tugasan 2 kesinambungan topik-topik matematik
TRANSCRIPT
-
7/21/2019 TUGASAN 2 KESINAMBUNGAN TOPIK-TOPIK MATEMATIK
1/34
1
SME 6014
PENGAJARAN MATEMATIK
TUGASAN 2
TOPIK-TOPIK DALAM MATEMATIK
AHLI KUMPULAN NOMBOR MATRIK
AW YING JUAN M20132002110
TAN CHEW PENG M20131000648
LOK YIAN LIN M20141000936
LEE HUEY KUAN M20141000970
PENSYARAH :
PROF. DR. MARZITA PUTEH
-
7/21/2019 TUGASAN 2 KESINAMBUNGAN TOPIK-TOPIK MATEMATIK
2/34
2
ISI KANDUNGAN
1. Soalan . 4
2. Had 57
a) Kesinambungan Idea Had dengan graf fungsi ( Geometri)
b) Kesinambungandx
dy(kecerunan perentas dan kecerunan tangen)
dengan graf fungsi (Geometri)
c) Kesinambungan topik Had dengan topik graf fungsi (Geometri)
d) Kesinambungan topik Terbitan Pertama bagi polinomial dengan
menggunakan Prinsip Pertama (Kalkulus) dengan ungkapan algebra
(Algebra) dan graf fungsi (Geometri)
3. Pembezaan .. 816
a) Kesinambungan dalam proses menentukan terbitan pertama
bagi fungsi nkxy (Kalkulus) dengan Polinomial (Algebra)
b) Kesinambungan pembezaan (Kalkulus) dengan terbitan pertama
hasil darab dua polynomial (Algebra). Penggunaan petua hasil
darabdx
duv
dx
dvu
dx
dy dan wujudnya
c) Kesinambungan pembezaan (Kalkulus) dengan terbitan pertama
hasil bahagi dua polynomial (Algebra). Penggunaan petua hasil
bahagi2v
dx
dvu
dx
duv
dx
dy
d) Kesinambungan Kalkulus dengan Trigonometri. Proses menggunakan
petua rantaidx
du
du
dy
dx
dy menentukan terbitan pertama fungsi gubahan
menggunakan petua rantai..
e) Kesinambungan pembezaan (Kalkulus) dengan kecerunan tangen
kepada graf (Geometri)
-
7/21/2019 TUGASAN 2 KESINAMBUNGAN TOPIK-TOPIK MATEMATIK
3/34
3
f) kesinambungan pembezaan (Kalkulus) dengan persamaan tangen
kepada sesuatu lengkung pada suatu titik (Geometri)
g) Kesinambungan pembezaan (Kalkulus) dengan persamaan normal
kepada sesuatu lengkung pada suatu titik (Geometri)
h) Proses menentukan pembezaan tersirat terhadap masa wujudnya
kesinambungan pembezaan (Kalkulus) dengan kadar perubahan
bagi kuantiti yang terhubung
4. Kesinambungan dengan topik yang lain dalam bidang yang lain1721
a) Kesinambungan Matematik ( Kalkulus ) dengan Fizik
b) Kesinambungan Matematik ( Kalkulus ) dengan Biologi
c)
Kesinambungan Matematik ( Kalkulus ) dengan Ekonomi
5. Pengamiran 2228
a) Pengamiran adalah melalui proses mencari songsang kepada pembezaan
Kesinambungan pengamiran (Kalkulus) dengan Algebra
b) Pengamiran adalah melalui proses mencari songsang kepada pembezaan
Kesinambungan pengamiran (Kalkulus) dengan Trigonometri.
c) Pengamiran pemalar (Kesinambungan pengamiran (Kalkulus) dengan Algebra)
d) Pengamiran bagi fungsi yang berbentuk hasil tambah sebutan algebra
Kesinambungan pengamiran (Kalkulus) dengan Algebra.
6. Kesinambungan dengan topik yang lain dalam bidang yang lain.2932
a) Kesinambungan Matematik (Kalkulus) dengan Fizik (Kinematik)
b) Pengamiran sebagai penghasil tambahan: luas dan isipadu
Kesinambungan pengamiran (Kalkulus) dengan Geometri
c)
Kesinambungan Matematik (Kalkulus) dengan Fizik (radioaktif)
d) Kesinambungan Matematik (Kalkulus) dengan Fizik (suhu)
e) Kesinambungan Matematik (Kalkulus) dengan Kimia (Kepekatan)
7. Rujukan.. 3334
-
7/21/2019 TUGASAN 2 KESINAMBUNGAN TOPIK-TOPIK MATEMATIK
4/34
4
Tugasan 2: Topiktopik dalam Matematik
Soalan
Bincangkan topiktopik mengikut bidang yang dipilih.
a)Algebra b)Geometri c)Trigonometri d)Statistik dan kebarangkalian e)Kalkulus
Dari segi
a) Kesinambungan dengan topik yang lain dalam bidang yang sama.
b) Kesinambungan dengan topik yang lain dalam bidang yang lain.
-
7/21/2019 TUGASAN 2 KESINAMBUNGAN TOPIK-TOPIK MATEMATIK
5/34
5
Bidang yang dipilih ialah Kalkulus. Kalkulus merupakan salah satu cabang matematik
yang merangkumi subtopik Had ( limit), Pembezaan (differentiation), Pengamiran
(integration).
Kalkulus merupakan ilmu yang berkaitan dengan perubahan. Kalkulus menpunyai dua
cabang utama iaitu Pembezaan (differentiation) dan pengamiran ( integration) yang saling
berhubungan melalui teorem asas kalkulus.
Penyelidikan Kalkulus telah dijalankan pada awal kurun ke17 . Sir Isaac Newton dan
Gottfried Wilhelm Leibniz telah menjalankan penyelidikan secara berasingan dan telah memberi
sumbangan yang besar dalam kajian tersebut.
Penyelidikan sir Isaac Newton bermula pada tahun 1665. Kalkulus mempunyai aplikasi
yang luas dalam bidangbidang sains dan kalkulus dapat menyelesaikan pelbagai masalah yang
tidak dapat diselesai oleh penggunaan ilmu algebra asas.
1. Topik Had
Had digunakan untuk menerangkan perubahan yang berlaku bagi sesuatu fungsi apabila nilai
pembolehubah tak bersandar bergerak menghampiri suatu nilai tertentu.
a) Kesinambungan Idea Had dengan graf fungsi (Geometri)
Contoh 1:
Berdasarkan contoh diatas, didapati sesuatu graf fungsi boleh dilakarkan dengan menggunakan
had yang diberikan.
x
f (x)
a
L
x
y
x
f (x)
y=f (x) Berdasarkan graf di sebelah, didapati nilai
f(x) semakin dekat L apbila nilai x semakin
mendekati adan ini kita boleh tulis dalam
bentuk
-
7/21/2019 TUGASAN 2 KESINAMBUNGAN TOPIK-TOPIK MATEMATIK
6/34
6
b) Kesinambungandx
dy(kecerunan perentas dan kecerunan tangen) dengan graf fungsi
(Geometri)
Contoh 2:
Merujuk kepada Contoh 2, didapati konsep Had boleh digunakan ketika melakarkan graf fungsi
serta mencari kecerunan tangen bagi sesuatu fungsi.
c) Kesinambungan topik Had dengan topik graf fungsi (Geometri)
Contoh 3:
Cari nilai had bagi4
16lim
2
4
n
n
n
4
44lim
4
n
nn
n
4lim4
nn
44
8
Had dapat menentukan nilai sesuatu fungsi apabila pembolehubahnya menghampiri suatu
nilai tertentu yang mempunyai kesinambungan Had dengan graf fungsi. Dalam proses
menentukan nilai ydapat dijalankan bagi sesuatu fungsi graf apabila nilai nsemakin mendekati
sesuatu nombor. Merujuk kepada Contoh 3 apabila n semakin mendekati 4, nilai y semakin
mendekati 8.
Kecerunan perentas menyambung P dan Q. M
ialah kecerunan
Apabila semakin dekat dengan , ini
bermaksud hsemakin kecil dan .
-
7/21/2019 TUGASAN 2 KESINAMBUNGAN TOPIK-TOPIK MATEMATIK
7/34
7
d) Kesinambungan topik Terbitan Pertama bagi polinomial dengan menggunakan Prinsip
Pertama (Kalkulus) dengan ungkapan algebra (Algebra) dan graf fungsi (Geometri)
Contoh 4:
Cari dx
dy
dengan menggunakan Prinsip
Pertama bagi persamaan 22xy .
h
xfhxf
dx
dy
h
0lim
h
xhx
dx
dy
h
22
0
22lim
h
xhxhx
dx
dy
h
222
0
2242lim
h
hxh
dx
dy
h
4lim
0
hxdx
dy
h
4lim
0
xdx
dy4
Pembezaan dapat dijalankan dengan melalui Prinsip Pertama. Formula umum dapat ditentukan
dengan penggunaan Prinsip Pertama.
-
7/21/2019 TUGASAN 2 KESINAMBUNGAN TOPIK-TOPIK MATEMATIK
8/34
8
2. Topik Pembezaan
a) Kesinambungan dalam proses menentukan terbitan pertama bagi fungsi nkxy
(Kalkulus) dengan Polinomial (Algebra).
Contoh 5:
Bezakan 73 5 x terhadap x .
73 5 xy .........(1)
0)5(3 15 xdx
dy(2)
415x
dx
dy .........(3)
Merujuk kepada Contoh 5, terdapat kesinambungan antara pembezaan (Kalkulus) dengan
Algebra dalam proses mencari terbitan pertama bagi fungsi polinomial.
Proses pembezaan melibatkan algebra(persamaan kuadratik(1)), operasi mendarabdan
menolaksimbolsimbol algebra(2). Hasil pembezaan adalah dalam bentuk algebra(3).
b)Penggunaan petua hasil darabdx
duv
dx
dvu
dx
dy dan wujudnya kesinambungan
pembezaan (Kalkulus) dengan terbitan pertama hasil darab dua polynomial (Algebra)
Contoh 6:
Bezakan 3)43)(1( xx terhadap .x
Biarkan 3431 xxy Biarkan 1 xu Biarkan 3)43( xv
1dx
du )3()43(3
2 x
dx
dv
2439 x
dxduv
dudyu
dxdy
143)43)(9(1 32 xxx 4319)43( 2 xxx
131243 2 xx
-
7/21/2019 TUGASAN 2 KESINAMBUNGAN TOPIK-TOPIK MATEMATIK
9/34
9
c)Penggunaan petua hasil bahagi2
v
dx
dvu
dx
duv
dx
dy
dan wujudnya kesinambungan
pembezaan (Kalkulus) dengan terbitan pertama hasil bahagi dua polynomial (Algebra)
Contoh 7:
Bezakan 3
2
1
12
x
x
terhadap .x
Biarkan 212 xu Biarkan 31 xv
2122 xdx
du 113 2 x
dx
dv
124 x 213 x
2vdx
dvu
dx
duv
dxdy
6
223
1
13121241
x
xxxx
62
1
12314112
x
xxxx
61
12314
x
xx
4
1
2112
x
xx
d)Proses menggunakan petua rantaidx
du
du
dy
dx
dy menentukan terbitan pertama fungsi
gubahan menggunakan petua rantai. Kesinambungan Kalkulus dengan Trigonometri.
Contoh 8:
Bezakan 2sin2 xx terhadap .x
Biarkan xxu sin2 Biarkan 2uy
xdx
ducos2 12u
du
dy
dx
du
du
dy
dx
dy
xu cos22
xxx cos2sin22
-
7/21/2019 TUGASAN 2 KESINAMBUNGAN TOPIK-TOPIK MATEMATIK
10/34
10
e)Kesinambungan pembezaan (Kalkulus) dengan kecerunan tangen kepada graf
(Geometri)
Contoh 9:
Cari kecerunan tangen kepada lengkung 152 3 xxy pada titik di mana 2x
152 3
xxy
56 2 x
dx
dy
Apabila ,2x 5)2(6 2
dx
dy
7y
19dx
dy
Kecerunan tangen pada 7,2 ialah 19
f) kesinambungan pembezaan (Kalkulus) dengan persamaan tangen kepada sesuatu
lengkung pada suatu titik (Geometri)
Contoh 10:
Contoh 6: Cari persamaan tangen pada titik )7,2( di mana 19m
Guna cmxy
c )2(197
31c
Persamaan tangen pada )7,2( ialah 3119 xy
-
7/21/2019 TUGASAN 2 KESINAMBUNGAN TOPIK-TOPIK MATEMATIK
11/34
11
g)Kesinambungan pembezaan (Kalkulus) dengan persamaan normal kepada sesuatu
lengkung pada suatu titik (Geometri)
Contoh 11:
Normal kepada lengkung2
21 xxy
pada titik )5,2(
mempunyai kecerunan 7
1
. Cari
persamaan normal pada titik )5,2( .
cmxy .........................................................................(1)
Pada )5,2( dan7
1m ,.................................................(2)
c )2(7
15 ................................................................(3)
7
37c ..............................................................................(4)
Persamaan normal pada )5,2( ialah7
37
7
1 xy .........(5)
Merujuk kepada Contoh 11, proses mencari persamaannormal kepada sesuatu lengkung pada
suatu titik wujudnya kesinambungan pembezaan (Kalkulus) dengan geometri koordinat
(Geometri).
Proses tersebut melibatkan geometri koordinat(sistem koordinat pada satah Cartesan(2))
dan hasilnya adalah dalam bentuk eksplisit persamaan garis lurus berdasarkan Teorem
Pithagoras dalam geometri koordinat(5).
-
7/21/2019 TUGASAN 2 KESINAMBUNGAN TOPIK-TOPIK MATEMATIK
12/34
12
h) Topik titik pusingan (Kalkulus)ada kesinambungan dengan topic graf fungsi (Geometri)
dan polinomia (Algebra)
Contoh 12:
Cari koordinat titik pusingan pada lengkung
642 2
xxy .
44 xdx
dy
0dx
dy, untuk titik pusingan
440 x
1x
1x , 61412 2 y
4y
Titik pusingan ialah 4,1
Dalam pembezaan, titik pegun juga disebut sebagai titik pusingan dan dapat dicari dengan
menggunakan kaedah pembezaan. Titik pusingan dinyatakan dalam bentuk koordinat. Dalam
Contoh 12, koordinat titik pusingan pada lengkung yang adalah (1,4) yang mempunyai perkaitan
dengan bidang geometri.
-
7/21/2019 TUGASAN 2 KESINAMBUNGAN TOPIK-TOPIK MATEMATIK
13/34
13
i) Topic titik maksimum dan titik minimum (Kalkulus)ada kesinambungan dengan topic
graf fungsi (Geometri)
Contoh 13:
Titik maksimun dan titik minimum mempunyai kesinambungan dengan graf fungsi dan lakaran
graf. Penentuan titik maksimum dan titik minimum dalam kaedah pembezaan dapat menentukan
lakaran graf. Dalam Contoh 13, koordinat titik pusingan maksimum dan minimum bagi lengkung
ditentukan dengan kaedah pembezaan. Titik koordinat yang dicari itu akan menentukan sama ada
titik tersebut adalah positif atau negative. Penentuan positif dan negative memerlukan kemahiran
asas dalam bidang Algebra. Selepas menentukan tanda-tanda positif dan negatif, pelajar perlu
Cari koordinat titik pusingan maksimum dan minimum bagi lengkung
Langkah 1:
Langkah 2: Untuk titik pusingan
Titik pusingan ialah (1,6) dan (3.2)
x 0.5 1 1.5 2.5 3 3.5
3.75 0 -2.25 -2.25 0 3.75
Tanda + 0 0 +
Lakaran
Tangent
Lakaran
Graf
-
7/21/2019 TUGASAN 2 KESINAMBUNGAN TOPIK-TOPIK MATEMATIK
14/34
14
menggunakan kemahiran lakaran graf untuk melakarkan tangent dan akhirnya berdasarkan
lakaran tangent untuk melakaran graf untuk menentukan titik (1,6) ialah titik maksimum dan
titik (3,2) ialah titik minimum. Kemahiran melihat lengkungan graf adalah sangat penting bagi
tajuk ini.
j) Topik titik maksimum dan titik minimum (Kalkulus)ada kesinambungan dengan topic
perimeter (Geometri) dan persamaan non linear (algebra)
Contoh 14:
Sebuah padang yang berbentuk segiempat tepat dengan luas perlu dipagar. Padang itu mempunyai
pangjangxm dan lebarym.
(a) Tunjukkan bahawa perimeternyapm diberi oleh
(b) Cari panjang minimum pagar yang diperlukan untuk memagari padang itu.(a)
Perimeter,
(tertunjuk)
Maka panjang minimum pagar yang diperlukan ialah 200 m.
(b) Untuk nilai minimum p,
Oleh sebab , makax=50
-
7/21/2019 TUGASAN 2 KESINAMBUNGAN TOPIK-TOPIK MATEMATIK
15/34
15
Dalam pembezaan adalah proses menyelesaikan masalah yang melibatkan nilai maksimum atau
nilai minimum yang mempunyai kesinambungan Kalkulus dengan Geometri dan algebra Untuk
menyelesaikan masalah ini, bahagian 4(a) melibatkan kemahiran persamaan non linear yang
terkandung dalam bidang algebra dimana langkah ungkapkan y dalam sebutan x dan gantikan y
dalam persamaan bagi perimeter. Selepas itu, bahagian (b) menggunakan kemahiran pembezaan
dalam kalkulus yang melibatkan nilai minimum untuk mendapatkan panjang minimum pagar
yang merupakan peengetahuan di dalam bidang geometri.
k) Topik terbitan kedua (Kalkulus) mempunyai kesinambungan dengan topik luas
permukaan (Geometri)
Contoh 15:
Rajah di bawah menunjukkan sebuah kotak tertutup yang terbentuk kuboid dengan isi padu 72 . Ukuran kotak itu
ialahxcm, 2xdan hcm.
(a) Tunjukkan bahawa luas permukaan luar kotak itu, L , diberi oleh .
(b) Cari nilai x apabila dan tentukan sama ada nilai itu menjadikan L maksimum atau minimum.
(a) Isipadu =72
luas permukaan luar kotak,
2xcmxcm
hcm
-
7/21/2019 TUGASAN 2 KESINAMBUNGAN TOPIK-TOPIK MATEMATIK
16/34
16
Pembezaan dapat menentukan terbitan kedua bagi fungsi y=f(x) yang mempunyai
kesinambungan Kalkulus dengan Geometri. Dengan menggunakan terbitan kedua, sesuatu titik
pusingan bagi satu lengkung dapat ditentukan sama ada maksimum atau minimum. Dalam
Contoh 15 bahagian (a), persamaan kuadratik digunakan untuk menunjukkan luas permukaan
kotak (Geometri). Manakala dalam bahagian (b), nilai x ditentukan dengan menggunakan kaedah
pembezaan. Selepas itu,kaedah terbitan kedua digunakan untuk menentukan nilai x ini adalah
menjadiakan luas permukaan luar kotak ini adalah minimum (Geometri).
(b)
Apabila ,
-
7/21/2019 TUGASAN 2 KESINAMBUNGAN TOPIK-TOPIK MATEMATIK
17/34
17
l) Proses menentukan pembezaan tersirat terhadap masa wujudnya kesinambungan
pembezaan (Kalkulus) dengan kadar perubahan bagi kuantiti yang terhubung.
Contoh 16:
Rajah menunjukkan sebuah bekas berbentuk kon dengan jejari cm8 dan tinggi
cm20 . Air dituang ke dalam bekas itu dengan kadar 1315 scm . Cari kadar
perubahan tinggi air dalam bekas apabila tinggi paras air ialah cm10 .
142.3Guna
Biarkan isi padu air
r jejari permukaan air
h tinggi paras air
20
8
h
r
2
25
4
hdh
dV
hr5
2 .1015 13 cmhapabilascm
dt
dV
hrV 2
3
1
dt
dh
dh
dV
dt
dV
2
5
2
3
1
hhV
dt
dh
2
1025
415
3
75
4hV
16
15
dtdh
130.0
scm
Paras air meningkat dengan kadar 130.0 scm .
-
7/21/2019 TUGASAN 2 KESINAMBUNGAN TOPIK-TOPIK MATEMATIK
18/34
18
b) Kesinambungan dengan topik yang lain dalam bidang yang lain.
a) Kesinambungan Matematik ( Kalkulus ) dengan Fizik
Contoh 17:
Diberi kedudukan sesuatu objek dalam persamaan
dimana dalam saat dan dalam meter.
a) Apakah kelajuan pada masa ?
b) Apakah kelajuan objek tersebut selepas 4 saat?
c) Bilakah objek akan berada dalam keadaan pegun?
Penyelesaian:
Berdasarkan Contoh 17, kita dapati bahawa ilmu kalkulus (pembezaan) diperlukan dalam bidang
Fizik untuk membantu kita mengira kelajuan sesuatu objek bergerak dan masa objek tersebut
berhenti.
a)
Pembezaan ( Kalkulus )
b)
biar
c)
biar
Penyelesaian persamaan
kuadratik
-
7/21/2019 TUGASAN 2 KESINAMBUNGAN TOPIK-TOPIK MATEMATIK
19/34
19
b) Kesinambungan Matematik ( Kalkulus ) dengan Biologi
Contoh 18:
Seandainya populasi sesuatu bakteria berganda pada setiap satu jam. Dengan menganggap
sebagai populasi pertama, iaitu . Secara umumnya,
Maka kadar pertumbuhan sesuatu populasi pada masa adalah seperti berikut:
Untuk populasi yang besar, kita boleh menganggarkan fungsi populasi tersebut dengan
menggunakan smooth (continuous) curve.
Contoh 19:Kesinambungan Matematik ( Kalkulus ) dengan Ekonomi
Diberi mewakili bilangan unit yang dikeluarkan oleh sesebuah syarikat, dan mewakili
kos yang diperlukan untuk mengeluarkan unit sesuatu barang. Kita memperoleh kos marginal
bagi barang tersebut dengan melakukan operasi pembezaan kali pertama ke atas .
Dan sekiranya syarikat tersebut dijangka untuk mengeluarkan unit barang, mereka dapat
membuat anggaran keuntungannya, iaitu dengan berdasarkan fungsi bilangan unit yang
dikeluarkan. Pengeluar memperoleh pendapatan marginal dengan melakukan operasi pembezaan
kali pertama ke atas .
Apabila unit barang telah dijual, keuntungan yang diterima adalah seperti berikut:
Dengan melakukan operasi pembezaan pertama ke atas persamaan di atas, pihak syarikat dapat
mengira keuntungannya:
Pembezaan ( Kalkulus )
-
7/21/2019 TUGASAN 2 KESINAMBUNGAN TOPIK-TOPIK MATEMATIK
20/34
20
c) Kesinambungan Matematik ( Kalkulus ) dengan Kimia ( Kimia Kinetik)
Contoh 20:
a) Sekiranya oksigen wujud dalam sesuatu tindak balas seperti berikut,
apakah kadar kelenyapan ozon?
b) Sekiranya kadar kewujudan adalah , pada kadar apakah akan
lenyap dalam masa yang sama,
Penyelesaian:
Kimia kinetik merupakan satu cabang Kimia yang membincangkan tentang kadar perubahan
dalam kepekatan sesuatu reactantsdalam tindak balas kimia. Ahli Kimia memerlukan
kemahiran dalam pembezaan apabila menganalisis sesuatu kadar tindak balas tersebut.
a) Kadar =
b)
-
7/21/2019 TUGASAN 2 KESINAMBUNGAN TOPIK-TOPIK MATEMATIK
21/34
21
3. Pengamiran
Perkembangan ilmu pengamiran(integration) dimulakan dengan ilmu pembezaan
(differentiation). Penghasilan ilmu pengamiranadalah melalui proses mencari songsang
kepada pembezaan.
Contoh 21: Pengamiran adalah melalui proses mencari songsang kepada pembezaan
Kesinambungan pengamiran (Kalkulus) dengan Algebra.
Diberi 24xy , caridx
dy. Seterusnya , cari xdx8 .
24xy (1)
1-242 x
dx
dy (2)
xdx
dy8 (3)
Maka, xdxdxdxdy
8 ...(4)
2
8 11
x
y (5)
24xy +c ...(6)
Hasil penentuan kamiran
cn
axdxax
n
n
1
1, nialah integer, 1n
Pengamiran adalah proses mencari songsang kepada pembezaan. Pemahaman dalam idea
songsang kepada pembezaan merupakan tunjang kepada pemahaman konsep pengamiran dalam
ilmu kalkulus. Dalam pengamiran, ia melibatkan pengetahuan algebra (persamaan
kuadratik(1)). Dalam proses pengamiran, ia juga melibatkan operasi mendarabdan menolak
simbol simbol algebra (2). Hasil pengamiran (5)(6) adalah dalam bentuk algebra. Hasil
procedur pengamiran terbentuk daripada idea songsang kepada pembezaan adalah bentuk
algebra.
-
7/21/2019 TUGASAN 2 KESINAMBUNGAN TOPIK-TOPIK MATEMATIK
22/34
22
Contoh 22: Pengamiran adalah melalui proses mencari songsang kepada pembezaan
Kesinambungan pengamiran (Kalkulus) dengan Trigonometri.
Diberi siny , caridx
dy. Seterusnya , cari
dxcos8 .
siny
cosdx
dy hasil daripada terbitan pertama
cossin dx
d
Maka, dxdxdx
d
cos8sin
dxdxdx
d
cos8sin
dxc cos8sin
cdx sin8
1cos
Diberi tany , caridx
dy. Seterusnya , cari
dx2
sec8 .
tany
2
secdx
dy hasil daripada terbitan pertama
2sectan dx
d
Maka, dxdx
ddx tansec8
2
dxdx
ddx tansec8
2
cdx tansec8 2
cdx tan8
1sec
2
Ilmu Ungkapan Algebra 1(T1B7), Ungkapan Algebra II 2(T2B3), Persamaan Linear 3(T2B4),
Indeks 4(T3B5), Ungkapan Algebra III 5(T3B6), Rumus Algebra 6(T3B7), Ungkapan dan
persamaan Kuadratik 7(T4B2) telah menjadi asas kepada perkembangan ilmu pengamiran.
Konsepkonsep asas Algebra merupakan tapak asas atau alat bantu untuk memahami konsep
pemgamiran. Proses pengamiran dapat difahami dengan mudah sekiranya asas konsep algebra
adalah kukuh.
Dengan adanya ilmu proses mencari songsang pembezaan.
Formula umum pengamiran untuk situasi pengamiran pemalar dapat ditentukan.
-
7/21/2019 TUGASAN 2 KESINAMBUNGAN TOPIK-TOPIK MATEMATIK
23/34
23
Contoh 23: Pengamiran pemalar (Kesinambungan pengamiran (Kalkulus) dengan
Algebra)
Kamirkan 9 terhadapx.
dxxdx 099
cx
dxx
1
99
10
0
Pengamiran sesuatu pemalar kterhadapx
dxkxkdx 0
ckxdxkx 0
Ilmu Nombor Bulat 8(T1B1), Urutan dan Pola Nombor 9(T1B2), Pecahan 10(T1B3), Perpuluhan
11(T1B4), Integer 12(T1B6), Nombor Berarah 13(T2B1), Bentuk Piawai 14(T4B1) dan Nombor
Asas 15(T5B1).
Konsepkonsep asas terhadap nombor atau pemalar harus kukuh. Kefahaman terhadap pemalar
amat penting dalam bahagian pengamiran pemalar. Dengan adanya kefahaman tentang nombor
atau pemalar. Proses pengamiran nombor atau pemalar dapat dilakukan dengan baik. Berikut
adalah contoh kesalahan yang berlaku sekiranya asas kefahaman terhadap nombor atau pemalar
tidak kukuh.
Contoh 24: Kefahaman terhadap nombor atau pemalar yang tidak kukuh.
ce
dxe
x
x 2
2
2 pengamiran indek ce
dxe 3
32 miskonsepsi telah berlaku.
cxedxe 22
penyelesaian yang betul.
Contoh 25: Pengamiran bagi fungsi yang berbentuk hasil tambah sebutan algebra
Kesinambungan pengamiran (Kalkulus) dengan Algebra.
a) dxxx 324
dxxdxx 324
cxx
4
3
3
b) dxx
xx
3
43
dxxdxx
22 43
cx
x 43
c)
dxx
xx
2
44
dxxx
2
2
16
dxxdx 2161
cx
x 16
-
7/21/2019 TUGASAN 2 KESINAMBUNGAN TOPIK-TOPIK MATEMATIK
24/34
24
Contoh 26: Pengamiran sebagai penghasil tambahan: luas dan isipadu
Kesinambungan pengamiran (Kalkulus) dengan Geometri.
Contoh berkenaan luas
Cari luas rantau yang dibatasi oleh lengkungan
1682
xxy , paksix, garis 1x dan
6x .
Penyelesaiaan:
Apabila 0y
01682
xx
04 2 x
4x
Lengkung 1682 xxy menyentuh paksi
x pada 4x .
Luas rantau berlorek=21
LL
dxxxdxxx 168168
6
4
2
4
1
2
dxxx 168
6
1
2
6
1
2
3
1643
xx
x
2
3
211 unit
Contoh berkenaan isipadu
Cari isipadu yang dijanakan apabila rantau
berlorek yang dibatasi oleh lengkung
12 xy , garis 0x dan 2x dikisarkan
melalui 360 pada paksix.
Penyelesaian:
Isipadu janaan:
dxy2
0
2
dxx 2
0
221
dxxx 2
0
2412
dxxx 2
0
24 12
2
0
35
3
2
5
x
xx
3
15
11
13 unit
Ilmu Perimeter dan Luar16(T1B11), Garis Lurus17(T4B5), Kecerunan Di Bawah Graf18(T5B6),
Fungsi Kuadratik19 (MTT4B3) dan Geometri Koordinate20 (MTT4B6).
-
7/21/2019 TUGASAN 2 KESINAMBUNGAN TOPIK-TOPIK MATEMATIK
25/34
25
Konsepkonsep asas terhadap luas dan isipadu harus kukuh. Kefahaman terhadap idea luas dan
isipadu perlu jelas. Dengan adanya kefahaman tentang luas dan isipadu. Proses mencari luas dan
isipadu dengan menggunakan pengamiran dapat dilakukan dengan baik. Teknik melukis dan
melakar graf seperti garis lurus, graf kuadratik dan mencari titik bertembung antara graf juga
merupakan asas yang penting dalam mencari atau penyelesaian soalan luas dan isipadu dengan
menggunakan pengamiran. Ketiadaan teknik melukis dan melakar graf, luas dan isipadu sesuatu
soalan tidak dapat dicari walaupun seseorang itu dapat mangamir dengan baik.
Contoh 27: Peranan pengamiran dalam taburan kebarangkalian.
Kesinambungan pengamiran (Kalkulus) dengan Statistik dan Kebarangkalian.
Dalam taburan kebarangkalian21
(MTT5B8), formula dxe
t x
2
2
1
2
1
digunakan untuk
menghasilkan jadual buku statistik untuk penggunaan penyelesaian soalan yang berkaitan dengan
pemboleh ubah rawak selanjar dan taburan normal, taburan normal piawai, kebarangkalian
sesuatu peristiwa dalam taburan normal piawai. Pengetahuan asas jumlah kebarangkalian untuk
satu jenis taburan normal adalah 12
1
2
2
1
-
dxedxxf
x
.
Secara keselurahan penggunaan pengamiran amat luas dan berfaedah dalam bidang matematik.
Ilmu pengamiran memang mempunyai kesinambungan dan perkaitan dengan cabang lain pada
tahap sekolah menengah seperti algebra (Contoh 1,3,4 dan 5), Trigonometri ( Contoh 2),
Geometri ( Contoh 6) dan Statistik dan Kebarangkalian ( Contoh 7).
-
7/21/2019 TUGASAN 2 KESINAMBUNGAN TOPIK-TOPIK MATEMATIK
26/34
26
Contoh : Jadual buku statistik.
-
7/21/2019 TUGASAN 2 KESINAMBUNGAN TOPIK-TOPIK MATEMATIK
27/34
27
-
7/21/2019 TUGASAN 2 KESINAMBUNGAN TOPIK-TOPIK MATEMATIK
28/34
-
7/21/2019 TUGASAN 2 KESINAMBUNGAN TOPIK-TOPIK MATEMATIK
29/34
29
b)t
t
e
ev
2
2
2
2
t
t
e
e
dt
ds
2
2
2
2
pembezaan (Kalkulus)
dt
e
eds
t
t
2
2
2
21 pengamiran (Kalkulus)
t
eu 2
2
Kaedah penggantian
dtedu t22
duu
s 1
pengamiran (Kalkulus)
cus ln
ces t
2
2ln
0,2,0 svt
ce )0(22ln0
0c
t
es 22ln
Dengan adanya Contoh 28 Kinematik dalam bidang fizik. Ilmu pengamiran diperlukan untuk
mencari persamaan untuk halaju, vdan persamaan sesaran,s. Ini menunjukkan pengamiran
(Kalkulus) mempunyai kesinambungan dengan bidang fizik. Tanpa pengetahuan pengamiran
(Kalkulus), masalah kinematik tidak dapat diselesai.
Contoh 29: Kesinambungan Matematik (Kalkulus) dengan Biologi (populasi)
Model Populasi
AndaianP(t)mewakili saiz populasi pada bilabila masa tdan pertambahan saiz populasi
tersebut pada masa tboleh dimodel dengan persamaan pembezaan )(005.0)(
tPdt
tdP dengan
nilai awal 1500)0( P . Tentukan saiz populasi ini selepas 10 tahun.
Penyelesaian:
tP
dt
tdP005.0
1500)0( P
10t ?)10( P
dtdPP1005.0
1
ctP 005.0ln
tAeP 005.0
tAeP 005.0
1500)0( P
)0(005.01500 Ae
1500A
teP
005.01500
10t ?)10( P
10005.01500eP
15779.1576 P
-
7/21/2019 TUGASAN 2 KESINAMBUNGAN TOPIK-TOPIK MATEMATIK
30/34
30
Dengan adanya contoh 9 Model populasi. Ilmu pengamiran diperlukan untuk mencari dan
membuat ramalan untuk masa depan.Ini menunjukkan pengamiran (Kalkulus) mempunyai
kesinambungan dengan bidang biologi. Pengetahuan Kalkulus dapat diaplikasikan dan memberi
manfaat kepada kita sebagai rujukkan masa depan.
Contoh 30: Kesinambungan Matematik (Kalkulus) dengan Fizik (suhu)
Hukum penyejukan Newton
Menurut hukum penyejukan Newton, kadar perubahan suhu satu objek berkadar terhadap
perbezaan dalam suhu antara objek dan suhu sekeliling,M. Hukum berkenaan diberi oleh
persamaan pembezaan MTkdt
dT dengan tT adalah suhu objek pada masa tdan k
adalah pemalar.
a) Ungkapkan Tdalam sebutan masa t.
b) Satu mangkuk sup dikeluarkan daripada ketuhar dengan suhu C60 . Apakah suhu selepas 5
minit jika 04.0k dengan anggapan suhu persekitaran adalah C9.26 .
Penyelesaian:
a) MTkdt
dT
dtkdT
MT1
1
cktMT ln
kteAMT
MeAT kt
CMkCTt 9.26,04.0,60,0
9.2660 )0( keA
9.2660A
CA 1.33
9.261.33 04.0 teT
b) CMkCTt 9.26,04.0,?,5
9.261.33 )5(04.0 eT
CT 54
Dengan adanya Contoh 30 Hukum penyejukan Newton. Ilmu pengamiran diperlukan untukmencari dan membuat ramalan terhadap suhu sesuatu objek yang hendak dikaji .Ini
menunjukkan pengamiran (Kalkulus) mempunyai kesinambungan dengan bidang Fizik. Selain
contoh yang dinyatakan. Hukum penyejukan Newton juga boleh diaplikasikan dalam bidang
Forensik dalam menbuat jangkaan waktu kejadian mangsa dibunuh. Pengetahuan Kalkulus amat
diperlukan dalam menyelesaikan masalah harian.
-
7/21/2019 TUGASAN 2 KESINAMBUNGAN TOPIK-TOPIK MATEMATIK
31/34
31
Contoh 31: Kesinambungan Matematik (Kalkulus) dengan Fizik (radioaktif)
Suatu bahan radioaktif dengan jisimNgram menyusut pada kadar kNdt
dN , dengan kadalah
pemalar. Pada awalnya amaun bahan ialah 80gram. Selepas 100 tahun ia menyusut kepada
20gram.
a) UngkapkanNdalam sebutan masa t.
b) Kirakan amaun bahan yang tinggal selepas 120 tahun.
Penyelesaian:
a) kNdt
dN
dtkdNN
11
cktN ln
ktAeN
80,0 Nt
80A
kteN
80
b) 20,100 Nt
ke
1008020
100
4
1ln
k
t
eN 1004
1ln
80
??,120 Nt
120100
4
1ln
80eN
gN 157.15
Ilmu Kalkulus juga dapat digunakan dalam bidang Fizik dalam membuat anggaran baki jisim
bahan radioaktif selepas suatu masa yang ditetapkan. Ilmu ini amat berguna kepada para saintis
dalam proses pelaksanaan kajian dan sebagainya.
-
7/21/2019 TUGASAN 2 KESINAMBUNGAN TOPIK-TOPIK MATEMATIK
32/34
32
Contoh 32: Kesinambungan Matematik (Kalkulus) dengan Kimia (Kepekatan)
Suatu model untuk kepekatan glukos dalam aliran darah, tCC , diberikan oleh persamaan
pembezaan kCrdt
dC , dengan radalah kadar malar kepekatan larutan glukos ketika
memasuki aliran darah dan kialah suatu pemalar positif. Jika 0
0 CC , tunjukkan kepekatan
pada sebarang masa tialah k
re
k
rCtC
kt
0. Selepas suatu jangka masa yang sangat lama,
didapati kepekatan glukos adalah 1 unit. Jika 90 C , apakah kepekatan glukos pada
kt
2 ?
Penyelesaian:
kCr
dt
dC
dtdC
kCr1
1
ctk
kCr
ln
cktkCr ln
ktAekCr
00 CC
0kCrA
ktekCrkCr 0
kte
k
kC
k
r
k
rC
0
kte
k
rC
k
rC
0
t 1C
ek
rC
k
r01
k
r1
90 C
kt
2
kk
eC
2
191
281
eC
Ilmu Kalkulus juga dapat digunakan dalam pengiraan kepekatan sesuatu bahan dalam suatu
cecair yang hendak dijadikan bahan kajian. Ia dapat bantu dalam proses menentukan kepekatan
sesuatu cecair.
-
7/21/2019 TUGASAN 2 KESINAMBUNGAN TOPIK-TOPIK MATEMATIK
33/34
33
RUJUKAN
Abd Wahid. et al (2000).Kalkulus. Jabatan Matematik Falkulti Sains Universiti Teknologi
Malaysia:Comtech Marketing Sdn. Bhd
Chee Jun Wie (2001).Bad 3 Penggunaan Pembezaan.Diperoleh pada April 5, 2015 daripada
http://www.oocities.org/enotebvp/bab3/bab_3_penggunaan_pembezaan.htm
Christian Clausen III (2009).Applications of Calculus I.Diperoleh pada April 5, 2015 daripada
https://excel.ucf.edu/classes/2009/Spring/appsI/Chapter2.pdf
Joe Benson (2010).Derivative Applications and Related Rates.Diperoleh pada April 5, 2015
daripadahttp://www.math.umn.edu/~benso700/1271docs/Lecture%2015.pdf
Lim Swee Hock (2006).Mathematics SPM. Penerbit Fajar Bakti Sdn. Bhd.
Marshizawati (2012). Teaching Mathematics in Form Six.Diperoleh pada April 3, 2015 daripada
http://www.slideshare.net/marshiza/nota-matematik
Zaini, Abdul Rahim dan Tee Hock Tian (2011),Kurukulum Bersepadu Sekolah Menengah
Matematik Tambahan Tingkatan 4. Cerdik Publications Sdn. Bhd
Yang C2dan Jay San (2014), College Matriculation Mathematics (Science). SAP Publications
Sdn. Bhd.
Abdul Hadi Yaakub, Ong Beng Sim dan Yong Zulina Zubairi (2011),Mathematics for
Matriculation Semester 2. Oxford Fajar Sdn. Bhd.
Chai Mun, Seet Joo Kiong dan Chin Lee Ching (2009),Longman Matriculation Study Guide
Semester 1, Mathematics. Pearson Malaysia Sdn. Bhd.
Wong Teck Sing, Moy Wah Goon, Ooi Soo Huat dan Khoo Cheng (2002), Ungu SPM
Matematik Tambahan. Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
Moy Wah Goon, Ooi Soo Huat, Wong Teck Sing dan Jessy Chia (2011),Focus SPM Additional
Mathematics.Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
https://excel.ucf.edu/classes/2009/Spring/appsI/Chapter2.pdfhttp://www.math.umn.edu/~benso700/1271docs/Lecture%2015.pdfhttp://www.math.umn.edu/~benso700/1271docs/Lecture%2015.pdfhttps://excel.ucf.edu/classes/2009/Spring/appsI/Chapter2.pdf -
7/21/2019 TUGASAN 2 KESINAMBUNGAN TOPIK-TOPIK MATEMATIK
34/34
Cham Juat Eng, Khoo Ee Sin dan The Eng Kiat (2007),Mathematics SPM. Penerbitan Pelangi
Sdn. Bhd.
Lee Yoon Who dan Khoo Fang Rou (2002),Mathematics: STPM Strategic Practice. Penerbitan
Pelangi Sdn. Bhd.