BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Masalah

Matematika merupakan ilmu yang sangat berguna dalam kehidupan

sehari-hari. Matematika merupakan ratu dan pelayan ilmu yang sangat berguna

dan berkaitan dalam mempelajari ilmu lainnya. Karena itu, matematika menjadi

salah satu mata pelajaran yang menjadi dasar dan fokus dalam dunia pendidikan.

Matematika secara umum disebut sebagai penelitian pola dari struktur,

perubahan, dan ruang atau penelitian bilangan dan angka. Pada permulaannya

cabang-cabang matematika yang ditemukan adalah Aritmatika atau Berhitung,

Aljabar dan Geometri. Setelah itu ditemukan Kalkulus yang berfungsi sebagai

tonggak penopang terbentuknya cabang matematika baru yang lebih kompleks,

antara lain Statistika, Topologi, Aljabar (Linear, Abstrak, Himpunan), Geometri

(Sistem Geometri, Geometri Linear), Analisis vektor dan lain-lain. Masih banyak

lagi definisi-definisi tentang matematika, tetapi tidak satupun perumusan yang

dapat diterima umum, atau sekurang-kurangnya dapat diterima dari berbagai sudut

pandang.

Materi matematika bersifat abstrak dan memerlukan daya berpikir yang

baik dalam mempelajarinya. Namun, meskipun materi matematika bersifat

abstrak, konsep matematika dapat ditafsirkan ke dalam kehidupan nyata. Konsep

matematika merupakan konsep yang berasal dari daya berpikir manusia yang

dapat menjelaskan berbagai fenomena yang terjadi dalam kehidupan. Materi

matematika di sekolah dasar biasanya diajarkan bertahap mulai dari materi atau

konsep yang masih bersifat sederhana sampai konsep yang bersifat kompleks.

Salah satu materi matematika yang esensial yang diberikan di sekolah adalah

“transformasi”.

Materi transformasi merupakan materi yang dipelajari siswa mulai jenjang

sekolah menengah dan bahkan sampai perguruan tinggi. Materi ini merupakan

materi yang dapat ditafsirkan ke dalam kehidupan nyata. Materi ini sangat penting

untuk dipelajari siswa karena merupakan materi yang bersifat luas dan dapat

berkembang. Karena pentingnya materi ini, pada makalah ini akan dibahas

mengenai “transformasi” mulai dari pengertian sampai jenis-jenis transformasi.

BAB II

PEMBAHASAN

TRANSFORMASI

2.1 Transformasi Bangun Datar

1. Pengertian Transformasi

Transformasi adalah aturan secara geometris yang dapat menunjukkan

bagaimana suatu bangun dapat berubah kedudukan dan ukurannya

berdasarkan rumus tertentu. Secara umum transformasi dibedakan

menjadi dua yaitu transformasi isometri dan dilatasi.

Transformasi isometri adalah transformasi yang tidak mengubah ukuran,

misalnya pergesaran, pencerminan, dan pemutaran, sedangkan dilatasi

adalah transfomasi yang mengubah ukuran benda.

2. Jenis – jenis Transformasi

1. Pergeseran atau Translasi

Translasi secara sederhana dapat diartikan pergeseran. Sebelum menjelaskan

materi ini pada siswa, dapat dilakukan pembukaan pembelajaran dengan

mengkaitkan materi ini pada kehidupan sehari-hari terlebih dahulu. Misalnya guru

dapat menyuruh siswa untuk menggeser benda-benda yang ada di atas meja

mereka seperti: pensil, pulpen, kotak pensil, dll. Kemudian ajak siswa untuk

mengamati pergeseran tersebut, apa yang terjadi, biarkan siswa menganalisa

sendiri.

Setelah itu, berikan contoh atau ilustrasi dengan bangun geometri untuk

mengkaitkan pemahaman sementara yang diperoleh siswa dan siswa dapat

menterjemahkannya ke dalam materi matematika. Contohnya disajikan sebagai

berikut.

1

C

A’

B’

C’

(a)A

B

(b)

Gambar 1

Bangun segitiga ABC pada Gambar 1-a digeser menjadi bangun geometri

segitiga A’B’C’ pada Gambar-1b. Setiap titik pada daerah segitiga ABC digeser

dalam jarak dan arah tertentu menjadi segitiga A’B’C’, atau

A A’

B B’

C C’,

demikian seterusnya, sehingga AA’= BB’= CC’. Transformasi yang berciri

demikian dinamakan sebagai pergeseran atau translasi.

Berdasarkan Gambar-1 di atas tampak bahwa bangun geometri segitiga

ABC ditranslasikan sehingga diperoleh bangun bayangan segitiga A’B’C’. Dalam

operasi translasi itu terjadi titik-titik berikut:

A A’, ditentukan oleh ruas garis berarah AA’

B B’, ditentukan oleh ruas garis berarah BB’

C C’, ditentukan oleh ruas garis berarah CC’

dengan AA’ = BB’ = CC’.

Perhatikan pula bahwa dalam operasi translasi ini, segitiga A’B’C’ kongruen

dengan segitiga ABC. Berdasarkan uraian di atas dapat disimpulkan dua hal

berikut.

Pergeseran atau translasi dalah suatu transformasi yang memetakan tiap titik pada

bidang dengan jarak dan arah tertentu. Jarak dan arah tertentu itu dapat diwakili

2

1. Translasi ialah perpindahan atau pergeseran titik atau bangun geometri dalam jarak dan arah yang sama. Jarak dan arah yang sama itu ditentukan oleh suatu ruas garis berarah.

2. Di dalam operasi translasi, bangun geometri bayangan kongruen terhadap bangun geometri semula.

oleh ruas garis berarah (misalnya A⃗B ) atau oleh suatu pasangan bilangan terurut

(a ¿ )¿¿

¿¿. Hubungan antara titik dan bayangannya adalah:

T=¿ (a ¿ ) ¿¿

¿¿

Jika A '( x ', y ' ), secara aljabar dapat dituliskan hubungan seperti berikut.

x '=x+ay '= y+b

Titik A ' ' disebut bayangan titik A oleh translasi T=¿ (a ¿ ) ¿

¿¿¿

.

Dari gambar terlihat bahwa translasi AA ' memetakan titik A ke titik A ' .

Contoh Translasi

Tentukan bayangan titik A (3,1 ) , B (−2,5 ) ,C (−4 ,−3 ) jika ditransformasikan oleh

translasi T yang dinyatakan oleh pasangan bilangan terurut

(3 ¿ ) ¿¿

¿¿.

Penyelesaian

Untuk titik A (3,1 )

T=¿ (3 ¿ ) ¿¿

¿¿

Untuk titik B (−2,5 )

T=¿ (3 ¿ ) ¿¿

¿¿

Untuk titik C (−4 ,−3 )

T=¿ (3 ¿ ) ¿¿

¿¿

3

0

A’(x’, y’)

A(x, y)

b

a

X

Y

2. Refleksi (Pencerminan)

Refleksi atau pencerminan dari suatu bangun geometri adalah proses

mencerminkan setiap titik pada bangun

geometri itu terhadap sebuah garis

tertentu. Garis tertentu itu dinamakan

sebagai sumbu cermin atau sumbu

simetri.

Untuk mengetahui sifat-sifat yang

berlaku pada transformasi refleksi,

perhatikanlah gambar berikut! Pada

gambar, bangun segiempat ABCD

dicerminkan terhadp garis m (garis m

bertindak sebagai sumbu cermin) sehingga

diperoleh bayangan bangun segiempat A’B’C’D’.

Sekarang jiplaklah gambar di atas pada kertas berpetak, kemudian lipatlah

kertas itu mengikuti sumbu simetri. Ternyata bahwa bangun segiempat A’B’C’D’

(bangun bayangan) tepat berhimpit dengan bangun segiempat ABCD (bangun

semula). Hal ini menunjukkan bahwa segimpat A’B’C’D’ kongruen dengan

segiempat ABCD. Dapat disimpulkan bahwa pada transformasi refleksi berlaku

sifat umum sebagai berikut:

Jika sebuah bangun geometri dicerminkan terhadap sebuah garis tertentu, maka bangun bayangan kongruen dengan bangun semula.

Telah disebutkan bahwa proses pelipatan di atas mengakibatkan segiempat

A’B’C’D’ tepat berhimpit dengan segiempat ABCD atau A’ berhimpit dengan A,

B’ berhimpit dengan B, C’ berhimpit dengan C, dan D’ berhimpit dengan D

sehingga diperoleh hubungan:

A’P = AP atau jarak titik A’ ke suatu sumbu cermin sama dengan jarak

titik A ke sumbu cermin tersebut,

B’Q = BQ atau jarak titik B’ ke suatu sumbu cermin sama dengan

jarak titik B ke sumbu cermin tersebut,

4

m

P

Q

R

SD’

C’

B’

A’

D

C

B

A

C’Q = CQ atau jarak titik C’ ke suatu sumbu cermin sama dengan

jarak titik C ke sumbu cermin tersebut, dan

D’Q = DQ atau jarak titik D’ ke suatu sumbu cermin sama dengan

jarak titik D ke sumbu cermin tersebut.

Hubungan ini menunjukkan berlakunya sifat yang lain pada

transformasi refleksi, yaitu sebagai berikut:

Pada transformasi refleksi, jarak titik pada bangun bayangan ke sumbu cermin

sama dengan jarak titik pada bangun semula ke sumbu cermin.

Sifat refleksi adalah:

1. Jika sebuah bangun geometri dicerminkan terhadap sebuah garis tertentu,

maka bangun bayangan kongruen dengan bangun semula.

2. Jarak antara titik awal ke sumbu simetri sama dengan jarak titik bayangan ke

sumbu simetri.

3. Garis hubung titik awal dan titik bayangan dengan sumbu simetrinya tegak

lurus.

Cara menentukan titik bayangan:

Tentukan terlebih dahulu sumbu simetri atau sumbu cerminnya.

Dari tiap-tiap titik yang hendak dicerminkan ditarik garis yang tegak lurus

dengan sumbu simetri.

Perhatikan bahwa jarak titik semula terhadap sumbu simetri harus sama

dengan jarak titik bayangan terhadap sumbu simetri.

5

Sumbu simetri(a)

A(x, y)

Sumbu simetri(b)

A(x, y)

Pencerminan terhadap garis atau sumbu dibedakan menjadi tiga macam yaitu:

a. Bayangan Titik

Titik A(x , y) apabila dicerminkan terhadap suatu garis l atau sumbu l akan

menghasilkan bayangan berupa titik A ' (x ' , y ').

b. Bayangan Garis

Hasil pencerminan ruas garis terhadap garis l atau sumbu l akan

menghasilkan bayangan berupa ruas garis.

6

A’(x’, y’)

Sumbu simetri(c)

A(x, y)

t

A’(x’, y’)

A(x, y)

c. Bayangan Bangun

Pencerminan suatu bangun terhadap garis l atau sumbu l dilakukan dengan

mencerminkan titik sudut-titik sudutnya terlebih dahulu. Kemudian titik sudut

hasil pencerminan dihubungkan menjadi bangun yang merupakan hasil

pencerminan.

Sumbu simetri atau sumbu cermin pada refleksi dibedakan menjadi beberapa

macam sebagai berikut :

a) Pencerminan terhadap Sumbu X

Jika titik A(x , y) dicerminkan terhadap sumbu X dan bayangannya

adalah A '(x ' , y ') maka diperoleh pencerminan titik A(x, y) terhadap

7

B’(x2’, y2’)

A’(x1’, y1’)

B(x2, y2)

A(x1, y1)

C’(x3’, y3’)C(x3, y3)

B’(x2’, y2’)

A’(x1’, y1’)

B(x2, y2)

A(x1, y1)

sumbu X menghasilkan bayangan titik A’(x’, y’) dengan x’ = x dan

y’= -y.

Maka bayangan titiknya dapat dinyatakan dengan:

x '=x=(1 ) x+ (0 ) y

y '=− y=(0 ) x+ (−1 ) y

Sehingga dalam bentuk perkalian matriks bentuk di atas dapat ditulis

sebagai:

( x'

y ')=(1 00 −1)( x

y)Dengan (1 0

0 −1) adalah matriks transformasi terhadap pencerminan

oleh sumbu X .

b) Pencerminan terhadap Sumbu Y

Jika titik A(x , y) dicerminkan terhadap sumbu Y dan bayangannya

adalah A ' (x ' , y ') maka diperoleh pencerminan titik A(x, y) terhadap

sumbu Y menghasilkan bayangan titik A’(x’, y’) dengan x’ = -x dan

y’= y.

8

0

A’(x’, y’)

A(x, y)

X

Y

Maka bayangan titiknya dapat dinyatakan dengan:

x '=−x=(−1 ) x+ (0 ) y

y '= y=(0 ) x+(1 ) y

Sehingga dalam bentuk perkalian matriks bentuk di atas dapat ditulis

sebagai:

( x'

y ')=(−1 00 1)( x

y)Dengan (−1 0

0 1) adalah matriks transformasi terhadap pencerminan

oleh sumbu Y .

c) Pencerminan terhadap Garis y=x

Jika titik A(x , y) dicerminkan terhadap garis y = x dan bayangannya

adalah A '(x ' , y ') maka diperoleh pencerminan titik A(x, y) terhadap

garis y = x menghasilkan bayangan titik A’(x’, y’) dengan x’ = y dan

y’= x.

9

0

A’(x’, y’) A(x, y)

X

Y

Maka bayangan titiknya dapat dinyatakan dengan:

x '= y=(0 ) x+(1 ) y

y '=x=(1 ) x+ (0 ) y

Sehingga dalam bentuk perkalian matriks bentuk di atas dapat ditulis

sebagai:

( x'

y ')=(0 11 0)( x

y )Dengan (0 1

1 0) adalah matriks transformasi terhadap pencerminan oleh

garis y=x .

d) Pencerminan terhadap Garis y=− x

Jika titik A(x , y) dicerminkan terhadap garis y = -x dan bayangannya

adalah B(x ' , y ') maka diperoleh pencerminan titik A(x, y) terhadap garis

y = -x menghasilkan bayangan titik B(x’, y’) dengan x’ = -y dan y’= -

x.

10

Maka bayangan titiknya dapat dinyatakan dengan:

x '=− y= (0 ) x+(−1 ) y

y '=−x= (−1 ) x+(0 ) y

Sehingga dalam bentuk perkalian matriks bentuk di atas dapat ditulis

sebagai:

( x'

y ')=( 0 −1−1 0 )( x

y)Dengan ( 0 −1

−1 0 ) adalah matriks transformasi terhadap pencerminan

oleh garis y=− x .

e) Pencerminan terhadap Titik Asal

Jika titik A(x , y) dicerminkan terhadap titik O (0,0) dan bayangannya

adalah B(x ' , y ') maka diperoleh pencerminan titik A(x, y) terhadap titik

O (0,0) menghasilkan bayangan titik B(x’, y’) dengan x’ = -x dan y’= -

y.

Maka bayangan titiknya dapat dinyatakan dengan:

x '=−x=(−1 ) x+ (0 ) y

y '=− y=(0 ) x+ (−1 ) y

Sehingga dalam bentuk perkalian matriks bentuk di atas dapat ditulis

sebagai:

11

( x'

y ')=(−1 00 −1)( x

y)Dengan (−1 0

0 −1) adalah matriks transformasi terhadap pencerminan

oleh titik asal O (0,0) .

Contoh Refleksi

Pencerminan terhadap sumbu X dan sumbu Y

Tentukan bayangan titik A (3,2 ) dan B (−4 ,−5 ) jika dicerminkan terhadap

a. sumbu X

b. sumbu Y

Penyelesaian

a. ( x'

y ')=(1 00 −1)(3

2)=( 3−2)

Jadi bayangan titiknya adalah (3, -2)

( x'

y ')=(1 00 −1)(−4

−5)=(−45 )

Jadi bayangan titiknya adalah (-4, 5)

b. ( x'

y ')=(−1 00 1)(3

2)=(−32 )

Jadi bayangan titiknya adalah (-3, 2)

( x'

y ')=(−1 00 1)(−4

−5)=( 4−5)

Jadi bayangan titiknya adalah (4, -5)

Pencerminan terhadap titik asal (0,0) , garis y=x , dan y=− x

Tentukan bayangan titik A( 4,7 ) jika dicerminkan terhadap

a. Titik Asal (0,0)

b. Garis y=x

c. Garis y=− x

Penyelesaian

12

a. ( x'

y ')=(−1 00 −1)(4

7)=(−4−7)

Jadi bayangan titiknya adalah (−4 ,−7)

b. ( x'

y ')=(0 11 0)(4

7 )=(74)

Jadi bayangan titiknya adalah (7,4)

c. ( x'

y ')=( 0 −1−1 0 )(4

7)=(−7−4)

Jadi bayangan titiknya adalah (−7 ,−4)

3. Perputaran atau Rotasi

Rotasi atau perputaran suatu bangun geometri adalah proses memutar

bangun geometri itu terhadap titik tertentu. Titik tertentu ini dinamakan

sebagai titik pusat rotasi. Selain titik pusat, suatu rotasi juga ditentukan oleh

arah rotasi dan jauh atau besar sudut rotasi. Pada pembelajaran ini, untuk

memudahkan pemahaman guru dapat mengajak siswa untuk mengamati rotasi

dalam kehidupan dengan contoh, misalnya memutar kepala, memutar badan,

ataupun memutar benda-benda lainnya yang secara nyata dapat dilihat siswa.

Titik pusat rotasi adalah titik tetap atau titik pusat yang digunakan

sebagai acuan untuk menentukan arah dan besar sudut rotasi. Titik pusat

dapat berada di dalam, pada atau di luar bangun geometri yang hendak

dirotasikan.

Arah rotasi disepakati dengan aturan sebagai berikut:

Jika perputaran berlawanan dengan arah putar jarum jam, maka rotasi

ni bernilai positif (+).

Jika perputaran searah dengan arah putar jarum jam, maka rotasi ini

bernilai negatif (-).

Bangun geometri segitiga ABC pada

Gambar-4a diputar menjadi bangun geometri

segitiga A’B’C’ pada Gambar-4b. Setiap titik

13

A’

C

BA

O

(a)

pada daerah segitiga ABC diputar sejauh θ

radian. Pemutaran ini searah dengan arah putar

jarum jam biasa yang bertitik pusat di O,

sehingga diperoleh segitiga A’B’C’.

Transformasi semacam ini dinamakan sebagai

perputaran atau rotasi.

Rotasi dengan pusat titik O(0,0) dan sudut putar α (α > 0)

Jika titik P'(x ' , y ') merupakan hasil perputaran titik P(x,y) dengan pusat O(0,0) dan besar putaran α, maka didapat hubungan:

atau dalam persamaan matriks yang bersesuaian diperoleh :

Bukti:

∠ QOP = θ dan besar sudut putar ∠ POP' = α

△OPQ :

cosθ = x

OP↔x = OP cos θ ........................(i)

14

x ' = x cos α – y sin α

y ' = x sin α +¿ y cos α

( x '

y ' ) = (cos α −sin αsin α cosα )( x

y)

P '(x ' , y ')

P(x , y)

XQQ '0

Y

θα

sinθ = y

OP↔y = OP sin θ .........................(ii)

△O P' Q' :

cos (α +θ ¿ = x '

OP↔ x ' = OP cos (α +θ)

= OP [ cosα cosθ−sin α sin θ ]

= (OP cosθ) cos α−¿ (OP sin θ) sin α

Substitusi (i) dan (ii) sehingga diperoleh x ' = x cos α – y sin α

..............(iii)

sin (α +θ ¿ = y '

OP↔ y ' = OP sin (α +θ)

= OP [ sin α cos θ+cos α sin θ ]

= (OP cosθ) sin α +¿ (OP sin θ) cos α

Substitusi (i) dan (ii) sehingga diperoleh y ' = x sin α +¿ y cos α

..............(iii)

Sehingga persamaan matriks yang bersesuaian adalah :

Rotasi dengan pusat A (a,b) dan sudut putar α

Jika pusat putaran adalah (a,b) dan sudut putar α , maka didapat hubungan :

x '−a= (x−a) cos α−¿ (y−b) sin α

y '−b= (x−a) sin α +¿ (y−b) cos α

atau dalam persamaan matriks yang bersesuaian diperoleh :

Bukti :

15

( x '−ay '−b) = (cos α −sin α

sin α cosα )( x−ay−b)

( x '

y ' ) = (cos α −sin αsin α cosα )( x

y)

Perhatikan △RAP :

∠ RAP = θ

cosθ = ARAP

↔ AR = AP cos θ

(x–a) = AP cos θ........................(i)

sinθ = PRAP

↔ PR = AP sin θ

(y–b) = AP sin θ........................(ii)

Perhatikan △R ' AP' :

∠R' AP' = (α +θ ¿

cos (α +θ ¿ = A R '

AP' ↔ A R' = AP' cos (α +θ)

= AP cos (α +θ)

(x’– a¿= AP cos (α +θ)....................(iii)

sin (α +θ ¿ = P ' R'

AP' ↔ P ' R' = AP'sin(α +θ)

= AP'sin(α +θ)

(y’– b¿ = AP sin(α +θ)....................(iv)

(iii) : (x’– a¿= AP[ cosα cosθ−sin α sin θ ]

= (AP cosθ) cos α−¿ (AP sin θ) sin α

= (x−a) cos α−¿ (y−b) sin α

16

θα

P(x,y)

P’(x’,y’)

A(a,b) R’ R

XQQ’A’

Y

0

(iv) : (y’– b¿= AP[ sin α cos θ+cos α sin θ ]

= (AP cosθ) sin α +¿ (AP sin θ) cos α

= (x−a) sin α +¿ (y−b) cos α

Sehingga matriks transformasi yang bersesuaian dengan rotasi

dengan pusat A(a,b) dan sudut putar α adalah :

Contoh Rotasi

Tentukan bayangan titik P(3,5 )jika diputar sebesar 900 yang berlawanan dengan

arah jarum jam dan berpusat di ( 0,0 ) dan berpusat di (1,1).

Penyelesaian

Berpusat di (0,0)

P(3,5 ) berarti x=3 dan y=5

Berlawanan arah dengan arah jarum jam adalah arah positif, berarti α=900

( x '

y ' ) = (cos α −sin αsin α cosα )(3

5)

( x '

y ' ) = (cos❑ −sin❑sin❑ cos❑ )(35)

( x '

y ' ) = (0 −11 0 )(35)=(−5

3 )Jadi, hasil rotasi titik P(3,5 )

adalah P '(−5,3) .

Berpusat di (1,1)

P(3,5 ) berarti x=3 dan y=5

Berlawanan arah dengan arah jarum jam adalah arah positif, berarti α=900

( x '−1y '−1) = (cos❑ −sin❑

sin❑ cos❑ )(3−15−1)

17

( x '−ay '−b) = (cos α −sin α

sin α cosα )( x−ay−b)

( x '−1y '−1) = (cos❑ −sin❑

sin❑ cos❑ )(24)

( x '−1y '−1) = (0 −1

1 0 )(24 )

( x '−1y '−1) = (−4

2 )

( x '

y ' ) = (−42 )+(1

1)

( x '

y ' ) = (−33 )

Jadi, hasil rotasi titik P(3,5 ) yang diputar dengan arah 90ᵒ berlawanan arah

jarum jam dengan pusat putar adalah titik (1,1) adalah P '(−3,3 ).

4. Dilatasi (Perkalian)

Dilatasi atau perkalian ialah transformasi yang mengubah ukuran

bangun geometri (memperbesar atau memperkecil), tetapi tidak mengubah

bentuk bangun geometri itu. Untuk lebih jelasnya guru dapat mengajak siswa

untuk mengamati gambar seperti berikut ini.

Pada gambar di atas dapat diamati hal-hal berikut:

Titik O dinamakan pusat dilatasi. Titik O merupakan titik tetap atau

titik invarian.

OB = 3 x OA dinamakan pembesaran dan angka 3 disebut faktor

skala pembesaran. Faktor skala pembesaran ini ditentukan oleh

OBOA

18

O A B CDO(a) (b)

OD =

12 x OC dinamakan pengecilan dan angka

12 disebut faktor

skala pengecilan. Faktor skala pengecilan ini ditentukan oleh

ODOC

Di dalam dilatasi ada dua hal yang perlu diperhatikan, yaitu :

1. Pusat dilatasi, dan

2. Faktor skala atau faktor dilatasi

Dilatasi dengan Pusat O (0,0 )

Titik A(x, y) didilatasikan dengan pusat O dan faktor skala k, petanya adalah

A’(x’, y’) sehingga berlaku :

OA :OA ’=1: kOAOA'

=1kO A '=k . OA

Jadi x ’=k x=(k) x+(0) y dan y ’=k y=(0)x+(k ) y

Persamaan matriksnya menjadi :

Dilatasi dengan pusat O(0,0) dan faktor skala k notasinya adalah [O,k]

dengan matriks operatornya (k 00 k )

Contoh :

Tentukan bayangan titik A(4, 3) oleh [O, 5]

Jawab:

( x '

y ' )=(k 00 k )(x

y)( x '

y ')=(5 00 5)(43 )=(20

15)Jadi A’(20, 15)

19

A’(x’,y’)

O X

Y

A(x,y)

( x 'y ')=(k 0

0 k )( xy )

Dilatasi dengan Pusat A(a , b)

Titik P(x, y) didilatasikan dengan pusat A(a, b) dan faktor skala k dan P’(x’, y’) adalah bangun bayangannya.

AP : A P'=1 :k APAP '

=1k

Sehingga :PR

P ' U=1

k…………………………(i)

A ' QA ' Q'

=1k

…………………..........(ii)

Dari (ii) diperoleh A' QA ' Q' =

1k

( x−a )( x '−a )

=1k

( x '−a )=k ( x−a )

x '=k ( x−a )+a……………..(iii)

Dari (i) diperoleh PR

P ' U=1

k y−b

y '−b=1

k

( y '−b )=k ( y−b )

y '=k ( y−b )+b…………..(iv)

Dari (iii) dan (iv) diperoleh persamaan matriks :

Contoh :Tentukan bayangan titik P(4, 7) oleh [(2, 3), 2]

20

A(a,b)

P(x,y)

P’(x’,y’)

U

S

R

YQ Q’A’

Y

O

( x 'y ')=k ( x

y )+(1−k )(ab)

Jawab :

( x 'y ')=k ( x

y )+ (1−k )(ab)=2(47)+(1−2 )(23)=( 6

11)

21