - 7 sa = 7 sa.6 puluh tidak cukup untuk tolak 9 puluh. Pinjam 10 puluh dari lajur ratus.16 puluh - 9 puluh = 7 puluh.3 ratus - 0 ratus = 3 ratus.Susun nombor ikut susunan sa, puluh, ratus dan seterusnya.14614141663316

Oleh itu, 474 - 97 = 3772.3:Operasi Asas PendarabanMenurut Nesher (1988) dan Vergnaud (1988), pendaraban boleh diklasifikasikan berdasarkan bentuk kuantiti dan perkaitan antara kuantiti tersebut. Konsep darab mempunyai pertalian rapat dengan tambah, iaitu tambah berulang-ulang. Sebagai contoh, lima 4 diertikan sebagai 5X4 dan tujuh set 5 diertikan sebagai 7X5 . Darab bermaksud kali ganda. Jika ayat seperti 6X7=42 boleh disebut enam kali ganda tujuh menghasilkan empat puluh dua. Nombor 6 dan 7 dipanggil faktor darab, tanda X merujuk kepada operasi ganda, tanda= merujuk kepada hasil dan nombor 42 mewakili hasil darab atau nombor terbitan operasi darab.

Cara menulis operasi darab adalah dengan cara menegak dan cara mendatar. Antara model bagi menjelaskan konsep darab ialah model gandaan set, model turus, model turutan garisan bernombor dan model hasil Cartesian.

Model gandaan Set3 + 3 + 3 + 3 = 12, Empat set 3 ------ satu set 12, 4 x 3 = 12

Model terus2 + 2 + 2 + 2 = 8 Empat terus 2 kelompok 8, 4 x 2 = 8

Model turutan garisan bernombor3, 6, 9, 12, 15,_____, Lima turutan 3 hasil 3 pasangan - 6 objek 3 x 2 = 6

Fakta asas darab ialah fakta yang mempunyai faktor pendarab satu angka atau satu digit, misalnya daripada 0 X 0 hingga 9 X 9. Bagi menjamin komputasi efisien ( jawapan yang tepat dan menjimatkan masa), murid digalakkan menghafal fakta asas darab. Ada 10 fakta seperti 0 X 0, 1 X 1, 2 X 2, 3 X 3, hingga 9 X 9, iaitu pergandaan nombor itu sendiri, dan 45 fakta lain bersimetri ( 45 + 45). Fakta bersimetri ialah seperti 4 X 7 = 7 X 4. Fakta darab perlu dibantu dengan manipulasi objek fizikal, model dan jadual. Murid digalakkan membuat pertalian antara satu fakta dengan fakta-fakta lain secara abstrak berdasarkan pengalaman konkrit mereka seterusnya memikirkan pertalian antara berbagai-bagai fakta, menggunakan hukum operasi darab dan menggunakan algoritma standard.2.3.1:Algoritma Operasi PendarabanTerdapat dua jenis algoritma pendaraban yang biasa digunakan dalam menyelesaikan operasi pendaraban. Algoritma pendaraban tersebut adalah Algoritma Pendaraban Lazim (Standard Algorithms), Algoritma Hasil Darab Separa (Partial-product Algorithms), pendaraban sebagai Penambahan Berulang yang diubahsuai (Modified Repeated Addition), dan Kaedah Lattice (Lattice Method).

Algoritma Pendaraban Lazim (Standard Algorithms)

Algoritma pendaraban lazim boleh dibahagikan kepada dua iaitu pendaraban lazim (standard algorithms) dan pendaraban lazim yang diubahsuai (modified standard). Kedua-dua jenis pendaraban lazim ini boleh digunakan untuk mencari hasil darab dua nombor. Perbandingan kedua-duan algoritma pendaraban ini adalah seperti yang ditunjukkan dalam jadual 2 di bawah.

Jadual 2: Perbandingan pendaraban algoritma lazim dan algoritma lazim yang diubahsuai.

Algoritma Hasil Darab Separa (Partial-product Algorithms)

Algoritma Hasil Darab Separa tidak banyak berbeza dengan algoritma penambahan dan penolakan terkembang (Expanded Algorithms). Konsep dan langkah kerja yang digunakan adalah sama. Contoh bagi algoritma hasil darab separa adalah seperti berikut.

67 X 53 =67 X 5350 X 60 300050 X 7 3503 X 60 1803 X 7 + 21 3551

Pendaraban sebagai Penambahan Berulang yang diubahsuai (Modified Repeated Addition)Kaedah pendaraban ini lebih rumit untuk difahami kerana ianya melibatkan penambahan berulang. Guru perlu memastikan murid-murid betul-betul menguasai kaedah ini jika guru memilih kaedah ii untuk menyelesaikan operasi darab. Ini adalah kerana, kesilapan pengiraan boleh berlaku semasa melaksanakan operasi tambah berulang. Contoh di bawah dapat menjelaskan tentang kaedah pendaraban sebagai penambahan berulang yang diubahsuai.

Kaedah Lattice (Lattice Method)

Kaedah ini sesuai diajar kepada murid-murid yang sukar menguasai cara mendarab dalam bentuk lazim yang selalunya memerlukan pengiraan yang panjang. Berikut adalah langkah2 bagaimana mengajar kaedah Lattice kepada murid-murid

Dalam pendekatan ini, sebuah kisi pertama dibina, saiz disesuaikan dengan angka yang didarabkan.Gambarkan di atas adalah untukpendaraban 469 X 37

Sebelum darab sebenar boleh bermula,garis harus ditarik menyerong (lihat rajah),membahagi dua setiap kotak.

Pendaraban melibatkan tiga langkah utama iaitumendarab, membawa dan tambah.Sekarang kita mengira hasil darab untuk setiapkotak.Kotak di barisan pertama atas akanmelakukan aktiviti pendaraban 9 X 3, 6 X 3 dan 4 X 3. Kotak di barisan kedua bawah akanmelakukan aktiviti pendaraban 9 X 7, 6 X 7 dan 4 X 7.Masukkan hasil jawapan ke dalam kotak yang telahdibahagi dua secara menyerong. Sekiranya hasildarab kurang daripada 10, maka nombor sifar (0)akan di masukkan terlebih dahulu diikuti nomborjawapan.

Sekarang kita siap untuk mengira nombor dari hasildarab. Dimulai di bahagian bawah penjuru kananbawah sel (3)- warna pink. Nombor ini dihalang olehsudut kisi dan menyerong pertama. Kerana ini adalahsatu-satunya nombor di bawah ini menyerong, bilangan pertama adalah 3. Jumlah ditempatkandisepanjang bahagian bawah kisi di bawah lajurpaling kanan.

Selanjutnya kita menjumlahkan nombormenyerong dahulu (warna biru) dan seterusnya yanglebih menyerong(warna jingga, hijau dan kuning).2 + 6 + 7 = 15. 5 di tempatkan tepat di bawahbahagian bawah kisi dan membawa 1 kepada jumlahmenyerong kumpulan sebelah kiri.

Tambahkan setiap nombor yang berada pada garisan menyerong. Produk akhir adalah terdiri daripada nombor di luar kisi yang dikira. Kita membaca nombor di sisi kiri dan kemudian ke arah kanan di bawah untuk menghasilkan jawapan akhir:17353.

2.4:Operasi Asas PembahagianOperasi bahagi ialah operasi matematik yang terakhir dipelajari oleh pelajar di sekolah rendah. Operasi bahagi dikaitkan dengan operasi darab sebagaimana operasi tolak dikaitkan dengan operasi tambah.

Konsep pembahagian sebagai pengongsian operasi bahagi.

Konsep ini diguna pakai apabila murid perlu mengongsikan sejumlah objek secara sama rata dengan beberapa orang kawan, atau apabila membahagikan beberapa orang kepada sebilangan kumpulan tertentu. Sebagai contoh, bahagikan 8 biji manggis sama rata diantara 4 orang. Setiap orang akan dapat 2 biji manggis.

Konsep bahagi sebagai pengumpulan.

Untuk memudahkan kita memahami konsep bahagi sebagai pengumpulan, contoh berikut sesuai untuk menggambarkan situasi tersebut. Terdapat 15 biji bola ping pong. Jika bola ping pong tersebut dilonggokkan supaya mendapat 3 biji bola ping pong dalam satu longgok, berapa longgok bola ping pong boleh didapati?

Murid mula mengaitkan operasi bahagi dengan proses mencari sebilangan set yang sama besar yang boleh dijadikan daripada sesuatu jumlah objek. Proses ini disebut pengumpulan atau pembahagian secara ukuran kerana dalam proses ini, murid-murid dikehendaki mengukur sebilangan subset yang sama banyak daripada objek asal. Contoh , 15 3 = 5.

Konsep pembahagian sebagai songsangan darab.

Dalam setiap fakta asas darab, terdapat tiga nombor yang terkandung dalam fakta asas bahagi yang berkenaan, dan operasi bahagi merupakan proses mencari faktor yang tertinggal dalam dalam fakta asas darab. Dalam penyelesaian operasi bahagi, murid digalakkan mencari faktor yang tertinggal. Contoh 15 3 = Nombor apakah didarab dengan 3 hasilnya 15? Oleh itu 15 3 = 5 kerana 5 X 3 =15 .

Pembahagian sebagai operasi tolak berulang.

Konsep bahagi sebagai operasi tolak berulang berkait rapat dengan konsep bahagi sebagai proses pengumpulan. Dalam penyelesaian 12 3 = ?, murid digalakkan bertanya diri sendiri: ada berapa 3 dalam 12?. Dengan menggunakan pembilang, murid boleh menentukan 4 kumpulan 3, contohnya ( 12 3 = 9), (9 3 = 6), (6 3 = 3), (3 - 3 = 0). Jadi jawapannya 4.

Pembahagian dengan garis nombor.

Aspek operasi bahagi ialah operasi tolak berulangan dan boleh diwakili dengan lompatan-lompatan pada garis nombor. Lompatan-lompatan bermula daripada nombor yang dibahagi, bergerak ke kiri menuju sifar.

Pembahagian dengan tatasusunan.

Tatasusunan memberi pola tentang kedua-dua operasi darab dan bahagi. Apabila seseorang murid berkebolehan menentukan pola tatasusunan terdiri daripada baris-baris dan turus yang diskrit, dia boleh menulis semua fakta asas darab dan bahagi yang berkenaan. Sebagai contoh;4 kumpulan 7 ialah 28 4 X 7 = 2828 7 = 47 kumpulan 4 ialah 287 X 4 = 2828 4 = 7.

2.4.1:Algoritma Operasi Pembahagian

Bagi operasi bahagi, kita boleh menggunakan dua kaedah yang sesuai diajar kepada murid-murid sekolah rendah. Algoritma pembahagian yang pertama adalah Algoritma Pembahagian Lazim (Standard Division Algorithms) manakala kaedah yang kedua adalah Algoritma Hasil Bahagi Separa (Partial Quotients Algorithms).

Algoritma Pembahagian Lazim (Standard Division Algorithms)Algoritma pembahagian lazim adalah kaedah biasa yang digunakan dalam menyelesaikan operasi pembahagian. Algoritma ini memerlukan murid menguasai fakta asas darab untuk membolehkan mereka menjawab soalan yang diberi. Contoh di bawah memberikan gambaran tentang algoritma pembahagian lazim.

Algoritma Hasil Bahagi Separa (Partial Quotients Algorithms).

Algoritma hasil bahagi separa adalah satu algoritma untuk membahagikan satu nombor bulat dengan yang lain. Murid-murid perlu menguasai fakta asas darab dan kemahiran menganggar untuk membolehkan mereka menggunakan kaedah algoritma hasil bahagi separa. Contoh di bawah menunjukkan kaedah algoritma hasil bahagi separa.

3.0:Algoritma alternatif yang sesuai digunakan dalam kurikulum Matematik Tahun 3.

Saya telah memilih dua algoritma alternatif yang sesuai diajar kepada murid-murid dalam kurikulum Matematik. Algoritma alternatif tersebut adalah penolakan yang menggunakan kaedah Trade-first Subtraction dan bahagi melibatkan prosedur tolak berulang (subtraction procedure).

3.1:Tolak menggunakan kaedah Trade-first Subtraction

Konsep bagi algoritma alternatif ini adalah dengan meminta murid-murid memerhatikan dan menentukan terlebih dahulu nombor-nombor yang akan ditolak. Murid-murid perlu menentukan nilai-nilai nombor dan mengenal pasti nilai nombor yang besar dan kecil. Contoh berikut akan menunjukkan dengan lebih jelas tentang algoritma alternatif ini.

1. Apabila menggunakan algoritma alternatif ini untuk melakukan operasi tolak, mulakan operasi tolak dari kiri ke kanan.

2. Tanya diri anda, adakah saya mempunyai nilai yang cukup untuk menolak nilai 3 daripada 9 di lajur ratus? Dalam masalah ini, 9 3 tidak melibatkan pengumpulan semula.

3. Seterusnya beralih kepada lajur puluh. Saya tidak bolehmenolak 5 daripada 3. Oleh yang demikian, saya perlu melakukan pengumpulan semula.

4. Beralih ke lajur sa. Saya tidak boleh menolak 6 daripada 2. Oleh yang demikian, saya perlu melakukan pengumbulan semula.

5. Akhir sekali, lakukan operasi tolak mengikut lajur masing-masing.3.2:Bahagi melibatkan prosedur tolak berulang (subtraction procedure).

Algoritma alternatif ini sesuai digunakan untuk mengajar murid-murid yang lemah dalam konsep asas pendaraban. Ini adalah kerana, operasi bahagi menggunakan algoritma nin tidak memerlukan murid mengingat sifir darab. Cukup sekadar murid tahu membuat operasi tolak yang berulang-ulang. Contoh di bawah dapat menjelaskan dengan lebih baik tentang algoritma alternatif ini.

1. Mulakan dengan menulis soalan tersebut dalam bentuk algoritma lazim

2. Tolak 3 daripada 15, (15 3 = 12) kemudian tandakan 1

3. Tolak 3 daripada 12, (12 3 = 9) kemudiantandakan 2

4. Tolak 3 daripada 9, (9 3 = 6) kemudiantandakan 3

5. Tolak 3 daripada 6, (6 3 = 3) kemudiantandakan 4

6. Tolak 3 daripada 3, (3 3 = 0) kemudiantandakan 5

7. Akhir sekali, jawapan dapat diperoleh dengan mengira berapa kali nombor 15 tersebut ditolak dengan 3.

8. Jawapannya ialah 5, oleh yang demikian 15 3 = 5

4.0: Kesimpulan dan penutupAlgoritma ialah satu set peraturan untuk menyelesaikan masalah matematik yang mana, jika dilakukan dengan betul, akan sentiasa memberi jawapan yang betul. Algoritma biasanya melibatkan satu siri langkah-langkah yang berulang-ulang. Kajian terkini menunjukkan kepentingan kepada murid-murid tentang kebaikan dan kelebihan mengetahui dan menguasai nombor, operasi, dan nilai tempat apabila mereka meneroka matematik menggunakan kaedah yang berbeza.

Pengiraan aritmetik biasanya dilakukan dalam salah satu daripada tiga cara: mental, dengan kertas dan pensil, atau dengan mesin, contohnya komputer, kalkulator atau sempoa. Kaedah yang dipilih bergantung kepada tujuan pengiraan. Jika kita memerlukan pengiraan yang tepat, kita akan memilih mesin. Jika kita perlu pengiraan yang cepat tanpa memerlukan jawapan yang jitu, kaedah pengiraan secara mental (mental aritmetic) sesuai digunakan.

Penguasaan dan kebolehan murid dalam melaksanakan operasi tambah, tolak, darab dan bahagi dalam matematik dengan menggunakan algoritma yang sesuai banyak membantu murid menyelesaikan masalah matematik. Dengan algoritma yang betul, murid dapat mengurangkan kesilapan kerana proses untuk mencari jawapan telah ditetapkan mengikut algoritma.

Terdapat juga murid yang menghadapi kesukaran untuk menguasai algoritma lazim yang diajar oleh guru. Oleh yang demikian, guru perlu bijak memilih algoritma alternatif yang bersesuaian dengan tahap kebolehan murid.

Keberkesanan penggunaan algoritma matematik di kalangan murid-murid dapat dimaksimumkan jika murid dapat menguasai aritmetik mental. Ini adalah kerana, dengan kemahiran aritmetik mental, murid bukan sahaja dapat membuat algoritma matematik dengan pantas, malah dapat mengurangkan kesilapan dan mengurangkan kebergantungan kepada alat tulis dan alat mengira seperti kalkulator.

Guru perlu bijak memilih dan menggunakan bahan manipulatif yang sesuai untuk mengukuhkan kemahiran dan pengetahuan murid dalam algoritma matematik. Sebagaicontoh, penggunaan carta/rajah kekisi dalam menyelesaikan operasi darab sangat berguna kepada murid-murid. Dengan carta yang ditunjukkan, murid dapat memperoleh gambaran yang jelas dan seterusnya menggunakan algoritma matematik yang sesuai.(3 500 patah perkataan)

Rujukan

Algoritma. Dicapai pada 25 Oktober 2013 daripada http://ms.wikipedia.org/wiki/Algoritma

Algorithms. Dicapai pada 27 Oktober 2013 daripada http://mathworld.wolfram.com/Algorithm.html

Algorithms and Arithmetic in Everyday Mathematics. Dicapai pada 27 Oktober 2013 daripada http://instruction.aaps.k12.mi.us/EM_parent_hdbk/algorithms.html

Algorithms for Multiplication and Division of Whole Numbers. Dicapai pada 20 Oktober 2013 daripada http://faculty.atu.edu/mfinan/2033/section13.pdf

Karen C. Fuson, Sybilla Beckmann (2013). Standard Algorithms in the Common Core State Standards- online journal. Dicapai pada 27 Oktober 2013 daripada http://www.mathedleadership.org/docs/resources/journals/NCSMJournal_ST_Algorithms_Fuson_Beckmann.pdf

Mok Soon Sang, Siew Fook Cheong (1995). Pengajaran dan pembelajaran matematik : untuk peringkat sekolah rendah. Longman Malaysia Sdn Bhd, Petaling Jaya.

Murugiah s/o Velayutham, Kao Thuan Keat, Wong Woy Chun (2013). HBMT2103 Teaching of Elementary Mathematics Part 1, Open University Malaysia. Kuala Lumpur.

The Improving Mathematics Education in Schools (TIMES) Project. Addition and Subtraction. Dicapai pada 01 November 2013 daripada http://www.amsi.org.au/teacher_modules/Addition_and_subtraction.html