tugasan 2 kesinambungan topik-topik matematik

Upload: cptan

Post on 03-Feb-2018

332 views

Category:

Documents


1 download

TRANSCRIPT

  • 7/21/2019 TUGASAN 2 KESINAMBUNGAN TOPIK-TOPIK MATEMATIK

    1/34

    1

    SME 6014

    PENGAJARAN MATEMATIK

    TUGASAN 2

    TOPIK-TOPIK DALAM MATEMATIK

    AHLI KUMPULAN NOMBOR MATRIK

    AW YING JUAN M20132002110

    TAN CHEW PENG M20131000648

    LOK YIAN LIN M20141000936

    LEE HUEY KUAN M20141000970

    PENSYARAH :

    PROF. DR. MARZITA PUTEH

  • 7/21/2019 TUGASAN 2 KESINAMBUNGAN TOPIK-TOPIK MATEMATIK

    2/34

    2

    ISI KANDUNGAN

    1. Soalan . 4

    2. Had 57

    a) Kesinambungan Idea Had dengan graf fungsi ( Geometri)

    b) Kesinambungandx

    dy(kecerunan perentas dan kecerunan tangen)

    dengan graf fungsi (Geometri)

    c) Kesinambungan topik Had dengan topik graf fungsi (Geometri)

    d) Kesinambungan topik Terbitan Pertama bagi polinomial dengan

    menggunakan Prinsip Pertama (Kalkulus) dengan ungkapan algebra

    (Algebra) dan graf fungsi (Geometri)

    3. Pembezaan .. 816

    a) Kesinambungan dalam proses menentukan terbitan pertama

    bagi fungsi nkxy (Kalkulus) dengan Polinomial (Algebra)

    b) Kesinambungan pembezaan (Kalkulus) dengan terbitan pertama

    hasil darab dua polynomial (Algebra). Penggunaan petua hasil

    darabdx

    duv

    dx

    dvu

    dx

    dy dan wujudnya

    c) Kesinambungan pembezaan (Kalkulus) dengan terbitan pertama

    hasil bahagi dua polynomial (Algebra). Penggunaan petua hasil

    bahagi2v

    dx

    dvu

    dx

    duv

    dx

    dy

    d) Kesinambungan Kalkulus dengan Trigonometri. Proses menggunakan

    petua rantaidx

    du

    du

    dy

    dx

    dy menentukan terbitan pertama fungsi gubahan

    menggunakan petua rantai..

    e) Kesinambungan pembezaan (Kalkulus) dengan kecerunan tangen

    kepada graf (Geometri)

  • 7/21/2019 TUGASAN 2 KESINAMBUNGAN TOPIK-TOPIK MATEMATIK

    3/34

    3

    f) kesinambungan pembezaan (Kalkulus) dengan persamaan tangen

    kepada sesuatu lengkung pada suatu titik (Geometri)

    g) Kesinambungan pembezaan (Kalkulus) dengan persamaan normal

    kepada sesuatu lengkung pada suatu titik (Geometri)

    h) Proses menentukan pembezaan tersirat terhadap masa wujudnya

    kesinambungan pembezaan (Kalkulus) dengan kadar perubahan

    bagi kuantiti yang terhubung

    4. Kesinambungan dengan topik yang lain dalam bidang yang lain1721

    a) Kesinambungan Matematik ( Kalkulus ) dengan Fizik

    b) Kesinambungan Matematik ( Kalkulus ) dengan Biologi

    c)

    Kesinambungan Matematik ( Kalkulus ) dengan Ekonomi

    5. Pengamiran 2228

    a) Pengamiran adalah melalui proses mencari songsang kepada pembezaan

    Kesinambungan pengamiran (Kalkulus) dengan Algebra

    b) Pengamiran adalah melalui proses mencari songsang kepada pembezaan

    Kesinambungan pengamiran (Kalkulus) dengan Trigonometri.

    c) Pengamiran pemalar (Kesinambungan pengamiran (Kalkulus) dengan Algebra)

    d) Pengamiran bagi fungsi yang berbentuk hasil tambah sebutan algebra

    Kesinambungan pengamiran (Kalkulus) dengan Algebra.

    6. Kesinambungan dengan topik yang lain dalam bidang yang lain.2932

    a) Kesinambungan Matematik (Kalkulus) dengan Fizik (Kinematik)

    b) Pengamiran sebagai penghasil tambahan: luas dan isipadu

    Kesinambungan pengamiran (Kalkulus) dengan Geometri

    c)

    Kesinambungan Matematik (Kalkulus) dengan Fizik (radioaktif)

    d) Kesinambungan Matematik (Kalkulus) dengan Fizik (suhu)

    e) Kesinambungan Matematik (Kalkulus) dengan Kimia (Kepekatan)

    7. Rujukan.. 3334

  • 7/21/2019 TUGASAN 2 KESINAMBUNGAN TOPIK-TOPIK MATEMATIK

    4/34

    4

    Tugasan 2: Topiktopik dalam Matematik

    Soalan

    Bincangkan topiktopik mengikut bidang yang dipilih.

    a)Algebra b)Geometri c)Trigonometri d)Statistik dan kebarangkalian e)Kalkulus

    Dari segi

    a) Kesinambungan dengan topik yang lain dalam bidang yang sama.

    b) Kesinambungan dengan topik yang lain dalam bidang yang lain.

  • 7/21/2019 TUGASAN 2 KESINAMBUNGAN TOPIK-TOPIK MATEMATIK

    5/34

    5

    Bidang yang dipilih ialah Kalkulus. Kalkulus merupakan salah satu cabang matematik

    yang merangkumi subtopik Had ( limit), Pembezaan (differentiation), Pengamiran

    (integration).

    Kalkulus merupakan ilmu yang berkaitan dengan perubahan. Kalkulus menpunyai dua

    cabang utama iaitu Pembezaan (differentiation) dan pengamiran ( integration) yang saling

    berhubungan melalui teorem asas kalkulus.

    Penyelidikan Kalkulus telah dijalankan pada awal kurun ke17 . Sir Isaac Newton dan

    Gottfried Wilhelm Leibniz telah menjalankan penyelidikan secara berasingan dan telah memberi

    sumbangan yang besar dalam kajian tersebut.

    Penyelidikan sir Isaac Newton bermula pada tahun 1665. Kalkulus mempunyai aplikasi

    yang luas dalam bidangbidang sains dan kalkulus dapat menyelesaikan pelbagai masalah yang

    tidak dapat diselesai oleh penggunaan ilmu algebra asas.

    1. Topik Had

    Had digunakan untuk menerangkan perubahan yang berlaku bagi sesuatu fungsi apabila nilai

    pembolehubah tak bersandar bergerak menghampiri suatu nilai tertentu.

    a) Kesinambungan Idea Had dengan graf fungsi (Geometri)

    Contoh 1:

    Berdasarkan contoh diatas, didapati sesuatu graf fungsi boleh dilakarkan dengan menggunakan

    had yang diberikan.

    x

    f (x)

    a

    L

    x

    y

    x

    f (x)

    y=f (x) Berdasarkan graf di sebelah, didapati nilai

    f(x) semakin dekat L apbila nilai x semakin

    mendekati adan ini kita boleh tulis dalam

    bentuk

  • 7/21/2019 TUGASAN 2 KESINAMBUNGAN TOPIK-TOPIK MATEMATIK

    6/34

    6

    b) Kesinambungandx

    dy(kecerunan perentas dan kecerunan tangen) dengan graf fungsi

    (Geometri)

    Contoh 2:

    Merujuk kepada Contoh 2, didapati konsep Had boleh digunakan ketika melakarkan graf fungsi

    serta mencari kecerunan tangen bagi sesuatu fungsi.

    c) Kesinambungan topik Had dengan topik graf fungsi (Geometri)

    Contoh 3:

    Cari nilai had bagi4

    16lim

    2

    4

    n

    n

    n

    4

    44lim

    4

    n

    nn

    n

    4lim4

    nn

    44

    8

    Had dapat menentukan nilai sesuatu fungsi apabila pembolehubahnya menghampiri suatu

    nilai tertentu yang mempunyai kesinambungan Had dengan graf fungsi. Dalam proses

    menentukan nilai ydapat dijalankan bagi sesuatu fungsi graf apabila nilai nsemakin mendekati

    sesuatu nombor. Merujuk kepada Contoh 3 apabila n semakin mendekati 4, nilai y semakin

    mendekati 8.

    Kecerunan perentas menyambung P dan Q. M

    ialah kecerunan

    Apabila semakin dekat dengan , ini

    bermaksud hsemakin kecil dan .

  • 7/21/2019 TUGASAN 2 KESINAMBUNGAN TOPIK-TOPIK MATEMATIK

    7/34

    7

    d) Kesinambungan topik Terbitan Pertama bagi polinomial dengan menggunakan Prinsip

    Pertama (Kalkulus) dengan ungkapan algebra (Algebra) dan graf fungsi (Geometri)

    Contoh 4:

    Cari dx

    dy

    dengan menggunakan Prinsip

    Pertama bagi persamaan 22xy .

    h

    xfhxf

    dx

    dy

    h

    0lim

    h

    xhx

    dx

    dy

    h

    22

    0

    22lim

    h

    xhxhx

    dx

    dy

    h

    222

    0

    2242lim

    h

    hxh

    dx

    dy

    h

    4lim

    0

    hxdx

    dy

    h

    4lim

    0

    xdx

    dy4

    Pembezaan dapat dijalankan dengan melalui Prinsip Pertama. Formula umum dapat ditentukan

    dengan penggunaan Prinsip Pertama.

  • 7/21/2019 TUGASAN 2 KESINAMBUNGAN TOPIK-TOPIK MATEMATIK

    8/34

    8

    2. Topik Pembezaan

    a) Kesinambungan dalam proses menentukan terbitan pertama bagi fungsi nkxy

    (Kalkulus) dengan Polinomial (Algebra).

    Contoh 5:

    Bezakan 73 5 x terhadap x .

    73 5 xy .........(1)

    0)5(3 15 xdx

    dy(2)

    415x

    dx

    dy .........(3)

    Merujuk kepada Contoh 5, terdapat kesinambungan antara pembezaan (Kalkulus) dengan

    Algebra dalam proses mencari terbitan pertama bagi fungsi polinomial.

    Proses pembezaan melibatkan algebra(persamaan kuadratik(1)), operasi mendarabdan

    menolaksimbolsimbol algebra(2). Hasil pembezaan adalah dalam bentuk algebra(3).

    b)Penggunaan petua hasil darabdx

    duv

    dx

    dvu

    dx

    dy dan wujudnya kesinambungan

    pembezaan (Kalkulus) dengan terbitan pertama hasil darab dua polynomial (Algebra)

    Contoh 6:

    Bezakan 3)43)(1( xx terhadap .x

    Biarkan 3431 xxy Biarkan 1 xu Biarkan 3)43( xv

    1dx

    du )3()43(3

    2 x

    dx

    dv

    2439 x

    dxduv

    dudyu

    dxdy

    143)43)(9(1 32 xxx 4319)43( 2 xxx

    131243 2 xx

  • 7/21/2019 TUGASAN 2 KESINAMBUNGAN TOPIK-TOPIK MATEMATIK

    9/34

    9

    c)Penggunaan petua hasil bahagi2

    v

    dx

    dvu

    dx

    duv

    dx

    dy

    dan wujudnya kesinambungan

    pembezaan (Kalkulus) dengan terbitan pertama hasil bahagi dua polynomial (Algebra)

    Contoh 7:

    Bezakan 3

    2

    1

    12

    x

    x

    terhadap .x

    Biarkan 212 xu Biarkan 31 xv

    2122 xdx

    du 113 2 x

    dx

    dv

    124 x 213 x

    2vdx

    dvu

    dx

    duv

    dxdy

    6

    223

    1

    13121241

    x

    xxxx

    62

    1

    12314112

    x

    xxxx

    61

    12314

    x

    xx

    4

    1

    2112

    x

    xx

    d)Proses menggunakan petua rantaidx

    du

    du

    dy

    dx

    dy menentukan terbitan pertama fungsi

    gubahan menggunakan petua rantai. Kesinambungan Kalkulus dengan Trigonometri.

    Contoh 8:

    Bezakan 2sin2 xx terhadap .x

    Biarkan xxu sin2 Biarkan 2uy

    xdx

    ducos2 12u

    du

    dy

    dx

    du

    du

    dy

    dx

    dy

    xu cos22

    xxx cos2sin22

  • 7/21/2019 TUGASAN 2 KESINAMBUNGAN TOPIK-TOPIK MATEMATIK

    10/34

    10

    e)Kesinambungan pembezaan (Kalkulus) dengan kecerunan tangen kepada graf

    (Geometri)

    Contoh 9:

    Cari kecerunan tangen kepada lengkung 152 3 xxy pada titik di mana 2x

    152 3

    xxy

    56 2 x

    dx

    dy

    Apabila ,2x 5)2(6 2

    dx

    dy

    7y

    19dx

    dy

    Kecerunan tangen pada 7,2 ialah 19

    f) kesinambungan pembezaan (Kalkulus) dengan persamaan tangen kepada sesuatu

    lengkung pada suatu titik (Geometri)

    Contoh 10:

    Contoh 6: Cari persamaan tangen pada titik )7,2( di mana 19m

    Guna cmxy

    c )2(197

    31c

    Persamaan tangen pada )7,2( ialah 3119 xy

  • 7/21/2019 TUGASAN 2 KESINAMBUNGAN TOPIK-TOPIK MATEMATIK

    11/34

    11

    g)Kesinambungan pembezaan (Kalkulus) dengan persamaan normal kepada sesuatu

    lengkung pada suatu titik (Geometri)

    Contoh 11:

    Normal kepada lengkung2

    21 xxy

    pada titik )5,2(

    mempunyai kecerunan 7

    1

    . Cari

    persamaan normal pada titik )5,2( .

    cmxy .........................................................................(1)

    Pada )5,2( dan7

    1m ,.................................................(2)

    c )2(7

    15 ................................................................(3)

    7

    37c ..............................................................................(4)

    Persamaan normal pada )5,2( ialah7

    37

    7

    1 xy .........(5)

    Merujuk kepada Contoh 11, proses mencari persamaannormal kepada sesuatu lengkung pada

    suatu titik wujudnya kesinambungan pembezaan (Kalkulus) dengan geometri koordinat

    (Geometri).

    Proses tersebut melibatkan geometri koordinat(sistem koordinat pada satah Cartesan(2))

    dan hasilnya adalah dalam bentuk eksplisit persamaan garis lurus berdasarkan Teorem

    Pithagoras dalam geometri koordinat(5).

  • 7/21/2019 TUGASAN 2 KESINAMBUNGAN TOPIK-TOPIK MATEMATIK

    12/34

    12

    h) Topik titik pusingan (Kalkulus)ada kesinambungan dengan topic graf fungsi (Geometri)

    dan polinomia (Algebra)

    Contoh 12:

    Cari koordinat titik pusingan pada lengkung

    642 2

    xxy .

    44 xdx

    dy

    0dx

    dy, untuk titik pusingan

    440 x

    1x

    1x , 61412 2 y

    4y

    Titik pusingan ialah 4,1

    Dalam pembezaan, titik pegun juga disebut sebagai titik pusingan dan dapat dicari dengan

    menggunakan kaedah pembezaan. Titik pusingan dinyatakan dalam bentuk koordinat. Dalam

    Contoh 12, koordinat titik pusingan pada lengkung yang adalah (1,4) yang mempunyai perkaitan

    dengan bidang geometri.

  • 7/21/2019 TUGASAN 2 KESINAMBUNGAN TOPIK-TOPIK MATEMATIK

    13/34

    13

    i) Topic titik maksimum dan titik minimum (Kalkulus)ada kesinambungan dengan topic

    graf fungsi (Geometri)

    Contoh 13:

    Titik maksimun dan titik minimum mempunyai kesinambungan dengan graf fungsi dan lakaran

    graf. Penentuan titik maksimum dan titik minimum dalam kaedah pembezaan dapat menentukan

    lakaran graf. Dalam Contoh 13, koordinat titik pusingan maksimum dan minimum bagi lengkung

    ditentukan dengan kaedah pembezaan. Titik koordinat yang dicari itu akan menentukan sama ada

    titik tersebut adalah positif atau negative. Penentuan positif dan negative memerlukan kemahiran

    asas dalam bidang Algebra. Selepas menentukan tanda-tanda positif dan negatif, pelajar perlu

    Cari koordinat titik pusingan maksimum dan minimum bagi lengkung

    Langkah 1:

    Langkah 2: Untuk titik pusingan

    Titik pusingan ialah (1,6) dan (3.2)

    x 0.5 1 1.5 2.5 3 3.5

    3.75 0 -2.25 -2.25 0 3.75

    Tanda + 0 0 +

    Lakaran

    Tangent

    Lakaran

    Graf

  • 7/21/2019 TUGASAN 2 KESINAMBUNGAN TOPIK-TOPIK MATEMATIK

    14/34

    14

    menggunakan kemahiran lakaran graf untuk melakarkan tangent dan akhirnya berdasarkan

    lakaran tangent untuk melakaran graf untuk menentukan titik (1,6) ialah titik maksimum dan

    titik (3,2) ialah titik minimum. Kemahiran melihat lengkungan graf adalah sangat penting bagi

    tajuk ini.

    j) Topik titik maksimum dan titik minimum (Kalkulus)ada kesinambungan dengan topic

    perimeter (Geometri) dan persamaan non linear (algebra)

    Contoh 14:

    Sebuah padang yang berbentuk segiempat tepat dengan luas perlu dipagar. Padang itu mempunyai

    pangjangxm dan lebarym.

    (a) Tunjukkan bahawa perimeternyapm diberi oleh

    (b) Cari panjang minimum pagar yang diperlukan untuk memagari padang itu.(a)

    Perimeter,

    (tertunjuk)

    Maka panjang minimum pagar yang diperlukan ialah 200 m.

    (b) Untuk nilai minimum p,

    Oleh sebab , makax=50

  • 7/21/2019 TUGASAN 2 KESINAMBUNGAN TOPIK-TOPIK MATEMATIK

    15/34

    15

    Dalam pembezaan adalah proses menyelesaikan masalah yang melibatkan nilai maksimum atau

    nilai minimum yang mempunyai kesinambungan Kalkulus dengan Geometri dan algebra Untuk

    menyelesaikan masalah ini, bahagian 4(a) melibatkan kemahiran persamaan non linear yang

    terkandung dalam bidang algebra dimana langkah ungkapkan y dalam sebutan x dan gantikan y

    dalam persamaan bagi perimeter. Selepas itu, bahagian (b) menggunakan kemahiran pembezaan

    dalam kalkulus yang melibatkan nilai minimum untuk mendapatkan panjang minimum pagar

    yang merupakan peengetahuan di dalam bidang geometri.

    k) Topik terbitan kedua (Kalkulus) mempunyai kesinambungan dengan topik luas

    permukaan (Geometri)

    Contoh 15:

    Rajah di bawah menunjukkan sebuah kotak tertutup yang terbentuk kuboid dengan isi padu 72 . Ukuran kotak itu

    ialahxcm, 2xdan hcm.

    (a) Tunjukkan bahawa luas permukaan luar kotak itu, L , diberi oleh .

    (b) Cari nilai x apabila dan tentukan sama ada nilai itu menjadikan L maksimum atau minimum.

    (a) Isipadu =72

    luas permukaan luar kotak,

    2xcmxcm

    hcm

  • 7/21/2019 TUGASAN 2 KESINAMBUNGAN TOPIK-TOPIK MATEMATIK

    16/34

    16

    Pembezaan dapat menentukan terbitan kedua bagi fungsi y=f(x) yang mempunyai

    kesinambungan Kalkulus dengan Geometri. Dengan menggunakan terbitan kedua, sesuatu titik

    pusingan bagi satu lengkung dapat ditentukan sama ada maksimum atau minimum. Dalam

    Contoh 15 bahagian (a), persamaan kuadratik digunakan untuk menunjukkan luas permukaan

    kotak (Geometri). Manakala dalam bahagian (b), nilai x ditentukan dengan menggunakan kaedah

    pembezaan. Selepas itu,kaedah terbitan kedua digunakan untuk menentukan nilai x ini adalah

    menjadiakan luas permukaan luar kotak ini adalah minimum (Geometri).

    (b)

    Apabila ,

  • 7/21/2019 TUGASAN 2 KESINAMBUNGAN TOPIK-TOPIK MATEMATIK

    17/34

    17

    l) Proses menentukan pembezaan tersirat terhadap masa wujudnya kesinambungan

    pembezaan (Kalkulus) dengan kadar perubahan bagi kuantiti yang terhubung.

    Contoh 16:

    Rajah menunjukkan sebuah bekas berbentuk kon dengan jejari cm8 dan tinggi

    cm20 . Air dituang ke dalam bekas itu dengan kadar 1315 scm . Cari kadar

    perubahan tinggi air dalam bekas apabila tinggi paras air ialah cm10 .

    142.3Guna

    Biarkan isi padu air

    r jejari permukaan air

    h tinggi paras air

    20

    8

    h

    r

    2

    25

    4

    hdh

    dV

    hr5

    2 .1015 13 cmhapabilascm

    dt

    dV

    hrV 2

    3

    1

    dt

    dh

    dh

    dV

    dt

    dV

    2

    5

    2

    3

    1

    hhV

    dt

    dh

    2

    1025

    415

    3

    75

    4hV

    16

    15

    dtdh

    130.0

    scm

    Paras air meningkat dengan kadar 130.0 scm .

  • 7/21/2019 TUGASAN 2 KESINAMBUNGAN TOPIK-TOPIK MATEMATIK

    18/34

    18

    b) Kesinambungan dengan topik yang lain dalam bidang yang lain.

    a) Kesinambungan Matematik ( Kalkulus ) dengan Fizik

    Contoh 17:

    Diberi kedudukan sesuatu objek dalam persamaan

    dimana dalam saat dan dalam meter.

    a) Apakah kelajuan pada masa ?

    b) Apakah kelajuan objek tersebut selepas 4 saat?

    c) Bilakah objek akan berada dalam keadaan pegun?

    Penyelesaian:

    Berdasarkan Contoh 17, kita dapati bahawa ilmu kalkulus (pembezaan) diperlukan dalam bidang

    Fizik untuk membantu kita mengira kelajuan sesuatu objek bergerak dan masa objek tersebut

    berhenti.

    a)

    Pembezaan ( Kalkulus )

    b)

    biar

    c)

    biar

    Penyelesaian persamaan

    kuadratik

  • 7/21/2019 TUGASAN 2 KESINAMBUNGAN TOPIK-TOPIK MATEMATIK

    19/34

    19

    b) Kesinambungan Matematik ( Kalkulus ) dengan Biologi

    Contoh 18:

    Seandainya populasi sesuatu bakteria berganda pada setiap satu jam. Dengan menganggap

    sebagai populasi pertama, iaitu . Secara umumnya,

    Maka kadar pertumbuhan sesuatu populasi pada masa adalah seperti berikut:

    Untuk populasi yang besar, kita boleh menganggarkan fungsi populasi tersebut dengan

    menggunakan smooth (continuous) curve.

    Contoh 19:Kesinambungan Matematik ( Kalkulus ) dengan Ekonomi

    Diberi mewakili bilangan unit yang dikeluarkan oleh sesebuah syarikat, dan mewakili

    kos yang diperlukan untuk mengeluarkan unit sesuatu barang. Kita memperoleh kos marginal

    bagi barang tersebut dengan melakukan operasi pembezaan kali pertama ke atas .

    Dan sekiranya syarikat tersebut dijangka untuk mengeluarkan unit barang, mereka dapat

    membuat anggaran keuntungannya, iaitu dengan berdasarkan fungsi bilangan unit yang

    dikeluarkan. Pengeluar memperoleh pendapatan marginal dengan melakukan operasi pembezaan

    kali pertama ke atas .

    Apabila unit barang telah dijual, keuntungan yang diterima adalah seperti berikut:

    Dengan melakukan operasi pembezaan pertama ke atas persamaan di atas, pihak syarikat dapat

    mengira keuntungannya:

    Pembezaan ( Kalkulus )

  • 7/21/2019 TUGASAN 2 KESINAMBUNGAN TOPIK-TOPIK MATEMATIK

    20/34

    20

    c) Kesinambungan Matematik ( Kalkulus ) dengan Kimia ( Kimia Kinetik)

    Contoh 20:

    a) Sekiranya oksigen wujud dalam sesuatu tindak balas seperti berikut,

    apakah kadar kelenyapan ozon?

    b) Sekiranya kadar kewujudan adalah , pada kadar apakah akan

    lenyap dalam masa yang sama,

    Penyelesaian:

    Kimia kinetik merupakan satu cabang Kimia yang membincangkan tentang kadar perubahan

    dalam kepekatan sesuatu reactantsdalam tindak balas kimia. Ahli Kimia memerlukan

    kemahiran dalam pembezaan apabila menganalisis sesuatu kadar tindak balas tersebut.

    a) Kadar =

    b)

  • 7/21/2019 TUGASAN 2 KESINAMBUNGAN TOPIK-TOPIK MATEMATIK

    21/34

    21

    3. Pengamiran

    Perkembangan ilmu pengamiran(integration) dimulakan dengan ilmu pembezaan

    (differentiation). Penghasilan ilmu pengamiranadalah melalui proses mencari songsang

    kepada pembezaan.

    Contoh 21: Pengamiran adalah melalui proses mencari songsang kepada pembezaan

    Kesinambungan pengamiran (Kalkulus) dengan Algebra.

    Diberi 24xy , caridx

    dy. Seterusnya , cari xdx8 .

    24xy (1)

    1-242 x

    dx

    dy (2)

    xdx

    dy8 (3)

    Maka, xdxdxdxdy

    8 ...(4)

    2

    8 11

    x

    y (5)

    24xy +c ...(6)

    Hasil penentuan kamiran

    cn

    axdxax

    n

    n

    1

    1, nialah integer, 1n

    Pengamiran adalah proses mencari songsang kepada pembezaan. Pemahaman dalam idea

    songsang kepada pembezaan merupakan tunjang kepada pemahaman konsep pengamiran dalam

    ilmu kalkulus. Dalam pengamiran, ia melibatkan pengetahuan algebra (persamaan

    kuadratik(1)). Dalam proses pengamiran, ia juga melibatkan operasi mendarabdan menolak

    simbol simbol algebra (2). Hasil pengamiran (5)(6) adalah dalam bentuk algebra. Hasil

    procedur pengamiran terbentuk daripada idea songsang kepada pembezaan adalah bentuk

    algebra.

  • 7/21/2019 TUGASAN 2 KESINAMBUNGAN TOPIK-TOPIK MATEMATIK

    22/34

    22

    Contoh 22: Pengamiran adalah melalui proses mencari songsang kepada pembezaan

    Kesinambungan pengamiran (Kalkulus) dengan Trigonometri.

    Diberi siny , caridx

    dy. Seterusnya , cari

    dxcos8 .

    siny

    cosdx

    dy hasil daripada terbitan pertama

    cossin dx

    d

    Maka, dxdxdx

    d

    cos8sin

    dxdxdx

    d

    cos8sin

    dxc cos8sin

    cdx sin8

    1cos

    Diberi tany , caridx

    dy. Seterusnya , cari

    dx2

    sec8 .

    tany

    2

    secdx

    dy hasil daripada terbitan pertama

    2sectan dx

    d

    Maka, dxdx

    ddx tansec8

    2

    dxdx

    ddx tansec8

    2

    cdx tansec8 2

    cdx tan8

    1sec

    2

    Ilmu Ungkapan Algebra 1(T1B7), Ungkapan Algebra II 2(T2B3), Persamaan Linear 3(T2B4),

    Indeks 4(T3B5), Ungkapan Algebra III 5(T3B6), Rumus Algebra 6(T3B7), Ungkapan dan

    persamaan Kuadratik 7(T4B2) telah menjadi asas kepada perkembangan ilmu pengamiran.

    Konsepkonsep asas Algebra merupakan tapak asas atau alat bantu untuk memahami konsep

    pemgamiran. Proses pengamiran dapat difahami dengan mudah sekiranya asas konsep algebra

    adalah kukuh.

    Dengan adanya ilmu proses mencari songsang pembezaan.

    Formula umum pengamiran untuk situasi pengamiran pemalar dapat ditentukan.

  • 7/21/2019 TUGASAN 2 KESINAMBUNGAN TOPIK-TOPIK MATEMATIK

    23/34

    23

    Contoh 23: Pengamiran pemalar (Kesinambungan pengamiran (Kalkulus) dengan

    Algebra)

    Kamirkan 9 terhadapx.

    dxxdx 099

    cx

    dxx

    1

    99

    10

    0

    Pengamiran sesuatu pemalar kterhadapx

    dxkxkdx 0

    ckxdxkx 0

    Ilmu Nombor Bulat 8(T1B1), Urutan dan Pola Nombor 9(T1B2), Pecahan 10(T1B3), Perpuluhan

    11(T1B4), Integer 12(T1B6), Nombor Berarah 13(T2B1), Bentuk Piawai 14(T4B1) dan Nombor

    Asas 15(T5B1).

    Konsepkonsep asas terhadap nombor atau pemalar harus kukuh. Kefahaman terhadap pemalar

    amat penting dalam bahagian pengamiran pemalar. Dengan adanya kefahaman tentang nombor

    atau pemalar. Proses pengamiran nombor atau pemalar dapat dilakukan dengan baik. Berikut

    adalah contoh kesalahan yang berlaku sekiranya asas kefahaman terhadap nombor atau pemalar

    tidak kukuh.

    Contoh 24: Kefahaman terhadap nombor atau pemalar yang tidak kukuh.

    ce

    dxe

    x

    x 2

    2

    2 pengamiran indek ce

    dxe 3

    32 miskonsepsi telah berlaku.

    cxedxe 22

    penyelesaian yang betul.

    Contoh 25: Pengamiran bagi fungsi yang berbentuk hasil tambah sebutan algebra

    Kesinambungan pengamiran (Kalkulus) dengan Algebra.

    a) dxxx 324

    dxxdxx 324

    cxx

    4

    3

    3

    b) dxx

    xx

    3

    43

    dxxdxx

    22 43

    cx

    x 43

    c)

    dxx

    xx

    2

    44

    dxxx

    2

    2

    16

    dxxdx 2161

    cx

    x 16

  • 7/21/2019 TUGASAN 2 KESINAMBUNGAN TOPIK-TOPIK MATEMATIK

    24/34

    24

    Contoh 26: Pengamiran sebagai penghasil tambahan: luas dan isipadu

    Kesinambungan pengamiran (Kalkulus) dengan Geometri.

    Contoh berkenaan luas

    Cari luas rantau yang dibatasi oleh lengkungan

    1682

    xxy , paksix, garis 1x dan

    6x .

    Penyelesaiaan:

    Apabila 0y

    01682

    xx

    04 2 x

    4x

    Lengkung 1682 xxy menyentuh paksi

    x pada 4x .

    Luas rantau berlorek=21

    LL

    dxxxdxxx 168168

    6

    4

    2

    4

    1

    2

    dxxx 168

    6

    1

    2

    6

    1

    2

    3

    1643

    xx

    x

    2

    3

    211 unit

    Contoh berkenaan isipadu

    Cari isipadu yang dijanakan apabila rantau

    berlorek yang dibatasi oleh lengkung

    12 xy , garis 0x dan 2x dikisarkan

    melalui 360 pada paksix.

    Penyelesaian:

    Isipadu janaan:

    dxy2

    0

    2

    dxx 2

    0

    221

    dxxx 2

    0

    2412

    dxxx 2

    0

    24 12

    2

    0

    35

    3

    2

    5

    x

    xx

    3

    15

    11

    13 unit

    Ilmu Perimeter dan Luar16(T1B11), Garis Lurus17(T4B5), Kecerunan Di Bawah Graf18(T5B6),

    Fungsi Kuadratik19 (MTT4B3) dan Geometri Koordinate20 (MTT4B6).

  • 7/21/2019 TUGASAN 2 KESINAMBUNGAN TOPIK-TOPIK MATEMATIK

    25/34

    25

    Konsepkonsep asas terhadap luas dan isipadu harus kukuh. Kefahaman terhadap idea luas dan

    isipadu perlu jelas. Dengan adanya kefahaman tentang luas dan isipadu. Proses mencari luas dan

    isipadu dengan menggunakan pengamiran dapat dilakukan dengan baik. Teknik melukis dan

    melakar graf seperti garis lurus, graf kuadratik dan mencari titik bertembung antara graf juga

    merupakan asas yang penting dalam mencari atau penyelesaian soalan luas dan isipadu dengan

    menggunakan pengamiran. Ketiadaan teknik melukis dan melakar graf, luas dan isipadu sesuatu

    soalan tidak dapat dicari walaupun seseorang itu dapat mangamir dengan baik.

    Contoh 27: Peranan pengamiran dalam taburan kebarangkalian.

    Kesinambungan pengamiran (Kalkulus) dengan Statistik dan Kebarangkalian.

    Dalam taburan kebarangkalian21

    (MTT5B8), formula dxe

    t x

    2

    2

    1

    2

    1

    digunakan untuk

    menghasilkan jadual buku statistik untuk penggunaan penyelesaian soalan yang berkaitan dengan

    pemboleh ubah rawak selanjar dan taburan normal, taburan normal piawai, kebarangkalian

    sesuatu peristiwa dalam taburan normal piawai. Pengetahuan asas jumlah kebarangkalian untuk

    satu jenis taburan normal adalah 12

    1

    2

    2

    1

    -

    dxedxxf

    x

    .

    Secara keselurahan penggunaan pengamiran amat luas dan berfaedah dalam bidang matematik.

    Ilmu pengamiran memang mempunyai kesinambungan dan perkaitan dengan cabang lain pada

    tahap sekolah menengah seperti algebra (Contoh 1,3,4 dan 5), Trigonometri ( Contoh 2),

    Geometri ( Contoh 6) dan Statistik dan Kebarangkalian ( Contoh 7).

  • 7/21/2019 TUGASAN 2 KESINAMBUNGAN TOPIK-TOPIK MATEMATIK

    26/34

    26

    Contoh : Jadual buku statistik.

  • 7/21/2019 TUGASAN 2 KESINAMBUNGAN TOPIK-TOPIK MATEMATIK

    27/34

    27

  • 7/21/2019 TUGASAN 2 KESINAMBUNGAN TOPIK-TOPIK MATEMATIK

    28/34

  • 7/21/2019 TUGASAN 2 KESINAMBUNGAN TOPIK-TOPIK MATEMATIK

    29/34

    29

    b)t

    t

    e

    ev

    2

    2

    2

    2

    t

    t

    e

    e

    dt

    ds

    2

    2

    2

    2

    pembezaan (Kalkulus)

    dt

    e

    eds

    t

    t

    2

    2

    2

    21 pengamiran (Kalkulus)

    t

    eu 2

    2

    Kaedah penggantian

    dtedu t22

    duu

    s 1

    pengamiran (Kalkulus)

    cus ln

    ces t

    2

    2ln

    0,2,0 svt

    ce )0(22ln0

    0c

    t

    es 22ln

    Dengan adanya Contoh 28 Kinematik dalam bidang fizik. Ilmu pengamiran diperlukan untuk

    mencari persamaan untuk halaju, vdan persamaan sesaran,s. Ini menunjukkan pengamiran

    (Kalkulus) mempunyai kesinambungan dengan bidang fizik. Tanpa pengetahuan pengamiran

    (Kalkulus), masalah kinematik tidak dapat diselesai.

    Contoh 29: Kesinambungan Matematik (Kalkulus) dengan Biologi (populasi)

    Model Populasi

    AndaianP(t)mewakili saiz populasi pada bilabila masa tdan pertambahan saiz populasi

    tersebut pada masa tboleh dimodel dengan persamaan pembezaan )(005.0)(

    tPdt

    tdP dengan

    nilai awal 1500)0( P . Tentukan saiz populasi ini selepas 10 tahun.

    Penyelesaian:

    tP

    dt

    tdP005.0

    1500)0( P

    10t ?)10( P

    dtdPP1005.0

    1

    ctP 005.0ln

    tAeP 005.0

    tAeP 005.0

    1500)0( P

    )0(005.01500 Ae

    1500A

    teP

    005.01500

    10t ?)10( P

    10005.01500eP

    15779.1576 P

  • 7/21/2019 TUGASAN 2 KESINAMBUNGAN TOPIK-TOPIK MATEMATIK

    30/34

    30

    Dengan adanya contoh 9 Model populasi. Ilmu pengamiran diperlukan untuk mencari dan

    membuat ramalan untuk masa depan.Ini menunjukkan pengamiran (Kalkulus) mempunyai

    kesinambungan dengan bidang biologi. Pengetahuan Kalkulus dapat diaplikasikan dan memberi

    manfaat kepada kita sebagai rujukkan masa depan.

    Contoh 30: Kesinambungan Matematik (Kalkulus) dengan Fizik (suhu)

    Hukum penyejukan Newton

    Menurut hukum penyejukan Newton, kadar perubahan suhu satu objek berkadar terhadap

    perbezaan dalam suhu antara objek dan suhu sekeliling,M. Hukum berkenaan diberi oleh

    persamaan pembezaan MTkdt

    dT dengan tT adalah suhu objek pada masa tdan k

    adalah pemalar.

    a) Ungkapkan Tdalam sebutan masa t.

    b) Satu mangkuk sup dikeluarkan daripada ketuhar dengan suhu C60 . Apakah suhu selepas 5

    minit jika 04.0k dengan anggapan suhu persekitaran adalah C9.26 .

    Penyelesaian:

    a) MTkdt

    dT

    dtkdT

    MT1

    1

    cktMT ln

    kteAMT

    MeAT kt

    CMkCTt 9.26,04.0,60,0

    9.2660 )0( keA

    9.2660A

    CA 1.33

    9.261.33 04.0 teT

    b) CMkCTt 9.26,04.0,?,5

    9.261.33 )5(04.0 eT

    CT 54

    Dengan adanya Contoh 30 Hukum penyejukan Newton. Ilmu pengamiran diperlukan untukmencari dan membuat ramalan terhadap suhu sesuatu objek yang hendak dikaji .Ini

    menunjukkan pengamiran (Kalkulus) mempunyai kesinambungan dengan bidang Fizik. Selain

    contoh yang dinyatakan. Hukum penyejukan Newton juga boleh diaplikasikan dalam bidang

    Forensik dalam menbuat jangkaan waktu kejadian mangsa dibunuh. Pengetahuan Kalkulus amat

    diperlukan dalam menyelesaikan masalah harian.

  • 7/21/2019 TUGASAN 2 KESINAMBUNGAN TOPIK-TOPIK MATEMATIK

    31/34

    31

    Contoh 31: Kesinambungan Matematik (Kalkulus) dengan Fizik (radioaktif)

    Suatu bahan radioaktif dengan jisimNgram menyusut pada kadar kNdt

    dN , dengan kadalah

    pemalar. Pada awalnya amaun bahan ialah 80gram. Selepas 100 tahun ia menyusut kepada

    20gram.

    a) UngkapkanNdalam sebutan masa t.

    b) Kirakan amaun bahan yang tinggal selepas 120 tahun.

    Penyelesaian:

    a) kNdt

    dN

    dtkdNN

    11

    cktN ln

    ktAeN

    80,0 Nt

    80A

    kteN

    80

    b) 20,100 Nt

    ke

    1008020

    100

    4

    1ln

    k

    t

    eN 1004

    1ln

    80

    ??,120 Nt

    120100

    4

    1ln

    80eN

    gN 157.15

    Ilmu Kalkulus juga dapat digunakan dalam bidang Fizik dalam membuat anggaran baki jisim

    bahan radioaktif selepas suatu masa yang ditetapkan. Ilmu ini amat berguna kepada para saintis

    dalam proses pelaksanaan kajian dan sebagainya.

  • 7/21/2019 TUGASAN 2 KESINAMBUNGAN TOPIK-TOPIK MATEMATIK

    32/34

    32

    Contoh 32: Kesinambungan Matematik (Kalkulus) dengan Kimia (Kepekatan)

    Suatu model untuk kepekatan glukos dalam aliran darah, tCC , diberikan oleh persamaan

    pembezaan kCrdt

    dC , dengan radalah kadar malar kepekatan larutan glukos ketika

    memasuki aliran darah dan kialah suatu pemalar positif. Jika 0

    0 CC , tunjukkan kepekatan

    pada sebarang masa tialah k

    re

    k

    rCtC

    kt

    0. Selepas suatu jangka masa yang sangat lama,

    didapati kepekatan glukos adalah 1 unit. Jika 90 C , apakah kepekatan glukos pada

    kt

    2 ?

    Penyelesaian:

    kCr

    dt

    dC

    dtdC

    kCr1

    1

    ctk

    kCr

    ln

    cktkCr ln

    ktAekCr

    00 CC

    0kCrA

    ktekCrkCr 0

    kte

    k

    kC

    k

    r

    k

    rC

    0

    kte

    k

    rC

    k

    rC

    0

    t 1C

    ek

    rC

    k

    r01

    k

    r1

    90 C

    kt

    2

    kk

    eC

    2

    191

    281

    eC

    Ilmu Kalkulus juga dapat digunakan dalam pengiraan kepekatan sesuatu bahan dalam suatu

    cecair yang hendak dijadikan bahan kajian. Ia dapat bantu dalam proses menentukan kepekatan

    sesuatu cecair.

  • 7/21/2019 TUGASAN 2 KESINAMBUNGAN TOPIK-TOPIK MATEMATIK

    33/34

    33

    RUJUKAN

    Abd Wahid. et al (2000).Kalkulus. Jabatan Matematik Falkulti Sains Universiti Teknologi

    Malaysia:Comtech Marketing Sdn. Bhd

    Chee Jun Wie (2001).Bad 3 Penggunaan Pembezaan.Diperoleh pada April 5, 2015 daripada

    http://www.oocities.org/enotebvp/bab3/bab_3_penggunaan_pembezaan.htm

    Christian Clausen III (2009).Applications of Calculus I.Diperoleh pada April 5, 2015 daripada

    https://excel.ucf.edu/classes/2009/Spring/appsI/Chapter2.pdf

    Joe Benson (2010).Derivative Applications and Related Rates.Diperoleh pada April 5, 2015

    daripadahttp://www.math.umn.edu/~benso700/1271docs/Lecture%2015.pdf

    Lim Swee Hock (2006).Mathematics SPM. Penerbit Fajar Bakti Sdn. Bhd.

    Marshizawati (2012). Teaching Mathematics in Form Six.Diperoleh pada April 3, 2015 daripada

    http://www.slideshare.net/marshiza/nota-matematik

    Zaini, Abdul Rahim dan Tee Hock Tian (2011),Kurukulum Bersepadu Sekolah Menengah

    Matematik Tambahan Tingkatan 4. Cerdik Publications Sdn. Bhd

    Yang C2dan Jay San (2014), College Matriculation Mathematics (Science). SAP Publications

    Sdn. Bhd.

    Abdul Hadi Yaakub, Ong Beng Sim dan Yong Zulina Zubairi (2011),Mathematics for

    Matriculation Semester 2. Oxford Fajar Sdn. Bhd.

    Chai Mun, Seet Joo Kiong dan Chin Lee Ching (2009),Longman Matriculation Study Guide

    Semester 1, Mathematics. Pearson Malaysia Sdn. Bhd.

    Wong Teck Sing, Moy Wah Goon, Ooi Soo Huat dan Khoo Cheng (2002), Ungu SPM

    Matematik Tambahan. Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.

    Moy Wah Goon, Ooi Soo Huat, Wong Teck Sing dan Jessy Chia (2011),Focus SPM Additional

    Mathematics.Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.

    https://excel.ucf.edu/classes/2009/Spring/appsI/Chapter2.pdfhttp://www.math.umn.edu/~benso700/1271docs/Lecture%2015.pdfhttp://www.math.umn.edu/~benso700/1271docs/Lecture%2015.pdfhttps://excel.ucf.edu/classes/2009/Spring/appsI/Chapter2.pdf
  • 7/21/2019 TUGASAN 2 KESINAMBUNGAN TOPIK-TOPIK MATEMATIK

    34/34

    Cham Juat Eng, Khoo Ee Sin dan The Eng Kiat (2007),Mathematics SPM. Penerbitan Pelangi

    Sdn. Bhd.

    Lee Yoon Who dan Khoo Fang Rou (2002),Mathematics: STPM Strategic Practice. Penerbitan

    Pelangi Sdn. Bhd.