KEADAAN KELOMPOK

A. Pendahuluan• Penyajian data : diagram, tabel,

histogram, poligon,dan ozaiv • Pengembangannya menjadi ukuran

penempatan maupun ukuran gejala pusat.

• ukuran penempatan disebut juga dengan ukuran letak .

• ukuran gejala pusat disebut juga ukuran tendensi sentral.

• Ukuran dari sample disebut statistik dan ukuran dari populasi disebut parameter.

• Ukuran penempatan terdiri atas :1. Median2. Kuartil3. Desil4. Persentil• Ukuran gejala pusat terdiri atas :1. rata-rata atau rata-rata hitung2. Rata-rata ukur3. Rata-rata harmonik4. Modus• Keadaan kelompok lainnya : simpangan baku

dan angka baku.

B. Ukuran penempatan

1. Median

median (Me)ialah nilai tengah-tengah dari data yang diobservasi, setelah data tersebut disusun mulai dari urutan terkecil sampai yang terbesar atau sebaliknya.

• Jika jumlah data ganjil , Me terdapat ditengah-tengah. Contoh :10, 9, 3, 5, 7, 12, 8 (tujuh data ) =>3, 5,7,8,9,10,12 dan Me = 8

• Jika jumlah data genap, Me = dua data ditengah-tengah dijumlahkan lalu dibagi dua. Contoh : 10,3,12,5,7,10,8,14,14 (10 data) =>3,5,7,8,10,10,12,14,14 dan Me = 10 + 10 /2 =10

• Jika data dari dalam daftar distribusi frekwensi, maka :Me = b + p(1/2n – F)/f

b: batas bawah kelas Me ,yaitu kelas dimana Me akan terletak.

p:panjang kelas Me

n : ukuran sampel atau banyaknya data

F : jumlah semua frekwensi sebelum kelas Me.

f :frekwensi kelas Me.

Contoh : data sampel : 3,5,7,10,10,12,14,14,14 (n=10)

=>daftar frekwensi :

1. Rentang = data terbesar – data terkecil

14 – 3 =11

2. Banyak kelas = 1 + (3,3)log n = 4,3 =>4

3. Kelas interval = p = rentang/banyak kelas

= 11/4 = 2,75 => 3

TABEL I

DISTRIBUSI FREKWENSINilai data f

3 - 5 2

6 - 8 2

9 - 11 2

12 - 14 4

jumlah 10

Setengah dari jumlah data = 5, jadi Me terletak pada kelas interval ketiga, maka :

b = 11,5p = 3F = 2 + 2 =4n = 10Me = 11,5 + 3 (5 -4)/10 = 11,5 + 0,3 = 11,8Me merupakan alat deskripsi yang baik untuk

distribusi data yang tidak normal. Me sering digunakan untuk memperbaiki harga rata-rata yang terdapat dalam sekelompok data yang ekstrim harganya, sehingga kurang mewakili sebagai ukuran gejala pusat.

2. Kuartil• Kuartil ialah jika sekumpulan data dibagi empat

bagian sama banyaknya, setelah data disusun mulai dari terkecil sampai terbesar.

• Ada tiga kuartil, yaitu kuartil Pertama K1, kuartil kedua K2 dan kuartil ketiga K3.

• Nama diberi dari kuartil terkecil.• Penentuan nilai kuartil :

1. susun/urutkan data dari terkecil – terbesar.

2. tetapkan letak kuartil

3. tetapkan nilai kuartil

• Letak kuartil : Letak Ki = data ke i(n+1)/4 dengan i = 1, 2,3

• Contoh : jika ada sampel dengan data : 10,3,12,5,7,10,8,14,14,14 dan setelah diurutkan menjadi : 3,5,7,8,10,10,12,14,14,14

letak K1= data ke 10+1/4 = 2 ¾ =2,75 (antara data ke 2 dan data ke 3).

nilai K1= data ke 2 + ¼ (data ke 3 – data ke 2)= 5 + ¼(7-5) = 5 1/2

• Letak K2 = data ke 2(10 + 1) /4 = 5,5 antara data ke 5 dan ke 6

nilai K2 = data ke 5 + ¼ ( data ke 6 – data ke 5) = 10 + ¼ (10 -10) = 10

• Letak K3 = 3(10 + 1)/4 = 8 ¼ antara data ke 8 dan data ke 9.

nilai K3 = data ke 8 + ¼ (data ke 9 – data ke 8 ) = 14 + ¼ (14-14) = 14

• Untuk data yang sudah berada dalam tabel distribusi frekwensi, maka kuartil dihitung dengan menggunakan rumus :

dimana :

b : batas kelas Ki ialah interval dimana Ki akan terletak.

p : panjang kelas Ki

F : Jumlah frekwensi dengan tanda kelas lebih kecil dari tanda kelas Ki.

f : frekwensi kelas Ki

]4[f

Fin

pbKi

• Contoh

Nilai data f

3 - 5 2

6 - 8 2

9 - 11 2

12 -14 4

jumlah 10

• Jika ingin dihitung kuartil ke 2, maka 2/4 x 10 data = 5 data.

jadi K2 terletak di kelas ketiga. Dari kelas ketiga didapat :

b = 11,5, p = 3 , F = 7, I = 2, n = 10

K2 = 11,5 + 3 [2.10/4-7]/3=11,5 + 3 (-2/3) = 9,3

angka ini bermakna bahwa 50% responden mendapat nilai tertinggi 9,3 sedangkan lainnya di bawah 9,3.

3. Desil• Desil ialah jika sekumpulan data dibagi 10

bagian sama banyaknya setelah disusun dari terendah sampai tertinggi.

• Letak Di= data ke =i(n+1)/10 dengan i = 1,2,3,…,9

• Contoh desil ke 7, maka :

D7= data ke 7(10 + 1)/10 =7,7 berada antara data ke 7 dan ke 8.

nilai D7 = data ke 7 + 0,1 ( data ke 8 – data ke 7 ) = 12 + 0,1 (14 – 12) = 12,2

• Untuk data dalam tabel distribusi frekwensi, nilai Di dihitung dengan rumus :

Di= b + p [(in/10-F)/f] dengan :

i = 1,2,3,…,9

b : batas bawah kelas Di

p : panjang kelas Di

F : jumlah frekwensi sebelum kelas Di

f : frekwensi kelas Di

contoh: daftar frekwensi yang sama.Desil ke 7 : D7= 8,5 +3[(7.10/10-4)/3] = 11,5

4. PersentilPersentil ialah sekumpulan data yang dibagi 100

bagian yang sama besar setelah data itu disusun mulai dari terendah sampai yang tertinggi, sehingga menghasilkan 99 pembagi.

Letak Pi = data ke i(n+1)/100; i=1,2,3,…99Jika nilai Pi dihitung dari tabel distribusi frekwensi,

maka rumusnya : Pi = b + p [(in/100-F)/f] dengan i=1,2,3,…99 dimana :

b : batas bawah kelas Pi

p : panjang kelas Pi

F : jumlah frekwensi sebelum kelas Pi

f : frekwensi kelas Pi

• Persentil berguna untuk :

a. Membagi distribusi menjadi beberapa kelas yang sama besar frekwensinya.

b. Memisahkan sebagian distribusi dari sisanya.

c. Menyusun norma penilaian

d. Menormalisasi distribusi.

C. Ukuran Gejala Pusat1. Rata-rata hitung (mean)

Dimana :X (baca x bar atau x garis) =

rata-rata x

∑xi=jumlah seluruh nilai xi

∑ni=jumlah anggota sampel.

i

i

n

xx

• X adalah rata-rata untuk sampel, maka μ adalah rata-rata untuk populasi . Jadi x adalah statistik dan μ adalah parameter untuk menyatakan rata-rata.

• Guna rata-rata

rata-rata stabil untuk matematika dan paling cocok untuk menghadapi distribusi normal, dan paling reliabel untuk alat penafsiran atau prediksi.

Data-data dalam bentuk distribusi frekwesni :

i

ii

f

xfx

• Contoh,diketahui data :

X = 750/15 = 50

x f fixi

50 4 200

55 6 330

60 3 180

20 2 40

∑ 15 750

2. Rata-rata ukur

Jika perbedaan antara dua data berurutan tetap atau hampir tetap, maka rata-rata ukur lebih baik digunakan dari pada rata rata hitung. Rumus untuk rata-rata ukur adalah :

U = √x1,x2,…,xn

contoh : jika ada data:x1=3,x2=9,x3=27

Maka U = √3.9.27

n

3

• Untuk nilai data besar, maka digunakan rumus :

n

xU i

loglog

• Contoh, diketahui data : x1=10,x2=100,x3=1000

Log U = log 10 +log 100+log 1000/3=2Untuk data yang cenderung berkembang :

Pt=p0(1 + x/100)2

Contoh . Penduduk Indonesia pada tahun 1980 = 147 juta. Jika program KB berhasil, maka pada tahun 2000 penduduk Indonesia 230 juta.Berapa rata-rata pertumbuhan penduduk setiap tahun ?

Jawab

t=20,P0=147,Pt = 230

230 = 147(1+x/100)2

log 230 = log 147 + 20 log (1+x/100)2

2,36173=2,16732+20 log (1+x/100)2

= 80,559 artinya laju pertumbuhan penduduk = 0,81 % setiap tahun.

• Jika datanya dalam bentuk distribusi frekwensi, maka rumusnya :

i

ii

f

xfU

)log(log

• Contoh

Nilai data fi xi Log fi filogxi

3 - 5 2 4 0,60206 1,20412

6 - 8 2 7 0,84510 1,69019

9 - 11 3 10 1 3

12 - 14 3 3 1,11394 3,23615

∑ 10 - - 9,23615

Rata-rata ukurnya :

log U = 9,23615/10

U = 8,39

3. rata-rata harmonik

Rata-rata harmonik untuk data x1,x2,…,xn

dari sebuah sampel berukuran n dihitung dengan rumus :

)1(

ix

nH

Contoh .data: 3,5,7,8,10,10,12,14,14,14

H = 10 / (1/3+1/5+1/7+1/8+1/10+1/10+

1/12+1/14+1/14+1/14) = 7,70

Jika datanya dalam bentuk tabel distribusi frekwensi, maka rata-rata harmonik dihitung dengan rumus :

)(

i

i

i

x

f

fH

Contoh :

Nilai data fi xi fi/xi

3 – 5

6 – 8

9 – 11

12 – 14

∑ 10 - -

• H = 10/1,31648 = 7,60• Dari contoh-contoh di atas, dapat dilihat

bahwa H ≤ U ≤ x4. Modus atau modeModus atau mode adalah data yang paling

sering muncul di dalam suatu pengamatan. Jika nilai yang muncul itu hanya ada satu macam saja, maka modus tersebut dinamakan uni model. Jika nilainya dua macam disebut bimodel.

Modus disingkat M0.

Contoh :3,5,7,8,10,10,12,14,14,14 => 14 uni model.3,5,7,8,10,10,10,14,14,14 => 10 dan 14 :

bimodel.• Modus merupakan alat deskripsi yang

tepat namun kasar dan hanya sesuai untuk memdeskripsikan kasus-kasus tipikal dan sebagai alat untuk mencari kejadian-kejadian yang sedang populersaja.

• Modus tidak terpengaruh pada kasus yang ekstrem.

D. HUbungan antara rata-rata , median dan modus.

1. Pada distribusi normal, rata-rata , median dan modus bersekutu atau x=M0 =Me.

X,M0,Me

2. Pada distribusi juling negatif, M0 terletak di bawah puncak kurva, Me di kanan dari M0 dan x di sebelah kanan dari Me.

M0 Me x

3. Pada distribusi juling negatif, M0 terletak di bawah puncak kurva, Me di kiri M0 dan x di kiri dari Me.

M0Mex

E. Ukuran simpangan

• Ukuran simpangan = ukuran variasi = ukuran dispersi.

• Ukuran ini menggambarkan derajad berpencarnya data kuantitatif.

1. Rentang

Rentang ialah ukuran variasi yang paling sederhana yang dihitung dari datum terbesar dikurangi datum terkecil.

R = xtr - xtl

contoh : 3,5,7,8,10,10,12,14,14,14R = 14 – 3 = 8

2. Simpangan baku dan varians• Simpangan baku ialah suatu nilai yang

menunjukkan tingkat variasi suatu kelompok data.

• Jika simpangan baku dikudratkan , maka disebut dengan varians.

• Simpangan baku data sampel s dan variansnya ialah s2.

• Simpangan baku untuk data populasi σ(tho) dan variansnya σ2.

• Jika sampel berukuran n dengan data x1, x2,…,xn dan rata-rata x, maka s2 dihitung dengan rumus :

• atau

1

)( 2

2

n

xxs i

)1(

)( 22

2

nn

xxns ii

• Bila data sudah berada dalam bentuk tabel distribusi frekwensi maka dihitung dengan rumus :

)1(

)( 22

2

nn

xfxfns iiii

• Bila ada subsampel 1 berukuran n1 dengan simpangan s1 dan

sub sampel 2 berkuran n2 dengan simpangan s2 dan sampai

sub sampel k berukuran nk dengan simpangan sk dan bila digabungkan menjadi sebuah sampel berukuran n = n1+ n2 +…+nk, maka simpangan bakunya :

kn

sns

i

ii

gab

2

2

.

)1(

• Atau lengkapnya :

s2gab=(n1-1)s1

2+(n2-1)s22+…+(nk-1)sk

2/(n1+n2+…+nk)-k

• Untuk mendapatkan nilai simpangan baku s,akarkanlah S2tersebut dan mengambil harga akar positif.

• Langkah-langkah menghitung simpangan baku :

1. Buat tabel penolong dalam bentuk :

xi xi - x (xi – x)2

x ∑ ….

2. Masukkan nilai-nilai yang didapat dari tabel tersebut ke dalam rumus :

s2=∑(xi – x)2/n-1

3. Cari s =√s2

F. Angka baku

Angka baku adalah bilangan baku yang digunakan untuk membandingkan keadaan distribusi gejala.Bila ada sampel berukuran n dengan data x1,x2,…,xn, rata-ratanya x, simpangan bakunya s, maka angka bakunya :Z=xi-x/s

• Contoh : diketahui data 3,5,7,8,10,10,12,14,14,14

s = 3,92 dan x = 9,7

angka baku untuk xi = 3 adalah :

z= 3 - 9,7/3,92 =1,71.

• Pengerjaan dengan komputer• Rata-rata hitung simpangan baku adalah

statistik deskriptif.a. Entry data seperti yang sudah diketahui

terdahulu.b. Ambil file, open,data klik, pilih variable klik dan

data yang dimaksud tampil di layar.c. Ambil statistics, pilih summarize, pilih

descriptives lalu klik.d. Pilih variable pada kolom kiri, klik.Pindahkan

variabel ke kolom sebelah kanan (variable(S))dengan mengklik tanda panah, lalu ok.

• Soal ujian.

• Ujian berbentuk take home

• Dikumpulkan paling lambat tanggal 30 January 2013 jam 10.15 di ruang dosen jurusan Teknik Informatika.

• Dari data yang sudah anda dapatkan pada tugas terdahulu olahlah dengan menggunakan SPSS untuk mendapatkan histogram dan semua besaran keadaan kelompok.