FORCASTING(STATISTIK TERAPAN)

DR. IR. TJIPTOGORO DINARJO,MM

UNIVERSITAS MERCU BUWANA

20141

BAB I

STATISTIK DESKRIPTIF

A. PENGERTIAN STATISTIK.

Statistik Statistika Statistika Matematika/

Teoretik

Statistik Terapan/

Teknik Analisi Data

Kumpulan data

dalam bentuk:

tabel/ daftar;

gambar,

diagram,

ukuran.

Contoh :

penduduk,

kelahiran,

pertumbuhan

ekonomi,

Inflasi.

Pengetahuan

mengenai:

pengumpulan data,

klasifikasi data,

penyajian,

pengolahan,

penarikan

kesimpulan

Membahas

bagaimana:

sifat-sifat,

dalil-dalil,

rumus-rumus

diturunkan.

Bagaimana

menciptakan:

model teoritis,

matematis.

Membahas cara

penggunaan statistik

antara lain untuk

penelitian

2

DATA STATISTIK

1. Data mentah adalah yg belum mengalami pengolahan.

2. Data primer adalah data yang di peroleh langsung seperti

hasil questionair, wawancara.

3. Data sekunder adalah data yang diperoleh tidak langsung

seperti hasil studi pustaka.

4. Data kuantitatif (dapat dinyatakan dalam bilangan):

a. Data kontinum, interval, rasio seperti: berat, tinggi.

b. Data diskrit:

1) nomunal: banyak orang.

2) ordinal: peringkat

3) dikotomi: murni-buatan; hidup-mati; lulus-gagal.

5. Data kualitatif: data bukan kuantitatif seperti “atribut”

3

FUNGSI STATISTIK

1. Deskriptif: membuat data bermakna dengan:

a. penyajian data dalam bentuk:

1) tabel/ daftar.

2) gambar.

3) diagram/ grafik.

b. Ukuran/ tendensi sentral:

1) mean (rata-rata).

2) median (nilai tengah).

3) modus.

c. Ukuran/ tendensi penyebaran:

1) rentanggan,

2) simpangan (deviasi), simpangan baku.

3) variasi

4

FUNGSI STATISTIK

2. Inferensial/ induktif yaitu untuk melakukan:

a. Generalisasi:

1) sample ke populasi.

2) sampling, sensus.

3) diagram/ grafik.

b. Uji hipotesis:

1) membandingkan dalam bentuk uji kesamaan atau uji per-bedaan.

2) menghubungkan dalam bentuk uji keterkaitan seperti

“kontribusi”.

3. Prediksi/ forcasting:

a. regresi dalam bentuk hubungan fungsional:

1) linier: sederhana, ganda.

2) kurvilinier: kuadratik, logaritmik, hiperbolik, dll.

b. korelasi, keterkaitan, hubungan timbal balik:

1) derajat hubungan (koefisien korelasi).

2) kadar sumbangan (koefisien determinasi)

5

PENYAJIAN DATA

1. Dengan tabel atau daftar:

a tunggal,

b kontingensi,

c distribusi frekwensi.

2. Dengan gambar atau diagram:

a lingkaran,

b lambang (piktogram),

c peta (kartogram).

3. Dengan diagram atau grafik:

a batang:

1) satu komponen, dua komponen, tiga komponen,

2) satu arah, dua arah.

b garis,

c pencar,

d histogram dan poligin.

6

• DATA

• Data: fakta dan angka-angka yang dikumpulkan, dianalisis, dandisimpulkan untuk presentasi dan diterjemahkan, ditafsirkan.Semua data yang dikumpulkan untuk studi secara khusus disebutdata set , contoh lihat Tabel 1.(Source: Business Week, April 4,2005) merupakan data set yang berisi informasi untuk 25Perusahaan, merupakan bagian dari 500 Share Price (S&P).

• Komponen Tabel berisi: Elements, Variables, dan Observations.• Elemennts adalah pengguna ahir (the entities) pada mana data

dikumpulkan , dalam hal ini semua perusahaan pemilik saham merupakan nama element yang ditempatkan pada kolom pertama.

7

• Variables adalah sesuatu yang dianggap penting untuk diketahui dari setiap element, pada tabel 1 terdiri atas 5 elements:

o Exchange: Dimana saham diperdagangkan – N ( New York Stock Exchange) dan NQ (Nasdaq National Market).

o Ticker Symbol: Singkatan/kependekan yang digunakan untuk mengidentifikasikan saham pada exchange listing.

o Business Week Rank: Angka 1-500 yang menggambarkan ukuran kekuatan perusahaan.

o Share Price ($): closing price (February 28, 2005)

o Earning per Share ($): earning per share jangka waktu 12 bulan terahir.

• Observation: satu kesatuan pada setiap variabel dari setiap element.

8

Company Exchange Ticker Business Week Rank

Share Price ($)

Earning per Share ($)

Abbott LaboratoriesAltria GroupApollo GroupBank of New YorkBristol-Myers SquibbCincinnati FinancialComcastDeereeBayFederated Dept. Store HasbroIBMInternational PaperKnight-RidderManor CareMedtronicNational SemiconductorNovellus SystemPitney BowesPulte homesSBC CommunicationsSt. Paul TravelersTeradyneUnited Health GroupWell Fago

NNNQNNNQNQNNQNNNNNNNNNQNNNNNNN

ABTMOAPOLBKBMYCINFCMCSADEABAYFDHASIBMIPKRIHCRMDTNSMNVLSPBIPHMSBCSTATERUNHWFC

90148174305346161296

3619

353373216370397285

53155386339

12371264412

5159

46667430264532714356219337663452203046782438159159

2,024,570,901,851,212,730,435,770,573,860,964,940,984,131,901,791,031,062,057,671,521,530,843,944,09

Tabel. 1. Data Harga Saham 25 Perusahaan

9

Company Exchange Ticker Busines

s

Week

Rank

Share

Price

($)

Earning

per Share

($)

Abbott Laboratories

Altria Group

Apollo Group

Bank of New York

Bristol-Myers Squibb

Cincinnati Financial

Comcast

Deere

eBay

Federated Dept. Store

Hasbro

IBM

International Paper

Knight-Ridder

Manor Care

Medtronic

National Semiconductor

Novellus System

Pitney Bowes

Pulte homes

SBC Communications

St. Paul Travelers

Teradyne

United Health Group

Well Fago

N

N

NQ

N

N

NQ

NQ

N

NQ

N

N

N

N

N

N

N

N

NQ

N

N

N

N

N

N

N

ABT

MO

APOL

BK

BMY

CINF

CMCSA

DE

ABAY

FD

HAS

IBM

IP

KRI

HCR

MDT

NSM

NVLS

PBI

PHM

SBC

STA

TER

UNH

WFC

90

148

174

305

346

161

296

36

19

353

373

216

370

397

285

53

155

386

339

12

371

264

412

5

159

46

66

74

30

26

45

32

71

43

56

21

93

37

66

34

52

20

30

46

78

24

38

15

91

59

2,02

4,57

0,90

1,85

1,21

2,73

0,43

5,77

0,57

3,86

0,96

4,94

0,98

4,13

1,90

1,79

1,03

1,06

2,05

7,67

1,52

1,53

0,84

3,94

4,09

Ukuran skala:1. Nominal scale.

Bila data untuk suatu variabel terdiri atas label atau nama yang digunakan untuk mengidentifikasikan suatu lambang/ sifat (attribute) dari suatu elemen maka ukuran skalanya disebut skala nominal (nominal scale). Contoh pada Tabel 1 pada exchange variable menggunakan N dan NQ sebagai identifikasi dimana saham diperdagangkan. N dan NQ dapat pula diganti dengan angka 1 dan 2 namun pengertian angka tsb sebagai tempat dimana 1 adalah mewakili New York Stack Exchange, dan 2 mewakili Nasdaq National Market.

2. Ordinal scale.Bila data memperagakan memiliki suatu nilai dari nominal data dan dapat disusun peringkat yang mengandung arti. Contoh pada Tabel 1 pada kolom 4 menunjukan angka peringkat dari 1 sd 500 berdasarkan Business week’s assessment of the company’s strength.

3. Interval scale.Bila data menunjukan suatu nilai dari ordinal data dan interval antara nilai yang digambarkan dalam lambang bilangan yang mempunyai ukuran yang tetap. Interval data selalu dalam bentuk angka. Contoh nilai Scholastic Aptitude Test (SAT) dari 3 siswa 620-550-470, angka ini bisa diranking dari siswa dengan nilai tertinggi yaitu 620 dengan angka terendah 470. Selisih nilai siswa pertama 620-550= 70 lebih tinggi dari siswa kedua. Siswa kedua 550-470=80 lebih tinggi dari siswa ke 3.

10

4. Ratio scale.Bila data memiliki semua nilai interval data dan ratio dimana keduanya memiliki arti. Variable: jarak, tinggi, berat, waktu menggunakan ukuran dengan ratio scale, angka 0 bermakna menggambarkan 0.

5. Cross-Sectional.Data yang dikumpulkan pada waktu yang sama atau hampir sama. Contoh pada Tabel 1. adalah data cross-sectional karena diperoleh untuk 5 variabel untuk 25 S&P 500 perusahaan pada satu waktu yang sama.

6. Time Series Data.Data yang dikumpulkan pada suatu periode waktu tertentu.Contoh time series data: Gambar 1. Suku Bunga Tabungan Bank Umum 2007

Bulan

Bu

nga

Tab

un

gan

Ban

k U

mu

m

0

1

2

3

4

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

11

Klasifikasi data kualitatif dan data kuantitatif.

Data kualitatif seringkali berrhubungan dengan categorical data. Data kualitatif termasul label atau nama yang digunakan untuk mengidentifikasikan suatu attribute tiap elemen. Data kualitatif menggunakan ukuran nominal atau ordinal scale dan boleh non numeric atau numeric.

Data kuantitatif memerlukan nilai numeric untuk menunjukan berapa banyak (how much or how many). Data kuantitaif dapat digunakan interval atau ratio scale sebagai ukuran.

Variabel kualitatif adalah suatu variabel yang menggunakan data kualitatif.

Variabel kuantitatif adalah suatu variabel yang menggunakan data kuantitatif.

Analisis Statistik dibatasi dalam penggunaan data kualitatif, bila data kualitatif menggunakan kode numeric, operasi arithmatic seperti tambah, kurang, kali, bagi tidak menghasilkan makna apapun atas hasil operasi arithmaticnya.

Operasi arithmatic menghasilkan kesimpulan yang penuh arti untuk variabel kuantitatif .

Kesimpulan: Pendekatan metoda statistik tergantung pada jenis data kualitatif ataukah kuantitatif

12

DATA

Qualitative Data

Tabular Methods

Graphical Methods

TabularMethods

Graphical Methods

Quantitative Data

• FrequencyDistribution

• RelativeFrequencyDistribution

• Percent FrequencyDistribution

• Crosstabulation

•FrequencyDistribution

• RelativeFrequencyDistribution

• Percent FrequencyDistribution

• Cumulative FrequencyDistribution

• Cumulative Relative Frequency Distribution

• Cumulative Percent Frequency Distribution

• Crosstabulation

• Bar Graph• Pie Chart

• Dot Plot• Histogram•Ogive• Stem-and-Leaf Display• Scatter Diagram

13

Gambar 2. Data Kualitatif dan Kuantitatif

Contoh bentuk dan interpretation of a frequency distributiion untuk data kualitatif:

Tabel 2. Data From a Sample of 50 Soft Drink Purchases

Coke ClassicDiet CokePepsiDiet CokeCoke ClassicCoke ClassicDr. PepperDiet CokePepsiPepsiCoke ClassicDr. PepperSpriteCoke ClassicDiet CokeCoke ClassicCoke Classic

SpriteCoke ClassicDiet CokeCoke ClassicDiet CokeCoke ClassicSpritePepsiCoke ClassicCoke ClassicCoke ClassicPepsiCoke ClassicSpriteDr. PepperPepsiDiet Coke

PepsiCoke ClassicCoke ClassicCoke ClassicPepsiDr. PepperCoke ClassicDiet CokePepsiPepsiPepsiPepsiCoke ClassicDr. PepperPepsiSprite

14

Soft Drink Frequency

Coke ClassicDiet CokeDr. PepperPepsiSrite

Total

1985

135

50

Tabel 3. Frequency Distribution Of Soft Drink Purchases

Distribusi Frekwensi: tabel ringkasan yang menunjukan data angka frkekwensi dari setiap item untuk setiap kualifikasi data.

Frekwensi Relatif: Frekwensi / n

Frekwensi % : Frekwensi Relatif X 100

15

Soft Drink Relative Frequency Percent Frequency

Coke ClassicDiet CokeDr. PepperPepsiSrite

Total

.38

.16

.10

.26

.101.00

3816102610

100

Tabel 4. Relative Frequency And Percent Frequency Distributions Of Soft Drink Purchases

16

17

Gambar 2. Bar Graph Of Soft Drink Purchases

CokeClassic

DietCoke

Dr.Pepper

Pepsi Sprite

2

4

6

8

10

1

2

14

1

6

18

2

0

18

Gambar 3. Pie Chart Of Soft Drink Purchases

Coke Classik 38%

Pepsi 26%

Contoh soal:1. Responden menjawab pertanyaan atas 3 alternatif: A; B; dan C. A adalah sampel dari

120 respoden menghasilkan 60A; 24B; dan 36C. Tunjukan frekwensi dan distribusi frekwensi relatif.

2. A bagian dari distribusi frekwensi relatif sebagai berikut:

a. Berapa frekwensi relatif kelompok D.b. Jumlah sampel 200. Berapa frekwensi kelompok Dc. Tunjukan distribusi frekwensi.d. Tunjukan prosentase distribusi frekwensi.

3. Dari hasil questionnaire menghasilkan 58 Yes, 42 No, dan 20 non opinion answers.a. Dalam bentuk pie chart, tunjukan berapa besar bidang yang menunjukan jawaban

Yes.b. Tunjukan berapa besar yang menunjukan jawaban No.c. Gambarkan pie chart.d. Gambarkan bar graph

19

Kelompok Frekwensi Relatif

ABCD

0,220,180,40

DAFTAR DISTRIBUSI FREKWENSI

1. Banyak data n = ?

2. Rentangan r = data terbesar – data terkecil.

3. Banyak kelas interval k = 1 + 3,3 log n (Sturges).

4. Panjang interval i = r/k.

5. Pilih ujung bawah kelas interval i, didapat ujung atasnya;

tentukan ujung-ujung kelas interval.

6. Batas bawah dan batas atas tiap-tiap kelas interval.

7. Tanda kelas.

8. Tabulan, frekwensi, daftar.

20

CONTOH

79 49 48 74 81 98 87 81 80 84 90 70 91 53 82 78

70 71 92 38 56 81 74 73 68 72 85 51 65 93 83 86

90 32 83 73 74 43 86 68 92 93 76 71 91 72 67 75

80 91 61 72 97 91 88 81 71 74 99 95 80 59 71 77

63 60 83 82 61 67 89 63 76 63 88 70 66 88 79 75

DAFTAR DISTRIBUSI FREKWENSI DAN

FREKWENSI RELATIF

Nilai f Tanda Kelas

31-40

41-50

51-60

61-70

71-80

81-90

91-100

2

3

5

14

24

20

12

35,5

45,5

55,5

65,5

75,5

85,5

95,5

Jumlah 80

Nilai fa fr (%)

31-40

41-50

51-60

61-70

71-80

81-90

91-100

2

3

5

14

24

20

12

2,5

3,75

6,25

17,50

30,00

25,00

15,5

Jumlah 80

fr = f/n x 100

Nilai f Tanda Kelas

31-40

41-50

51-60

61-70

71-80

81-90

91-100

2

3

5

14

24

20

12

35,5

45,5

55,5

65,5

75,5

85,5

95,5

Jumlah 80

21

CONTOH

DAFTAR DISTRIBUSI KUMULATIF

Nilai fa fr (%)

31 atau lebih

41 atau lebih

51 atau lebih

61 atau lebih

71 atau lebih

81 atau lebih

91 atau lebih

101atau lebih

80

78

75

70

56

32

12

0

100,00

97,50

93,75

87,50

70,00

40,00

15,00

0,00

Nilai f Tanda Kelas

Kurang dari 31

Kurang dari 41

Kurang dari 51

Kurang dari 61

Kurang dari 71

Kurang dari 81

Kurang dari 91

Kurang dari 101

0

2

5

10

24

48

68

80

0,00

2,50

6,25

12,50

30,00

60,00

85,50

100,00

22

Histogram dan Poligon Frekwensi

f

25

20

15

10

5

0 1

30,5 40,5 50,5 60,5 70,5 80,5 90,5 100,5 Nilai

histogram

poligon frekuensi

23

OGIF (OZAIV)F

80

70

60

50

40

30

20

10

0

30,5 40,5 50,5 60,5 70,5 80,5 90,5 100,5 Nilai ujian

Lebih dari

24

Kurang dariFr

ekw

ensi

Soal:Data kuantitatif jumlah hari yang diperlukan untuk mengaudit ahirtahun terhadap 20 perusahaan oleh Konsultan Sanderson andClifford yang merupakan konsultan public accounting kecil

25

Jumlah Hari Untuk Audit Ahir Tahun

1215202214

1415272118

1918223316

1817232813

Tentukan tanda kelas (class width)

Pedekatan tanda kelas:

(Angka data terbesar-Angka data terkecil)

(Jumlah kelas)

26

Distribusi Frekwensi: tabel ringkasan yang menunjukan data angka frkekwensi dari setiap item untuk setiap kualifikasi data.

Frekwensi Relatif: Frekwensi / n

Frekwensi % : Frekwensi Relatif X 100

Tanda kelas= (33-12) : 5 = 4,2 maka tanda kelas menggunakan 5 pada distribusi frekwensi.

Tabel Distribusi Frekwensi Data Audit

27

Nilai(hari)

Tanda Kelas Waktu Audit (hari)

Frekwensi

10-1415-1920-2425-2930-34

1217222732

48521

Jumlah 20

Nilai(hari)

Frekwensi Relatif Percent Frekwensi

10-1415-1920-2425-2930-34

.20

.40

.25

.10

.05Jumlah 1.00

20402510

5100

28

Tabel Frekwensi Relatif dan Distribusi Percent Frekwen Data Waktu Audit

29

0

2

4

6

8

10-14 15-19 20-24 25-29 30-34

Gambar. Histogram Data Waktu Audit

30

Nilai

(hari)

f.kum f.kum (%)

10 atau lebih

14 atau lebih

19 atau lebih

24 atau lebih

29 atau lebih

34 atau lebih

20

16

8

3

1

0

100

80

40

15

5

0

Nilai

(hari)

f.kum f.kum (%)

Kurang dari 10

Kurang dari 14

Kurang dari 19

Kurang dari 24

Kurang dari 29

Kurang dari 34

0

4

12

17

19

20

0

20

60

85

95

100

Daftar Distribusi Komulatif

31

10 14 19 24 29 34

0

5

1

0

1

5

2

0

OGIV

SOAL LATIHAN

79 49 48 74 81 98 87 81 80 84 90 70 91 53 82 78

60 71 92 38 56 81 74 73 68 72 75 51 65 93 83 86

80 32 83 73 74 43 86 68 92 93 66 71 91 72 67 75

70 90 61 72 97 91 88 81 71 74 89 95 80 59 71 77

53 60 83 82 61 67 89 63 76 63 78 70 66 88 79 75

32

UKURAN PEMUSATAN

30

25

20

15

10

5

0 hyunday Honda Toyota Nisan Mercy

Merk Mobil

Vo

lum

e Pe

nju

alan

Jumlah Penjualan Mobil

Rata Penjualan mobil33

UKURAN PEMUSATAN

Ukuran yaitu suatu sebuah nilai yang menunjukan pusat dari

sekumpulan data.

Populasi; Semua anggota dalam ekosistem.

Rata-rata hitung populasi : nilai rata-rata dari data pipulasi.

Rata-rata hitung populasi :

(Jumlah seluruh nilai dalam populasi)/

(Jumlah data/ observasi dalam populasi)

34

UKURAN PEMUSATAN

Rata-rata hitung populasi =(Jumlah seluruh nilai dalam populasi)/

(Jumlah data/ observasi dalam populasi).

µ = ƩXi/ n

Dimana:

µ = rata-rata hitung populasi.Ʃ = simbol operasi penjumlahan.

Xi = nilai data ke i yang berada dalam populasi.

n = jumlah data atau pengamatan dalam populasi.ƩXi = jumlah dari keseluruhan nilai Xi (data) dalam populasi

35

Contoh Perhitungan

Penggunaan rumus:ƩXi = X1 + X2 + X3 + X4........... + Xn

Contoh data grup kelas ekonomi manajemen kelas A, B, C,dan D sbb:

46 54 42 46 32

Jika kita gunakan notasi: X1, X2, X3, X4, X5 maka:

X1 = 46 X2 = 54 X3 = 42 X4 = 46 X5 = 32

X̅ = ƩXi/ n = (46 + 54 + 42 +46 + 32)/ 5 = 44

36

UKURAN PEMUSATAN

Nilai tengah (median): nilai tengah setelah data disusun

dari kecil ke besar atau sebaliknya).

Letak median Me: data ke (1/2) x (N + 1).

Nilai median Me:

banyak data ganjil, data paling tengah.

banyak data genap: rerata dua data ditengah.

Modus (Mode) : data yang paling banyak muncul (dapat lebih dari satu)

Contoh: 32 42 46 46 54

Median: 46

Modus 46

Percentiles: i = (p/100)n

Contoh: 3310 3355 3450 3480 3480 3490 3520 3540 3550 3650 3730 3925

Quartiles Q1 (25%) i = (25/100)x5 = 3 Q3 (75%) i = (75/100)x5 = 9

Q1 = (3450 + 3480)/2 = 3465

Q2 = (3550 + 3650)/2 = 3600

37

UKURAN PENYEBARAN

• Rentangan: selisih data terbesar dengan data terkecil.

R = Ma – Mi.

• Simpangan (deviasi): selisih data dengan mean (rerata hitung).

x = X - µ

38

UKURAN PENYEBARAN

VARIANS

Varians Populasi: rerata kuadrat simpangan Populasi

σ2 = Ʃ(xi - µ)2/ N

xi - µ : simpangan (deviation) populasi.

µ : rata rata populasi.

N : jumlah populasi

Varians Sample: rerata kuadrat simpangan Sample

s2 = Ʃ(xi – x^)2/ (n – 1)

xi - x^ : simpangan (deviation) sample.

x^ : rata-rata sample

n : jumlah sample

Standar Deviation:

sample standand deviation: s = √ S2

populasi standard deviation: σ = √ σ2

Coefficient of Variance: Ukuran standard deviasi relatif terhadap rerata

(S/ x^ )x100% atau (σ/ µ )x100%

39

Contoh Hitungan

S2 = Ʃ(xi – x^)2/ (n – 1) = 256/(5 – 1) = 256/4 = 64

Standar Deviation:

sample standand deviation: s = √ S2 = √64 = 8

populasi standard deviation: σ = √ σ2 (tidak dihitung)

40

Contoh Hitungan

Jumlah Mhs

(xi )

Rerata Mhs

(x^ )

Deviasi

(Xi - x^ )

Kuadrat Deviasi

(Xi - x^ )2

46

54

42

46

32

44

44

44

44

44

2

10

-2

2

-12

0Ʃ(Xi - x^ )

4

100

4

4

144

256Ʃ(Xi - x^ )2

41

Soal Latihan

Harga SahamRp

(xi )

Rerata Sample(x^ )

Deviasi Sample(Xi - x^ )

Standard Deviasi(Xi - x^ )2

3.3103.3553.4503.4803.4803.4903.5203.5403.5503.6503.7303.925

Ʃ(Xi - x^ ) Ʃ(Xi - x^ )2

42

Tugas 1

4,63

4,61

4,67

4,60

4,62

4,60

4,60

4,53

4,46

4,35

4,31

4,35

4,11

3,96

3,94

3,72

3,39

3,43

3,41

3,40

3,42

3,23

3,24

3,31

Suku Bunga Tabungan Bank Persero

Th 2006 sd Th 2007

a. Hitung nilai rata-rata dan standard deviasi data sample.

b. Buat histogram, poligon frekwensi dan OGIF

43

Tugas 1

15,79

15,86

15,89

15,78

15,76

15,71

15,70

15,69

15,64

15,53

15,51

15,36

15,20

15,11

14,89

14,76

14,60

14,26

14,26

14,54

13,90

13,68

13,64

13,47

Suku Bunga Kredit Investasi Bank Persero

Th 2006 sd Th 2007

a. Hitung nilai rata-rata dan standard deviasi data sample.

b. Buat histogram, poligon frekwensi dan OGIF

44

Mengukur Hubungan Dua Variabel

Covariance dan correlation as descriptive measures of the relationship between two variables.

Covariance.

Jumlah sampel n dengan observasions (x1,y1),(x2,y2) ......dst

Sample Covariance: sxy = {Ʃ(xi – x^) (yi – y^)}/(n-1)

Population Covariance: σxy = {Ʃ(xi – µx^) (yi – µy

^)}/N

Pearson Product Moment Correlation coefficient: Sample Data

rxy = sxy / sxsy

Pearson Product Moment Correlation coefficient: Population Data

ρxy = σxy / σxσy

sx = √ {Ʃ(xi – x^)2/(n-1)} sy = √ {Ʃ(yi – y^)2 / (n-1)}

Sample Data Population Data

Rxy

Sxy

Sx

Sy

Sample correlation coefficientSample covarianceSample standard deviation of xSample standard deviation of y

ρxy

σxy

σx

σy

Population correlation coefficientPopulation covariancePopulation standard deviation of xPopulation standard deviation of y

Minggu ke Tayangan Iklan TVX

Penjualan (Rp juta)Y

123456789

10

2513415342

50574154543863485946

Sample Data Jumlah Tayangan Iklan di TV dan Penjualan Sound Syatem

Xi Yi xi – x^ yi – y^ (xi – x^ )(yi – y^ )

2513415342

30

50574154543863485946

510

-12

-201

-2201

-10

-16

-1033

-1312-38

-50

11220

03

2624

085

99

sxy = {Ʃ(xi – x^) (yi – y^) /(n-1)} = 99/(10-1) 99/9 = 11

Xi Yi xi – x^ (xi – x^)2 yi – y^ (yi – y^)2 (xi – x^ )(yi – y^ )

2513415342

30

50574154543863485946

510

-12

-201

-2201

-10

1440144011

20

-16

-1033

-1312-38

-50

136

10099

169144

96425

566

11220

03

2624

085

99

sx = √ {Ʃ(xi – x^)2} / (n-1)= √(20/9) = 1,49 sy = √ {Ʃ(yi – y^)2} / (n-1)= √(566/9) = 7,93

rxy = sxy / sxsy = 11/ (1,49x7,93) = + 0, 93

Interpretation of the correlation coefficientContoh sederhana

xi yi

51015

103050

5 10 15 X

0

1

0

20

3

0

40

5

0

Scatter Diagram positif linier sempurna

Y

Xi Yi xi – x^ (xi – x^)2 yi – y^ (yi – y^)2 (xi – x^ )(yi – y^ )

5101530

10305090

-5050

250

2550

-200

200

4000

400800

1000

100200

x^ = 30/3 = 10 y^ = 90/3 = 30

sx = √ {Ʃ(xi – x^)2/(n-1)} = √50/2 = 5sy = √ {Ʃ(yi – y^)2 / (n-1)} = √800/2 = 20sxy = {Ʃ(xi – x^) (yi – y^)}/(n-1) = 200/2 =100

rxy = sxy / sxsy = 100/(5x20) = 1

Kesimpulan: Nilai koefisien korelasi sampel adalah 1, ini menunjukan terdapat hubungan linier sempurna.

Koefeisien korelasi yang mempunyai nilai -1 atau +1 terdapat korelasi -/+ sempurna, sedangkan bila mendekati -1/+1 terdapat hubungan linier yang kuatKoefisien korelasi dengan nilai mendekati 0 terdapat hubungan linier yang lemah

xi yi

46

113

16

5050406030

xi yi

611152127

696

1712

Soal 1 Soal 2

Pertanyaan untuk soal 1 dan soal 2.a. Gambar diagram scatter dengan sumbu x sebagai sumbu horizontalb. Diagram scatter yang sdr gambar pada soal 1/ soal 2 mengindikasikan apa?c. Hitung dan interpretaskan sample covarianced. Hitung dan interpretasikan sample correlation coefficient

BAB II

A. KEJADIAN

1. Kejadian atau peristiwa: terjadinya sesuatu baik disengaja

(eksperimentasi) ataupun tidak.

2. Kejadian:

a. Pasti terjadi atau disebut kepastian diberi angka 1.

Contoh: Semua mahluk hidup pasti akan mati.

b. Mungkin terjadi atau disebut peluang, diberi simbol p

0<p<1.

Contoh: Mungkin nilai hasil ujianku tertinggi.

c. Mustahi terjadi atau disebut kemustahilan, diberi angka 0.

Contoh: Mustahil matahari terbit dari barat.

53

3. Dua buah kejadian A dan B dapat:

a. Saling asing, eksklusif, komplementer, apabila kejadian yang satu (A) meniadakan kejadian yang lain (B) dan sebaliknya. Dalam hal A dan B komplementer biasa ditulis B = Ᾱ

Pernyataannya: A atau B

Contoh: munculnya gambar dan angka pada sebuah mata uang yang ditos.

b. Bebas, independent apabila kejadian yang satu (A) tidak mempengaruhi timbulnya kejadian lainnya (B) dan sebaliknya.

Pernyataannya: A dan B

Contoh: munculnya gambar pada mata uang pertama dengan munculnya angka pada mata uang kedua yang ditos.

c. Inklusif apabila kejadian yang satu (A) memuat atau mengandung kejadian yang lain (B) dan sebaliknya.

Pernyataannya: A dan atau B

Contoh kejadian: munculnya gambar as dan atau skop dari satu set kartu bridge.

54

B. PELUANG.

1. Peluang adalah perbandingan antara banyaknya kejadian yang muncul (observed) dengan banyaknya kejadian (semua) yang mungkin muncul (expected).

Contoh: peluang munculnya hati (n = 13) pada pengambilan sebuah kartu dari satu set kartu brige (N=52) adalah n/N = 13/52 = ¼

2. Nilai peluang untuk sebuah kejadian adalah 0≤p≤1; 0 untuk kemustahilan dan 1 untuk kepastian.

Contoh: peluang munculnya mata dadu 1 adalah satu diantara 6 yaitu 1/6

3. Notasi peluang untuk sebuah kejadian terambilnya sebuah as dari satu set kartu bridge P(A) = 4/52

55

4. Peluang terjadinya dua buah kejadian A dan B:

a. Eksklusif: P (A atau B) = P(A) + P(B)

Contoh: A kejadian munculnya gambar dan B kejadian munculnya angka pada mata uang yang di tos.

P(A atau B) = P(A) + P(B) = 1/2 + 1/2 = 1

b. Bebas: P(A dan B) = P(A).P(B)

Contoh: A kejadian munculnya gambar pada mata uang pertama dan B kejadian munculnya angka pada mata uang kedua yang di tos.

P(A dan B) = P(A).P(B) = 1/2 . 1/2 = 1/4

c. Inklusif: P(A dan atau B) = P(A) + P(B) - P(A).P(B)

Contoh: A kejadian terambilnya hati dan B kejadian munculnya as dari satu set kartu bridge.

P(A dan atau B) = P(A) + P(B) - P(A).P(B)

= 13/52 + 4/52 – 13/52 . 4/52

= 16/52 = 4/13

56

5. Harapan atau ekspektasi adalah hasil kali peluang dengan banyaknya percobaan yang dilakukan. Notasi: E(X) = P(X).n

Contoh:

a. Harapan munculnya gambar pada sebuah mata uang yang ditos 10 kali = 1/2 . 10 = 5 kali.

b. Harapan munculnya mata dadu 6 pada sebuah dadu yang dilempar 12 kali = 1/6 . 12 = 2 kali.

Soal.

1. Berikikan definisi peluang peristiwa dan jelaskan.

2. Jelaskan apa yang dimaksud dengan peristiwa:

a. Saling eksklusif b. Bersyarat.

c. Independen d. Inklusis.

3. Peluang seorang mahasiswa Universitas X lulus tepat waktu 95%.Jelaskan apa yang dimaksu dengan pernyataan tersebut.

4. Peluang seorang mahasiswa Universitas X lulus dengan IPK diatas 3,0 adalah 30%. Bagaimana peluang ia memperoleh IPK dibawah 3,0? Jelaskan artinya.

57

5. A dan B bermain catur 20 kali dan ternyata A menang 12 kali, B menang 6 kali dan 2 permainan lagi remis. Anggaplah ini sebagai data empirik untuk menentukan peluang permainan berikutnya antara A dan B. Misalkan selanjutnya A dan B akan bermain sebanyak 3 kali. Tentukan peluangnya bahwa:a. A akan memenangkan ketiga permainan (misalkan hasil tiap permainan

bersifat independen).b. Satu permainan berahir remis.c. Paling sedikit A menang satu kali.

Jawab:a. Peluang A dan B:

A menang PA(M) = 12/20 = 0, 60; A kalah PA(K) = 6/20 = 0,30; A remis PA(R) = 2/20 = 0,10.B menang PB(M) = 6/20 = 0,30; B kalah PB(K) = 12/20 = 0,60; B remis PB(R) = 2/20 = 0,10 A menang satu kali peluang 0,60. A dapat memenangkan 3 kali pertandingan: P(M1 dan M2 dan M3) = 0,6x0,6x0,6 = 0,216.

b. Satu permainan berahir remis PA(R) = PA(R1) + PA(R2) + PA(R3) = 0,1+0,1+0,1 =0,3

c. Paling sedikit A menang satu kali PA(M) = PA(M1)+PA(M2)+PA(M3) = 0,6+0,6+0,6 > 1 pasti terjadi A menang minimal 1 kali dalam 3 kali permainan

58

6. Semacam barang dihasilkan oleh sebuah mesin secara berurutan. Kerusakan proses produksi barang oleh mesin itu besarnya 5%. Untuk 5 barang yang dihasilkan secara berurutan, tentukan peluangnya akan terdapat:a. Semua barang bagus.b. Satu barang rusak.c. Dua barang rusak.d. Semua barang rusak.Jawaban:

a. Peluang rusak P(R) = 0,05 maka Peluang bagus = 1-0,05 = 0,95 atau 95%.Peluang semua barang bagus P(B1 dan B2 dan B3 dan B4 dan B5) bagus: 0,95x0,95x0,95x0,95x0,95= 0,7738 = 77,38%

b. Satu barang rusak P(R) = 0,05 = 5%c. Dua barang rusak P(R1 dan R2) rusak = 0,05x0,05 = 0,025 = 2,5%d. Semua barang rusak P(R1 dan R2 dan R3 dan R4 dan R5) rusak =

0,05x0,05x0,05x0,05x0,05=

59

7. Sepuluh persen dari penderita semacam penyakit ternyata tidak sembuh. Bagaimanakah peluangnya untuk 5 orang penderita penyakit itu semuanya tidak sembuh?

Jawaban:

Peluang tidak sembuh P(TS) = 10% = 0,10 peluang sembuh P(S) = 100%-10% = 90% = 0,90.

Peluang 5 orang tidak sembuh = P(TS1 dan TS2 dan TS3 dan TS4 dan TS5) = 0,1x0,1x0,1x0,1xo,1= 0,00001 atau = 0,001%

60

7. Berikut ini diberikan tabel yang menyatakan hubungan antara dua faktor. Faktor I terdiri dari 3 kategori ialah A,B, dan C sedangkan faktor II terdiri dari dua kategori, yakni E dan F.

a. Dari data diatas, taksirlah berapa peluang sebuah obyek berasal dari:

b. Kategori F faktor II

c. Kategori B faktor I

d. Kategori A faktor I dan kategori F faktor II

e. Kategori C, jika diketahui obyek itu berasal dari kategori F

• Jawaban:

• P(FII) = 1.621/9.459 = 0,4189 = 17,14%

• P(BI) = 3.063/9.459 = 0,3238 = 32,38%

• P(AI dan FII) = (4.654/9.459) x (1621/9.459) = 0,4920 x 0,1714 = 0,0843 = 8,43%

• P(C/F) = 327/9.459 = 0,0346 = 3,46%

61

Faktor IFaktor II

Kat A Kat B Kat C Jumlah

Kat E 3.975 2.448 1.415 7.838

Kat F 679 615 327 1.621

Jumlah 4.654 3.063 1.742 9.459

C. DISTRIBUSI PELUANG

1. Satu mata uang ditos.

Ada = 21 = 2 kejadian yang mungkin yaitu: A dan G. Peluang munculnya 0 atau 1 gambar adalah: 1/2, 1/2 dimana 1/2 + 1/2 = 1 disebut distribusi peluang. Pembilangnya 2 angka yaitu: 1, 1 sedangkan penyebutnya: 21

2. Dua mata uang ditos.

Ada = 22 = 4 kejadian yang mungkin yaitu: AA, AG, GA, GG. Peluang munculnya 0, 1, 2 gambar adalah: 1/4, 2/4, 1/4 di mana 1/4 + 2/4 + 1/4 = 1 disebut distribusi peluang. Pembilangnya 3 angka yaitu: 1, 2, 1 sedangkan penyebutnya: 22

3. Tiga mata uang yang ditos.

Ada = 23 = 8 kejadian yang mungkin yaitu: AAA, AAG, AGA, AGG, GAA, GAG, GGA, GGG. Peluang munculnya 0, 1, 2, 3 gambar adalah: 1/8, 3/8, 3/8, 1/8 di mana 1/8 + 3/8 + 3/8 + 1/8 = 1 disebut distribusi peluang. Pembilangnya 4 angka yaitu: 1, 3, 3, 1 sedangkan penyebutnya: 23

62

4. Empat mata uang yang ditos.

Ada = 24 = 16 kejadian yang mungkin yaitu: AAAA, AAAG, AAGA, AAGG, AGAG, AAGA, AAGA, AAGG, GAAA, GAAG, GAGA, GAGG, GGAA, GGAG, GGGA, GGGG. Peluang munculnya 0, 1, 2, 3, 4 gambar adalah: 1/16, 4/16, 6/16, 4/16,1/16 di mana 1/16 + 4/16 + 6/16 + 4/16 + 1/16 = 1 disebut distribusi peluang. Pembilangnya 5 angka yaitu: 1, 4, 6, 4, 1 sedangkan penyebutnya: 24

5. Lima mata uang yang ditos.

Ada = 25 = 32 kejadian yang mungkin yaitu: AAAAA, AAAAG, ........ dst GGGGG. Peluang munculnya 0, 1, 2, 3, 4, 5 gambar adalah 6 pecahan yang jumlahnya = 1 disebut distribusi peluang. Pembilangnya 6 angka yaitu: 1, 5, 10, 10, 5, 1 sedangkan penyebutnya: 25

63

7. Distribusi binomial dengan variabel diskret.

Distribusi binomial: 2 kejadian, independen, probabilitas sama, hasil perhitungan.

P(r) = [{n!/{r!(n-r)!}][pr . qn-r]

P(r) : Nilai probabilitas binomial.

p : Probabilitas sukses suatu kejadian dalam setiap percobaan.

r : Banyaknya persitiwa sukses suatu kejadian untuk keseluruhan percobaan.

n : Jumlah total percobaan.

q : Probabilitas gagal suatu kejadian yang diperoleh dari 1 – p

! : Lambang faktorial.

64

Contoh kasus:

15 alumni Universitas A untuk

mengikuti seleksi ODP suatu Bank X,

tingkat keyakinan 90% lulus seleksi.

a. Berapa probabilitas 15 alumni

diterima?

b. Berapa probabilitas 13 alumni

diterima?

c. Berapa probabilitas 10 alumni

diterima?

65

Penyelesaian:

a. Probabilitas 15 alumni diterima semua.

n = 15 r = 15

p = 0,9 q = 0,1

P(r) = [{n!/{r!(n-r)!}][pr . qn-r]

P(r) = {15!/15!(15-15)!}0.915 . 0,115-15

P(15) = 1x0,206x1 = 0,206.

b. Probabilitas 2 alumni ditolak atau 13 alumni diterima.

n = 15 r = 13

p = 0,9 q = 0,1

P(r) = [{n!/{r!(n-r)!}][pr . qn-r]

P(r) = {15!/13!(15-13)!}0.913 . 0,115-13

P(15) = 105x0,25x0,01 = 0,267.

c. Probabilitas 5 alumni ditolak 10 alumni diterima.

n = 15 r = 10

p = 0,9 q = 0,1

P(r) = [{n!/{r!(n-r)!}][pr . qn-r]

P(r) = {15!/10!(15-10)!}0.910 . 0,115-10

P(15) = 3,003x0,35x0,00001 = 0,010.

66

8. Grafik Distribusi Peluang Mata Uang yang Ditos

a. Terletak diatas sumbu datar.

b. Jumlah luas sama dengan 1.

c. Jumlah N cukup besar maka grafik akan berupa

kurva yang mulus yang simestris.

1/2 2/4

1/4 1/8

3/8 3/8

1/8

1/2

1/4

67

9. Tidak semua distribusi peluang berupa kurva

simetris, tergantung pada kejadian yang diamati.

Ada yang landai kekanan atau kekiri.

Contoh: Peluang munculnya k mata dadu 6 pada

pelemparan N buah dadu adalah Ck (1/6)k (5/6)N-k

1/16

5/32

1/32 1/32

20/64

15/64 15/64

6/64 6/64

1/64 1/64

4/16 4/16

1/16

10/32 10/32

5/32

6/16

68

D. DISTRIBUSI NORMAL.

1. Distribusi normal (distribusi Gauss) adalah distribusi

peluang (yang paling penting) yang mempunyai

variabel acak yang kontinum.

Kurva memanjang (–) tak terhingga µ = Md = Mo Kurva memanjang (+) tak terhingga

Kurva normal berbentuk simetris, masing-masing sisi identik

EkorEkor

69

Ciri-ciri kurva normal:

a. Kurva berbentuk genta atau lonceng, satu puncak

berada ditengah. Nilai rata-rata hitung µ, sama

dengan median Md sama dengan modus Mo: µ =

Md = Mo yang membelah kurva dua bagian yang

sama ½ bagian kanan dan ½ bagian kiri.

b. Kurva berbentuk simetris dan asimptotis

(menurun dikanan dan kiri sampai tak terhingga).

c. Modusnya Md pada sumbu mendatarmembuat

fungsi mencapai puncaknya yaitu maksimum

pada X=µ.

d. Luas daerah yang terletak dibawah kurva normal

diatas sumbu mendatar sama dengan 1 yang

terdiri atas ½ sebelah kiri nilai tengah (µ) dan ½

sebelah kanan nilai tengah (µ).

70

2. Distribusi normal baku adalah distribusi probabilitas

acak normal dengan nilai tengah nol dan simpangan baku sama dengan nol atau disebut distribusi dengan µ = 0 dan s = 1.

3. Distribusi normal baku adalah mengubah membakukan distribusi aktual dalam bentuk distribusi normal baku dengan nilai z atau skor z.

z = (X- µ)/σ

di mana:

z : Skor z atau nilai normal baku.

X : Nilai dari suatu pengamatan atau pengukuran.

µ : Nilai rata-rata hitung suatu distribusi.

σ : Standard deviasi suatu distribusi.

71

Soal Latihan

1. Sebanyak 20 perusahaan termasuk dalam harga

saham pilihan pada bulan Maret 2003. Harga saham ke

20 Perusahaan berkisar antara Rp160 – Rp870

persaham. Berapa probabilitas harga saham antara

Rp490 persaham sampai dengan Rp600 persaham.

Apa bila diketahui X = Rp490 sebagai nilai rata-rata

hitung dari standard deviasi nya 144,7 (Lihat soal 9.1).

2. PT Gunung Sari mengklaim bahwa rata-rata berat buah

mangga mutu B adalah 350 gram, dengan standard

deviasi 50 gram. Bila berat mangga mengikuti distribusi

norman, berapa probabilitas bahwa berat buah

mangga mencapai kurang dari 250kg, sehingga akan

diprotes oleh konsumennya.

72

Penyelesaian Soal Latihan 1

z = (X- µ)/σ

Probabilitas harga saham Rp 490:

z1 = (490 – 490)/144,7 = 0/144,7 = 0

Probabilitas harga saham Rp 600:

z2 = (600 – 490)/ 144,7 = 0,76

z2 tabel = 0,2764

Probabilitas harga saham Rp 600 sebesar 27,64 %; dimana P(0<z<0,76)

EkorEkor

0,2764

Z=0 Z=0,76

73

Penyelesaian Soal Latihan 2.

P(x<250)

P(x=250) = (250-350)/50 = -2,00

Jadi P(x<250) = P(z<-2,00)

P(s<-2) = 0,4772 (lihat tabel)

Luas bidang sebelah kiri nilai tengah 0,5.

Luas bidang sebelah kiri dengan z < -2 adalah (0,5 – 0,4772) = 0,0228

Probabilitas berat mangga kurang dari 250 gr adalah 2,28%

EkorEkor0,0228

z = -2 Z=0

250 350

0,4772

σ = 50

74